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5. 如图，$P_1$是反比例函数$y=\frac{k}{x}(k＞0)$在第一象限图象上的一点，点$A_1$的坐标为$(2,0)$.若$△ P_1OA_1$与$△ P_2A_1A_2$均为等边三角形，则点$A_2$的坐标为
（第5题）（第6题）
$(2\sqrt{2},0)$
.（第5题）（第6题）
答案
5. $(2\sqrt{2},0)$ 解析:如图,过点$P_1$作$P_1C⊥x$轴于点$C,∵ △ P_1OA_1$为边长是2的等边三角形,$∴ OC=1,P_1C=2×\frac{\sqrt{3}}{2}=\sqrt{3},∴ P_1(1,\sqrt{3}).$代入$y=\frac{k}{x}$,得$k=\sqrt{3},∴$ 反比例函数的表达式为$y=\frac{\sqrt{3}}{x}$.过点$P_2$作$P_2D⊥A_1A_2$,垂足为D.设$A_1D=a$,则$OD=2+a,P_2D=\sqrt{3}a,∴ P_2(2+a,\sqrt{3}a).∵ P_2(2+a,\sqrt{3}a)$在反比例函数的图象上,$∴$ 代入$y=\frac{\sqrt{3}}{x}$,得$(2+a)×\sqrt{3}a=\sqrt{3}$,化简得$a^2+2a-1=0$,解得$a=-1±\sqrt{2}.∵ a＞0,∴ a=-1+\sqrt{2},∴ A_1A_2=-2+2\sqrt{2},∴ OA_2=OA_1+A_1A_2=2\sqrt{2},∴$ 点$A_2$的坐标为$(2\sqrt{2},0).$
解析
【分析】
解题可按以下思路推导：首先，已知△P₁OA₁是等边三角形，且A₁坐标为(2,0)，利用等边三角形三线合一的性质，可求出P₁的横、纵坐标，将P₁坐标代入反比例函数解析式即可求出k值，确定反比例函数的表达式；其次，对于等边△P₂A₁A₂，设A₁D=a（D为P₂向x轴作垂线的垂足），同样利用等边三角形的性质，用含a的式子表示出P₂的坐标；最后，因为P₂在反比例函数图象上，将其坐标代入解析式列方程求解，取a的正值，再计算OA₂的长度，就能得到A₂的坐标，注意舍去不符合实际的负根。
【解析】
如图，过点$P_1$作$P_1C⊥x$轴于点$C$，
∵ $△ P_1OA_1$为边长是2的等边三角形，
∴ $OC=1$，$P_1C=2×\frac{\sqrt{3}}{2}=\sqrt{3}$，即$P_1(1,\sqrt{3})$。
将$P_1(1,\sqrt{3})$代入$y=\frac{k}{x}$，得$k=1×\sqrt{3}=\sqrt{3}$，
∴ 反比例函数的表达式为$y=\frac{\sqrt{3}}{x}$。
过点$P_2$作$P_2D⊥A_1A_2$，垂足为D，设$A_1D=a(a＞0)$，
则$OD=OA_1+A_1D=2+a$，$P_2D=\sqrt{3}a$，即$P_2(2+a,\sqrt{3}a)$。
∵ $P_2$在反比例函数$y=\frac{\sqrt{3}}{x}$的图象上，
∴ 代入得$(2+a)·\sqrt{3}a=\sqrt{3}$，
化简得$a^2+2a-1=0$，
解得$a=-1±\sqrt{2}$。
∵ $a＞0$，
∴ $a=\sqrt{2}-1$，
∴ $A_1A_2=2a=2\sqrt{2}-2$，
∴ $OA_2=OA_1+A_1A_2=2+2\sqrt{2}-2=2\sqrt{2}$，
∴ 点$A_2$的坐标为$(2\sqrt{2},0)$。
【答案】
$(2\sqrt{2},0)$
【知识点】
