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3. 如图1,将数轴上的各点与下列实数对应起来：
点A对应的实数是;点B对应的实数是;点C对应的实数是;点D对应的实数是;点E对应的实数是.
点A对应的实数是;点B对应的实数是;点C对应的实数是;点D对应的实数是;点E对应的实数是.
答案
解：
通过估算各实数的取值范围，结合数轴上点的位置可得：
点A对应的实数是$\boldsymbol{-3}$；
点B对应的实数是$\boldsymbol{-1.5}$；
点C对应的实数是$\boldsymbol{\sqrt{2}}$；
点D对应的实数是$\boldsymbol{\sqrt{5}}$；
点E对应的实数是$\boldsymbol{π}$。
通过估算各实数的取值范围，结合数轴上点的位置可得：
点A对应的实数是$\boldsymbol{-3}$；
点B对应的实数是$\boldsymbol{-1.5}$；
点C对应的实数是$\boldsymbol{\sqrt{2}}$；
点D对应的实数是$\boldsymbol{\sqrt{5}}$；
点E对应的实数是$\boldsymbol{π}$。
解析
【分析】
解题时首先将给出的实数分为负数、正数两类，对应数轴原点左、右两侧的点；再分别比较负数的大小，估算各无理数的大致取值范围，最后结合数轴上各点的位置，将数和点一一匹配即可。
【解析】
第一步：先对给出的实数分类：负数有-1.5、-3，正数有$\sqrt{2}$、$\sqrt{5}$、$π$，负数对应数轴原点左侧的点A、B，正数对应原点右侧的点C、D、E。
第二步：匹配左侧的点：
点A在-2的左侧，数值小于-2，两个负数中$-3＜-2＜-1.5$，因此点A对应-3；
点B在-2和-1之间，因此点B对应-1.5。
第三步：估算正数的范围，匹配右侧的点：
因为$\sqrt{1}＜\sqrt{2}＜\sqrt{4}$，即$1＜\sqrt{2}＜2$，对应1和2之间的点C，因此点C对应$\sqrt{2}$；
因为$\sqrt{4}＜\sqrt{5}＜\sqrt{9}$，即$2＜\sqrt{5}＜3$，对应2和3之间的点D，因此点D对应$\sqrt{5}$；
$π\approx3.14$，数值大于3，对应3右侧的点E，因此点E对应$π$。
【答案】
-3；-1.5；$\sqrt{2}$；$\sqrt{5}$；$π$
【知识点】
实数与数轴的对应关系；无理数估算；实数大小比较
【点评】
本题属于实数部分的基础题，核心考查数轴与实数的一一对应关系，解题的关键是掌握无理数的估算方法，结合数轴上点的位置特征完成数与点的匹配。
【难度系数】
0.85
解题时首先将给出的实数分为负数、正数两类，对应数轴原点左、右两侧的点；再分别比较负数的大小，估算各无理数的大致取值范围，最后结合数轴上各点的位置，将数和点一一匹配即可。
【解析】
第一步：先对给出的实数分类：负数有-1.5、-3，正数有$\sqrt{2}$、$\sqrt{5}$、$π$，负数对应数轴原点左侧的点A、B，正数对应原点右侧的点C、D、E。
第二步：匹配左侧的点：
点A在-2的左侧，数值小于-2，两个负数中$-3＜-2＜-1.5$，因此点A对应-3；
点B在-2和-1之间，因此点B对应-1.5。
第三步：估算正数的范围，匹配右侧的点：
因为$\sqrt{1}＜\sqrt{2}＜\sqrt{4}$，即$1＜\sqrt{2}＜2$，对应1和2之间的点C，因此点C对应$\sqrt{2}$；
因为$\sqrt{4}＜\sqrt{5}＜\sqrt{9}$，即$2＜\sqrt{5}＜3$，对应2和3之间的点D，因此点D对应$\sqrt{5}$；
$π\approx3.14$，数值大于3，对应3右侧的点E，因此点E对应$π$。
【答案】
-3；-1.5；$\sqrt{2}$；$\sqrt{5}$；$π$
【知识点】
实数与数轴的对应关系；无理数估算；实数大小比较
【点评】
本题属于实数部分的基础题，核心考查数轴与实数的一一对应关系，解题的关键是掌握无理数的估算方法，结合数轴上点的位置特征完成数与点的匹配。
【难度系数】
0.85
4. (1)在数学活动课上,老师要求同学利用手中纸片剪出一块面积为25 cm²的正方形,试求出这个正方形的边长；
(2)小强的手中有两块边长都为4 cm的正方形纸片,他想将这两块正方形纸片沿对角线剪开,拼成如图2所示的一个大正方形,请求出这个大正方形的面积.它的边长是整数吗?若不是整数,那么请你估计这个边长的值在哪两个整数之间.
