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1. （2026·青岛月考）函数$y=\frac{5}{x}$和$y=\frac{1}{x}$在第一象限内的图象如图，点P是$y=\frac{5}{x}$的图象上一动点，$PC ⊥ x$轴于点C，交$y=\frac{1}{x}$的图象于点A，$PD ⊥ y$轴于点D，交$y=\frac{1}{x}$的图象于点B。如下结论中不正确的是（
A.$△ ODB$与$△ OCA$的面积相等
B.$PA$与$PB$始终相等
C.四边形$PAOB$的面积大小不会发生变化
D.$CA=\frac{1}{4}AP$
B
）A.$△ ODB$与$△ OCA$的面积相等
B.$PA$与$PB$始终相等
C.四边形$PAOB$的面积大小不会发生变化
D.$CA=\frac{1}{4}AP$
答案
1. B
解析
【分析】
要判断各选项是否正确，可利用反比例函数中k的几何意义，结合坐标运算分析：首先设出点P的坐标，根据P在$y=\frac{5}{x}$上得到横纵坐标的关系，再求出A、B两点的坐标，依次计算各选项涉及的面积、线段长度即可判断对错。
【解析】
设点P的坐标为$(t,\frac{5}{t})$（$t＞0$），
∵$PC⊥x$轴交$y=\frac{1}{x}$于点A，
∴A点横坐标为$t$，代入$y=\frac{1}{x}$得$A(t,\frac{1}{t})$；
∵$PD⊥y$轴交$y=\frac{1}{x}$于点B，
∴B点纵坐标为$\frac{5}{t}$，代入$y=\frac{1}{x}$得$x=\frac{t}{5}$，即$B(\frac{t}{5},\frac{5}{t})$。
对各选项逐一分析：
A. $S_{△ ODB}=\frac{1}{2}× OD× DB=\frac{1}{2}×\frac{5}{t}×\frac{t}{5}=\frac{1}{2}$，$S_{△ OCA}=\frac{1}{2}× OC× AC=\frac{1}{2}× t×\frac{1}{t}=\frac{1}{2}$，故两个三角形面积相等，A正确，不符合题意；
B. $PA=y_P-y_A=\frac{5}{t}-\frac{1}{t}=\frac{4}{t}$，$PB=x_P-x_B=t-\frac{t}{5}=\frac{4t}{5}$，仅当$\frac{4}{t}=\frac{4t}{5}$即$t=\sqrt{5}$时$PA=PB$，并非始终相等，B错误，符合题意；
C. 矩形$OCPD$的面积为$x_P· y_P=t×\frac{5}{t}=5$，则$S_{四边形PAOB}=S_{矩形OCPD}-S_{△ ODB}-S_{△ OCA}=5-\frac{1}{2}-\frac{1}{2}=4$，为定值，大小不变，C正确，不符合题意；
D. $CA=\frac{1}{t}$，$AP=\frac{4}{t}$，故$CA=\frac{1}{4}AP$，D正确，不符合题意。
【答案】
B
【知识点】
反比例函数k的几何意义，反比例函数的性质，坐标与图形
【点评】
本题将反比例函数的性质与几何图形的面积、线段长度计算结合，通过设参数表示各点坐标即可推导结论，熟练掌握反比例函数k的几何意义是快速解题的关键。
【难度系数】
0.7
要判断各选项是否正确，可利用反比例函数中k的几何意义，结合坐标运算分析：首先设出点P的坐标，根据P在$y=\frac{5}{x}$上得到横纵坐标的关系，再求出A、B两点的坐标，依次计算各选项涉及的面积、线段长度即可判断对错。
【解析】
设点P的坐标为$(t,\frac{5}{t})$（$t＞0$），
∵$PC⊥x$轴交$y=\frac{1}{x}$于点A，
