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1. |3.14−π|的值是()
A.0
B.3.14−π
C.π−3.14
D.0.0012
A.0
B.3.14−π
C.π−3.14
D.0.0012
答案
C
解析
【分析】
要计算绝对值的结果，首先要明确绝对值的性质：正数的绝对值是它本身，负数的绝对值是它的相反数，0的绝对值是0。解题时首先判断绝对值内式子3.14−π的正负性，我们知道π是无限不循环小数，数值约为3.1415926…，比3.14大，因此3.14−π是负数，再根据负数的绝对值等于它的相反数即可求出最终结果。
【解析】
第一步：比较3.14和π的大小
∵π≈3.1415926…，
∴π＞3.14，可得3.14−π＜0。
第二步：根据绝对值的性质化简
负数的绝对值是它的相反数，因此|3.14−π|=−(3.14−π)=π−3.14。
【答案】
C
【知识点】
绝对值的化简；实数的大小比较
【点评】
本题属于基础题型，解题核心是先判断绝对值内部代数式的正负，再结合绝对值的性质完成化简，是绝对值运算的典型常规题。
【难度系数】
0.9
要计算绝对值的结果，首先要明确绝对值的性质：正数的绝对值是它本身，负数的绝对值是它的相反数，0的绝对值是0。解题时首先判断绝对值内式子3.14−π的正负性，我们知道π是无限不循环小数，数值约为3.1415926…，比3.14大，因此3.14−π是负数，再根据负数的绝对值等于它的相反数即可求出最终结果。
【解析】
第一步：比较3.14和π的大小
∵π≈3.1415926…，
∴π＞3.14，可得3.14−π＜0。
第二步：根据绝对值的性质化简
负数的绝对值是它的相反数，因此|3.14−π|=−(3.14−π)=π−3.14。
【答案】
C
【知识点】
绝对值的化简；实数的大小比较
【点评】
本题属于基础题型，解题核心是先判断绝对值内部代数式的正负，再结合绝对值的性质完成化简，是绝对值运算的典型常规题。
【难度系数】
0.9
2. 如图1,数轴上的点P表示的数可能是()
A.$\sqrt{7}$
B.$-\sqrt{7}$
C.$-3.2$
D.$-\sqrt{10}$
A.$\sqrt{7}$
B.$-\sqrt{7}$
C.$-3.2$
D.$-\sqrt{10}$
答案
B
解析
【分析】
解题时首先观察数轴确定点P的取值范围：点P在-3和-2之间，即$-3 ＜ P ＜ -2$。接下来只需逐一分析每个选项对应数值的范围，判断哪个落在上述区间即可：①先排除正数选项；②对含根号的无理数，通过比较被开方数与相邻平方数的大小，估算无理数的取值范围，再判断其负数形式的范围；③直接判断有理数的大小是否符合区间要求。
【解析】
解：由数轴可知，点P表示的数满足$\boldsymbol{-3 ＜ P ＜ -2}$，逐一分析选项：
A. $\sqrt{7}＞0$，是正数，不在负数区间$-3∼-2$内，排除；
B. $\because 4＜7＜9$，$\therefore \sqrt{4}＜\sqrt{7}＜\sqrt{9}$，即$2＜\sqrt{7}＜3$，
不等式两边同乘$-1$，不等号方向改变，得$-3＜-\sqrt{7}＜-2$，符合P的取值范围；
C. $-3.2＜-3$，在$-3$的左侧，不符合要求，排除；
D. $\because 10＞9$，$\therefore \sqrt{10}＞\sqrt{9}=3$，$\therefore -\sqrt{10}＜-3$，在$-3$的左侧，不符合要求，排除。
综上，选B。
【答案】
B
【知识点】
数轴的应用，无理数的估算，实数大小比较
【点评】
本题考查数轴与实数的对应关系，核心是掌握无理数的估算方法，通过平方法确定无理数介于哪两个相邻整数之间即可快速判断选项，解题时注意负数比较大小的规则，不要弄反不等号方向。
【难度系数】
0.8
解题时首先观察数轴确定点P的取值范围：点P在-3和-2之间，即$-3 ＜ P ＜ -2$。接下来只需逐一分析每个选项对应数值的范围，判断哪个落在上述区间即可：①先排除正数选项；②对含根号的无理数，通过比较被开方数与相邻平方数的大小，估算无理数的取值范围，再判断其负数形式的范围；③直接判断有理数的大小是否符合区间要求。
【解析】
解：由数轴可知，点P表示的数满足$\boldsymbol{-3 ＜ P ＜ -2}$，逐一分析选项：
