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1. ★★★ (2025·合肥期中)杠杆原理也称为“杠杆平衡条件”，要使杠杆平衡，作用在杠杆上的两个力矩(力与力臂的乘积)大小必须相等，即阻力×阻力臂=动力×动力臂.如图，已知石头的重力(阻力)为3200 N，阻力臂为0.25 m.
(1)求动力F与动力臂l的函数表达式.
(2)小华想用一根撬棍撬起这块石头，但他最多能使出500 N的力，问他用撬棍撬起这块石头时的动力臂长度最短为多少？
(1)求动力F与动力臂l的函数表达式.
(2)小华想用一根撬棍撬起这块石头，但他最多能使出500 N的力，问他用撬棍撬起这块石头时的动力臂长度最短为多少？
答案
1. (1)依题意,得 3 200×0.25=F·l,
∴ F=$\frac{800}{l}$.
答:动力F与动力臂l的函数表达式为$F=\frac{800}{l}$.
(2)当F=500时,$500=\frac{800}{l}$,解得l=1.6.
∵ 小华最多能使出 500 N 的力,
∴ l≥1.6.
答:小华用撬棍撬起这块石头时的动力臂长度最短为 1.6 m.
∴ F=$\frac{800}{l}$.
答:动力F与动力臂l的函数表达式为$F=\frac{800}{l}$.
(2)当F=500时,$500=\frac{800}{l}$,解得l=1.6.
∵ 小华最多能使出 500 N 的力,
∴ l≥1.6.
答:小华用撬棍撬起这块石头时的动力臂长度最短为 1.6 m.
解析
【分析】
本题结合物理杠杆平衡知识考查反比例函数的应用，解题思路如下：
(1) 题目明确给出杠杆平衡条件为“阻力×阻力臂=动力×动力臂”，已知阻力、阻力臂的数值，将其代入公式，整理后即可得到动力F与动力臂l的函数表达式；
(2) 要找最短动力臂，根据杠杆平衡规律，当阻力和阻力臂固定时，动力越大所需动力臂越小，因此将小华能使出的最大动力500N代入(1)的函数式，求解得到的l即为最短动力臂，结合反比例函数性质验证取值范围即可。
【解析】
(1) 根据杠杆平衡条件：阻力×阻力臂=动力×动力臂，代入已知数据可得：
$3200×0.25=F· l$
计算左边乘积得$800=F· l$，整理得动力F与动力臂l的函数表达式为：
$F=\frac{800}{l}$
(2) 已知小华最多能使出500N的力，即$F=500$，将其代入上述函数表达式：
$500=\frac{800}{l}$
解方程得：$l=\frac{800}{500}=1.6$
根据反比例函数$F=\frac{800}{l}$的性质，$l＞0$时F随l的增大而减小，要使$F≤500$，则$l≥1.6$，即动力臂最短为1.6m。
【答案】
(1) $\boldsymbol{F=\frac{800}{l}}$
(2) $\boldsymbol{1.6\ \mathrm{m}}$
【知识点】
反比例函数的应用；解分式方程；杠杆平衡原理
【点评】
本题是数学与物理结合的跨学科基础题，解题核心是准确运用已知的杠杆平衡公式建立函数关系，再结合函数性质和实际问题的取值范围求解，能有效考查学生知识迁移和应用的能力。
【难度系数】
0.7
本题结合物理杠杆平衡知识考查反比例函数的应用，解题思路如下：
(1) 题目明确给出杠杆平衡条件为“阻力×阻力臂=动力×动力臂”，已知阻力、阻力臂的数值，将其代入公式，整理后即可得到动力F与动力臂l的函数表达式；
