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1. 已知点$(x_1,y_1)$和点$(x_2,y_2)$在反比例函数$y=\frac{k}{x}(k＜0)$的图象上，若$x_1＜x_2$，则（
A.$(x_1+x_2)(y_1+y_2)＜0$
B.$(x_1+x_2)(y_1+y_2)＞0$
C.$x_1x_2(x_1-x_2)(y_1-y_2)＜0$
D.$x_1x_2(x_1-x_2)(y_1-y_2)＞0$
D
）A.$(x_1+x_2)(y_1+y_2)＜0$
B.$(x_1+x_2)(y_1+y_2)＞0$
C.$x_1x_2(x_1-x_2)(y_1-y_2)＜0$
D.$x_1x_2(x_1-x_2)(y_1-y_2)＞0$
答案
1. D
解析
【分析】
解题时先结合反比例函数的表达式，将点的纵坐标用横坐标和k表示，首先可以用特殊值法快速排除明显错误的A、B选项；对于C、D选项，可将y1-y2代入对应的乘积式进行化简，消去不确定正负的x1x2项，再结合k＜0的条件判断式子的正负即可。如果直接分x1、x2同象限和异象限讨论也可，但化简法更高效。
【解析】
解：
∵点$(x_1,y_1)$、$(x_2,y_2)$在反比例函数$y=\frac{k}{x}(k＜0)$的图象上，
∴$y_1=\frac{k}{x_1}$，$y_2=\frac{k}{x_2}$。
1. 排除A、B选项：
取特殊值$k=-2$，$x_1=-1$，$x_2=1$，满足$x_1＜x_2$，
此时$y_1=2$，$y_2=-2$，则$x_1+x_2=0$，
∴$(x_1+x_2)(y_1+y_2)=0$，既不大于0也不小于0，故A、B错误。
2. 判断C、D选项：
先化简$y_1-y_2=\frac{k}{x_1}-\frac{k}{x_2}=\frac{k(x_2-x_1)}{x_1x_2}$，
代入$x_1x_2(x_1-x_2)(y_1-y_2)$得：
原式$=x_1x_2·(x_1-x_2)·\frac{k(x_2-x_1)}{x_1x_2}$
约去$x_1x_2$后得：$(x_1-x_2)· k(x_2-x_1)=-k(x_1-x_2)^2$
∵$k＜0$，
∴$-k＞0$，又$x_1＜x_2$，
∴$(x_1-x_2)^2＞0$，
∴$-k(x_1-x_2)^2＞0$，即$x_1x_2(x_1-x_2)(y_1-y_2)＞0$，
故C错误，D正确。
【答案】
D
【知识点】
反比例函数的性质；代数式化简；不等式性质
【点评】
本题可通过特殊值法快速排除错误选项，也可通过代数式直接化简判断结果，解题时注意对于含多个不确定变量的乘积式，优先通过代入消元化简，减少分类讨论的繁琐，同时要牢记反比例函数中k的符号对函数图象和性质的影响。
【难度系数】
0.6
解题时先结合反比例函数的表达式，将点的纵坐标用横坐标和k表示，首先可以用特殊值法快速排除明显错误的A、B选项；对于C、D选项，可将y1-y2代入对应的乘积式进行化简，消去不确定正负的x1x2项，再结合k＜0的条件判断式子的正负即可。如果直接分x1、x2同象限和异象限讨论也可，但化简法更高效。
【解析】
解：
∵点$(x_1,y_1)$、$(x_2,y_2)$在反比例函数$y=\frac{k}{x}(k＜0)$的图象上，
∴$y_1=\frac{k}{x_1}$，$y_2=\frac{k}{x_2}$。
1. 排除A、B选项：
取特殊值$k=-2$，$x_1=-1$，$x_2=1$，满足$x_1＜x_2$，
此时$y_1=2$，$y_2=-2$，则$x_1+x_2=0$，
∴$(x_1+x_2)(y_1+y_2)=0$，既不大于0也不小于0，故A、B错误。
2. 判断C、D选项：
先化简$y_1-y_2=\frac{k}{x_1}-\frac{k}{x_2}=\frac{k(x_2-x_1)}{x_1x_2}$，
