3. 某班数学研究小组想根据所学内容测量学校一堵围墙的高度，经过讨论后设计出如下两种测量方案：


请你选择一种测量方案求出围墙AB的高度.(测角仪的高度忽略不计)

解：选择方案二求解。
∵ CD⊥DB，AB⊥DB，
∴ ∠D=∠ABP=90°，
∴ ∠DCP + ∠DPC = 90°。
∵ ∠CPA=90°，
∴ ∠DPC + ∠APB = 180° - ∠CPA = 90°，
∴ ∠DCP = ∠APB。
在△CDP和△PBA中，
$\{\begin{array}{l}∠D=∠ABP \\CD=PB \\∠DCP=∠BPA\end{array} $
∴ △CDP ≌ △PBA（ASA），
∴ DP = AB。
∵ DB=7 m，PB=4.7 m，
∴ DP = DB - PB = 7 - 4.7 = 2.3 (m)，
∴ AB = 2.3 m。
答：围墙AB的高度为2.3 m。

【分析】
我们可以选择方案二进行求解，解题思路如下：第一步，先根据题目中的垂直条件得到两个直角相等；第二步，利用∠CPA是直角的条件，通过同角的余角相等推出一组对应角相等，再结合已知的CD=PB的相等边条件，即可用ASA判定△CDP和△PBA全等；第三步，根据全等三角形对应边相等，可知AB=DP，最后结合已知的DB、PB长度计算出DP的长度，即为围墙AB的高度。
【解析】
选择方案二求解。
∵ CD⊥DB，AB⊥DB，
∴ ∠D=∠ABP=90°，
∴ ∠DCP + ∠DPC = 90°。
∵ ∠CPA=90°，
∴ ∠DPC + ∠APB = 180° - ∠CPA = 90°，
∴ ∠DCP = ∠APB。
在△CDP和△PBA中，
$\{\begin{array}{l}∠D=∠ABP \\CD=PB \\∠DCP=∠BPA\end{array} $
∴ △CDP ≌ △PBA（ASA），
∴ DP = AB。
∵ DB=7 m，PB=4.7 m，
∴ DP = DB - PB = 7 - 4.7 = 2.3 (m)，
∴ AB = 2.3 m。
答：围墙AB的高度为2.3 m。
【答案】
围墙AB的高度为2.3 m
【知识点】
ASA判定三角形全等、全等三角形的性质、余角的性质
【点评】
这是一道结合实际测量场景的几何应用题，解题核心是将实际测量问题转化为三角形全等的几何模型，通过证明全等实现未知边与已知边的转化，能够很好地考查知识的实际应用能力。
【难度系数】
0.7

一、选择题
1. 如图1是两束交叉灯光的几何示意图,已知灯光的落点A,B,C,D在同一条直线上,∠A=∠D,∠E=∠F,AF=DE,若AC=8m,BC=3m,则落点A、D之间的距离为()


A.11 m
B.12 m
C.13 m
D.14 m

C

【分析】
解题时首先观察已知条件：给出了两组对应角相等（∠A=∠D，∠E=∠F）和一组对应边相等（AF=DE），可以优先考虑利用AAS判定三角形全等。首先证明△ABF和△DCE全等，根据全等三角形对应边相等得到AB=DC，再结合已知的AC、BC长度，先计算AB的长度，最后利用线段和差关系求出AD的长度即可。
【解析】
在$△ ABF$和$△ DCE$中：
$\begin{cases}∠ A = ∠ D \\∠ F = ∠ E \\AF = DE\end{cases}$
$\therefore △ ABF ≌ △ DCE \ (\mathrm{AAS})$
$\therefore AB=DC$
$\because AC=8\mathrm{m},BC=3\mathrm{m}$
$\therefore AB=AC-BC=8-3=5(\mathrm{m})$
$\therefore DC=5\mathrm{m}$
$\therefore AD=AC+DC=8+5=13(\mathrm{m})$
【答案】
C
【知识点】
AAS判定三角形全等；全等三角形的性质；线段和差计算
【点评】
本题属于全等三角形应用的基础题，解题核心是准确识别全等三角形，结合线段的和差关系求解，是三角形全等章节的常考题型。
【难度系数】
0.7

2*. 如图2,四边形ABCD中,AD//BC,AB⊥BC,AD=3,BC=5,将腰DC绕点D逆时针方向旋转90°至DE,连接AE,则△ADE的面积是()

A.1
B.2
C.3
D.4

C

【分析】
要求△ADE的面积，已知底AD=3，只需求出AD边上的高即可。结合旋转的性质，可通过作辅助线构造全等三角形，将△ADE的高转化为已知线段的长度：过D作DF⊥BC于F，过E作EG⊥AD交AD延长线于G，利用旋转90°的角的关系证明△EDG和△CDF全等，即可得到高EG的长度，进而求出面积。
【解析】
解：过点D作DF⊥BC于点F，过点E作EG⊥AD，交AD的延长线于点G。
∵AD//BC，AB⊥BC，DF⊥BC
∴四边形ABFD是矩形，
∴BF=AD=3，
∴FC=BC - BF=5 - 3=2。
∵腰DC绕点D逆时针旋转90°至DE，
∴DE=DC，∠CDE=90°，
∴∠EDG + ∠CDG = 90°，
又
∵DF⊥AD，
∴∠FDG=90°，即∠CDF + ∠CDG = 90°，
∴∠EDG=∠CDF。
在△EDG和△CDF中：
$\{\begin{array}{l}∠G=∠DFC=90°\\∠EDG=∠CDF\\DE=DC\end{array} $
∴△EDG≌△CDF（AAS），
∴EG=FC=2。
∴$S_{△ ADE}=\frac{1}{2}×AD×EG=\frac{1}{2}×3×2=3$。
【答案】
C
【知识点】
旋转的性质，全等三角形的判定与性质，三角形面积计算
【点评】
本题属于几何综合类基础题，解题核心是通过作两条垂线构造全等三角形，将未知的高转化为可求的线段，需要熟练掌握旋转的性质和全等三角形的判定方法，对辅助线构造能力有一定要求。
【难度系数】
0.7