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3. 如图3，已知$BA⊥AE$且$BA=AE$，$BC⊥CD$且$BC=CD$，连接$DE$，分别过点$E$，$B$，$D$作经过$A$，$C$两点的直线$l$的垂线，垂足分别为$F$，$G$，$H$，则按图中所标注的数据可计算图中实线围成的面积$S$为()
A.50
B.62
C.65
D.68
A.50
B.62
C.65
D.68
答案
A
解析
【分析】
解题思路可分为两步：第一步，结合垂直、边相等的已知条件，证明两组三角形全等，得到各段水平线段的长度；第二步，用割补法计算不规则图形面积，即实线围成的面积等于大梯形EFHD的面积减去四个空白直角三角形的面积和，代入数据计算即可。
【解析】
1. 证明$△ EFA ≌ △ AGB$：
$\because EF ⊥ l$，$BG ⊥ l$，$\therefore ∠ EFA=∠ AGB=90°$，
$\therefore ∠ AEF + ∠ EAF=90°$，
又$\because BA ⊥ AE$，$\therefore ∠ EAF + ∠ BAG=90°$，
$\therefore ∠ AEF=∠ BAG$，
在$△ EFA$和$△ AGB$中：
$\begin{cases}∠ EFA=∠ AGB \\∠ AEF=∠ BAG \\AE=BA\end{cases}$
$\therefore △ EFA ≌ △ AGB$（AAS），
可得$AF=BG=3$，$EF=AG=6$。
2. 证明$△ BGC ≌ △ CHD$：
同理，$\because BG ⊥ l$，$DH ⊥ l$，$\therefore ∠ BGC=∠ CHD=90°$，
$∠ CBG + ∠ BCG=90°$，
又$\because BC ⊥ CD$，$\therefore ∠ BCG + ∠ DCH=90°$，
$\therefore ∠ CBG=∠ DCH$，
在$△ BGC$和$△ CHD$中：
$\begin{cases}∠ BGC=∠ CHD \\∠ CBG=∠ DCH \\BC=CD\end{cases}$
$\therefore △ BGC ≌ △ CHD$（AAS），
可得$GC=DH=4$，$BG=CH=3$。
3. 计算实线围成的面积：
大梯形$EFHD$的高$FH=AF+AG+GC+CH=3+6+4+3=16$，
$S_{梯形EFHD}=\frac{1}{2}×(EF+DH)× FH=\frac{1}{2}×(6+4)×16=80$，
四个空白三角形的面积和：
$S_{空白}=S_{△ EFA}+S_{△ AGB}+S_{△ BGC}+S_{△ CHD}=\frac{1}{2}×3×6+\frac{1}{2}×3×6+\frac{1}{2}×3×4+\frac{1}{2}×3×4=30$，
因此实线围成的面积$S=S_{梯形EFHD}-S_{空白}=80-30=50$。
【答案】
A
【知识点】
全等三角形的判定与性质、梯形面积计算、割补法求面积
【点评】
本题核心是通过垂直关系推导角相等，结合已知等边证明三角形全等，得到线段长度后用割补法将不规则图形面积转化为规则图形面积的差求解，对全等三角形的应用和面积计算能力有一定要求。
【难度系数】
0.65
解题思路可分为两步：第一步，结合垂直、边相等的已知条件，证明两组三角形全等，得到各段水平线段的长度；第二步，用割补法计算不规则图形面积，即实线围成的面积等于大梯形EFHD的面积减去四个空白直角三角形的面积和，代入数据计算即可。
【解析】
1. 证明$△ EFA ≌ △ AGB$：
$\because EF ⊥ l$，$BG ⊥ l$，$\therefore ∠ EFA=∠ AGB=90°$，
$\therefore ∠ AEF + ∠ EAF=90°$，
又$\because BA ⊥ AE$，$\therefore ∠ EAF + ∠ BAG=90°$，
$\therefore ∠ AEF=∠ BAG$，
在$△ EFA$和$△ AGB$中：
$\begin{cases}∠ EFA=∠ AGB \\∠ AEF=∠ BAG \\AE=BA\end{cases}$
$\therefore △ EFA ≌ △ AGB$（AAS），
可得$AF=BG=3$，$EF=AG=6$。
2. 证明$△ BGC ≌ △ CHD$：
同理，$\because BG ⊥ l$，$DH ⊥ l$，$\therefore ∠ BGC=∠ CHD=90°$，