(2)小强的手中有两块边长都为4 cm的正方形纸片,他想将这两块正方形纸片沿对角线剪开,拼成如图2所示的一个大正方形,请求出这个大正方形的面积.它的边长是整数吗?若不是整数,那么请你估计这个边长的值在哪两个整数之间.
答案
解：
(1) 设这个正方形的边长为$x\ \mathrm{cm}$，
根据正方形面积公式，得$x^2 = 25$，
因为正方形边长为正数，所以$x = \sqrt{25} = 5$。
(2) 大正方形的面积等于两个边长为4 cm的小正方形的面积之和：
$S = 2× 4^2 = 32\ \mathrm{cm}^2$。
设大正方形的边长为$a\ \mathrm{cm}$，则$a^2 = 32$，得$a = \sqrt{32}$，它不是整数。
因为$5^2 = 25$，$6^2 = 36$，且$25 ＜ 32 ＜ 36$，
所以$5 ＜ \sqrt{32} ＜ 6$，即这个边长的值在5和6两个整数之间。
答：(1) 这个正方形的边长为5 cm；(2) 大正方形的面积为$32\ \mathrm{cm}^2$，它的边长不是整数，边长的值在5和6之间。
(1) 设这个正方形的边长为$x\ \mathrm{cm}$，
根据正方形面积公式，得$x^2 = 25$，
因为正方形边长为正数，所以$x = \sqrt{25} = 5$。
(2) 大正方形的面积等于两个边长为4 cm的小正方形的面积之和：
$S = 2× 4^2 = 32\ \mathrm{cm}^2$。
设大正方形的边长为$a\ \mathrm{cm}$，则$a^2 = 32$，得$a = \sqrt{32}$，它不是整数。
因为$5^2 = 25$，$6^2 = 36$，且$25 ＜ 32 ＜ 36$，
所以$5 ＜ \sqrt{32} ＜ 6$，即这个边长的值在5和6两个整数之间。
答：(1) 这个正方形的边长为5 cm；(2) 大正方形的面积为$32\ \mathrm{cm}^2$，它的边长不是整数，边长的值在5和6之间。
解析
【分析】
(1) 已知正方形面积求边长，可先设边长为未知数，结合正方形面积公式“面积=边长²”列方程，由于边长为正数，直接求面积的算术平方根即可得到边长。
(2) 图形拼接前后总面积不变，因此大正方形的面积等于两个小正方形的面积之和，先计算得到大正方形面积后，再设边长为未知数，根据面积公式求出边长的表达式，判断是否为整数；估算无理数大小时，找到和被开方数相邻的两个完全平方数，即可确定该无理数所在的整数范围。
【解析】
(1) 设这个正方形的边长为$x\ \mathrm{cm}$，
根据正方形面积公式，得$x^2 = 25$，
因为正方形边长为正数，所以$x = \sqrt{25} = 5$。
(2) 拼接前后总面积不变，大正方形的面积等于两个边长为4 cm的小正方形的面积之和：
$S = 2× 4^2 = 32\ \mathrm{cm}^2$。
设大正方形的边长为$a\ \mathrm{cm}$，则$a^2 = 32$，得$a = \sqrt{32}$，它不是整数。
因为$5^2 = 25$，$6^2 = 36$，且$25 ＜ 32 ＜ 36$，
所以$5 ＜ \sqrt{32} ＜ 6$，即这个边长的值在5和6两个整数之间。
【答案】
(1) 这个正方形的边长为5 cm；
(2) 大正方形的面积为$32\ \mathrm{cm}^2$，它的边长不是整数，边长的值在5和6之间。
【知识点】
算术平方根计算，无理数估算，正方形面积计算
【点评】
本题结合图形拼接场景考查实数的基础应用，解题核心是抓住拼接前后总面积不变的规律，既覆盖了几何基础公式的考查，也检验了算术平方根求解、无理数大小估算的代数基础能力，侧重知识点的基础应用。
【难度系数】
0.8