反比例函数的性质，等边三角形的性质，坐标与图形性质
【点评】
本题属于反比例函数与几何图形结合的综合题，解题的关键是利用等边三角形的性质准确表示出反比例函数上点的坐标，再结合函数性质列方程求解，解题过程中要注意结合实际意义对解进行取舍，是这类综合题型的常规考法。
【难度系数】
0.6
解题可按以下思路推导：首先，已知△P₁OA₁是等边三角形，且A₁坐标为(2,0)，利用等边三角形三线合一的性质，可求出P₁的横、纵坐标，将P₁坐标代入反比例函数解析式即可求出k值，确定反比例函数的表达式；其次，对于等边△P₂A₁A₂，设A₁D=a（D为P₂向x轴作垂线的垂足），同样利用等边三角形的性质，用含a的式子表示出P₂的坐标；最后，因为P₂在反比例函数图象上，将其坐标代入解析式列方程求解，取a的正值，再计算OA₂的长度，就能得到A₂的坐标，注意舍去不符合实际的负根。
【解析】
如图，过点$P_1$作$P_1C⊥x$轴于点$C$，
∵ $△ P_1OA_1$为边长是2的等边三角形，
∴ $OC=1$，$P_1C=2×\frac{\sqrt{3}}{2}=\sqrt{3}$，即$P_1(1,\sqrt{3})$。
将$P_1(1,\sqrt{3})$代入$y=\frac{k}{x}$，得$k=1×\sqrt{3}=\sqrt{3}$，
∴ 反比例函数的表达式为$y=\frac{\sqrt{3}}{x}$。
过点$P_2$作$P_2D⊥A_1A_2$，垂足为D，设$A_1D=a(a＞0)$，
则$OD=OA_1+A_1D=2+a$，$P_2D=\sqrt{3}a$，即$P_2(2+a,\sqrt{3}a)$。
∵ $P_2$在反比例函数$y=\frac{\sqrt{3}}{x}$的图象上，
∴ 代入得$(2+a)·\sqrt{3}a=\sqrt{3}$，
化简得$a^2+2a-1=0$，
解得$a=-1±\sqrt{2}$。
∵ $a＞0$，
∴ $a=\sqrt{2}-1$，
∴ $A_1A_2=2a=2\sqrt{2}-2$，
∴ $OA_2=OA_1+A_1A_2=2+2\sqrt{2}-2=2\sqrt{2}$，
∴ 点$A_2$的坐标为$(2\sqrt{2},0)$。
【答案】
$(2\sqrt{2},0)$
【知识点】
反比例函数的性质，等边三角形的性质，坐标与图形性质
【点评】
本题属于反比例函数与几何图形结合的综合题，解题的关键是利用等边三角形的性质准确表示出反比例函数上点的坐标，再结合函数性质列方程求解，解题过程中要注意结合实际意义对解进行取舍，是这类综合题型的常规考法。
【难度系数】
0.6
6. (2024·广州中考)如图,平面直角坐标系$xOy$中,矩形$OABC$的顶点$B$在函数$y=\frac{k}{x}(x＞0)$的图象上,$A(1,0),C(0,2)$.将线段$AB$沿$x$轴正方向平移得线段$A'B'$(点$A$平移后的对应点为$A'$),$A'B'$交函数$y=\frac{k}{x}(x＞0)$的图象于点$D$,过点$D$作$DE⊥y$轴于点$E$,则下列结论:
①$k=2$;②$△ OBD$的面积等于四边形$ABDA'$的面积;③$A'E$的最小值是$\sqrt{2}$;④$∠ B'BD=∠ BB'O$.
其中正确的结论有
＞＞ 对点专练 P173
①$k=2$;②$△ OBD$的面积等于四边形$ABDA'$的面积;③$A'E$的最小值是$\sqrt{2}$;④$∠ B'BD=∠ BB'O$.
其中正确的结论有
①②④
.(填写所有正确结论的序号)＞＞ 对点专练 P173
答案
6. ①②④ 解析:①
∵ A(1,0),C(0,2),
∴ B(1,2).