A. $\sqrt{7}＞0$，是正数，不在负数区间$-3∼-2$内，排除；
B. $\because 4＜7＜9$，$\therefore \sqrt{4}＜\sqrt{7}＜\sqrt{9}$，即$2＜\sqrt{7}＜3$，
不等式两边同乘$-1$，不等号方向改变，得$-3＜-\sqrt{7}＜-2$，符合P的取值范围；
C. $-3.2＜-3$，在$-3$的左侧，不符合要求，排除；
D. $\because 10＞9$，$\therefore \sqrt{10}＞\sqrt{9}=3$，$\therefore -\sqrt{10}＜-3$，在$-3$的左侧，不符合要求，排除。
综上，选B。
【答案】
B
【知识点】
数轴的应用，无理数的估算，实数大小比较
【点评】
本题考查数轴与实数的对应关系，核心是掌握无理数的估算方法，通过平方法确定无理数介于哪两个相邻整数之间即可快速判断选项，解题时注意负数比较大小的规则，不要弄反不等号方向。
【难度系数】
0.8
3. 如图2,数轴上表示0,1,$\sqrt{3}$的点分别为A,B,C,点B到点C的距离与点B到点D的距离相等,则点D所表示的数为()
A.$\sqrt{3}-1$
B.$\sqrt{2}-1$
C.$2-\sqrt{3}$
D.$2+\sqrt{3}$
A.$\sqrt{3}-1$
B.$\sqrt{2}-1$
C.$2-\sqrt{3}$
D.$2+\sqrt{3}$
答案
C
解析
【分析】
要确定点D表示的数，首先根据数轴上两点间距离的计算方法，先求出B、C两点的距离；再根据“点B到点C的距离与点B到点D的距离相等”，且D在B的左侧，用点B对应的数减去两点距离，即可得到点D对应的数。
【解析】
第一步：计算B、C两点的距离
已知点B对应数1，点C对应数$\sqrt{3}$，数轴上右侧点对应的数大于左侧点，因此：
$BC=\sqrt{3}-1$
第二步：根据距离相等求点D对应的数
由题意得$BD=BC=\sqrt{3}-1$，设点D表示的数为$x$，观察数轴可知D在B左侧，即$x＜1$，因此：
$1-x=\sqrt{3}-1$
解得：$x=1-(\sqrt{3}-1)=2-\sqrt{3}$
【答案】
C
【知识点】
数轴上两点的距离、实数的加减运算
【点评】
本题结合数轴考查实数的应用，核心是掌握数轴上两点距离的计算规则，再根据距离相等的条件列关系式求解，解题思路清晰，属于基础应用型题目。
【难度系数】
0.85
要确定点D表示的数，首先根据数轴上两点间距离的计算方法，先求出B、C两点的距离；再根据“点B到点C的距离与点B到点D的距离相等”，且D在B的左侧，用点B对应的数减去两点距离，即可得到点D对应的数。
【解析】
第一步：计算B、C两点的距离
已知点B对应数1，点C对应数$\sqrt{3}$，数轴上右侧点对应的数大于左侧点，因此：
$BC=\sqrt{3}-1$
第二步：根据距离相等求点D对应的数
由题意得$BD=BC=\sqrt{3}-1$，设点D表示的数为$x$，观察数轴可知D在B左侧，即$x＜1$，因此：
$1-x=\sqrt{3}-1$
解得：$x=1-(\sqrt{3}-1)=2-\sqrt{3}$
【答案】
C
【知识点】
数轴上两点的距离、实数的加减运算
【点评】
本题结合数轴考查实数的应用，核心是掌握数轴上两点距离的计算规则，再根据距离相等的条件列关系式求解，解题思路清晰，属于基础应用型题目。
【难度系数】
0.85
4*. 若$a＜0$,则化简$\sqrt[3]{(a-1)^3}+\sqrt{a^2}$的结果为()
A.$1-2a$
B.$-1$
C.$2a-1$
D.$1$
A.$1-2a$
B.$-1$
C.$2a-1$
D.$1$
答案
B
解析
【分析】
本题是根式化简类题目，解题思路可分三步：第一步回忆根式相关性质，立方根满足$\sqrt[3]{x^3}=x$（对任意实数$x$都成立），二次根式满足$\sqrt{x^2}=|x|$；第二步利用已知条件$a＜0$化简绝对值；第三步合并化简后的式子得到结果。
【解析】
根据根式的性质分别化简两部分：
1. 化简$\sqrt[3]{(a-1)^3}$：由立方根的性质$\sqrt[3]{x^3}=x$，可得$\sqrt[3]{(a-1)^3}=a-1$；
2. 化简$\sqrt{a^2}$：由二次根式的性质$\sqrt{x^2}=|x|$，已知$a＜0$，因此$|a|=-a$，即$\sqrt{a^2}=-a$；