∴A点横坐标为$t$，代入$y=\frac{1}{x}$得$A(t,\frac{1}{t})$；
∵$PD⊥y$轴交$y=\frac{1}{x}$于点B，
∴B点纵坐标为$\frac{5}{t}$，代入$y=\frac{1}{x}$得$x=\frac{t}{5}$，即$B(\frac{t}{5},\frac{5}{t})$。
对各选项逐一分析：
A. $S_{△ ODB}=\frac{1}{2}× OD× DB=\frac{1}{2}×\frac{5}{t}×\frac{t}{5}=\frac{1}{2}$，$S_{△ OCA}=\frac{1}{2}× OC× AC=\frac{1}{2}× t×\frac{1}{t}=\frac{1}{2}$，故两个三角形面积相等，A正确，不符合题意；
B. $PA=y_P-y_A=\frac{5}{t}-\frac{1}{t}=\frac{4}{t}$，$PB=x_P-x_B=t-\frac{t}{5}=\frac{4t}{5}$，仅当$\frac{4}{t}=\frac{4t}{5}$即$t=\sqrt{5}$时$PA=PB$，并非始终相等，B错误，符合题意；
C. 矩形$OCPD$的面积为$x_P· y_P=t×\frac{5}{t}=5$，则$S_{四边形PAOB}=S_{矩形OCPD}-S_{△ ODB}-S_{△ OCA}=5-\frac{1}{2}-\frac{1}{2}=4$，为定值，大小不变，C正确，不符合题意；
D. $CA=\frac{1}{t}$，$AP=\frac{4}{t}$，故$CA=\frac{1}{4}AP$，D正确，不符合题意。
【答案】
B
【知识点】
反比例函数k的几何意义，反比例函数的性质，坐标与图形
【点评】
本题将反比例函数的性质与几何图形的面积、线段长度计算结合，通过设参数表示各点坐标即可推导结论，熟练掌握反比例函数k的几何意义是快速解题的关键。
【难度系数】
0.7
2. （2025·长沙模拟）如图，正方形ABCD的顶点B在x轴上，点A、点C在反比例函数$y=\frac{24}{x}(x＞0)$的图象上。若直线BC交y轴负半轴于点G，且$\tan∠OGB=2$，则直线BC的函数表达式为（
A.$y=2x-4$
B.$y=\frac{1}{2}x-2$
C.$y=\frac{1}{2}x-4$
D.$y=\frac{1}{2}x-6$
C
）A.$y=2x-4$
B.$y=\frac{1}{2}x-2$
C.$y=\frac{1}{2}x-4$
D.$y=\frac{1}{2}x-6$
答案
2. C
解析
【分析】
首先根据$\tan∠OGB=2$推导直线BC的斜率，排除斜率不符的选项；再利用正方形邻边垂直、邻边相等的性质构造x轴的垂线，证明三角形全等，用参数表示点A、C的坐标；最后结合A、C都在反比例函数图象上，列方程求解参数，进而得到直线BC的解析式。
【解析】
1. 求直线BC的斜率
在$Rt△ OGB$中，$∠ GOB=90°$，$\tan∠ OGB=\frac{OB}{OG}=2$，即$OB=2OG$，因此直线BC的斜率$k=\frac{\Delta y}{\Delta x}=\frac{OG}{OB}=\frac{1}{2}$，排除斜率为2的A选项。
2. 构造全等三角形表示点坐标
过点A作$AE⊥ x$轴于E，过点C作$CF⊥ x$轴于F。
∵四边形ABCD是正方形，
∴$AB=BC$，$∠ ABC=90°$，
∴$∠ ABE+∠ CBF=90°$，又$∠ ABE+∠ BAE=90°$，
∴$∠ BAE=∠ CBF$。
在$△ AEB$和$△ BFC$中：
$\begin{cases}∠ AEB=∠ BFC=90°\\∠ BAE=∠ CBF\\AB=BC\end{cases}$