∵ 矩形OABC的顶点B在函数$y=\frac{k}{x}(x＞0)$的图象上,
∴ k=2,故①正确;②如图,
∵ 点B、点D在函数$y=\frac{k}{x}(x＞0)$的图象上,$∴ S_{△AOB}=S_{△A'OD}=\frac{1}{2}|k|$,$∴ S_{△AOB}-S_{△AOM}=S_{△A'OD}-S_{△AOM}$,即 $S_{△OBM}=S_{梯形AMDA'}$,$∴ S_{△OBD}=S_{梯形ABDA'}$,故②正确;③如图,连结$A'E$,
∵$A'E$和OD是矩形$OEDA'$的对角线,$∴ A'E=OD$,$∴ A'E$的最小值等于OD的最小值,即原点O到反比例函数$y=\frac{2}{x}(x＞1)$图象上的点的最小距离,设$D(x,\frac{2}{x})$,则$OD^2=x^2+(\frac{2}{x})^2=(x-\frac{2}{x})^2+2x·\frac{2}{x}=(x-\frac{2}{x})^2+4≥4$,$∴ OD≥2$,当且仅当$x-\frac{2}{x}=0$,即$x=\sqrt{2}$时取等号($\sqrt{2}＞1$,满足取值范围),$∴ A'E$的最小值为2,故③错误;④向右平移的过程中$∠ B'BD$与$∠ BB'O$变化相同,这两个角是矩形$BB'DN$的对角线与边的夹角,是相等的,④正确.故正确的结论有①②④.
解析
【分析】
解题时需对4个结论逐一验证：①首先根据矩形OABC的顶点A、C坐标确定B点坐标，代入反比例函数解析式即可求出k值；②利用反比例函数k的几何意义，△AOB和△A'OD的面积都等于$\frac{1}{2}|k|$，通过减去公共部分△AOM的面积，即可推导出△OBD和四边形ABDA'的面积关系；③利用矩形对角线相等将$A'E$转化为OD，再通过设D点坐标，用配方法求OD的最小值，即可判断$A'E$的最小值是否正确；④根据平移的性质和矩形的性质，分析两个角的关系即可判断。
【解析】
①已知$A(1,0)$，$C(0,2)$，矩形OABC中，B点横坐标与A点相同，纵坐标与C点相同，故$B(1,2)$。
将$B(1,2)$代入$y=\frac{k}{x}(x＞0)$，得$k=1×2=2$，故①正确。
②
∵点B、D都在$y=\frac{2}{x}(x＞0)$的图象上，根据反比例函数k的几何意义，$S_{△AOB}=S_{△A'OD}=\frac{1}{2}|k|=1$。
∴$S_{△AOB}-S_{△AOM}=S_{△A'OD}-S_{△AOM}$，即$S_{△OBM}=S_{梯形AMDA'}$。
两边同时加$△BMD$的面积，可得$S_{△OBD}=S_{四边形ABDA'}$，故②正确。
③连接$A'E$，
∵$DE⊥y$轴，$A'$在x轴上，$A'D⊥x$轴，
∴四边形$OEDA'$是矩形，矩形对角线相等，故$A'E=OD$。
设$D(x,\frac{2}{x})(x≥1)$，则$OD^2=x^2+(\frac{2}{x})^2=(x-\frac{2}{x})^2+4≥4$，当且仅当$x-\frac{2}{x}=0$即$x=\sqrt{2}$（$\sqrt{2}＞1$，符合取值范围）时，$OD^2$取最小值4，即$OD_{min}=2$，故$A'E$的最小值为2，故③错误。
④由平移的性质可知，$BB'// x$轴，结合矩形的性质可得$∠B'BD$与$∠BB'O$是矩形对角线与对应边的夹角，二者始终相等，故④正确。
【答案】
①②④
【知识点】
反比例函数的性质，平移的性质，矩形的性质
【点评】
本题为反比例函数综合题，将反比例函数、平移、矩形性质、最值计算等知识点结合考查，需要逐一分析每个结论，注重知识点的综合运用，同时注意利用转化思想求解最值问题。
【难度系数】
0.6
解题时需对4个结论逐一验证：①首先根据矩形OABC的顶点A、C坐标确定B点坐标，代入反比例函数解析式即可求出k值；②利用反比例函数k的几何意义，△AOB和△A'OD的面积都等于$\frac{1}{2}|k|$，通过减去公共部分△AOM的面积，即可推导出△OBD和四边形ABDA'的面积关系；③利用矩形对角线相等将$A'E$转化为OD，再通过设D点坐标，用配方法求OD的最小值，即可判断$A'E$的最小值是否正确；④根据平移的性质和矩形的性质，分析两个角的关系即可判断。