将两部分相加得：原式$=(a-1)+(-a)=a-1-a=-1$。
【答案】
B
【知识点】
立方根的性质，二次根式的性质，绝对值化简
【点评】
本题重点考查实数范围内根式的化简运算，易错点是二次根式化简时忽略被开方数的正负，错误直接将$\sqrt{a^2}$化简为$a$，熟练掌握根式的基本性质、正确去绝对值即可快速求解。
【难度系数】
0.7
本题是根式化简类题目，解题思路可分三步：第一步回忆根式相关性质，立方根满足$\sqrt[3]{x^3}=x$（对任意实数$x$都成立），二次根式满足$\sqrt{x^2}=|x|$；第二步利用已知条件$a＜0$化简绝对值；第三步合并化简后的式子得到结果。
【解析】
根据根式的性质分别化简两部分：
1. 化简$\sqrt[3]{(a-1)^3}$：由立方根的性质$\sqrt[3]{x^3}=x$，可得$\sqrt[3]{(a-1)^3}=a-1$；
2. 化简$\sqrt{a^2}$：由二次根式的性质$\sqrt{x^2}=|x|$，已知$a＜0$，因此$|a|=-a$，即$\sqrt{a^2}=-a$；
将两部分相加得：原式$=(a-1)+(-a)=a-1-a=-1$。
【答案】
B
【知识点】
立方根的性质，二次根式的性质，绝对值化简
【点评】
本题重点考查实数范围内根式的化简运算，易错点是二次根式化简时忽略被开方数的正负，错误直接将$\sqrt{a^2}$化简为$a$，熟练掌握根式的基本性质、正确去绝对值即可快速求解。
【难度系数】
0.7
二、填空题
1. $\sqrt{2}$的相反数是，$-\sqrt{2}$的绝对值是。
1. $\sqrt{2}$的相反数是，$-\sqrt{2}$的绝对值是。
答案
解：根据相反数的定义，只有符号不同的两个数互为相反数，可得$\sqrt{2}$的相反数是$-\sqrt{2}$；
根据绝对值的性质，负数的绝对值是它的相反数，由$-\sqrt{2}＜0$，可得$-\sqrt{2}$的绝对值是$\sqrt{2}$。
答案依次为：$\boldsymbol{-\sqrt{2}}$；$\boldsymbol{\sqrt{2}}$。
根据绝对值的性质，负数的绝对值是它的相反数，由$-\sqrt{2}＜0$，可得$-\sqrt{2}$的绝对值是$\sqrt{2}$。
答案依次为：$\boldsymbol{-\sqrt{2}}$；$\boldsymbol{\sqrt{2}}$。
解析
【分析】
本题考查实数的基本概念应用，解题思路如下：1. 求一个数的相反数，依据相反数的定义，只需在原数前添加负号即可，据此求解第一个空；2. 求一个数的绝对值，先判断这个数的正负性，再根据绝对值的性质：负数的绝对值是它的相反数，正数的绝对值是本身，0的绝对值是0，据此求解第二个空。
【解析】
根据相反数的定义，只有符号不同的两个数互为相反数，可得$\sqrt{2}$的相反数是$-\sqrt{2}$；
根据绝对值的性质，负数的绝对值是它的相反数，由于$-\sqrt{2}＜0$，可得$-\sqrt{2}$的绝对值是$\sqrt{2}$。
【答案】
$-\sqrt{2}$；$\sqrt{2}$
【知识点】
相反数的定义；绝对值的性质
【点评】
本题属于基础概念题，难度较低，主要考察对相反数、绝对值相关概念和性质的掌握情况，熟练记忆基础概念即可快速得分。
【难度系数】
0.9
本题考查实数的基本概念应用，解题思路如下：1. 求一个数的相反数，依据相反数的定义，只需在原数前添加负号即可，据此求解第一个空；2. 求一个数的绝对值，先判断这个数的正负性，再根据绝对值的性质：负数的绝对值是它的相反数，正数的绝对值是本身，0的绝对值是0，据此求解第二个空。
【解析】
根据相反数的定义，只有符号不同的两个数互为相反数，可得$\sqrt{2}$的相反数是$-\sqrt{2}$；
根据绝对值的性质，负数的绝对值是它的相反数，由于$-\sqrt{2}＜0$，可得$-\sqrt{2}$的绝对值是$\sqrt{2}$。
【答案】
$-\sqrt{2}$；$\sqrt{2}$
【知识点】
相反数的定义；绝对值的性质
【点评】
本题属于基础概念题，难度较低，主要考察对相反数、绝对值相关概念和性质的掌握情况，熟练记忆基础概念即可快速得分。
【难度系数】
0.9
2. 大于$-\sqrt{3}$且小于$\sqrt{3}$的所有整数是.
