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2. 如图9,C为BE上一点,点A,D分别在BE两侧. AB//ED,AB=CE,BC=ED. 求证:AC=CD. 
答案
证明：
∵ AB//ED，
∴ ∠B = ∠E。
在△ABC和△CED中，
$\{\begin{array}{l}AB = CE \\∠B = ∠E \\BC = ED\end{array} $
∴ △ABC ≌ △CED（SAS），
∴ AC = CD。
∵ AB//ED，
∴ ∠B = ∠E。
在△ABC和△CED中，
$\{\begin{array}{l}AB = CE \\∠B = ∠E \\BC = ED\end{array} $
∴ △ABC ≌ △CED（SAS），
∴ AC = CD。
解析
【分析】
要证明AC=CD，可通过证明两条线段所在的△ABC与△CED全等来实现。首先根据AB//ED的条件，利用平行线的性质可得到一组相等的内错角∠B=∠E；再结合题目给出的AB=CE、BC=ED两组边相等的条件，刚好符合SAS全等判定的要求，证明两个三角形全等后，根据全等三角形对应边相等的性质即可得到AC=CD的结论。
【解析】
证明：
∵ AB//ED，
∴ ∠B = ∠E（两直线平行，内错角相等）。
在△ABC和△CED中：
$\begin{cases}AB = CE（已知）\\∠B = ∠E（已证）\\BC = ED（已知）\end{cases}$
∴ △ABC ≌ △CED（SAS），
∴ AC = CD（全等三角形的对应边相等）。
【答案】
证明：
∵ AB//ED，
∴ ∠B = ∠E。
在△ABC和△CED中，
$\{\begin{array}{l}AB = CE \\∠B = ∠E \\BC = ED\end{array} $
∴ △ABC ≌ △CED（SAS），
∴ AC = CD。
【知识点】
平行线的性质；全等三角形的SAS判定；全等三角形的性质
【点评】
本题是全等三角形证明的基础常规题，解题关键是先利用平行线的性质得到全等所需的等角条件，再结合已知的等边条件，用SAS判定三角形全等，进而推出对应边相等，解题思路清晰，属于必须掌握的基础题型。
【难度系数】
0.8
要证明AC=CD，可通过证明两条线段所在的△ABC与△CED全等来实现。首先根据AB//ED的条件，利用平行线的性质可得到一组相等的内错角∠B=∠E；再结合题目给出的AB=CE、BC=ED两组边相等的条件，刚好符合SAS全等判定的要求，证明两个三角形全等后，根据全等三角形对应边相等的性质即可得到AC=CD的结论。
【解析】
证明：
∵ AB//ED，
∴ ∠B = ∠E（两直线平行，内错角相等）。
在△ABC和△CED中：
$\begin{cases}AB = CE（已知）\\∠B = ∠E（已证）\\BC = ED（已知）\end{cases}$
∴ △ABC ≌ △CED（SAS），
∴ AC = CD（全等三角形的对应边相等）。
【答案】
证明：
∵ AB//ED，
∴ ∠B = ∠E。
在△ABC和△CED中，
$\{\begin{array}{l}AB = CE \\∠B = ∠E \\BC = ED\end{array} $
∴ △ABC ≌ △CED（SAS），
∴ AC = CD。
【知识点】
平行线的性质；全等三角形的SAS判定；全等三角形的性质
【点评】
本题是全等三角形证明的基础常规题，解题关键是先利用平行线的性质得到全等所需的等角条件，再结合已知的等边条件，用SAS判定三角形全等，进而推出对应边相等，解题思路清晰，属于必须掌握的基础题型。
【难度系数】
0.8
3. 如图10,已知E是AB边的中点,AC与ED相交点F,且F是AC,DE的中点.
求证:(1)BE=CD;(2)BE//CD.
求证:(1)BE=CD;(2)BE//CD.