(2) 要找最短动力臂，根据杠杆平衡规律，当阻力和阻力臂固定时，动力越大所需动力臂越小，因此将小华能使出的最大动力500N代入(1)的函数式，求解得到的l即为最短动力臂，结合反比例函数性质验证取值范围即可。
【解析】
(1) 根据杠杆平衡条件：阻力×阻力臂=动力×动力臂，代入已知数据可得：
$3200×0.25=F· l$
计算左边乘积得$800=F· l$，整理得动力F与动力臂l的函数表达式为：
$F=\frac{800}{l}$
(2) 已知小华最多能使出500N的力，即$F=500$，将其代入上述函数表达式：
$500=\frac{800}{l}$
解方程得：$l=\frac{800}{500}=1.6$
根据反比例函数$F=\frac{800}{l}$的性质，$l＞0$时F随l的增大而减小，要使$F≤500$，则$l≥1.6$，即动力臂最短为1.6m。
【答案】
(1) $\boldsymbol{F=\frac{800}{l}}$
(2) $\boldsymbol{1.6\ \mathrm{m}}$
【知识点】
反比例函数的应用；解分式方程；杠杆平衡原理
【点评】
本题是数学与物理结合的跨学科基础题，解题核心是准确运用已知的杠杆平衡公式建立函数关系，再结合函数性质和实际问题的取值范围求解，能有效考查学生知识迁移和应用的能力。
【难度系数】
0.7
2. 渔民骑坐“木海马”在滩涂上赶海，这一工具大大提高了渔民赶海时的效率.已知人和“木海马”对滩涂的压力$ F $(单位:N),“木海马”底面面积$ S $(单位:$ m^2 $)与人和木板对滩涂的压强$ p $(单位:Pa)满足关系:$ F=pS $,若人和木板对滩涂的压力$ F $合计为700 N.
(1)用含$ S $的代数式表示$ p $.
(2)当“木海马”底面面积为$ 1.4\ m^2 $时,人和木板对滩涂的压强是多少?
(3)若要人和木板对滩涂的压强不超过2 500 Pa,则“木海马”底面面积至少需要达到多少平方米?
(1)用含$ S $的代数式表示$ p $.
(2)当“木海马”底面面积为$ 1.4\ m^2 $时,人和木板对滩涂的压强是多少?
(3)若要人和木板对滩涂的压强不超过2 500 Pa,则“木海马”底面面积至少需要达到多少平方米?
答案
2. (1)
∵ F=pS,
∴ $p=\frac{F}{S}$.
∵ F=700,
∴ $p=\frac{700}{S}$.
(2)当S=1.4时,$p=\frac{700}{1.4}=500$.
答:人和木板对滩涂的压强是 500 Pa.
(3)
∵ k=700＞0,
∴ 当 S＞0 时,p 随 S 的增大而减小,
∴ 当 p ≤ 2 500 时,即$\frac{700}{S}≤2\ 500$,
∴ S≥0.28.
答:"木海马"底面面积至少需要达到 0.28 m².
∵ F=pS,
∴ $p=\frac{F}{S}$.
∵ F=700,
∴ $p=\frac{700}{S}$.
(2)当S=1.4时,$p=\frac{700}{1.4}=500$.
答:人和木板对滩涂的压强是 500 Pa.
(3)
∵ k=700＞0,
∴ 当 S＞0 时,p 随 S 的增大而减小,
∴ 当 p ≤ 2 500 时,即$\frac{700}{S}≤2\ 500$,
∴ S≥0.28.
答:"木海马"底面面积至少需要达到 0.28 m².
