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三、解答题
1. 计算：
(1) $\sqrt{49} - \left| \sqrt[3]{-64} \right| + 6 ÷ \sqrt{9}$；
(2) $\sqrt{(-2)^2} + \sqrt[3]{-8} - 2 × \sqrt{16}$；
(3) $\sqrt[3]{-\dfrac{8}{27}} × \sqrt{\dfrac{1}{4}} - \sqrt{(-2)^2}$；
(4) $\sqrt{3} - \sqrt{25} + \left| \sqrt{3} - 3 \right| + \sqrt[3]{1 - \dfrac{63}{64}}$。
1. 计算：
(1) $\sqrt{49} - \left| \sqrt[3]{-64} \right| + 6 ÷ \sqrt{9}$；
(2) $\sqrt{(-2)^2} + \sqrt[3]{-8} - 2 × \sqrt{16}$；
(3) $\sqrt[3]{-\dfrac{8}{27}} × \sqrt{\dfrac{1}{4}} - \sqrt{(-2)^2}$；
(4) $\sqrt{3} - \sqrt{25} + \left| \sqrt{3} - 3 \right| + \sqrt[3]{1 - \dfrac{63}{64}}$。
答案
解：
(1) 原式$=7 - |-4| + 6÷3$
$=7 - 4 + 2$
$=5$
(2) 原式$=2 + (-2) - 2×4$
$=2 - 2 - 8$
$=-8$
(3) 原式$=-\dfrac{2}{3} × \dfrac{1}{2} - 2$
$=-\dfrac{1}{3} - 2$
$=-\dfrac{7}{3}$
(4) 原式$=\sqrt{3} - 5 + 3 - \sqrt{3} + \sqrt[3]{\dfrac{1}{64}}$
$=\sqrt{3} - 5 + 3 - \sqrt{3} + \dfrac{1}{4}$
$=-2 + \dfrac{1}{4}$
$=-\dfrac{7}{4}$
(1) 原式$=7 - |-4| + 6÷3$
$=7 - 4 + 2$
$=5$
(2) 原式$=2 + (-2) - 2×4$
$=2 - 2 - 8$
$=-8$
(3) 原式$=-\dfrac{2}{3} × \dfrac{1}{2} - 2$
$=-\dfrac{1}{3} - 2$
$=-\dfrac{7}{3}$
(4) 原式$=\sqrt{3} - 5 + 3 - \sqrt{3} + \sqrt[3]{\dfrac{1}{64}}$
$=\sqrt{3} - 5 + 3 - \sqrt{3} + \dfrac{1}{4}$
$=-2 + \dfrac{1}{4}$
$=-\dfrac{7}{4}$
解析
【分析】
这是实数混合运算类题目，解题遵循“先算高级运算、后算低级运算”的顺序：第一步先处理所有开方运算（算术平方根、立方根）、化简绝对值：注意算术平方根的结果为非负数，负数的立方根仍为负数；化简绝对值时要先判断绝对值内部式子的正负，正数的绝对值是它本身，负数的绝对值是它的相反数。第二步计算乘除运算，最后计算加减运算，计算过程中要格外注意符号不要出错。
【解析】
(1) 先分别计算各部分：$\sqrt{49}=7$，$\sqrt[3]{-64}=-4$，因此$\left|\sqrt[3]{-64}\right|=4$，$\sqrt{9}=3$，$6÷3=2$
原式$=7 - |-4| + 6÷3$
$=7 - 4 + 2$
$=5$
(2) 先分别计算各部分：$\sqrt{(-2)^2}=\sqrt{4}=2$，$\sqrt[3]{-8}=-2$，$\sqrt{16}=4$，$2×4=8$
原式$=2 + (-2) - 2×4$
$=2 - 2 - 8$
$=-8$
(3) 先分别计算各部分：$\sqrt[3]{-\dfrac{8}{27}}=-\dfrac{2}{3}$，$\sqrt{\dfrac{1}{4}}=\dfrac{1}{2}$，$\sqrt{(-2)^2}=2$
原式$=-\dfrac{2}{3} × \dfrac{1}{2} - 2$
$=-\dfrac{1}{3} - 2$