答案
证明：
(1) ∵ F是AC、DE的中点，
∴ AF = CF，EF = DF。
在△AEF和△CDF中，
$\{\begin{array}{l}AF = CF \\∠ AFE = ∠ CFD \\EF = DF\end{array} $
∴ △AEF ≌ △CDF（SAS）。
∴ AE = CD。
又∵ E是AB边的中点，
∴ AE = BE。
∴ BE = CD。
(2) ∵ △AEF ≌ △CDF，
∴ ∠A = ∠FCD，
∴ AB // CD。
∵ 点E在AB上，BE是AB上的线段，
∴ BE // CD。
(1) ∵ F是AC、DE的中点，
∴ AF = CF，EF = DF。
在△AEF和△CDF中，
$\{\begin{array}{l}AF = CF \\∠ AFE = ∠ CFD \\EF = DF\end{array} $
∴ △AEF ≌ △CDF（SAS）。
∴ AE = CD。
又∵ E是AB边的中点，
∴ AE = BE。
∴ BE = CD。
(2) ∵ △AEF ≌ △CDF，
∴ ∠A = ∠FCD，
∴ AB // CD。
∵ 点E在AB上，BE是AB上的线段，
∴ BE // CD。
解析
【分析】
要证明BE=CD，已知E是AB中点，可得BE=AE，因此只需证AE=CD即可。观察图形，F是AC和DE的中点，能得到两组相等的线段，再结合对顶角相等，可通过SAS判定△AEF和△CDF全等，得到AE=CD，等量代换就能推出BE=CD；要证明BE//CD，可由全等三角形的性质得到对应角相等，利用内错角相等两直线平行推出AB//CD，而BE是AB上的线段，即可得到BE//CD。
【解析】
(1)
∵ F是AC、DE的中点，
∴ AF = CF，EF = DF。
在△AEF和△CDF中，
$\{\begin{array}{l}AF = CF \\∠ AFE = ∠ CFD \\EF = DF\end{array} $
∴ △AEF ≌ △CDF（SAS）。
∴ AE = CD。
又
∵ E是AB边的中点，
∴ AE = BE。
∴ BE = CD。
(2)
∵ △AEF ≌ △CDF，
∴ ∠A = ∠FCD，
∴ AB // CD。
∵ 点E在AB上，BE是AB上的线段，
∴ BE // CD。
【答案】
(1) 证明成立，BE=CD；(2) 证明成立，BE//CD，证明过程见上述解析。
【知识点】
SAS判定三角形全等，全等三角形的性质，平行线的判定
【点评】
本题属于基础几何证明题，解题关键是结合中点条件找到全等三角形，利用全等的性质推导边的数量关系和直线的位置关系，有助于锻炼几何逻辑推导和规范书写证明步骤的能力。
【难度系数】
0.8
要证明BE=CD，已知E是AB中点，可得BE=AE，因此只需证AE=CD即可。观察图形，F是AC和DE的中点，能得到两组相等的线段，再结合对顶角相等，可通过SAS判定△AEF和△CDF全等，得到AE=CD，等量代换就能推出BE=CD；要证明BE//CD，可由全等三角形的性质得到对应角相等，利用内错角相等两直线平行推出AB//CD，而BE是AB上的线段，即可得到BE//CD。
【解析】
(1)
∵ F是AC、DE的中点，
∴ AF = CF，EF = DF。
在△AEF和△CDF中，
$\{\begin{array}{l}AF = CF \\∠ AFE = ∠ CFD \\EF = DF\end{array} $
∴ △AEF ≌ △CDF（SAS）。
∴ AE = CD。
又
∵ E是AB边的中点，
∴ AE = BE。
∴ BE = CD。
(2)