$∠ CBG + ∠ BCG=90°$，
又$\because BC ⊥ CD$，$\therefore ∠ BCG + ∠ DCH=90°$，
$\therefore ∠ CBG=∠ DCH$，
在$△ BGC$和$△ CHD$中：
$\begin{cases}∠ BGC=∠ CHD \\∠ CBG=∠ DCH \\BC=CD\end{cases}$
$\therefore △ BGC ≌ △ CHD$（AAS），
可得$GC=DH=4$，$BG=CH=3$。
3. 计算实线围成的面积：
大梯形$EFHD$的高$FH=AF+AG+GC+CH=3+6+4+3=16$，
$S_{梯形EFHD}=\frac{1}{2}×(EF+DH)× FH=\frac{1}{2}×(6+4)×16=80$，
四个空白三角形的面积和：
$S_{空白}=S_{△ EFA}+S_{△ AGB}+S_{△ BGC}+S_{△ CHD}=\frac{1}{2}×3×6+\frac{1}{2}×3×6+\frac{1}{2}×3×4+\frac{1}{2}×3×4=30$，
因此实线围成的面积$S=S_{梯形EFHD}-S_{空白}=80-30=50$。
【答案】
A
【知识点】
全等三角形的判定与性质、梯形面积计算、割补法求面积
【点评】
本题核心是通过垂直关系推导角相等，结合已知等边证明三角形全等，得到线段长度后用割补法将不规则图形面积转化为规则图形面积的差求解，对全等三角形的应用和面积计算能力有一定要求。
【难度系数】
0.65
1. 如图4所示，$△ ABC ≌ △ DCB$，$AF ⊥ BC$于点$F$，$DE ⊥ BC$于点$E$. 若$BC=18\ \mathrm{cm}$，且$△ ABC$的面积为$108\ \mathrm{cm}^2$，则$DE=\_\_\_\_\_\_\mathrm{cm}$.
答案
$\boldsymbol{12}$
解析
【分析】
解题时先从已知的全等三角形条件入手，根据全等三角形的性质可知二者面积相等，可先得到△DCB的面积；再观察到DE是△DCB底边BC上的高，且BC的长度已知，结合三角形面积公式即可反推求出高DE的长度。
【解析】
∵$△ ABC ≌ △ DCB$
∴$S_{△ DCB} = S_{△ ABC} = 108\ \mathrm{cm}^2$
∵$DE ⊥ BC$，即DE是$△ DCB$中BC边上的高
根据三角形面积公式$S=\frac{1}{2}×底×高$，可得：
$S_{△ DCB}=\frac{1}{2}×BC×DE$
将$S_{△ DCB}=108\ \mathrm{cm}^2$，$BC=18\ \mathrm{cm}$代入上式：
$108=\frac{1}{2}×18×DE$
化简得：$9DE=108$
解得：$DE=12\ \mathrm{cm}$
【答案】
$\boldsymbol{12}$
【知识点】
全等三角形的性质；三角形面积计算
【点评】
本题属于基础题型，主要考查全等三角形面积相等的性质，结合三角形面积公式求解对应高的长度，解题时只要明确两个全等三角形的面积关系，代入公式计算即可得出结果。
【难度系数】
0.8
解题时先从已知的全等三角形条件入手，根据全等三角形的性质可知二者面积相等，可先得到△DCB的面积；再观察到DE是△DCB底边BC上的高，且BC的长度已知，结合三角形面积公式即可反推求出高DE的长度。
【解析】
∵$△ ABC ≌ △ DCB$
∴$S_{△ DCB} = S_{△ ABC} = 108\ \mathrm{cm}^2$
∵$DE ⊥ BC$，即DE是$△ DCB$中BC边上的高
根据三角形面积公式$S=\frac{1}{2}×底×高$，可得：
$S_{△ DCB}=\frac{1}{2}×BC×DE$
将$S_{△ DCB}=108\ \mathrm{cm}^2$，$BC=18\ \mathrm{cm}$代入上式：
$108=\frac{1}{2}×18×DE$
化简得：$9DE=108$
解得：$DE=12\ \mathrm{cm}$
【答案】
$\boldsymbol{12}$
【知识点】
全等三角形的性质；三角形面积计算
【点评】
本题属于基础题型，主要考查全等三角形面积相等的性质，结合三角形面积公式求解对应高的长度，解题时只要明确两个全等三角形的面积关系，代入公式计算即可得出结果。
【难度系数】
0.8
2*. 如图5,BD是∠ABC的平分线,过点A作AD⊥BD,垂足为D,若∠DAC=20°,∠C=45°,则∠BAD的度数是.
