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3. 已知$\sqrt{m+2}+(n-9)^2=0$，求$m^2+\sqrt{n}$的值.
答案
解：
∵ $\sqrt{m+2} ≥ 0$，$(n-9)^2 ≥ 0$，且 $\sqrt{m+2} + (n-9)^2 = 0$，
∴ $\sqrt{m+2}=0$，$(n-9)^2=0$，
即 $m+2=0$，$n-9=0$，
解得 $m=-2$，$n=9$。
将 $m=-2$，$n=9$ 代入 $m^2+\sqrt{n}$：
$m^2+\sqrt{n} = (-2)^2 + \sqrt{9} = 4 + 3 = 7$。
最终结果为 $\boldsymbol{7}$。
∵ $\sqrt{m+2} ≥ 0$，$(n-9)^2 ≥ 0$，且 $\sqrt{m+2} + (n-9)^2 = 0$，
∴ $\sqrt{m+2}=0$，$(n-9)^2=0$，
即 $m+2=0$，$n-9=0$，
解得 $m=-2$，$n=9$。
将 $m=-2$，$n=9$ 代入 $m^2+\sqrt{n}$：
$m^2+\sqrt{n} = (-2)^2 + \sqrt{9} = 4 + 3 = 7$。
最终结果为 $\boldsymbol{7}$。
解析
【分析】
解题时首先回忆非负数的性质：算术平方根、完全平方数的取值都大于等于0。当两个非负数相加的和为0时，仅存在一种情况，即两个非负数各自的值都为0。据此我们可以先列出关于m、n的方程，求出m、n的取值后，再代入目标代数式计算即可得到结果。
【解析】
∵ $\sqrt{m+2} ≥ 0$，$(n-9)^2 ≥ 0$，且 $\sqrt{m+2} + (n-9)^2 = 0$，
∴ $\sqrt{m+2}=0$，$(n-9)^2=0$，
即 $m+2=0$，$n-9=0$，
解得 $m=-2$，$n=9$。
将 $m=-2$，$n=9$ 代入 $m^2+\sqrt{n}$：
$m^2+\sqrt{n} = (-2)^2 + \sqrt{9} = 4 + 3 = 7$。
【答案】
$\boldsymbol{7}$
【知识点】
非负数的性质、算术平方根、代数式求值
【点评】
本题是基础常考题型，核心考点是非负数的性质，只要掌握“多个非负数的和为0时，每个非负数均为0”这一规律，再准确完成代入计算即可得分。
【难度系数】
0.8
解题时首先回忆非负数的性质：算术平方根、完全平方数的取值都大于等于0。当两个非负数相加的和为0时，仅存在一种情况，即两个非负数各自的值都为0。据此我们可以先列出关于m、n的方程，求出m、n的取值后，再代入目标代数式计算即可得到结果。
【解析】
∵ $\sqrt{m+2} ≥ 0$，$(n-9)^2 ≥ 0$，且 $\sqrt{m+2} + (n-9)^2 = 0$，
∴ $\sqrt{m+2}=0$，$(n-9)^2=0$，
即 $m+2=0$，$n-9=0$，
解得 $m=-2$，$n=9$。
将 $m=-2$，$n=9$ 代入 $m^2+\sqrt{n}$：
$m^2+\sqrt{n} = (-2)^2 + \sqrt{9} = 4 + 3 = 7$。
【答案】
$\boldsymbol{7}$
【知识点】
非负数的性质、算术平方根、代数式求值
【点评】
本题是基础常考题型，核心考点是非负数的性质，只要掌握“多个非负数的和为0时，每个非负数均为0”这一规律，再准确完成代入计算即可得分。
【难度系数】
0.8
4. 阅读下列材料：
$\because \sqrt{1}＜\sqrt{3}＜\sqrt{4}$ $\therefore 1＜\sqrt{3}＜2$ $\therefore \sqrt{3}$的整数部分为1，小数部分为$\sqrt{3}-1$.
请根据材料提示，进行解答：
(1)$\sqrt{15}$的整数部分是，小数部分是；
(2)如果$\sqrt{6}$的小数部分为$m$，$\sqrt{21}$的整数部分为$n$，求$2m+n-2\sqrt{6}$的值；
(3)已知：$10+\sqrt{32}=a+b$，其中$a$是整数，且$0＜b＜1$，请直接写出$a、b$的值.