解析
【分析】
本题是结合物理压强公式的反比例函数实际应用题，解题思路如下：(1)首先对给定的压强公式$F=pS$进行变形，将$p$单独放在等式一侧，再把已知的固定压力$F=700\mathrm{N}$代入，即可得到$p$关于$S$的代数式；(2)第二问是已知自变量$S$的取值求对应函数值$p$，直接将$S=1.4$代入第一问得到的解析式计算即可；(3)第三问要求压强不超过2500Pa，由于反比例函数$p=\frac{700}{S}$中$k=700＞0$，在$S＞0$的范围内$p$随$S$的增大而减小，因此列不等式$\frac{700}{S}≤2500$，结合$S$为正数的实际意义求解，就能得到$S$的最小值。
【解析】
(1) 由压强公式$F=pS$，变形可得$p=\frac{F}{S}$，
将$F=700$代入得：$p=\frac{700}{S}$。
(2) 当$S=1.4$时，代入$p=\frac{700}{S}$得：
$p=\frac{700}{1.4}=500$
答：人和木板对滩涂的压强是500 Pa。
(3) 由题意得$p≤2500$，
因为$k=700＞0$，当$S＞0$时，$p$随$S$的增大而减小，
因此列不等式：$\frac{700}{S}≤2500$，
结合$S＞0$解得：$S≥0.28$。
答："木海马"底面面积至少需要达到0.28 m²。
【答案】
(1)$p=\frac{700}{S}$
(2)500 Pa
(3)0.28 m²
【知识点】
反比例函数的应用、代入求值、不等式求解
【点评】
本题是跨物理学科的基础应用题，核心考察反比例函数的公式变形、性质应用及实际问题下的取值范围求解，解题时需注意面积为正数这一隐含条件，避免解不等式时出现不等号方向判断错误的问题。
【难度系数】
0.8
本题是结合物理压强公式的反比例函数实际应用题，解题思路如下：(1)首先对给定的压强公式$F=pS$进行变形，将$p$单独放在等式一侧，再把已知的固定压力$F=700\mathrm{N}$代入，即可得到$p$关于$S$的代数式；(2)第二问是已知自变量$S$的取值求对应函数值$p$，直接将$S=1.4$代入第一问得到的解析式计算即可；(3)第三问要求压强不超过2500Pa，由于反比例函数$p=\frac{700}{S}$中$k=700＞0$，在$S＞0$的范围内$p$随$S$的增大而减小，因此列不等式$\frac{700}{S}≤2500$，结合$S$为正数的实际意义求解，就能得到$S$的最小值。
【解析】
(1) 由压强公式$F=pS$，变形可得$p=\frac{F}{S}$，
将$F=700$代入得：$p=\frac{700}{S}$。
(2) 当$S=1.4$时，代入$p=\frac{700}{S}$得：
$p=\frac{700}{1.4}=500$
答：人和木板对滩涂的压强是500 Pa。
(3) 由题意得$p≤2500$，
因为$k=700＞0$，当$S＞0$时，$p$随$S$的增大而减小，
因此列不等式：$\frac{700}{S}≤2500$，
结合$S＞0$解得：$S≥0.28$。
答："木海马"底面面积至少需要达到0.28 m²。
【答案】
(1)$p=\frac{700}{S}$
(2)500 Pa
(3)0.28 m²
【知识点】
反比例函数的应用、代入求值、不等式求解
【点评】
本题是跨物理学科的基础应用题，核心考察反比例函数的公式变形、性质应用及实际问题下的取值范围求解，解题时需注意面积为正数这一隐含条件，避免解不等式时出现不等号方向判断错误的问题。
【难度系数】
0.8
3. (2025·洛阳模拟)如图①所示是烟雾报警器的简化原理图,其中电源电压保持不变,$R_0$为定值电阻,$R$为光敏电阻,$R$的阻值随光照强度的变化而变化(如图②),射向光敏电阻的激光(恒定)被烟雾遮挡时会引起光照强度的变化,进而引起电压表示数变化,当指针停到某区域时,就会触动报警装置.下列说法错误的是 (
A.该图象不是反比例函数图象
B.$R$随$E$的增大而减小
C.当烟雾浓度增大时,电压表$\mathrm{V}$示数变小
D.当光照强度增大时,电路中消耗的总功率增大
C
)A.该图象不是反比例函数图象
B.$R$随$E$的增大而减小
C.当烟雾浓度增大时,电压表$\mathrm{V}$示数变小
D.当光照强度增大时,电路中消耗的总功率增大
答案
3. C 解析:A. 题图②中图象与纵轴相交,所以不是反比例函数图象,故本选项说法正确,不符合题意;B. 根据题图②可知,R 随 E 增大而减小,故本选项说法正确,不符合题意;C. 当烟雾浓度增大时,光照强度减小,电阻变大,电流减小,所以定值电阻 $R_0$ 两端的电压 $U_0$ 变小,而电源电压保持不变,电压表测光敏电阻 R 的电压,根据$U=U_总-U_0$可知,电压表 $\mathrm{V}$ 示数变大,故本选项说法错误,符合题意;D. 当光照强度增大时,电阻变小,电流变大,而电源电压保持不变,根据电路总功率$P=\frac{U^2}{R+R_0}$可知,电路中消耗的总功率增大,故本选项说法正确,不符合题意.故选 C.