代入$x_1x_2(x_1-x_2)(y_1-y_2)$得：
原式$=x_1x_2·(x_1-x_2)·\frac{k(x_2-x_1)}{x_1x_2}$
约去$x_1x_2$后得：$(x_1-x_2)· k(x_2-x_1)=-k(x_1-x_2)^2$
∵$k＜0$，
∴$-k＞0$，又$x_1＜x_2$，
∴$(x_1-x_2)^2＞0$，
∴$-k(x_1-x_2)^2＞0$，即$x_1x_2(x_1-x_2)(y_1-y_2)＞0$，
故C错误，D正确。
【答案】
D
【知识点】
反比例函数的性质；代数式化简；不等式性质
【点评】
本题可通过特殊值法快速排除错误选项，也可通过代数式直接化简判断结果，解题时注意对于含多个不确定变量的乘积式，优先通过代入消元化简，减少分类讨论的繁琐，同时要牢记反比例函数中k的符号对函数图象和性质的影响。
【难度系数】
0.6
2. （2024·德州中考）如图，点A，C在反比例函数$y=\frac{a}{x}$的图象上，点B，D在反比例函数$y=\frac{b}{x}$的图象上，$AB// CD// y$轴，若$AB=3$，$CD=2$，$AB$与$CD$的距离为5，则$a-b$的值为（
A.-2
B.1
C.5
D.6
D
）A.-2
B.1
C.5
D.6
答案
2. D
解析
【分析】首先观察到AB、CD都平行于y轴，因此同一条竖线上的点横坐标相同，我们可以先设AB所在直线的横坐标为m（m＞0），CD所在直线的横坐标为n（n＜0），再根据两点在反比例函数上的坐标特征，分别表示出A、B、C、D四点的纵坐标，结合AB、CD的长度列出关于a、b、m、n的等式，再利用AB与CD的距离为5得到m和n的关系，联立求解即可算出a-b的值。
【解析】设点A、B的横坐标为m（m＞0），点C、D的横坐标为n（n＜0）。
∵点A在$y=\frac{a}{x}$上，点B在$y=\frac{b}{x}$上，且A在B上方，AB=3
∴$y_A - y_B = \frac{a}{m} - \frac{b}{m} = 3$，整理得：$\frac{a-b}{m}=3$，即$a-b=3m$ ①
∵点D在$y=\frac{b}{x}$上，点C在$y=\frac{a}{x}$上，且D在C上方，CD=2
∴$y_D - y_C = \frac{b}{n} - \frac{a}{n} = 2$，整理得：$\frac{b-a}{n}=2$，即$a-b=-2n$ ②
由①②可得：$3m=-2n$，即$n=-\frac{3m}{2}$
∵AB与CD的距离为5，AB在x=m处，CD在x=n处，m＞0，n＜0
∴$m - n =5$
将$n=-\frac{3m}{2}$代入得：$m - (-\frac{3m}{2})=5$，解得$m=2$
把m=2代入①得：$a-b=3×2=6$
【答案】D
【知识点】反比例函数的性质，反比例函数点的坐标特征
【点评】本题考查反比例函数的综合应用，解题核心是利用平行于y轴的直线上点横坐标相同的特征设参数，结合线段长度、横坐标距离列等式联立求解，是反比例函数的典型考法。
【难度系数】0.6
【解析】设点A、B的横坐标为m（m＞0），点C、D的横坐标为n（n＜0）。
∵点A在$y=\frac{a}{x}$上，点B在$y=\frac{b}{x}$上，且A在B上方，AB=3
∴$y_A - y_B = \frac{a}{m} - \frac{b}{m} = 3$，整理得：$\frac{a-b}{m}=3$，即$a-b=3m$ ①
∵点D在$y=\frac{b}{x}$上，点C在$y=\frac{a}{x}$上，且D在C上方，CD=2
∴$y_D - y_C = \frac{b}{n} - \frac{a}{n} = 2$，整理得：$\frac{b-a}{n}=2$，即$a-b=-2n$ ②
由①②可得：$3m=-2n$，即$n=-\frac{3m}{2}$
∵AB与CD的距离为5，AB在x=m处，CD在x=n处，m＞0，n＜0
∴$m - n =5$