∵ △AEF ≌ △CDF，
∴ ∠A = ∠FCD，
∴ AB // CD。
∵ 点E在AB上，BE是AB上的线段，
∴ BE // CD。
【答案】
(1) 证明成立，BE=CD；(2) 证明成立，BE//CD，证明过程见上述解析。
【知识点】
SAS判定三角形全等，全等三角形的性质，平行线的判定
【点评】
本题属于基础几何证明题，解题关键是结合中点条件找到全等三角形，利用全等的性质推导边的数量关系和直线的位置关系，有助于锻炼几何逻辑推导和规范书写证明步骤的能力。
【难度系数】
0.8
1. 在$△ ABC$和$△ DEF$中，$∠ A=∠ D$，$∠ B=∠ E$，要使$△ ABC ≌ △ DEF$，需添加的条件是()
A.$AB=EF$
B.$AC=DE$
C.$BC=DF$
D.$AB=DE$
A
A.$AB=EF$
B.$AC=DE$
C.$BC=DF$
D.$AB=DE$
A
答案
D
解析
【分析】
本题已知两个三角形有两组角对应相等，要判定全等，需结合全等三角形的判定定理思考：两角对应相等时，只需再添加一组对应边相等即可用ASA或AAS判定全等。解题第一步要先根据相等的角确定对应顶点：∠A对应∠D、∠B对应∠E，因此顶点A与D对应、B与E对应、C与F对应，再依次判断选项中的边是否为对应边即可。
【解析】
已知在△ABC和△DEF中，∠A=∠D，∠B=∠E，可得两三角形的对应顶点为：A↔D，B↔E，C↔F，因此对应边为AB↔DE，BC↔EF，AC↔DF。
全等三角形判定中，两角对应相等时，添加一组对应边相等即可证明全等：
A. AB与EF不是对应边，添加后无法判定全等，错误；
B. AC与DE不是对应边，添加后无法判定全等，错误；
C. BC与DF不是对应边，添加后无法判定全等，错误；
D. AB与DE是对应边，满足两角及其夹边对应相等，符合ASA全等判定定理，可证△ABC≌△DEF，正确。
【答案】
D
【知识点】
全等三角形的对应关系，ASA全等判定
【点评】
本题核心考查全等三角形判定时对应边的匹配，易错点是忽略对应顶点的顺序，选错非对应边，解题时先通过相等的角确定对应顶点，再匹配对应边是解题的关键。
【难度系数】
0.7
本题已知两个三角形有两组角对应相等，要判定全等，需结合全等三角形的判定定理思考：两角对应相等时，只需再添加一组对应边相等即可用ASA或AAS判定全等。解题第一步要先根据相等的角确定对应顶点：∠A对应∠D、∠B对应∠E，因此顶点A与D对应、B与E对应、C与F对应，再依次判断选项中的边是否为对应边即可。
【解析】
已知在△ABC和△DEF中，∠A=∠D，∠B=∠E，可得两三角形的对应顶点为：A↔D，B↔E，C↔F，因此对应边为AB↔DE，BC↔EF，AC↔DF。
全等三角形判定中，两角对应相等时，添加一组对应边相等即可证明全等：
A. AB与EF不是对应边，添加后无法判定全等，错误；
B. AC与DE不是对应边，添加后无法判定全等，错误；
C. BC与DF不是对应边，添加后无法判定全等，错误；
D. AB与DE是对应边，满足两角及其夹边对应相等，符合ASA全等判定定理，可证△ABC≌△DEF，正确。
【答案】
D
【知识点】
全等三角形的对应关系，ASA全等判定
【点评】
本题核心考查全等三角形判定时对应边的匹配，易错点是忽略对应顶点的顺序，选错非对应边，解题时先通过相等的角确定对应顶点，再匹配对应边是解题的关键。
【难度系数】
0.7
2. 如图