解析
【分析】
解题时需结合数学反比例函数的定义、图象特征，以及串联电路的规律、电功率公式逐一判断选项：①先判断图象是否符合反比例函数特征：反比例函数图象为双曲线，与x轴、y轴均无交点，据此判断A选项；②根据图②的走势直接判断R随光照强度E的变化规律，判断B选项；③分析烟雾浓度增大时光照强度的变化，推导R的阻值变化，结合串联分压规律判断电压表示数变化，验证C选项；④分析光照强度增大时总电阻的变化，结合总功率公式判断总功率变化，验证D选项。
【解析】
A. 反比例函数的图象是双曲线，与两条坐标轴都没有交点，题图②的图象与纵轴相交，因此不是反比例函数图象，该选项说法正确，不符合题意；
B. 观察题图②的图象走势可知，光照强度E越大，光敏电阻R的阻值越小，即R随E的增大而减小，该选项说法正确，不符合题意；
C. 当烟雾浓度增大时，激光被烟雾遮挡，光照强度减小，由图②知R的阻值变大；电路中R与$R_0$串联，电源电压不变，根据串联分压规律，电阻越大，分得的电压越大，电压表测R两端的电压，因此电压表示数变大，该选项说法错误，符合题意；
D. 当光照强度增大时，R的阻值变小，电路总电阻$R_{总}=R+R_0$变小，电源电压U不变，根据总功率公式$P=\frac{U^2}{R_{总}}$可知，电路总功率增大，该选项说法正确，不符合题意。
【答案】
C
【知识点】
反比例函数的识别、串联电路的特点、电功率计算
【点评】
本题是跨学科综合题，将数学反比例函数知识与物理电路动态分析相结合，既考查基础知识点的掌握情况，也考查知识迁移和综合应用的能力。
【难度系数】
0.7
解题时需结合数学反比例函数的定义、图象特征，以及串联电路的规律、电功率公式逐一判断选项：①先判断图象是否符合反比例函数特征：反比例函数图象为双曲线，与x轴、y轴均无交点，据此判断A选项；②根据图②的走势直接判断R随光照强度E的变化规律，判断B选项；③分析烟雾浓度增大时光照强度的变化，推导R的阻值变化，结合串联分压规律判断电压表示数变化，验证C选项；④分析光照强度增大时总电阻的变化，结合总功率公式判断总功率变化，验证D选项。
【解析】
A. 反比例函数的图象是双曲线，与两条坐标轴都没有交点，题图②的图象与纵轴相交，因此不是反比例函数图象，该选项说法正确，不符合题意；
B. 观察题图②的图象走势可知，光照强度E越大，光敏电阻R的阻值越小，即R随E的增大而减小，该选项说法正确，不符合题意；
C. 当烟雾浓度增大时，激光被烟雾遮挡，光照强度减小，由图②知R的阻值变大；电路中R与$R_0$串联，电源电压不变，根据串联分压规律，电阻越大，分得的电压越大，电压表测R两端的电压，因此电压表示数变大，该选项说法错误，符合题意；
D. 当光照强度增大时，R的阻值变小，电路总电阻$R_{总}=R+R_0$变小，电源电压U不变，根据总功率公式$P=\frac{U^2}{R_{总}}$可知，电路总功率增大，该选项说法正确，不符合题意。
【答案】
C
【知识点】
反比例函数的识别、串联电路的特点、电功率计算
【点评】
本题是跨学科综合题，将数学反比例函数知识与物理电路动态分析相结合，既考查基础知识点的掌握情况，也考查知识迁移和综合应用的能力。
【难度系数】
0.7