将$n=-\frac{3m}{2}$代入得：$m - (-\frac{3m}{2})=5$，解得$m=2$
把m=2代入①得：$a-b=3×2=6$
【答案】D
【知识点】反比例函数的性质，反比例函数点的坐标特征
【点评】本题考查反比例函数的综合应用，解题核心是利用平行于y轴的直线上点横坐标相同的特征设参数，结合线段长度、横坐标距离列等式联立求解，是反比例函数的典型考法。
【难度系数】0.6
3. 长江中学的自动饮水机，开机加热时每分钟上升$10\ \mathrm{℃}$，加热到$100\ \mathrm{℃}$，停止加热，水温开始下降.此时水温$y(\mathrm{℃})$与通电时间$x(\mathrm{min})$成反比例关系.当水温降至$20\ \mathrm{℃}$时，饮水机再自动加热，若水温在$20\ \mathrm{℃}$时接通电源，水温$y$与通电时间$x$之间的关系如图所示，下列说法中正确的是 (
A.水温从$20\ \mathrm{℃}$加热到$100\ \mathrm{℃}$，需要$7\ \mathrm{min}$
B.水温下降过程中，$y$与$x$的函数表达式是$y=\frac{400}{x}$
C.上午$8:00$接通电源，可以保证当天$9:30$能喝到不超过$40\ \mathrm{℃}$的水
D.在接通电源$40\ \mathrm{min}$内，水温不低于$30\ \mathrm{℃}$的时间为$\frac{77}{3}\ \mathrm{min}$
＞＞ 对点专练 P168
D
)A.水温从$20\ \mathrm{℃}$加热到$100\ \mathrm{℃}$，需要$7\ \mathrm{min}$
B.水温下降过程中，$y$与$x$的函数表达式是$y=\frac{400}{x}$
C.上午$8:00$接通电源，可以保证当天$9:30$能喝到不超过$40\ \mathrm{℃}$的水
D.在接通电源$40\ \mathrm{min}$内，水温不低于$30\ \mathrm{℃}$的时间为$\frac{77}{3}\ \mathrm{min}$
＞＞ 对点专练 P168
答案
3. D
解析
【分析】
本题是一次函数与反比例函数结合的分段函数实际应用问题，解题思路如下：1. 先区分加热、降温两个阶段，分别求出两个阶段对应的函数解析式，确定函数的周期规律；2. 结合函数解析式，对四个选项逐一计算验证，判断正误即可。
【解析】
步骤1：求两个阶段的函数解析式
1. 加热阶段：初始水温20℃，每分钟上升10℃，加热到100℃所需时间为$(100-20)÷10=8\ \mathrm{min}$，因此$0≤ x≤8$时，函数为一次函数：$y=10x+20$。
2. 降温阶段：水温$y$与$x$成反比例关系，设解析式为$y=\frac{k}{x}$，将点$(8,100)$代入得$100=\frac{k}{8}$，解得$k=800$，因此$x≥8$时，反比例函数为$y=\frac{800}{x}$。
令$y=20$，代入得$x=\frac{800}{20}=40$，即冷热循环的一个周期为40min。
步骤2：逐一判断选项
A选项：水温从20℃加热到100℃需要$8\ \mathrm{min}$，不是$7\ \mathrm{min}$，A错误。
B选项：降温阶段函数表达式为$y=\frac{800}{x}$，不是$y=\frac{400}{x}$，B错误。
C选项：8:00到9:30共90min，$90÷40=2······10$，即2个完整循环后又过10min，$x=10$时$y=\frac{800}{10}=80°\mathrm{C}＞40°\mathrm{C}$，此时水温超过40℃，C错误。
D选项：计算40min内水温不低于30℃的时间：
①加热阶段：令$10x+20≥30$，解得$x≥1$，符合要求的时长为$8-1=7\ \mathrm{min}$；