图4 图5 图6
图4 图5 图6
答案
$\boldsymbol{65°}$
解析
【分析】
遇到角平分线同时有这条角平分线上的垂线时，通常采用延长垂线与角的两边相交的辅助线构造全等三角形。本题先延长AD交BC于点E，利用角平分线的定义、垂直的定义结合公共边，证明△ABD与△EBD全等，将所求∠BAD转化为∠BED，再利用三角形外角的性质计算∠BED的度数即可得到答案。
【解析】
延长AD交BC于点E。
1. 证明三角形全等：
∵ BD是∠ABC的平分线，
∴ ∠ABD = ∠EBD，
∵ AD⊥BD，
∴ ∠ADB = ∠EDB = 90°，
在△ABD和△EBD中：
$\{\begin{array}{l}∠ABD = ∠EBD \\BD = BD \\∠ADB = ∠EDB\end{array} $
∴ △ABD ≌ △EBD（ASA），
∴ ∠BAD = ∠BED。
2. 计算∠BED的度数：
∵ ∠BED是△AEC的外角，
∴ ∠BED = ∠C + ∠DAC，
已知∠DAC=20°，∠C=45°，
代入得∠BED = 45° + 20° = 65°，
∴ ∠BAD = 65°。
【答案】
$\boldsymbol{65°}$
【知识点】
全等三角形的判定（ASA），角平分线的定义，三角形外角的性质
【点评】
本题是三角形综合基础题，解题的关键是掌握“角平分线+垂线构造全等三角形”的常用辅助线方法，结合全等三角形的性质和三角形外角性质即可快速求解。
【难度系数】
0.7
遇到角平分线同时有这条角平分线上的垂线时，通常采用延长垂线与角的两边相交的辅助线构造全等三角形。本题先延长AD交BC于点E，利用角平分线的定义、垂直的定义结合公共边，证明△ABD与△EBD全等，将所求∠BAD转化为∠BED，再利用三角形外角的性质计算∠BED的度数即可得到答案。
【解析】
延长AD交BC于点E。
1. 证明三角形全等：
∵ BD是∠ABC的平分线，
∴ ∠ABD = ∠EBD，
∵ AD⊥BD，
∴ ∠ADB = ∠EDB = 90°，
在△ABD和△EBD中：
$\{\begin{array}{l}∠ABD = ∠EBD \\BD = BD \\∠ADB = ∠EDB\end{array} $
∴ △ABD ≌ △EBD（ASA），
∴ ∠BAD = ∠BED。
2. 计算∠BED的度数：
∵ ∠BED是△AEC的外角，
∴ ∠BED = ∠C + ∠DAC，
已知∠DAC=20°，∠C=45°，
代入得∠BED = 45° + 20° = 65°，
∴ ∠BAD = 65°。
【答案】
$\boldsymbol{65°}$
【知识点】
全等三角形的判定（ASA），角平分线的定义，三角形外角的性质
【点评】
本题是三角形综合基础题，解题的关键是掌握“角平分线+垂线构造全等三角形”的常用辅助线方法，结合全等三角形的性质和三角形外角性质即可快速求解。
【难度系数】
0.7
3*. 如图6,在△ABC中,∠C=90°,AC=BC,AD平分∠CAB交BC于点D,DE⊥AB,垂足为点E,AB=12 cm,则△DEB的周长为cm.
