2. 如图,在$△ ABC$中,AD是BC边上的中线,E是AB边上一点,过点C作$CF// AB$交ED的延长线于点F.
(1)求证:$△ BDE≌△ CDF$;
(2)当$AD⊥ BC,AE=1,CF=2$时,求AC的长.

(1) 证明：
∵ AD是BC边上的中线，
∴ $BD = CD$。
∵ $CF// AB$，
∴ $∠ B = ∠ DCF$。
在$△ BDE$和$△ CDF$中，
$\begin{cases}∠ B = ∠ DCF \\BD = CD \\∠ BDE = ∠ CDF\end{cases}$
∴ $△ BDE ≌ △ CDF$（ASA）。
---
(2) 解：
∵ $△ BDE ≌ △ CDF$，
∴ $BE = CF = 2$。
∴ $AB = AE + BE = 1 + 2 = 3$。
∵ $AD⊥ BC$，
∴ $∠ ADB = ∠ ADC = 90°$。
在$△ ABD$和$△ ACD$中，
$\begin{cases}BD = CD \\∠ ADB = ∠ ADC \\AD = AD\end{cases}$
∴ $△ ABD ≌ △ ACD$（SAS），
∴ $AC = AB = 3$。
答：AC的长为3。

【分析】
(1) 证明三角形全等需先找对应相等的边和角：首先根据AD是BC边上的中线可得BD=CD；由CF//AB，根据平行线的内错角相等可得∠B=∠DCF；再结合对顶角∠BDE=∠CDF，满足ASA的全等判定条件，即可完成证明。
(2) 先利用第(1)问的全等结论，得到对应边BE=CF，结合已知的AE长度可算出AB的长度；再根据AD⊥BC且AD是BC的中线，可证明△ABD≌△ACD，从而得到AC=AB，即可求出AC的长度。
【解析】
(1) 证明：
∵ AD是BC边上的中线，
∴ $BD = CD$。
∵ $CF// AB$，
∴ $∠ B = ∠ DCF$。
在$△ BDE$和$△ CDF$中，
$\begin{cases}∠ B = ∠ DCF \\BD = CD \\∠ BDE = ∠ CDF\end{cases}$
∴ $△ BDE ≌ △ CDF$（ASA）。
(2) 解：
∵ $△ BDE ≌ △ CDF$，
∴ $BE = CF = 2$。
∴ $AB = AE + BE = 1 + 2 = 3$。
∵ $AD⊥ BC$，
∴ $∠ ADB = ∠ ADC = 90°$。
在$△ ABD$和$△ ACD$中，
$\begin{cases}BD = CD \\∠ ADB = ∠ ADC \\AD = AD\end{cases}$
∴ $△ ABD ≌ △ ACD$（SAS），
∴ $AC = AB = 3$。
【答案】
(1) 已证△BDE≌△CDF；(2) AC的长为3。
【知识点】
全等三角形的判定与性质、平行线的性质、等腰三角形的性质
【点评】
本题是三角形全等的基础综合题，第一问侧重考查全等判定条件的直接应用，只需结合已知条件推导对应边、角相等即可；第二问需要承接前一问的结论，结合中线和垂线的条件推导边的等量关系，能够较好地检验学生对基础几何知识点的掌握和综合运用能力。
【难度系数】
0.7

1. 如图1，四边形ABCD的对角线AC与BD相交于O点，∠1=∠2，∠3=∠4.下列判断不正确的是（）

A.$BO=DO$
B.$△ ABC ≌ △ ADC$
C.$AB=AD$
D.$△ BCD ≌ △ ABD$

D

【分析】
解题时首先从题干给出的两组角相等的条件入手，结合AC是公共边，可先证明△ABC和△ADC全等，利用全等三角形的性质得到对应边相等，再进一步证明△ABO和△ADO全等，得到BO=DO，最后逐一验证四个选项，找出无法证明全等、结论错误的选项即可。
【解析】
解：①证明△ABC≌△ADC：
在△ABC和△ADC中，
$\{\begin{array}{l}∠ 1=∠ 2\\ AC=AC\mathrm{（公共边）}\\ ∠ 3=∠ 4\end{array} $
∴$△ ABC≌△ ADC（ASA）$，故B选项判断正确，不符合题意；
由全等三角形对应边相等可得：$AB=AD$，$BC=DC$，故C选项判断正确，不符合题意；
②证明△ABO≌△ADO：
在△ABO和△ADO中，
$\{\begin{array}{l}AB=AD\\ ∠ 1=∠ 2\\ AO=AO\mathrm{（公共边）}\end{array} $
∴$△ ABO≌△ ADO（SAS）$
由全等三角形对应边相等可得：$BO=DO$，故A选项判断正确，不符合题意；
③分析D选项：△BCD和△ABD中，仅能得到$AB=AD$，$BC=DC$，$BD=BD$（公共边），没有条件证明$AB=BC$，无法证明两个三角形全等，故D选项判断错误，符合题意。
【答案】
D
【知识点】
1. 全等三角形的判定
2. 全等三角形的性质
【点评】
本题是三角形全等的基础应用题，解题的关键是先利用已知角相等加公共边的组合证明出第一组全等，再以此为基础推导后续结论，做题时要注意题干要求选择“不正确”的选项，避免因审题失误丢分。
【难度系数】
0.7