②降温阶段：令$\frac{800}{x}≥30$，解得$x≤\frac{80}{3}$，符合要求的时长为$\frac{80}{3}-8=\frac{56}{3}\ \mathrm{min}$；
总时长为$7+\frac{56}{3}=\frac{77}{3}\ \mathrm{min}$，D正确。
【答案】
D
【知识点】
一次函数的应用，反比例函数的应用，分段函数
【点评】
本题结合生活场景考查分段函数的实际应用，解题核心是准确求出不同阶段的函数解析式，结合不等式求解对应温度的时间范围，需要注意冷热循环周期的规律。
【难度系数】
0.65
本题是一次函数与反比例函数结合的分段函数实际应用问题，解题思路如下：1. 先区分加热、降温两个阶段，分别求出两个阶段对应的函数解析式，确定函数的周期规律；2. 结合函数解析式，对四个选项逐一计算验证，判断正误即可。
【解析】
步骤1：求两个阶段的函数解析式
1. 加热阶段：初始水温20℃，每分钟上升10℃，加热到100℃所需时间为$(100-20)÷10=8\ \mathrm{min}$，因此$0≤ x≤8$时，函数为一次函数：$y=10x+20$。
2. 降温阶段：水温$y$与$x$成反比例关系，设解析式为$y=\frac{k}{x}$，将点$(8,100)$代入得$100=\frac{k}{8}$，解得$k=800$，因此$x≥8$时，反比例函数为$y=\frac{800}{x}$。
令$y=20$，代入得$x=\frac{800}{20}=40$，即冷热循环的一个周期为40min。
步骤2：逐一判断选项
A选项：水温从20℃加热到100℃需要$8\ \mathrm{min}$，不是$7\ \mathrm{min}$，A错误。
B选项：降温阶段函数表达式为$y=\frac{800}{x}$，不是$y=\frac{400}{x}$，B错误。
C选项：8:00到9:30共90min，$90÷40=2······10$，即2个完整循环后又过10min，$x=10$时$y=\frac{800}{10}=80°\mathrm{C}＞40°\mathrm{C}$，此时水温超过40℃，C错误。
D选项：计算40min内水温不低于30℃的时间：
①加热阶段：令$10x+20≥30$，解得$x≥1$，符合要求的时长为$8-1=7\ \mathrm{min}$；
②降温阶段：令$\frac{800}{x}≥30$，解得$x≤\frac{80}{3}$，符合要求的时长为$\frac{80}{3}-8=\frac{56}{3}\ \mathrm{min}$；
总时长为$7+\frac{56}{3}=\frac{77}{3}\ \mathrm{min}$，D正确。
【答案】
D
【知识点】
一次函数的应用，反比例函数的应用，分段函数
【点评】
本题结合生活场景考查分段函数的实际应用，解题核心是准确求出不同阶段的函数解析式，结合不等式求解对应温度的时间范围，需要注意冷热循环周期的规律。
【难度系数】
0.65
4. |数形结合思想（2025·咸阳模拟）如图,点A,B在x轴上,分别以OA,AB为边,在x轴上方作正方形OACD,ABEF,反比例函数$y=\frac{k}{x}(k＞0)$的图象分别交边CD,BE于点P,Q.作PM⊥x轴于点M,QN⊥y轴于点N.若OA=2AB,Q为BE的中点,且阴影部分面积等于6,则k的值为
＞＞ 对点专练P164
24
. ＞＞ 对点专练P164答案
4. 24
解析
【分析】
解题时可先设AB的长度为参数a，根据OA=2AB得到OA=2a，结合正方形的性质分别表示出Q点和P点的坐标特征：Q在BE上，横坐标为OB的长度3a，又Q是BE中点，因此纵坐标为a/2；P在CD上，纵坐标为OA的长度2a。再结合反比例函数上点的横、纵坐标乘积等于k，得到P点的横坐标为k/(2a)，而阴影部分是矩形，长为P点横坐标OM，宽为Q点纵坐标ON，根据阴影面积为6列出式子，计算时参数a会直接消去，即可求出k的值。
【解析】
解：设$ AB = a $，