$\because \sqrt{1}＜\sqrt{3}＜\sqrt{4}$ $\therefore 1＜\sqrt{3}＜2$ $\therefore \sqrt{3}$的整数部分为1，小数部分为$\sqrt{3}-1$.
请根据材料提示，进行解答：
(1)$\sqrt{15}$的整数部分是，小数部分是；
(2)如果$\sqrt{6}$的小数部分为$m$，$\sqrt{21}$的整数部分为$n$，求$2m+n-2\sqrt{6}$的值；
(3)已知：$10+\sqrt{32}=a+b$，其中$a$是整数，且$0＜b＜1$，请直接写出$a、b$的值.
答案
解：
(1)
$\because \sqrt{9}＜\sqrt{15}＜\sqrt{16}$
$\therefore 3＜\sqrt{15}＜4$
$\therefore \sqrt{15}$的整数部分是$\boldsymbol{3}$，小数部分是$\boldsymbol{\sqrt{15}-3}$。
(2)
$\because \sqrt{4}＜\sqrt{6}＜\sqrt{9}$
$\therefore 2＜\sqrt{6}＜3$
$\therefore \sqrt{6}$的小数部分$m=\sqrt{6}-2$
$\because \sqrt{16}＜\sqrt{21}＜\sqrt{25}$
$\therefore 4＜\sqrt{21}＜5$
$\therefore \sqrt{21}$的整数部分$n=4$
将$m=\sqrt{6}-2$，$n=4$代入$2m+n-2\sqrt{6}$：
$2m+n-2\sqrt{6}=2(\sqrt{6}-2)+4-2\sqrt{6}=2\sqrt{6}-4+4-2\sqrt{6}=0$
(3)
$\because \sqrt{25}＜\sqrt{32}＜\sqrt{36}$
$\therefore 5＜\sqrt{32}＜6$
$\therefore 15＜10+\sqrt{32}＜16$
又$\because a$是整数，且$0＜b＜1$，$10+\sqrt{32}=a+b$
$\therefore a=15$，$b=4\sqrt{2}-5$。
(1)
$\because \sqrt{9}＜\sqrt{15}＜\sqrt{16}$
$\therefore 3＜\sqrt{15}＜4$
$\therefore \sqrt{15}$的整数部分是$\boldsymbol{3}$，小数部分是$\boldsymbol{\sqrt{15}-3}$。
(2)
$\because \sqrt{4}＜\sqrt{6}＜\sqrt{9}$
$\therefore 2＜\sqrt{6}＜3$
$\therefore \sqrt{6}$的小数部分$m=\sqrt{6}-2$
$\because \sqrt{16}＜\sqrt{21}＜\sqrt{25}$
$\therefore 4＜\sqrt{21}＜5$
$\therefore \sqrt{21}$的整数部分$n=4$
将$m=\sqrt{6}-2$，$n=4$代入$2m+n-2\sqrt{6}$：
$2m+n-2\sqrt{6}=2(\sqrt{6}-2)+4-2\sqrt{6}=2\sqrt{6}-4+4-2\sqrt{6}=0$
(3)
$\because \sqrt{25}＜\sqrt{32}＜\sqrt{36}$
$\therefore 5＜\sqrt{32}＜6$
$\therefore 15＜10+\sqrt{32}＜16$
又$\because a$是整数，且$0＜b＜1$，$10+\sqrt{32}=a+b$
$\therefore a=15$，$b=4\sqrt{2}-5$。
解析
【分析】
解决本题的核心方法是“夹逼法”：先找到与被开方数相邻的两个完全平方数，通过比较算术平方根的大小确定无理数的取值范围，即可得到它的整数部分，小数部分为原无理数减去整数部分。
(1) 找到与15相邻的两个完全平方数9和16，确定√15的取值范围，即可直接写出它的整数部分和小数部分；
(2) 分别用夹逼法求出√6的小数部分m、√21的整数部分n，再代入所求代数式化简计算即可得到结果；
(3) 先确定√32的取值范围，进而得到10+√32的取值范围，结合a是整数、0＜b＜1的条件，即可求出a、b的值。
【解析】
(1)
$\because \sqrt{9}＜\sqrt{15}＜\sqrt{16}$
$\therefore 3＜\sqrt{15}＜4$