【解析】
①已知$A(1,0)$，$C(0,2)$，矩形OABC中，B点横坐标与A点相同，纵坐标与C点相同，故$B(1,2)$。
将$B(1,2)$代入$y=\frac{k}{x}(x＞0)$，得$k=1×2=2$，故①正确。
②
∵点B、D都在$y=\frac{2}{x}(x＞0)$的图象上，根据反比例函数k的几何意义，$S_{△AOB}=S_{△A'OD}=\frac{1}{2}|k|=1$。
∴$S_{△AOB}-S_{△AOM}=S_{△A'OD}-S_{△AOM}$，即$S_{△OBM}=S_{梯形AMDA'}$。
两边同时加$△BMD$的面积，可得$S_{△OBD}=S_{四边形ABDA'}$，故②正确。
③连接$A'E$，
∵$DE⊥y$轴，$A'$在x轴上，$A'D⊥x$轴，
∴四边形$OEDA'$是矩形，矩形对角线相等，故$A'E=OD$。
设$D(x,\frac{2}{x})(x≥1)$，则$OD^2=x^2+(\frac{2}{x})^2=(x-\frac{2}{x})^2+4≥4$，当且仅当$x-\frac{2}{x}=0$即$x=\sqrt{2}$（$\sqrt{2}＞1$，符合取值范围）时，$OD^2$取最小值4，即$OD_{min}=2$，故$A'E$的最小值为2，故③错误。
④由平移的性质可知，$BB'// x$轴，结合矩形的性质可得$∠B'BD$与$∠BB'O$是矩形对角线与对应边的夹角，二者始终相等，故④正确。
【答案】
①②④
【知识点】
反比例函数的性质，平移的性质，矩形的性质
【点评】
本题为反比例函数综合题，将反比例函数、平移、矩形性质、最值计算等知识点结合考查，需要逐一分析每个结论，注重知识点的综合运用，同时注意利用转化思想求解最值问题。
【难度系数】
0.6
三、解答题
7. （2024·乐山中考）如图，已知点$A(1,m)$，$B(n,1)$在反比例函数$y=\dfrac{3}{x}(x＞0)$的图象上，过点$A$的一次函数$y=kx+b$的图象与$y$轴交于点$C(0,1)$。
(1) 求$m$，$n$的值和一次函数的表达式；
(2) 连结$AB$，求点$C$到线段$AB$的距离。
＞＞ 对点专练 P167
7. （2024·乐山中考）如图，已知点$A(1,m)$，$B(n,1)$在反比例函数$y=\dfrac{3}{x}(x＞0)$的图象上，过点$A$的一次函数$y=kx+b$的图象与$y$轴交于点$C(0,1)$。
(1) 求$m$，$n$的值和一次函数的表达式；
(2) 连结$AB$，求点$C$到线段$AB$的距离。
＞＞ 对点专练 P167
答案
7. (1)
∵ 点$A(1,m),B(n,1)$在反比例函数$y=\frac{3}{x}(x＞0)$的图象上,$∴ m=3,n=3$.又
∵ 一次函数$y=kx+b$的图象过点$A(1,3),C(0,1)$,$∴ \begin{cases}k+b=3,\\b=1,\end{cases}$ 解得$\begin{cases}k=2,\\b=1,\end{cases}$
∴ 一次函数表达式为$y=2x+1$.
(2)如图,连结 BC.过点 A 作$AD ⊥ BC$,垂足为点 D,过点 C 作$CE ⊥ AB$,垂足为点 E.
∵ $C(0,1),B(3,1)$,$∴ BC// x$轴,$BC=3$.
∵ 点$A(1,3),B(3,1)$,$AD ⊥ BC$,
∴ 点$D(1,1),AD=2,DB=2$. 在Rt△ADB中,$AB=\sqrt{AD^2+BD^2}=\sqrt{2^2+2^2}=2\sqrt{2}$.
∵ $S_{△ABC}=\frac{1}{2}BC·AD=\frac{1}{2}AB·CE$,即$\frac{1}{2}×3×2=\frac{1}{2}×2\sqrt{2}×CE$,$∴ CE=\frac{3\sqrt{2}}{2}$,即点 C 到线段 AB 的距离为$\frac{3\sqrt{2}}{2}$.