(1) 已知正方形面积求边长，可先设边长为未知数，结合正方形面积公式“面积=边长²”列方程，由于边长为正数，直接求面积的算术平方根即可得到边长。
(2) 图形拼接前后总面积不变，因此大正方形的面积等于两个小正方形的面积之和，先计算得到大正方形面积后，再设边长为未知数，根据面积公式求出边长的表达式，判断是否为整数；估算无理数大小时，找到和被开方数相邻的两个完全平方数，即可确定该无理数所在的整数范围。
【解析】
(1) 设这个正方形的边长为$x\ \mathrm{cm}$，
根据正方形面积公式，得$x^2 = 25$，
因为正方形边长为正数，所以$x = \sqrt{25} = 5$。
(2) 拼接前后总面积不变，大正方形的面积等于两个边长为4 cm的小正方形的面积之和：
$S = 2× 4^2 = 32\ \mathrm{cm}^2$。
设大正方形的边长为$a\ \mathrm{cm}$，则$a^2 = 32$，得$a = \sqrt{32}$，它不是整数。
因为$5^2 = 25$，$6^2 = 36$，且$25 ＜ 32 ＜ 36$，
所以$5 ＜ \sqrt{32} ＜ 6$，即这个边长的值在5和6两个整数之间。
【答案】
(1) 这个正方形的边长为5 cm；
(2) 大正方形的面积为$32\ \mathrm{cm}^2$，它的边长不是整数，边长的值在5和6之间。
【知识点】
算术平方根计算，无理数估算，正方形面积计算
【点评】
本题结合图形拼接场景考查实数的基础应用，解题核心是抓住拼接前后总面积不变的规律，既覆盖了几何基础公式的考查，也检验了算术平方根求解、无理数大小估算的代数基础能力，侧重知识点的基础应用。
【难度系数】
0.8
5. 如图3是一个无理数筛选器的工作流程图，根据下列叙述回答相关问题.
(1)当x为8时，y的值为.
(2)当输出的y值是$\sqrt[3]{3}$时，输入的x值是唯一的吗？若不唯一，请写出其中两个输入的x值.
(3)是否存在输入某个x值后，却始终输不出y值？如果存在，写出所有满足要求的x值；如果不存在，请说明理由.
(1)当x为8时，y的值为.
(2)当输出的y值是$\sqrt[3]{3}$时，输入的x值是唯一的吗？若不唯一，请写出其中两个输入的x值.
(3)是否存在输入某个x值后，却始终输不出y值？如果存在，写出所有满足要求的x值；如果不存在，请说明理由.
答案
$\sqrt[3]{2}$
(2) 输入的$x$值不唯一。
例如当$x=3$时，3的立方根是$\sqrt[3]{3}$，是无理数，输出$y=\sqrt[3]{3}$；
当$x=27$时，27的立方根是3，3是有理数，返回取立方根得$\sqrt[3]{3}$，是无理数，输出$y=\sqrt[3]{3}$。
所以满足条件的两个输入$x$值可以是3和27（答案不唯一）。
(3) 存在始终输不出$y$值的$x$值。
0、1、-1的立方根分别是0、1、-1，均为有理数，会始终在流程中循环，无法得到无理数输出$y$，因此所有满足要求的$x$值为0，1，-1。
(2) 输入的$x$值不唯一。
例如当$x=3$时，3的立方根是$\sqrt[3]{3}$，是无理数，输出$y=\sqrt[3]{3}$；
当$x=27$时，27的立方根是3，3是有理数，返回取立方根得$\sqrt[3]{3}$，是无理数，输出$y=\sqrt[3]{3}$。
所以满足条件的两个输入$x$值可以是3和27（答案不唯一）。
(3) 存在始终输不出$y$值的$x$值。
0、1、-1的立方根分别是0、1、-1，均为有理数，会始终在流程中循环，无法得到无理数输出$y$，因此所有满足要求的$x$值为0，1，-1。
解析
【分析】