答案
$\boldsymbol{12}$
解析
【分析】
解题时先从已知条件入手：首先看到角平分线、两个直角（∠C和∠DEA），可以联想到角平分线的性质，得到CD=DE；其次有公共斜边AD，可利用HL判定Rt△ACD和Rt△AED全等，推出AC=AE；再结合已知AC=BC，将AE替换为BC；最后把△DEB的周长拆解为DE+BD+BE，通过等量代换把DE换成CD、BC换成AE，最终将周长转化为AB的长度，代入AB的数值即可得到结果。
【解析】
解：
∵AD平分∠CAB，∠C=90°，DE⊥AB
∴CD=DE（角平分线上的点到角两边的距离相等）
在Rt△ACD和Rt△AED中：
$\{\begin{array}{l}AD=AD\quad(\mathrm{公共边})\\CD=DE\quad(\mathrm{已证})\end{array} $
∴Rt△ACD≌Rt△AED（HL）
∴AC=AE（全等三角形对应边相等）
又
∵AC=BC
∴AE=BC
△DEB的周长$=DE+BD+BE$
把$DE=CD$代入得：
周长$=CD+BD+BE=BC+BE$
把$BC=AE$代入得：
周长$=AE+BE=AB$
∵AB=12cm
∴△DEB的周长为12cm。
【答案】
$\boldsymbol{12}$
【知识点】
1.角平分线的性质
2.直角三角形全等的HL判定
3.全等三角形的性质
【点评】
本题是典型的几何转化类题型，核心是通过角平分线性质和全等三角形的性质，将所求三角形的周长转化为已知边AB的长度，解题时要熟练掌握相关定理，学会运用等量代换的思想简化计算。
【难度系数】
0.6
解题时先从已知条件入手：首先看到角平分线、两个直角（∠C和∠DEA），可以联想到角平分线的性质，得到CD=DE；其次有公共斜边AD，可利用HL判定Rt△ACD和Rt△AED全等，推出AC=AE；再结合已知AC=BC，将AE替换为BC；最后把△DEB的周长拆解为DE+BD+BE，通过等量代换把DE换成CD、BC换成AE，最终将周长转化为AB的长度，代入AB的数值即可得到结果。
【解析】
解：
∵AD平分∠CAB，∠C=90°，DE⊥AB
∴CD=DE（角平分线上的点到角两边的距离相等）
在Rt△ACD和Rt△AED中：
$\{\begin{array}{l}AD=AD\quad(\mathrm{公共边})\\CD=DE\quad(\mathrm{已证})\end{array} $
∴Rt△ACD≌Rt△AED（HL）
∴AC=AE（全等三角形对应边相等）
又
∵AC=BC
∴AE=BC
△DEB的周长$=DE+BD+BE$
把$DE=CD$代入得：
周长$=CD+BD+BE=BC+BE$
把$BC=AE$代入得：
周长$=AE+BE=AB$
∵AB=12cm
∴△DEB的周长为12cm。
【答案】
$\boldsymbol{12}$
【知识点】
1.角平分线的性质
2.直角三角形全等的HL判定
3.全等三角形的性质
【点评】
本题是典型的几何转化类题型，核心是通过角平分线性质和全等三角形的性质，将所求三角形的周长转化为已知边AB的长度，解题时要熟练掌握相关定理，学会运用等量代换的思想简化计算。
【难度系数】
0.6
三、解答题
1. 如图7,在四边形ABCD中,E点在AD上,其中∠BAE=∠BCE=∠ACD=90°,且BC=CE.请完整说明△ABC与△DEC全等的理由.
1. 如图7,在四边形ABCD中,E点在AD上,其中∠BAE=∠BCE=∠ACD=90°,且BC=CE.请完整说明△ABC与△DEC全等的理由.