解析
【分析】
(1) 已知点在函数图象上时，点的坐标满足函数解析式。将A、B两点坐标分别代入反比例函数$y=\frac{3}{x}$，即可求出m、n的值；再将A、C两点坐标代入一次函数$y=kx+b$，得到关于k、b的二元一次方程组，解方程组得到k、b的值，即可确定一次函数的表达式。
(2) 求点C到线段AB的距离，可采用等面积法求解：先连接BC，由B、C两点纵坐标相等可得BC平行于x轴，求出BC的长度，再过点A作AD垂直BC于D，得到AD的长度，据此求出$△ ABC$的面积；之后利用勾股定理求出线段AB的长度，最后将AB作为$△ ABC$的底，点C到AB的距离为该底对应的高，根据三角形面积公式列方程求解，即可得到所求距离。
【解析】
(1)
∵ 点$A(1,m),B(n,1)$在反比例函数$y=\frac{3}{x}(x＞0)$的图象上，
∴ 把$x=1$代入解析式得$m=\frac{3}{1}=3$，把$y=1$代入解析式得$1=\frac{3}{n}$，解得$n=3$。
∵ 一次函数$y=kx+b$的图象过点$A(1,3),C(0,1)$，
∴ 代入坐标得$\begin{cases}k+b=3,\\b=1,\end{cases}$ 解得$\begin{cases}k=2,\\b=1,\end{cases}$
∴ 一次函数表达式为$y=2x+1$。
(2) 连结BC，过点A作$AD ⊥ BC$，垂足为点D，过点C作$CE ⊥ AB$，垂足为点E。
∵ $C(0,1),B(3,1)$，两点纵坐标相同，
∴ $BC// x$轴，$BC=3-0=3$。
∵ 点$A(1,3),B(3,1)$，$AD ⊥ BC$，
∴ 点D的横坐标与A相同、纵坐标与BC相同，即$D(1,1)$，
∴ $AD=3-1=2$，$DB=3-1=2$。
在Rt△ADB中，由勾股定理得$AB=\sqrt{AD^2+BD^2}=\sqrt{2^2+2^2}=2\sqrt{2}$。
∵ $△ ABC$的面积可表示为$\frac{1}{2}BC·AD$，也可表示为$\frac{1}{2}AB·CE$，
∴ $\frac{1}{2}×3×2=\frac{1}{2}×2\sqrt{2}×CE$，解得$CE=\frac{3\sqrt{2}}{2}$，即点C到线段AB的距离为$\frac{3\sqrt{2}}{2}$。
【答案】
(1) $m=3$，$n=3$，一次函数表达式为$\boldsymbol{y=2x+1}$；
(2) 点C到线段AB的距离为$\boldsymbol{\frac{3\sqrt{2}}{2}}$。
【知识点】
1. 反比例函数点的坐标特征
2. 待定系数法求解析式
3. 等面积法求距离
【点评】
本题属于函数综合基础题，第一问考查函数图象上的点与解析式的对应关系，以及待定系数法求函数解析式的基本技能；第二问通过等面积法求解点到线段的距离，巧妙运用数形结合思想简化计算，重点考查学生的几何分析能力和基础运算能力。
【难度系数】
0.7
(1) 已知点在函数图象上时，点的坐标满足函数解析式。将A、B两点坐标分别代入反比例函数$y=\frac{3}{x}$，即可求出m、n的值；再将A、C两点坐标代入一次函数$y=kx+b$，得到关于k、b的二元一次方程组，解方程组得到k、b的值，即可确定一次函数的表达式。
(2) 求点C到线段AB的距离，可采用等面积法求解：先连接BC，由B、C两点纵坐标相等可得BC平行于x轴，求出BC的长度，再过点A作AD垂直BC于D，得到AD的长度，据此求出$△ ABC$的面积；之后利用勾股定理求出线段AB的长度，最后将AB作为$△ ABC$的底，点C到AB的距离为该底对应的高，根据三角形面积公式列方程求解，即可得到所求距离。
【解析】
(1)
∵ 点$A(1,m),B(n,1)$在反比例函数$y=\frac{3}{x}(x＞0)$的图象上，
∴ 把$x=1$代入解析式得$m=\frac{3}{1}=3$，把$y=1$代入解析式得$1=\frac{3}{n}$，解得$n=3$。
∵ 一次函数$y=kx+b$的图象过点$A(1,3),C(0,1)$，
∴ 代入坐标得$\begin{cases}k+b=3,\\b=1,\end{cases}$ 解得$\begin{cases}k=2,\\b=1,\end{cases}$