首先明确筛选器的运行逻辑：输入x后，先计算x的立方根，若该立方根是无理数则直接输出为y；若立方根是有理数，就将这个立方根作为新的输入值重复上述流程，直到得到无理数输出；若每次计算得到的立方根都是有理数，则始终无法输出y。
(1) 代入x=8按照流程逐步计算即可；
(2) 输出y=∛3，说明最后一次计算立方根的输入值是3，往前推可以得到多个符合条件的输入x，因此x不唯一；
(3) 若始终输不出y，说明x取立方根后永远是有理数，即x的立方根等于它本身，找出这类数即可。
【解析】
(1) 当x=8时，第一次计算立方根：$\sqrt[3]{8}=2$，2是有理数，将2作为新的输入值；第二次计算立方根：$\sqrt[3]{2}$是无理数，因此输出$y=\sqrt[3]{2}$。
(2) 输入的x值不唯一。
若第一次计算立方根就得到$\sqrt[3]{3}$，则输入的$x=(\sqrt[3]{3})^3=3$；若第一次计算立方根得到3（有理数，返回重新输入），第二次计算立方根得到$\sqrt[3]{3}$，则输入的$x=3^3=27$；同理还可以得到更多符合条件的x值，因此x不唯一，例如3和27都是符合要求的输入值（答案不唯一）。
(3) 存在始终输不出y值的x值。
因为0的立方根是0，1的立方根是1，-1的立方根是-1，三者均为有理数，每次代入流程计算都会得到本身，永远无法得到无理数，因此会一直循环，无法输出y。所有满足要求的x值为0、1、-1。
【答案】
(1) $\sqrt[3]{2}$
(2) 输入的x值不唯一，例如3和27（答案不唯一）
(3) 存在，满足要求的x值为0，1，-1
【知识点】
立方根的运算，无理数的定义，实数的分类
【点评】
本题结合流程图的形式考查实数的相关知识，需要准确掌握立方根的计算方法和无理数的判定规则，解题时要注意流程的循环性，避免忽略多次循环的情况造成漏解。
【难度系数】
0.7
首先明确筛选器的运行逻辑：输入x后，先计算x的立方根，若该立方根是无理数则直接输出为y；若立方根是有理数，就将这个立方根作为新的输入值重复上述流程，直到得到无理数输出；若每次计算得到的立方根都是有理数，则始终无法输出y。
(1) 代入x=8按照流程逐步计算即可；
(2) 输出y=∛3，说明最后一次计算立方根的输入值是3，往前推可以得到多个符合条件的输入x，因此x不唯一；
(3) 若始终输不出y，说明x取立方根后永远是有理数，即x的立方根等于它本身，找出这类数即可。
【解析】
(1) 当x=8时，第一次计算立方根：$\sqrt[3]{8}=2$，2是有理数，将2作为新的输入值；第二次计算立方根：$\sqrt[3]{2}$是无理数，因此输出$y=\sqrt[3]{2}$。
(2) 输入的x值不唯一。
若第一次计算立方根就得到$\sqrt[3]{3}$，则输入的$x=(\sqrt[3]{3})^3=3$；若第一次计算立方根得到3（有理数，返回重新输入），第二次计算立方根得到$\sqrt[3]{3}$，则输入的$x=3^3=27$；同理还可以得到更多符合条件的x值，因此x不唯一，例如3和27都是符合要求的输入值（答案不唯一）。
(3) 存在始终输不出y值的x值。
因为0的立方根是0，1的立方根是1，-1的立方根是-1，三者均为有理数，每次代入流程计算都会得到本身，永远无法得到无理数，因此会一直循环，无法输出y。所有满足要求的x值为0、1、-1。
【答案】
(1) $\sqrt[3]{2}$
(2) 输入的x值不唯一，例如3和27（答案不唯一）
(3) 存在，满足要求的x值为0，1，-1
【知识点】
立方根的运算，无理数的定义，实数的分类
【点评】
本题结合流程图的形式考查实数的相关知识，需要准确掌握立方根的计算方法和无理数的判定规则，解题时要注意流程的循环性，避免忽略多次循环的情况造成漏解。
【难度系数】
0.7