答案
解：
∵ $1 ＜ 3 ＜ 4$，
∴ $1 ＜ \sqrt{3} ＜ 2$，
∴ $-2 ＜ -\sqrt{3} ＜ -1$，
∴ 大于$-\sqrt{3}$且小于$\sqrt{3}$的所有整数是$-1,0,1$。
∵ $1 ＜ 3 ＜ 4$，
∴ $1 ＜ \sqrt{3} ＜ 2$，
∴ $-2 ＜ -\sqrt{3} ＜ -1$，
∴ 大于$-\sqrt{3}$且小于$\sqrt{3}$的所有整数是$-1,0,1$。
解析
【分析】
要找出大于$-\sqrt{3}$且小于$\sqrt{3}$的所有整数，首先需要估算$\sqrt{3}$的取值范围，进而得到$-\sqrt{3}$的取值范围，再在这个范围内筛选整数即可。第一步先找与3相邻的两个完全平方数，确定$\sqrt{3}$在哪两个相邻整数之间，再根据不等式的性质得到$-\sqrt{3}$的范围，最后列举符合条件的整数。
【解析】
∵ $1 ＜ 3 ＜ 4$，
对不等式各项同时开算术平方根可得：$1 ＜ \sqrt{3} ＜ 2$，
不等式各项同时乘$-1$，不等号方向改变，可得：$-2 ＜ -\sqrt{3} ＜ -1$，
结合上述两个范围，可知大于$-\sqrt{3}$且小于$\sqrt{3}$的整数有$-1,0,1$。
【答案】
$-1,0,1$
【知识点】
无理数大小估算、实数大小比较
【点评】
本题属于基础题型，解题的核心是先通过夹逼法估算出无理数的取值范围，再筛选符合要求的整数，有助于巩固对实数大小的认知。
【难度系数】
0.9
要找出大于$-\sqrt{3}$且小于$\sqrt{3}$的所有整数，首先需要估算$\sqrt{3}$的取值范围，进而得到$-\sqrt{3}$的取值范围，再在这个范围内筛选整数即可。第一步先找与3相邻的两个完全平方数，确定$\sqrt{3}$在哪两个相邻整数之间，再根据不等式的性质得到$-\sqrt{3}$的范围，最后列举符合条件的整数。
【解析】
∵ $1 ＜ 3 ＜ 4$，
对不等式各项同时开算术平方根可得：$1 ＜ \sqrt{3} ＜ 2$，
不等式各项同时乘$-1$，不等号方向改变，可得：$-2 ＜ -\sqrt{3} ＜ -1$，
结合上述两个范围，可知大于$-\sqrt{3}$且小于$\sqrt{3}$的整数有$-1,0,1$。
【答案】
$-1,0,1$
【知识点】
无理数大小估算、实数大小比较
【点评】
本题属于基础题型，解题的核心是先通过夹逼法估算出无理数的取值范围，再筛选符合要求的整数，有助于巩固对实数大小的认知。
【难度系数】
0.9
3. 设$m,n$是有理数,且满足等式$m^2 + 3n + \sqrt{3}n = 21 -5\sqrt{3}$,则$m+n=$.