∴ 一次函数表达式为$y=2x+1$。
(2) 连结BC，过点A作$AD ⊥ BC$，垂足为点D，过点C作$CE ⊥ AB$，垂足为点E。
∵ $C(0,1),B(3,1)$，两点纵坐标相同，
∴ $BC// x$轴，$BC=3-0=3$。
∵ 点$A(1,3),B(3,1)$，$AD ⊥ BC$，
∴ 点D的横坐标与A相同、纵坐标与BC相同，即$D(1,1)$，
∴ $AD=3-1=2$，$DB=3-1=2$。
在Rt△ADB中，由勾股定理得$AB=\sqrt{AD^2+BD^2}=\sqrt{2^2+2^2}=2\sqrt{2}$。
∵ $△ ABC$的面积可表示为$\frac{1}{2}BC·AD$，也可表示为$\frac{1}{2}AB·CE$，
∴ $\frac{1}{2}×3×2=\frac{1}{2}×2\sqrt{2}×CE$，解得$CE=\frac{3\sqrt{2}}{2}$，即点C到线段AB的距离为$\frac{3\sqrt{2}}{2}$。
【答案】
(1) $m=3$，$n=3$，一次函数表达式为$\boldsymbol{y=2x+1}$；
(2) 点C到线段AB的距离为$\boldsymbol{\frac{3\sqrt{2}}{2}}$。
【知识点】
1. 反比例函数点的坐标特征
2. 待定系数法求解析式
3. 等面积法求距离
【点评】
本题属于函数综合基础题，第一问考查函数图象上的点与解析式的对应关系，以及待定系数法求函数解析式的基本技能；第二问通过等面积法求解点到线段的距离，巧妙运用数形结合思想简化计算，重点考查学生的几何分析能力和基础运算能力。
【难度系数】
0.7
8. 如图,一次函数$y=kx+b(k＞0)$的图象与反比例函数$y=\frac{8}{x}(x＞0)$的图象交于点A,与x轴交于点B,与y轴交于点C,$AD ⊥ x$轴于点D,$CB=CD$,点C关于直线AD的对称点为点E.
(1)点E是否在这个反比例函数的图象上?请说明理由.
(2)连结AE,DE,若四边形ACDE为正方形.
①求k,b的值;
②若点P在y轴上,当$|PE-PB|$最大时,求点P的坐标.
＞＞ 根据诊断结果,请完成对应的练习
(1)点E是否在这个反比例函数的图象上?请说明理由.
(2)连结AE,DE,若四边形ACDE为正方形.
①求k,b的值;
②若点P在y轴上,当$|PE-PB|$最大时,求点P的坐标.
＞＞ 根据诊断结果,请完成对应的练习
答案
8. (1)点 E 在这个反比例函数的图象上.理由如下:
∵ 一次函数$y=kx+b(k＞0)$的图象与反比例函数$y=\frac{8}{x}(x＞0)$的图象交于点 A,$∴$ 设点A的坐标为$(m,\frac{8}{m})$.
∵ 点 C 关于直线 AD 的对称点为点 E,$∴ AD ⊥ CE$,AD 平分 CE.连结 CE 交 AD 于点 H,如图①所示,$∴ CH=EH$.
∵ $AD ⊥ x$轴于点 D,$∴ CE// x$轴,$∠ADB=90°$,$∴ ∠CDO+∠ADC=90°$.
∵ $CB=CD$,$∴ ∠CBO=∠CDO$.在Rt△ABD中,$∠ABD+∠BAD=90°$,$∴ ∠CAD=∠CDA$,$∴ CH$ 为$△ACD$的边 AD 上的中线,即$AH=HD$,$∴ H(m,\frac{4}{m})$,$∴ E(2m,\frac{4}{m}).∵ 2m×\frac{4}{m}=8$,$∴$ 点 E 在这个反比例函数的图象上.
(2)①
∵ 四边形 ACDE 为正方形,$∴ AD=CE$,AD 垂直平分 CE,$∴ CH=\frac{1}{2}AD$.设点 A 的坐标为$(m,\frac{8}{m})$,$∴ CH=m,AD=\frac{8}{m}$,$∴ m=\frac{1}{2}×\frac{8}{m}$,$∴ m=2$(负值舍去),$∴ A(2,4),C(0,2)$.把$A(2,4),C(0,2)$代入$y=kx+b$,得$\begin{cases}2k+b=4,\\b=2,\end{cases}$ $∴ \begin{cases}k=1,\\b=2.\end{cases}$
②延长 ED 交 y 轴于点 P,如图②所示.