$\because OA = 2AB$，$\therefore OA = 2a$。
$\because$ 四边形$ABEF$是正方形，
$\therefore AB = BE = a$，$ OB = OA + AB = 2a + a = 3a $。
$\because Q$是$BE$的中点，
$\therefore Q$点的横坐标为$3a$，纵坐标为$\frac{a}{2}$，即$Q(3a,\frac{a}{2})$。
$\because$ 四边形$OACD$是正方形，
$\therefore CD$边所在直线的纵坐标为$2a$，
$\because$ 点$P$在反比例函数$y=\frac{k}{x}$的图象上，且在$CD$边上，
$\therefore P$点的横坐标为$x_P = \frac{k}{y_P} = \frac{k}{2a}$，即$OM = \frac{k}{2a}$。
$\because QN ⊥ y$轴，$\therefore ON$等于$Q$点的纵坐标，即$ON = \frac{a}{2}$。
阴影部分为矩形，面积$S_{\mathrm{阴影}} = OM · ON = 6$，代入得：
$\frac{k}{2a} · \frac{a}{2} = 6$
化简得$\frac{k}{4} = 6$，解得$k = 24$。
【答案】
$\boxed{24}$
【知识点】
反比例函数的性质，正方形的性质，坐标与图形
【点评】
本题考查反比例函数与几何图形的结合，解题关键是用参数表示出相关点的坐标，结合反比例函数上点的坐标特征和阴影面积列式，计算过程中参数会自动消去，无需单独求解参数，很好地体现了数形结合的思想方法。
【难度系数】
0.6
解题时可先设AB的长度为参数a，根据OA=2AB得到OA=2a，结合正方形的性质分别表示出Q点和P点的坐标特征：Q在BE上，横坐标为OB的长度3a，又Q是BE中点，因此纵坐标为a/2；P在CD上，纵坐标为OA的长度2a。再结合反比例函数上点的横、纵坐标乘积等于k，得到P点的横坐标为k/(2a)，而阴影部分是矩形，长为P点横坐标OM，宽为Q点纵坐标ON，根据阴影面积为6列出式子，计算时参数a会直接消去，即可求出k的值。
【解析】
解：设$ AB = a $，
$\because OA = 2AB$，$\therefore OA = 2a$。
$\because$ 四边形$ABEF$是正方形，
$\therefore AB = BE = a$，$ OB = OA + AB = 2a + a = 3a $。
$\because Q$是$BE$的中点，
$\therefore Q$点的横坐标为$3a$，纵坐标为$\frac{a}{2}$，即$Q(3a,\frac{a}{2})$。
$\because$ 四边形$OACD$是正方形，
$\therefore CD$边所在直线的纵坐标为$2a$，
$\because$ 点$P$在反比例函数$y=\frac{k}{x}$的图象上，且在$CD$边上，
$\therefore P$点的横坐标为$x_P = \frac{k}{y_P} = \frac{k}{2a}$，即$OM = \frac{k}{2a}$。
$\because QN ⊥ y$轴，$\therefore ON$等于$Q$点的纵坐标，即$ON = \frac{a}{2}$。
阴影部分为矩形，面积$S_{\mathrm{阴影}} = OM · ON = 6$，代入得：
$\frac{k}{2a} · \frac{a}{2} = 6$
化简得$\frac{k}{4} = 6$，解得$k = 24$。
【答案】
$\boxed{24}$
【知识点】
反比例函数的性质，正方形的性质，坐标与图形
【点评】
本题考查反比例函数与几何图形的结合，解题关键是用参数表示出相关点的坐标，结合反比例函数上点的坐标特征和阴影面积列式，计算过程中参数会自动消去，无需单独求解参数，很好地体现了数形结合的思想方法。
【难度系数】
0.6