2. 如图2，AB=CD，AD=BC，AC，BD相交于点O，则图中全等三角形共有()

A.1对
B.2对
C.3对
D.4对

D

【分析】
解题时先从已知的两组对边相等的条件入手，结合全等三角形的判定定理，先找三边对应相等的大三角形：首先利用公共边，结合已知的两组边相等，用SSS判定四边形被对角线分成的两组大三角形全等；再利用全等三角形对应角相等的性质，结合对顶角相等、已知的边相等，判定对角线相交形成的两组小三角形全等，按顺序计数即可得到全等三角形的总对数。
【解析】
1. 判定$△ ABC ≌ △ CDA$：已知$AB=CD$，$BC=AD$，$AC$为公共边即$AC=CA$，根据SSS判定定理，可得$△ ABC ≌ △ CDA$；
2. 判定$△ ABD ≌ △ CDB$：已知$AB=CD$，$AD=BC$，$BD$为公共边即$BD=DB$，根据SSS判定定理，可得$△ ABD ≌ △ CDB$；
3. 判定$△ AOB ≌ △ COD$：由$△ ABC ≌ △ CDA$可得$∠ OAB=∠ OCD$，又$∠ AOB$和$∠ COD$是对顶角，故$∠ AOB=∠ COD$，结合已知$AB=CD$，根据AAS判定定理，可得$△ AOB ≌ △ COD$；
4. 判定$△ AOD ≌ △ COB$：由$△ ABD ≌ △ CDB$可得$∠ OAD=∠ OCB$，又$∠ AOD$和$∠ COB$是对顶角，故$∠ AOD=∠ COB$，结合已知$AD=BC$，根据AAS判定定理，可得$△ AOD ≌ △ COB$。
综上，全等三角形共有4对。
【答案】
D
【知识点】
三角形全等的判定、全等三角形的性质、对顶角的性质
【点评】
本题考查全等三角形的判定与性质的综合应用，解题时按照“先大三角形、后小三角形”的顺序寻找全等对，能有效避免漏数，熟练掌握全等三角形的各个判定定理是解题的关键。
【难度系数】
0.7

3. 如图3,已知点A,D,C,F在同一条直线上,AB=DE,BC=EF,要使△ABC≌△DEF,还需要添加一个条件是()

A.∠BCA=∠F
B.AD=CF
C.BC//EF
D.∠A=∠EDF

B

【分析】
本题考查三角形全等的判定，已知△ABC和△DEF中已有两组边对应相等：AB=DE，BC=EF，要判定两三角形全等，可补充第三组边相等（利用SSS判定），或补充两组已知边的夹角∠B=∠E相等（利用SAS判定），接下来逐一分析选项判断是否符合判定条件即可。
【解析】
已知AB=DE，BC=EF，对各选项逐一分析：
1. 选项A：若∠BCA=∠F，此时满足两边及其中一边的对角对应相等（SSA），SSA不能判定三角形全等，故A不符合要求；
2. 选项B：若AD=CF，因点A、D、C、F在同一直线上，可得AD+DC=CF+DC，即AC=DF。此时在△ABC和△DEF中：
$\{\begin{array}{l}AB=DE\\ BC=EF\\ AC=DF\end{array} $
满足SSS全等判定条件，可证△ABC≌△DEF，故B符合要求；
3. 选项C：若BC//EF，由平行线性质可得∠BCA=∠F，同选项A属于SSA，不能判定全等，故C不符合要求；
4. 选项D：若∠A=∠EDF，同样属于两边及其中一边的对角对应相等（SSA），不能判定三角形全等，故D不符合要求。
综上，答案选B。
【答案】
B
【知识点】
1. 三角形全等的SSS判定
2. 线段和差计算
3. 平行线的性质
【点评】
本题是三角形全等判定的基础题型，解题关键是熟练掌握全等三角形的各类判定定理，尤其要注意SSA不能作为三角形全等的判定依据，是此类题的易错点。
【难度系数】
0.7