$=-\dfrac{7}{3}$
(4) 先分别计算各部分：$\sqrt{25}=5$，因为$\sqrt{3}＜3$，所以$\left|\sqrt{3}-3\right|=3-\sqrt{3}$，$\sqrt[3]{1-\dfrac{63}{64}}=\sqrt[3]{\dfrac{1}{64}}=\dfrac{1}{4}$
原式$=\sqrt{3} - 5 + 3 - \sqrt{3} + \sqrt[3]{\dfrac{1}{64}}$
$=\sqrt{3} - 5 + 3 - \sqrt{3} + \dfrac{1}{4}$
$=-2 + \dfrac{1}{4}$
$=-\dfrac{7}{4}$
【答案】
(1) $\boxed{5}$；(2) $\boxed{-8}$；(3) $\boxed{-\dfrac{7}{3}}$；(4) $\boxed{-\dfrac{7}{4}}$
【知识点】
实数混合运算，平方根与立方根计算，绝对值化简
【点评】
本题是实数运算的基础题，重点考查对算术平方根、立方根性质，绝对值化简规则的掌握程度，只要严格遵循运算顺序计算，注意符号细节即可顺利得分。
【难度系数】
0.8
这是实数混合运算类题目，解题遵循“先算高级运算、后算低级运算”的顺序：第一步先处理所有开方运算（算术平方根、立方根）、化简绝对值：注意算术平方根的结果为非负数，负数的立方根仍为负数；化简绝对值时要先判断绝对值内部式子的正负，正数的绝对值是它本身，负数的绝对值是它的相反数。第二步计算乘除运算，最后计算加减运算，计算过程中要格外注意符号不要出错。
【解析】
(1) 先分别计算各部分：$\sqrt{49}=7$，$\sqrt[3]{-64}=-4$，因此$\left|\sqrt[3]{-64}\right|=4$，$\sqrt{9}=3$，$6÷3=2$
原式$=7 - |-4| + 6÷3$
$=7 - 4 + 2$
$=5$
(2) 先分别计算各部分：$\sqrt{(-2)^2}=\sqrt{4}=2$，$\sqrt[3]{-8}=-2$，$\sqrt{16}=4$，$2×4=8$
原式$=2 + (-2) - 2×4$
$=2 - 2 - 8$
$=-8$
(3) 先分别计算各部分：$\sqrt[3]{-\dfrac{8}{27}}=-\dfrac{2}{3}$，$\sqrt{\dfrac{1}{4}}=\dfrac{1}{2}$，$\sqrt{(-2)^2}=2$
原式$=-\dfrac{2}{3} × \dfrac{1}{2} - 2$
$=-\dfrac{1}{3} - 2$
$=-\dfrac{7}{3}$
(4) 先分别计算各部分：$\sqrt{25}=5$，因为$\sqrt{3}＜3$，所以$\left|\sqrt{3}-3\right|=3-\sqrt{3}$，$\sqrt[3]{1-\dfrac{63}{64}}=\sqrt[3]{\dfrac{1}{64}}=\dfrac{1}{4}$
原式$=\sqrt{3} - 5 + 3 - \sqrt{3} + \sqrt[3]{\dfrac{1}{64}}$
$=\sqrt{3} - 5 + 3 - \sqrt{3} + \dfrac{1}{4}$
$=-2 + \dfrac{1}{4}$
$=-\dfrac{7}{4}$
【答案】
(1) $\boxed{5}$；(2) $\boxed{-8}$；(3) $\boxed{-\dfrac{7}{3}}$；(4) $\boxed{-\dfrac{7}{4}}$
【知识点】
实数混合运算，平方根与立方根计算，绝对值化简
【点评】
本题是实数运算的基础题，重点考查对算术平方根、立方根性质，绝对值化简规则的掌握程度，只要严格遵循运算顺序计算，注意符号细节即可顺利得分。
【难度系数】
0.8
2. 全球气候变暖导致一些冰川融化并消失. 在冰川消失12年后,一种低等植物苔藓就开始在岩石上生长.每一个苔藓都会长成近似圆形,苔藓的直径和冰川消失后经过的时间近似地满足如下的关系式:$d=7×\sqrt{t-12}(t≥12)$. 其中$d$代表苔藓的直径(单位:厘米),$t$代表冰川消失后经过的时间(单位:年).
(1)计算冰川消失16年后苔藓的直径;
(2)如果测得一些苔藓的直径是28厘米,问冰川约是在多少年前消失的?