答案
解：
将等式整理为：$(m^2 + 3n) + n\sqrt{3} = 21 -5\sqrt{3}$
因为$m,n$是有理数，$\sqrt{3}$是无理数，因此等式两边的有理数部分、无理数部分的系数分别对应相等，可得：
$\begin{cases}n = -5 \\m^2 + 3n = 21\end{cases}$
把$n=-5$代入$m^2 + 3n = 21$，得：
$m^2 + 3×(-5) = 21$
$m^2 = 36$
解得$m=6$或$m=-6$。
当$m=6$，$n=-5$时，$m+n=6-5=1$；
当$m=-6$，$n=-5$时，$m+n=-6-5=-11$。
所以$m+n=1$或$-11$。
将等式整理为：$(m^2 + 3n) + n\sqrt{3} = 21 -5\sqrt{3}$
因为$m,n$是有理数，$\sqrt{3}$是无理数，因此等式两边的有理数部分、无理数部分的系数分别对应相等，可得：
$\begin{cases}n = -5 \\m^2 + 3n = 21\end{cases}$
把$n=-5$代入$m^2 + 3n = 21$，得：
$m^2 + 3×(-5) = 21$
$m^2 = 36$
解得$m=6$或$m=-6$。
当$m=6$，$n=-5$时，$m+n=6-5=1$；
当$m=-6$，$n=-5$时，$m+n=-6-5=-11$。
所以$m+n=1$或$-11$。
解析
【分析】
首先观察等式特征，等式左右两边均由有理数部分和带无理数$\sqrt{3}$的部分组成，已知$m,n$是有理数，$\sqrt{3}$是无理数。根据实数运算性质：有理数的和差仍为有理数，无理数与非零有理数的乘积仍为无理数，因此等式两边的有理数部分必须相等，无理数部分的系数也必须对应相等，据此可列方程组求解$n$和$m$的值，最后代入计算$m+n$即可，注意求解$m$时不要漏掉负根。
【解析】
将等式整理为：$(m^2 + 3n) + n\sqrt{3} = 21 -5\sqrt{3}$
因为$m,n$是有理数，$\sqrt{3}$是无理数，因此等式两边的有理数部分、无理数部分的系数分别对应相等，可得：
$\begin{cases}n = -5 \\m^2 + 3n = 21\end{cases}$
把$n=-5$代入$m^2 + 3n = 21$，得：
$m^2 + 3×(-5) = 21$
计算得$m^2 = 36$，解得$m=6$或$m=-6$。
当$m=6$，$n=-5$时，$m+n=6-5=1$；
当$m=-6$，$n=-5$时，$m+n=-6-5=-11$。
【答案】
$1$或$-11$
【知识点】
1. 有理数与无理数的性质
2. 二元方程组求解
3. 平方根的运算
【点评】
本题解题的核心是利用“等式两边有理数部分、无理数部分系数分别相等”的结论列方程组，求解时要注意正数的平方根有两个，不要漏解导致结果不全。
【难度系数】
0.7
首先观察等式特征，等式左右两边均由有理数部分和带无理数$\sqrt{3}$的部分组成，已知$m,n$是有理数，$\sqrt{3}$是无理数。根据实数运算性质：有理数的和差仍为有理数，无理数与非零有理数的乘积仍为无理数，因此等式两边的有理数部分必须相等，无理数部分的系数也必须对应相等，据此可列方程组求解$n$和$m$的值，最后代入计算$m+n$即可，注意求解$m$时不要漏掉负根。
【解析】
将等式整理为：$(m^2 + 3n) + n\sqrt{3} = 21 -5\sqrt{3}$
因为$m,n$是有理数，$\sqrt{3}$是无理数，因此等式两边的有理数部分、无理数部分的系数分别对应相等，可得：
$\begin{cases}n = -5 \\m^2 + 3n = 21\end{cases}$
把$n=-5$代入$m^2 + 3n = 21$，得：
$m^2 + 3×(-5) = 21$
计算得$m^2 = 36$，解得$m=6$或$m=-6$。
当$m=6$，$n=-5$时，$m+n=6-5=1$；
当$m=-6$，$n=-5$时，$m+n=-6-5=-11$。
【答案】
$1$或$-11$
【知识点】
1. 有理数与无理数的性质
2. 二元方程组求解
3. 平方根的运算
【点评】