,在$Rt△ ABC$中,$∠ ACB=90°$,$BC=2\ \mathrm{cm}$,$CD⊥ AB$,在$AC$上取一点$E$,使$EC=BC$,过点$E$作$EF⊥ AC$交$CD$的延长线于点$F$,若$EF=5\ \mathrm{cm}$,则$AE=(\quad)$
A.$5\ \mathrm{cm}$
B.$3\ \mathrm{cm}$
C.$2\ \mathrm{cm}$
D.$1\ \mathrm{cm}$
,在$Rt△ ABC$中,$∠ ACB=90°$,$BC=2\ \mathrm{cm}$,$CD⊥ AB$,在$AC$上取一点$E$,使$EC=BC$,过点$E$作$EF⊥ AC$交$CD$的延长线于点$F$,若$EF=5\ \mathrm{cm}$,则$AE=(\quad)$A.$5\ \mathrm{cm}$
B.$3\ \mathrm{cm}$
C.$2\ \mathrm{cm}$
D.$1\ \mathrm{cm}$
答案
B
解析
【分析】
解题时先根据已知的垂直关系，利用同角的余角相等推导两组角对应相等，再结合已知的一组边相等，证明△ABC和△FCE全等；接着根据全等三角形对应边相等求出AC的长度，最后用AC的长度减去EC的长度即可得到AE的长度。
【解析】
解：
∵∠ACB=90°，CD⊥AB，
∴∠A+∠ACD=90°，∠F+∠ACD=90°，
∴∠A=∠F（同角的余角相等）。
∵EF⊥AC，
∴∠FEC=∠ACB=90°。
在△ABC和△FCE中：
$\{\begin{array}{l}∠A=∠F \\∠ACB=∠FEC \\BC=EC\end{array} $
∴△ABC≌△FCE（AAS），
∴AC=EF=5cm。
又
∵EC=BC=2cm，
∴AE=AC-EC=5-2=3cm。
【答案】
B
【知识点】
全等三角形的判定，全等三角形的性质，余角的性质
【点评】
本题是三角形全等应用的典型题型，解题核心是通过角的互余关系推导出等角，结合已知等边证明三角形全等，再利用全等的性质转化线段长度求解，侧重对基础判定和性质的灵活运用考查。
【难度系数】
0.7
解题时先根据已知的垂直关系，利用同角的余角相等推导两组角对应相等，再结合已知的一组边相等，证明△ABC和△FCE全等；接着根据全等三角形对应边相等求出AC的长度，最后用AC的长度减去EC的长度即可得到AE的长度。
【解析】
解：
∵∠ACB=90°，CD⊥AB，
∴∠A+∠ACD=90°，∠F+∠ACD=90°，
∴∠A=∠F（同角的余角相等）。
∵EF⊥AC，
∴∠FEC=∠ACB=90°。
在△ABC和△FCE中：
$\{\begin{array}{l}∠A=∠F \\∠ACB=∠FEC \\BC=EC\end{array} $
∴△ABC≌△FCE（AAS），
∴AC=EF=5cm。
又
∵EC=BC=2cm，
∴AE=AC-EC=5-2=3cm。
【答案】
B
【知识点】
全等三角形的判定，全等三角形的性质，余角的性质
【点评】
本题是三角形全等应用的典型题型，解题核心是通过角的互余关系推导出等角，结合已知等边证明三角形全等，再利用全等的性质转化线段长度求解，侧重对基础判定和性质的灵活运用考查。
【难度系数】
0.7
3. 如图2，在河对岸的A处有一座亭子，小宇站在点B处，为了求出自己与亭子的距离(AB)，小宇开展了实践活动，以下是打乱的活动流程：①在点B同侧选择了一点C，测得$∠ ABC=65°$，$∠ ACB=30°$；②用皮尺测得$BD=26\ \mathrm{m}$；③在D处立了一根标杆，使得$∠ CBD=65°$，$∠ DCB=30°$；④根据$△ ABC ≌ △ DBC$，求出他与亭子之间的距离$AB=26\ \mathrm{m}$. 正确的活动流程是()