(1)计算冰川消失16年后苔藓的直径;
(2)如果测得一些苔藓的直径是28厘米,问冰川约是在多少年前消失的?
答案
解：
(1) 当$t=16$时，代入关系式$d=7×\sqrt{t-12}$：
$d=7×\sqrt{16-12}=7×\sqrt{4}=7×2=14$
答：冰川消失16年后苔藓的直径为14厘米。
(2) 当$d=28$时，代入关系式$d=7×\sqrt{t-12}$：
$28=7×\sqrt{t-12}$
两边同时除以7，得$\sqrt{t-12}=4$
两边平方，得$t-12=16$
解得$t=28$
答：冰川约是在28年前消失的。
(1) 当$t=16$时，代入关系式$d=7×\sqrt{t-12}$：
$d=7×\sqrt{16-12}=7×\sqrt{4}=7×2=14$
答：冰川消失16年后苔藓的直径为14厘米。
(2) 当$d=28$时，代入关系式$d=7×\sqrt{t-12}$：
$28=7×\sqrt{t-12}$
两边同时除以7，得$\sqrt{t-12}=4$
两边平方，得$t-12=16$
解得$t=28$
答：冰川约是在28年前消失的。
解析
【分析】
这是一道结合实际情境的代数式应用问题，解题思路清晰：(1)第一问已知冰川消失后经过的时间t，求苔藓直径d，属于已知自变量求对应函数值的问题，先确认t满足t≥12的取值要求，再直接代入关系式，按算术平方根的运算规则计算即可；(2)第二问已知苔藓直径d，求冰川消失的时间t，属于已知函数值求自变量的问题，代入d的取值后，先将含根号的项单独放在等式一侧，通过两边同时平方去掉根号，转化为一元一次方程求解，最后验证结果符合t≥12的要求即可。
【解析】
(1) 当$t=16$时，满足$t≥12$的条件，将$t=16$代入关系式$d=7×\sqrt{t-12}$：
$d=7×\sqrt{16-12}=7×\sqrt{4}=7×2=14$（厘米）
(2) 当$d=28$厘米时，代入关系式$d=7×\sqrt{t-12}$：
$28=7×\sqrt{t-12}$
两边同时除以7，得$\sqrt{t-12}=4$
两边同时平方，得$t-12=16$
移项解得$t=28$，满足$t≥12$的条件，符合题意。
【答案】
(1) 冰川消失16年后苔藓的直径为14厘米；
(2) 冰川约是在28年前消失的。
【知识点】
代数式求值、算术平方根运算、解方程
【点评】
本题结合生态实际情境命题，考查代数式的应用能力和实数相关运算能力，解题核心是明确两个变量的对应关系，求解带根号的方程时注意两边平方的适用条件，侧重基础运算能力的考查。
【难度系数】
0.8
这是一道结合实际情境的代数式应用问题，解题思路清晰：(1)第一问已知冰川消失后经过的时间t，求苔藓直径d，属于已知自变量求对应函数值的问题，先确认t满足t≥12的取值要求，再直接代入关系式，按算术平方根的运算规则计算即可；(2)第二问已知苔藓直径d，求冰川消失的时间t，属于已知函数值求自变量的问题，代入d的取值后，先将含根号的项单独放在等式一侧，通过两边同时平方去掉根号，转化为一元一次方程求解，最后验证结果符合t≥12的要求即可。
【解析】
(1) 当$t=16$时，满足$t≥12$的条件，将$t=16$代入关系式$d=7×\sqrt{t-12}$：
$d=7×\sqrt{16-12}=7×\sqrt{4}=7×2=14$（厘米）
(2) 当$d=28$厘米时，代入关系式$d=7×\sqrt{t-12}$：
$28=7×\sqrt{t-12}$
两边同时除以7，得$\sqrt{t-12}=4$
两边同时平方，得$t-12=16$
移项解得$t=28$，满足$t≥12$的条件，符合题意。
【答案】
(1) 冰川消失16年后苔藓的直径为14厘米；
(2) 冰川约是在28年前消失的。
【知识点】
代数式求值、算术平方根运算、解方程
【点评】
本题结合生态实际情境命题，考查代数式的应用能力和实数相关运算能力，解题核心是明确两个变量的对应关系，求解带根号的方程时注意两边平方的适用条件，侧重基础运算能力的考查。
【难度系数】
0.8