本题解题的核心是利用“等式两边有理数部分、无理数部分系数分别相等”的结论列方程组，求解时要注意正数的平方根有两个，不要漏解导致结果不全。
【难度系数】
0.7
4. 比较大小：$\sqrt{15}$ $3.85$；$\frac{1}{2}\sqrt{72}$ $2\sqrt{3}$；$-5\sqrt{6}$ $-6\sqrt{5}$，$\frac{\sqrt{5}-2}{2}$ $\frac{1}{2}$。
（填“＞”“ ≥”或“＜”“≤”）。
（填“＞”“ ≥”或“＜”“≤”）。
答案
解：
1. 比较$\sqrt{15}$和$3.85$：
因为$(\sqrt{15})^2=15$，$3.85^2=14.8225$，$15＞14.8225$，
所以$\sqrt{15} ＞ 3.85$；
2. 比较$\frac{1}{2}\sqrt{72}$和$2\sqrt{3}$：
因为$\frac{1}{2}\sqrt{72}=\sqrt{\frac{72}{4}}=\sqrt{18}$，$2\sqrt{3}=\sqrt{4×3}=\sqrt{12}$，$\sqrt{18}＞\sqrt{12}$，
所以$\frac{1}{2}\sqrt{72} ＞ 2\sqrt{3}$；
3. 比较$-5\sqrt{6}$和$-6\sqrt{5}$：
因为$5\sqrt{6}=\sqrt{25×6}=\sqrt{150}$，$6\sqrt{5}=\sqrt{36×5}=\sqrt{180}$，$\sqrt{150}＜\sqrt{180}$，
即$|-5\sqrt{6}|＜|-6\sqrt{5}|$，两个负数比较大小，绝对值小的数更大，
所以$-5\sqrt{6} ＞ -6\sqrt{5}$；
4. 比较$\frac{\sqrt{5}-2}{2}$和$\frac{1}{2}$：
因为$\sqrt{5}＜3$，所以$\sqrt{5}-2＜1$，
所以$\frac{\sqrt{5}-2}{2} ＜ \frac{1}{2}$。
答案依次为：$＞$；$＞$；$＞$；$＜$。
1. 比较$\sqrt{15}$和$3.85$：
因为$(\sqrt{15})^2=15$，$3.85^2=14.8225$，$15＞14.8225$，
所以$\sqrt{15} ＞ 3.85$；
2. 比较$\frac{1}{2}\sqrt{72}$和$2\sqrt{3}$：
因为$\frac{1}{2}\sqrt{72}=\sqrt{\frac{72}{4}}=\sqrt{18}$，$2\sqrt{3}=\sqrt{4×3}=\sqrt{12}$，$\sqrt{18}＞\sqrt{12}$，
所以$\frac{1}{2}\sqrt{72} ＞ 2\sqrt{3}$；
3. 比较$-5\sqrt{6}$和$-6\sqrt{5}$：
因为$5\sqrt{6}=\sqrt{25×6}=\sqrt{150}$，$6\sqrt{5}=\sqrt{36×5}=\sqrt{180}$，$\sqrt{150}＜\sqrt{180}$，
即$|-5\sqrt{6}|＜|-6\sqrt{5}|$，两个负数比较大小，绝对值小的数更大，
所以$-5\sqrt{6} ＞ -6\sqrt{5}$；
4. 比较$\frac{\sqrt{5}-2}{2}$和$\frac{1}{2}$：
因为$\sqrt{5}＜3$，所以$\sqrt{5}-2＜1$，
所以$\frac{\sqrt{5}-2}{2} ＜ \frac{1}{2}$。
答案依次为：$＞$；$＞$；$＞$；$＜$。
解析
【分析】
比较实数大小需根据数的特征选择合适的方法：①比较带根号的正数大小，可通过平方比较结果，或把根号外的非负系数移入根号内，比较被开方数的大小，平方（被开方数）大的原数更大；②比较负数大小时，先比较绝对值，绝对值大的原数反而小；③比较同分母分数的大小，直接比较分子即可。解题时按每一组数的形式对应选择方法即可。
【解析】
1. 比较$\sqrt{15}$和$3.85$：
因为$(\sqrt{15})^2=15$，$3.85^2=14.8225$，$15＞14.8225$，
所以$\sqrt{15} ＞ 3.85$；
2. 比较$\frac{1}{2}\sqrt{72}$和$2\sqrt{3}$：