∵ $CB=CD,OC ⊥ BD$,$∴$ 点 B 与点 D 关于 y 轴对称,$∴ |PE-PD|=|PE-PB|$,则点 P 即为符合条件的点,由①知,$A(2,4),C(0,2)$,$∴ D(2,0),E(4,2)$.设直线 DE 的表达式为$y=ax+n$,$∴ \begin{cases}2a+n=0,\\4a+n=2,\end{cases}$ 解得$\begin{cases}a=1,\\n=-2,\end{cases}$ $∴$ 直线 DE 的表达式为$y=x-2$.当$x=0$时,$y=-2$,即$P(0,-2)$,故当$|PE-PB|$最大时,点 P 的坐标为$(0,-2)$.
解析
【分析】
(1)判断点是否在反比例函数图象上的核心是验证该点横、纵坐标的乘积是否等于反比例函数的比例系数。本题可先设出点A的坐标，结合点对称的性质、CB=CD的条件推导点E的坐标，再计算坐标乘积即可完成判断。
(2)①已知四边形ACDE为正方形，利用正方形对边相等、对角线互相垂直平分的性质，建立关于点A横坐标的方程，求解得到点A、点C的坐标后，代入一次函数解析式即可求出k、b的值。
②根据三角形三边关系，当三点共线时线段差的绝对值最大；结合CB=CD、OC⊥BD可推出点B与点D关于y轴对称，将PB转化为PD，可得延长ED与y轴的交点即为所求的点P，求出直线ED的解析式后即可得到点P的坐标。
【解析】
(1)点E在这个反比例函数的图象上，理由如下：
∵ 一次函数$y=kx+b(k＞0)$的图象与反比例函数$y=\frac{8}{x}(x＞0)$的图象交于点A，
∴ 设点A的坐标为$(m,\frac{8}{m})$。
∵ 点C关于直线AD的对称点为点E，
∴ $AD ⊥ CE$，AD平分CE。连结CE交AD于点H，如图①所示，
∴ $CH=EH$。
∵ $AD ⊥ x$轴于点D，
∴ $CE// x$轴，$∠ADB=90°$，
∴ $∠CDO+∠ADC=90°$。
∵ $CB=CD$，
∴ $∠CBO=∠CDO$。在Rt△ABD中，$∠ABD+∠BAD=90°$，
∴ $∠CAD=∠CDA$，
∴ CH为$△ACD$的边AD上的中线，即$AH=HD$，
∴ $H(m,\frac{4}{m})$，
∴ $E(2m,\frac{4}{m})$。
∵ $2m×\frac{4}{m}=8$，
∴ 点E在这个反比例函数的图象上。
(2)①
∵ 四边形ACDE为正方形，
∴ $AD=CE$，AD垂直平分CE，
∴ $CH=\frac{1}{2}AD$。设点A的坐标为$(m,\frac{8}{m})$，
∴ $CH=m$，$AD=\frac{8}{m}$，
∴ $m=\frac{1}{2}×\frac{8}{m}$，
∴ $m=2$(负值舍去)，
∴ $A(2,4)$，$C(0,2)$。把$A(2,4)$、$C(0,2)$代入$y=kx+b$，得$\begin{cases}2k+b=4\\b=2\end{cases}$，解得$\begin{cases}k=1\\b=2\end{cases}$。
②延长ED交y轴于点P，如图②所示。
∵ $CB=CD$，$OC ⊥ BD$，
∴ 点B与点D关于y轴对称，
∴ $|PE-PD|=|PE-PB|$，则点P即为符合条件的点。由①知，$A(2,4)$，$C(0,2)$，
∴ $D(2,0)$，$E(4,2)$。设直线DE的表达式为$y=ax+n$，代入D、E坐标得$\begin{cases}2a+n=0\\4a+n=2\end{cases}$，解得$\begin{cases}a=1\\n=-2\end{cases}$，
∴ 直线DE的表达式为$y=x-2$。当$x=0$时，$y=-2$，即$P(0,-2)$。
【答案】
(1)点E在这个反比例函数的图象上，理由见解析。
(2)①$\begin{cases}k=1\\b=2\end{cases}$；②点P的坐标为$(0,-2)$。