答案
证明：
∵ ∠BCE = ∠ACD = 90°，
∴ ∠BCE - ∠ACE = ∠ACD - ∠ACE，
即 ∠ACB = ∠DCE。
∵ ∠BAE = 90°，∠ACD = 90°，
∴ ∠BAC + ∠CAD = 90°，∠CAD + ∠D = 90°，
∴ ∠BAC = ∠D。
在△ABC和△DEC中，
$\{\begin{array}{l}∠BAC = ∠D \\∠ACB = ∠DCE \\BC = CE\end{array} $
∴ △ABC ≌ △DEC（AAS）。
∵ ∠BCE = ∠ACD = 90°，
∴ ∠BCE - ∠ACE = ∠ACD - ∠ACE，
即 ∠ACB = ∠DCE。
∵ ∠BAE = 90°，∠ACD = 90°，
∴ ∠BAC + ∠CAD = 90°，∠CAD + ∠D = 90°，
∴ ∠BAC = ∠D。
在△ABC和△DEC中，
$\{\begin{array}{l}∠BAC = ∠D \\∠ACB = ∠DCE \\BC = CE\end{array} $
∴ △ABC ≌ △DEC（AAS）。
解析
【分析】
要证明△ABC与△DEC全等，首先回忆三角形全等的判定定理，已知题目给出BC=CE，还需要找到两组对应角相等的条件。第一步，从已知的直角∠BCE=∠ACD=90°入手，两个角同时减去公共部分∠ACE，即可得到第一组对应角∠ACB=∠DCE；第二步，利用∠BAE=∠ACD=90°，可得∠BAC和∠D都是∠CAD的余角，根据同角的余角相等，得到第二组对应角∠BAC=∠D。此时两组角及一组对边对应相等，符合AAS的全等判定条件，即可证明两三角形全等。
【解析】
证明：
∵ ∠BCE = ∠ACD = 90°，
∴ ∠BCE - ∠ACE = ∠ACD - ∠ACE，
即 ∠ACB = ∠DCE。
∵ ∠BAE = 90°，∠ACD = 90°，
∴ ∠BAC + ∠CAD = 90°，∠CAD + ∠D = 90°，
∴ ∠BAC = ∠D。
在△ABC和△DEC中，
$\{\begin{array}{l}∠BAC = ∠D \\∠ACB = ∠DCE \\BC = CE\end{array} $
∴ △ABC ≌ △DEC（AAS）。
【答案】
△ABC≌△DEC，判定依据为角角边（AAS）。
【知识点】
1. 角的和差计算
2. 同角的余角相等
3. 全等三角形AAS判定
【点评】
本题是全等三角形判定的基础应用题型，解题核心是结合已知的直角条件，通过角的和差关系、同角的余角相等推导得到所需的对应角相等，结合已知等边即可完成证明，需要熟练掌握全等判定定理和角的等量代换方法。
【难度系数】
0.7
要证明△ABC与△DEC全等，首先回忆三角形全等的判定定理，已知题目给出BC=CE，还需要找到两组对应角相等的条件。第一步，从已知的直角∠BCE=∠ACD=90°入手，两个角同时减去公共部分∠ACE，即可得到第一组对应角∠ACB=∠DCE；第二步，利用∠BAE=∠ACD=90°，可得∠BAC和∠D都是∠CAD的余角，根据同角的余角相等，得到第二组对应角∠BAC=∠D。此时两组角及一组对边对应相等，符合AAS的全等判定条件，即可证明两三角形全等。
【解析】
证明：
∵ ∠BCE = ∠ACD = 90°，
∴ ∠BCE - ∠ACE = ∠ACD - ∠ACE，
即 ∠ACB = ∠DCE。
∵ ∠BAE = 90°，∠ACD = 90°，
∴ ∠BAC + ∠CAD = 90°，∠CAD + ∠D = 90°，
∴ ∠BAC = ∠D。
在△ABC和△DEC中，
$\{\begin{array}{l}∠BAC = ∠D \\∠ACB = ∠DCE \\BC = CE\end{array} $
∴ △ABC ≌ △DEC（AAS）。
【答案】
△ABC≌△DEC，判定依据为角角边（AAS）。
【知识点】
1. 角的和差计算
2. 同角的余角相等
3. 全等三角形AAS判定
【点评】
本题是全等三角形判定的基础应用题型，解题核心是结合已知的直角条件，通过角的和差关系、同角的余角相等推导得到所需的对应角相等，结合已知等边即可完成证明，需要熟练掌握全等判定定理和角的等量代换方法。
【难度系数】
0.7