因为$\frac{1}{2}\sqrt{72}=\sqrt{\frac{72}{4}}=\sqrt{18}$，$2\sqrt{3}=\sqrt{4×3}=\sqrt{12}$，$\sqrt{18}＞\sqrt{12}$，
所以$\frac{1}{2}\sqrt{72} ＞ 2\sqrt{3}$；
3. 比较$-5\sqrt{6}$和$-6\sqrt{5}$：
因为$5\sqrt{6}=\sqrt{25×6}=\sqrt{150}$，$6\sqrt{5}=\sqrt{36×5}=\sqrt{180}$，$\sqrt{150}＜\sqrt{180}$，
即$|-5\sqrt{6}|＜|-6\sqrt{5}|$，两个负数比较大小，绝对值小的数更大，
所以$-5\sqrt{6} ＞ -6\sqrt{5}$；
4. 比较$\frac{\sqrt{5}-2}{2}$和$\frac{1}{2}$：
因为$2＜\sqrt{5}＜3$，所以$\sqrt{5}-2＜1$，
所以$\frac{\sqrt{5}-2}{2} ＜ \frac{1}{2}$。
【答案】
$＞$；$＞$；$＞$；$＜$
【知识点】
实数大小比较；二次根式化简；负数比较规则
【点评】
本题是实数比较大小的基础题，考查不同形式实数的比较方法，需要熟练掌握二次根式的变形技巧，注意负数比较大小时不要搞反大小关系。
【难度系数】
0.7
比较实数大小需根据数的特征选择合适的方法：①比较带根号的正数大小，可通过平方比较结果，或把根号外的非负系数移入根号内，比较被开方数的大小，平方（被开方数）大的原数更大；②比较负数大小时，先比较绝对值，绝对值大的原数反而小；③比较同分母分数的大小，直接比较分子即可。解题时按每一组数的形式对应选择方法即可。
【解析】
1. 比较$\sqrt{15}$和$3.85$：
因为$(\sqrt{15})^2=15$，$3.85^2=14.8225$，$15＞14.8225$，
所以$\sqrt{15} ＞ 3.85$；
2. 比较$\frac{1}{2}\sqrt{72}$和$2\sqrt{3}$：
因为$\frac{1}{2}\sqrt{72}=\sqrt{\frac{72}{4}}=\sqrt{18}$，$2\sqrt{3}=\sqrt{4×3}=\sqrt{12}$，$\sqrt{18}＞\sqrt{12}$，
所以$\frac{1}{2}\sqrt{72} ＞ 2\sqrt{3}$；
3. 比较$-5\sqrt{6}$和$-6\sqrt{5}$：
因为$5\sqrt{6}=\sqrt{25×6}=\sqrt{150}$，$6\sqrt{5}=\sqrt{36×5}=\sqrt{180}$，$\sqrt{150}＜\sqrt{180}$，
即$|-5\sqrt{6}|＜|-6\sqrt{5}|$，两个负数比较大小，绝对值小的数更大，
所以$-5\sqrt{6} ＞ -6\sqrt{5}$；
4. 比较$\frac{\sqrt{5}-2}{2}$和$\frac{1}{2}$：
因为$2＜\sqrt{5}＜3$，所以$\sqrt{5}-2＜1$，
所以$\frac{\sqrt{5}-2}{2} ＜ \frac{1}{2}$。
【答案】
$＞$；$＞$；$＞$；$＜$
【知识点】
实数大小比较；二次根式化简；负数比较规则
【点评】
本题是实数比较大小的基础题，考查不同形式实数的比较方法，需要熟练掌握二次根式的变形技巧，注意负数比较大小时不要搞反大小关系。
【难度系数】
0.7
5*. 如图3,在数轴上,我们可以用画半圆的方式,依次得到一些新的点. 从原点O开始,作一个边长为1的正方形,连接正方形对角两个顶点得到的线段的长度为$\sqrt{2}$,以数轴原点为圆心,$\sqrt{2}$长度为半径画半圆,交数轴右边于点$A_1$,如此就能把$\sqrt{2}$表示在数轴上点$A_1$处,记$A_1$右侧最近的整数点为$B_1$,以点$B_1$为圆心,$A_1B_1$为半径画半圆,交数轴于点$A_2$,记$A_2$右侧最近的整数点为$B_2$,以点$B_2$为圆心,$A_2B_2$为半径画半圆,交数轴于点$A_3$,如此继续,则$A_{2026}B_{2026}$的长为.