【知识点】
反比例函数的性质；一次函数综合；正方形的性质
【点评】
本题属于一次函数与反比例函数的综合题，融合了轴对称性质、正方形性质、线段差的最值问题，解题过程中需要运用数形结合思想，将函数坐标特征与几何图形性质结合，同时注意最值问题的转化思路，对知识的综合运用能力有一定要求。
【难度系数】
0.6
(1)判断点是否在反比例函数图象上的核心是验证该点横、纵坐标的乘积是否等于反比例函数的比例系数。本题可先设出点A的坐标，结合点对称的性质、CB=CD的条件推导点E的坐标，再计算坐标乘积即可完成判断。
(2)①已知四边形ACDE为正方形，利用正方形对边相等、对角线互相垂直平分的性质，建立关于点A横坐标的方程，求解得到点A、点C的坐标后，代入一次函数解析式即可求出k、b的值。
②根据三角形三边关系，当三点共线时线段差的绝对值最大；结合CB=CD、OC⊥BD可推出点B与点D关于y轴对称，将PB转化为PD，可得延长ED与y轴的交点即为所求的点P，求出直线ED的解析式后即可得到点P的坐标。
【解析】
(1)点E在这个反比例函数的图象上，理由如下：
∵ 一次函数$y=kx+b(k＞0)$的图象与反比例函数$y=\frac{8}{x}(x＞0)$的图象交于点A，
∴ 设点A的坐标为$(m,\frac{8}{m})$。
∵ 点C关于直线AD的对称点为点E，
∴ $AD ⊥ CE$，AD平分CE。连结CE交AD于点H，如图①所示，
∴ $CH=EH$。
∵ $AD ⊥ x$轴于点D，
∴ $CE// x$轴，$∠ADB=90°$，
∴ $∠CDO+∠ADC=90°$。
∵ $CB=CD$，
∴ $∠CBO=∠CDO$。在Rt△ABD中，$∠ABD+∠BAD=90°$，
∴ $∠CAD=∠CDA$，
∴ CH为$△ACD$的边AD上的中线，即$AH=HD$，
∴ $H(m,\frac{4}{m})$，
∴ $E(2m,\frac{4}{m})$。
∵ $2m×\frac{4}{m}=8$，
∴ 点E在这个反比例函数的图象上。
(2)①
∵ 四边形ACDE为正方形，
∴ $AD=CE$，AD垂直平分CE，
∴ $CH=\frac{1}{2}AD$。设点A的坐标为$(m,\frac{8}{m})$，
∴ $CH=m$，$AD=\frac{8}{m}$，
∴ $m=\frac{1}{2}×\frac{8}{m}$，
∴ $m=2$(负值舍去)，
∴ $A(2,4)$，$C(0,2)$。把$A(2,4)$、$C(0,2)$代入$y=kx+b$，得$\begin{cases}2k+b=4\\b=2\end{cases}$，解得$\begin{cases}k=1\\b=2\end{cases}$。
②延长ED交y轴于点P，如图②所示。
∵ $CB=CD$，$OC ⊥ BD$，
∴ 点B与点D关于y轴对称，
∴ $|PE-PD|=|PE-PB|$，则点P即为符合条件的点。由①知，$A(2,4)$，$C(0,2)$，
∴ $D(2,0)$，$E(4,2)$。设直线DE的表达式为$y=ax+n$，代入D、E坐标得$\begin{cases}2a+n=0\\4a+n=2\end{cases}$，解得$\begin{cases}a=1\\n=-2\end{cases}$，
∴ 直线DE的表达式为$y=x-2$。当$x=0$时，$y=-2$，即$P(0,-2)$。
【答案】
(1)点E在这个反比例函数的图象上，理由见解析。
(2)①$\begin{cases}k=1\\b=2\end{cases}$；②点P的坐标为$(0,-2)$。
【知识点】
反比例函数的性质；一次函数综合；正方形的性质
【点评】
本题属于一次函数与反比例函数的综合题，融合了轴对称性质、正方形性质、线段差的最值问题，解题过程中需要运用数形结合思想，将函数坐标特征与几何图形性质结合，同时注意最值问题的转化思路，对知识的综合运用能力有一定要求。
【难度系数】
0.6