$\therefore \sqrt{15}$的整数部分是3，小数部分是$\sqrt{15}-3$。
(2)
$\because \sqrt{4}＜\sqrt{6}＜\sqrt{9}$
$\therefore 2＜\sqrt{6}＜3$
$\therefore \sqrt{6}$的小数部分$m=\sqrt{6}-2$
$\because \sqrt{16}＜\sqrt{21}＜\sqrt{25}$
$\therefore 4＜\sqrt{21}＜5$
$\therefore \sqrt{21}$的整数部分$n=4$
将$m=\sqrt{6}-2$，$n=4$代入$2m+n-2\sqrt{6}$：
$2m+n-2\sqrt{6}=2(\sqrt{6}-2)+4-2\sqrt{6}=2\sqrt{6}-4+4-2\sqrt{6}=0$
(3)
$\because \sqrt{25}＜\sqrt{32}＜\sqrt{36}$
$\therefore 5＜\sqrt{32}＜6$
$\therefore 15＜10+\sqrt{32}＜16$
又$\because a$是整数，且$0＜b＜1$，$10+\sqrt{32}=a+b$
$\therefore a=15$，$b=10+\sqrt{32}-15=\sqrt{32}-5=4\sqrt{2}-5$。
【答案】
(1) $3$，$\sqrt{15}-3$；
(2) $0$；
(3) $a=15$，$b=4\sqrt{2}-5$
【知识点】
1. 无理数的估算
2. 二次根式的运算
3. 代数式求值
【点评】
本题重点考查利用夹逼法估算无理数的大小，解题关键是准确找到与被开方数相邻的两个完全平方数，确定无理数的整数部分和小数部分，再结合运算规则求解，掌握夹逼法是解决这类问题的核心。
【难度系数】
0.8
解决本题的核心方法是“夹逼法”：先找到与被开方数相邻的两个完全平方数，通过比较算术平方根的大小确定无理数的取值范围，即可得到它的整数部分，小数部分为原无理数减去整数部分。
(1) 找到与15相邻的两个完全平方数9和16，确定√15的取值范围，即可直接写出它的整数部分和小数部分；
(2) 分别用夹逼法求出√6的小数部分m、√21的整数部分n，再代入所求代数式化简计算即可得到结果；
(3) 先确定√32的取值范围，进而得到10+√32的取值范围，结合a是整数、0＜b＜1的条件，即可求出a、b的值。
【解析】
(1)
$\because \sqrt{9}＜\sqrt{15}＜\sqrt{16}$
$\therefore 3＜\sqrt{15}＜4$
$\therefore \sqrt{15}$的整数部分是3，小数部分是$\sqrt{15}-3$。
(2)
$\because \sqrt{4}＜\sqrt{6}＜\sqrt{9}$
$\therefore 2＜\sqrt{6}＜3$
$\therefore \sqrt{6}$的小数部分$m=\sqrt{6}-2$
$\because \sqrt{16}＜\sqrt{21}＜\sqrt{25}$
$\therefore 4＜\sqrt{21}＜5$
$\therefore \sqrt{21}$的整数部分$n=4$
将$m=\sqrt{6}-2$，$n=4$代入$2m+n-2\sqrt{6}$：
$2m+n-2\sqrt{6}=2(\sqrt{6}-2)+4-2\sqrt{6}=2\sqrt{6}-4+4-2\sqrt{6}=0$
(3)
$\because \sqrt{25}＜\sqrt{32}＜\sqrt{36}$
$\therefore 5＜\sqrt{32}＜6$
$\therefore 15＜10+\sqrt{32}＜16$
又$\because a$是整数，且$0＜b＜1$，$10+\sqrt{32}=a+b$
$\therefore a=15$，$b=10+\sqrt{32}-15=\sqrt{32}-5=4\sqrt{2}-5$。
【答案】
(1) $3$，$\sqrt{15}-3$；
(2) $0$；
(3) $a=15$，$b=4\sqrt{2}-5$
【知识点】
1. 无理数的估算
2. 二次根式的运算
3. 代数式求值
【点评】
本题重点考查利用夹逼法估算无理数的大小，解题关键是准确找到与被开方数相邻的两个完全平方数，确定无理数的整数部分和小数部分，再结合运算规则求解，掌握夹逼法是解决这类问题的核心。
【难度系数】
0.8