A.①②③④
B.②①③④
C.②③①④
D.①③②④
A.①②③④
B.②①③④
C.②③①④
D.①③②④
答案
D
解析
【分析】
本题要通过构造全等三角形测量不可直接到达的AB长度，解题思路如下：首先明确目标是利用全等三角形将AB转化为可测量的线段，因此第一步需先得到已知三角形△ABC的角的条件；接着以公共边BC为夹边，构造与△ABC角对应相等的△DBC，满足ASA全等的判定条件；再测量全等三角形中和AB对应的边BD的长度；最后根据全等三角形对应边相等求出AB的长度，按这个逻辑梳理步骤顺序即可。
【解析】
要构造全等三角形求解AB的长度，步骤逻辑如下：
1. 首先获取原三角形△ABC的内角信息，即步骤①：在点B同侧选择一点C，测得$∠ ABC=65°$，$∠ ACB=30°$；
2. 接下来构造全等三角形，BC为公共边，根据ASA判定定理，只需让△DBC的两个角与△ABC的对应角相等，即步骤③：在D处立标杆，使得$∠ CBD=65°$，$∠ DCB=30°$，此时△ABC和△DBC满足：$\{\begin{array}{l}∠ABC=∠DBC \\BC=BC \\∠ACB=∠DCB\end{array} $，故$△ ABC ≌ △ DBC$（ASA），可得$AB=BD$；
3. 随后测量对应边BD的长度，即步骤②：用皮尺测得$BD=26\ \mathrm{m}$；
4. 最后根据全等性质求AB，即步骤④：根据全等得$AB=26\ \mathrm{m}$。
因此正确顺序为①③②④。
【答案】
D
【知识点】
ASA判定三角形全等；全等三角形的性质；全等三角形的实际应用
【点评】
本题结合实际测量场景考查全等三角形的应用，解题关键是理清构造全等三角形的逻辑先后顺序，要先确定原有三角形的条件，再构造全等图形，最后测量对应边得到所求长度，避免逻辑顺序颠倒。
【难度系数】
0.7
本题要通过构造全等三角形测量不可直接到达的AB长度，解题思路如下：首先明确目标是利用全等三角形将AB转化为可测量的线段，因此第一步需先得到已知三角形△ABC的角的条件；接着以公共边BC为夹边，构造与△ABC角对应相等的△DBC，满足ASA全等的判定条件；再测量全等三角形中和AB对应的边BD的长度；最后根据全等三角形对应边相等求出AB的长度，按这个逻辑梳理步骤顺序即可。
【解析】
要构造全等三角形求解AB的长度，步骤逻辑如下：
1. 首先获取原三角形△ABC的内角信息，即步骤①：在点B同侧选择一点C，测得$∠ ABC=65°$，$∠ ACB=30°$；
2. 接下来构造全等三角形，BC为公共边，根据ASA判定定理，只需让△DBC的两个角与△ABC的对应角相等，即步骤③：在D处立标杆，使得$∠ CBD=65°$，$∠ DCB=30°$，此时△ABC和△DBC满足：$\{\begin{array}{l}∠ABC=∠DBC \\BC=BC \\∠ACB=∠DCB\end{array} $，故$△ ABC ≌ △ DBC$（ASA），可得$AB=BD$；
3. 随后测量对应边BD的长度，即步骤②：用皮尺测得$BD=26\ \mathrm{m}$；
4. 最后根据全等性质求AB，即步骤④：根据全等得$AB=26\ \mathrm{m}$。
因此正确顺序为①③②④。
【答案】
D
【知识点】
ASA判定三角形全等；全等三角形的性质；全等三角形的实际应用
【点评】
本题结合实际测量场景考查全等三角形的应用，解题关键是理清构造全等三角形的逻辑先后顺序，要先确定原有三角形的条件，再构造全等图形，最后测量对应边得到所求长度，避免逻辑顺序颠倒。
【难度系数】
0.7