答案
$\boldsymbol{\sqrt{2}-1}$
解析
【分析】
解题时先从已知条件出发，先确定前几个点$A_n$、$B_n$对应的数，依次计算$A_1B_1$、$A_2B_2$、$A_3B_3$的长度，从中总结长度的变化规律，最后根据2026的奇偶性就能求出$A_{2026}B_{2026}$的长度。
【解析】
1. 求$A_1B_1$的长度：
由题意可知点$A_1$对应的数为$\sqrt{2}\approx1.414$，$A_1$右侧最近的整数点$B_1$对应的数是2，因此$A_1B_1=2-\sqrt{2}$。
2. 求$A_2B_2$的长度：
以$B_1$为圆心，$A_1B_1$为半径画半圆得到$A_2$，则$A_2$对应的数为$2+(2-\sqrt{2})=4-\sqrt{2}\approx2.586$，$A_2$右侧最近的整数点$B_2$对应的数是3，因此$A_2B_2=3-(4-\sqrt{2})=\sqrt{2}-1$。
3. 求$A_3B_3$的长度：
以$B_2$为圆心，$A_2B_2$为半径画半圆得到$A_3$，则$A_3$对应的数为$3+(\sqrt{2}-1)=2+\sqrt{2}\approx3.414$，$A_3$右侧最近的整数点$B_3$对应的数是4，因此$A_3B_3=4-(2+\sqrt{2})=2-\sqrt{2}$。
4. 总结规律：
观察计算结果可得规律：当$n$为奇数时，$A_nB_n=2-\sqrt{2}$；当$n$为偶数时，$A_nB_n=\sqrt{2}-1$。
5. 计算$A_{2026}B_{2026}$：
因为2026是偶数，所以$A_{2026}B_{2026}=\sqrt{2}-1$。
【答案】
$\sqrt{2}-1$
【知识点】
实数与数轴，规律探究，无理数估算
【点评】
本题结合数轴和圆的半径相等的性质，通过分步计算前几组线段长度总结周期性规律，解题核心是正确估算无理数的大小确定对应整数点的位置，是规律探究类的典型题型。
【难度系数】
0.6
解题时先从已知条件出发，先确定前几个点$A_n$、$B_n$对应的数，依次计算$A_1B_1$、$A_2B_2$、$A_3B_3$的长度，从中总结长度的变化规律，最后根据2026的奇偶性就能求出$A_{2026}B_{2026}$的长度。
【解析】
1. 求$A_1B_1$的长度：
由题意可知点$A_1$对应的数为$\sqrt{2}\approx1.414$，$A_1$右侧最近的整数点$B_1$对应的数是2，因此$A_1B_1=2-\sqrt{2}$。
2. 求$A_2B_2$的长度：
以$B_1$为圆心，$A_1B_1$为半径画半圆得到$A_2$，则$A_2$对应的数为$2+(2-\sqrt{2})=4-\sqrt{2}\approx2.586$，$A_2$右侧最近的整数点$B_2$对应的数是3，因此$A_2B_2=3-(4-\sqrt{2})=\sqrt{2}-1$。
3. 求$A_3B_3$的长度：
以$B_2$为圆心，$A_2B_2$为半径画半圆得到$A_3$，则$A_3$对应的数为$3+(\sqrt{2}-1)=2+\sqrt{2}\approx3.414$，$A_3$右侧最近的整数点$B_3$对应的数是4，因此$A_3B_3=4-(2+\sqrt{2})=2-\sqrt{2}$。
4. 总结规律：
观察计算结果可得规律：当$n$为奇数时，$A_nB_n=2-\sqrt{2}$；当$n$为偶数时，$A_nB_n=\sqrt{2}-1$。
5. 计算$A_{2026}B_{2026}$：
因为2026是偶数，所以$A_{2026}B_{2026}=\sqrt{2}-1$。
【答案】
$\sqrt{2}-1$
【知识点】
实数与数轴，规律探究，无理数估算
【点评】
本题结合数轴和圆的半径相等的性质，通过分步计算前几组线段长度总结周期性规律，解题核心是正确估算无理数的大小确定对应整数点的位置，是规律探究类的典型题型。
【难度系数】
0.6