∴$△ AEB≌△ BFC(AAS)$，得$AE=BF$，$BE=CF$。
设$CF=m$，由直线BC斜率为$\frac{1}{2}$得$BF=2m$，设$B(b,0)$，则：
点C坐标为$(b+2m,m)$，点A坐标为$(b-m,2m)$。
3. 代入反比例函数求解参数
∵点A、C都在$y=\frac{24}{x}(x＞0)$上，
∴横纵坐标乘积为24，列方程：
$\begin{cases}(b-m)·2m=24&①\\(b+2m)· m=24&②\end{cases}$
将②式两边乘2得$2m(b+2m)=48$ ③，③-①得$6m^2=24$，
∵$m＞0$，
∴$m=2$。
将$m=2$代入②式，得$(b+4)×2=24$，解得$b=8$，即$B(8,0)$。
4. 求直线BC解析式
设直线BC为$y=\frac{1}{2}x+c$，代入$B(8,0)$得$0=\frac{1}{2}×8+c$，解得$c=-4$，
∴直线BC的解析式为$y=\frac{1}{2}x-4$。
【答案】C
【知识点】
反比例函数的性质，正方形的性质，一次函数解析式求解
【点评】
本题是反比例函数与几何结合的常见题型，解题核心是通过三角函数确定直线斜率，再利用全等三角形建立反比例函数上点的坐标关系，通过方程思想求解参数，对几何与代数的综合应用能力有一定要求。
【难度系数】
0.6
首先根据$\tan∠OGB=2$推导直线BC的斜率，排除斜率不符的选项；再利用正方形邻边垂直、邻边相等的性质构造x轴的垂线，证明三角形全等，用参数表示点A、C的坐标；最后结合A、C都在反比例函数图象上，列方程求解参数，进而得到直线BC的解析式。
【解析】
1. 求直线BC的斜率
在$Rt△ OGB$中，$∠ GOB=90°$，$\tan∠ OGB=\frac{OB}{OG}=2$，即$OB=2OG$，因此直线BC的斜率$k=\frac{\Delta y}{\Delta x}=\frac{OG}{OB}=\frac{1}{2}$，排除斜率为2的A选项。
2. 构造全等三角形表示点坐标
过点A作$AE⊥ x$轴于E，过点C作$CF⊥ x$轴于F。
∵四边形ABCD是正方形，
∴$AB=BC$，$∠ ABC=90°$，
∴$∠ ABE+∠ CBF=90°$，又$∠ ABE+∠ BAE=90°$，
∴$∠ BAE=∠ CBF$。
在$△ AEB$和$△ BFC$中：
$\begin{cases}∠ AEB=∠ BFC=90°\\∠ BAE=∠ CBF\\AB=BC\end{cases}$
∴$△ AEB≌△ BFC(AAS)$，得$AE=BF$，$BE=CF$。
设$CF=m$，由直线BC斜率为$\frac{1}{2}$得$BF=2m$，设$B(b,0)$，则：
点C坐标为$(b+2m,m)$，点A坐标为$(b-m,2m)$。
3. 代入反比例函数求解参数
∵点A、C都在$y=\frac{24}{x}(x＞0)$上，
∴横纵坐标乘积为24，列方程：
$\begin{cases}(b-m)·2m=24&①\\(b+2m)· m=24&②\end{cases}$
将②式两边乘2得$2m(b+2m)=48$ ③，③-①得$6m^2=24$，
∵$m＞0$，
∴$m=2$。
将$m=2$代入②式，得$(b+4)×2=24$，解得$b=8$，即$B(8,0)$。
4. 求直线BC解析式
设直线BC为$y=\frac{1}{2}x+c$，代入$B(8,0)$得$0=\frac{1}{2}×8+c$，解得$c=-4$，
∴直线BC的解析式为$y=\frac{1}{2}x-4$。
【答案】C
【知识点】
反比例函数的性质，正方形的性质，一次函数解析式求解
【点评】
本题是反比例函数与几何结合的常见题型，解题核心是通过三角函数确定直线斜率，再利用全等三角形建立反比例函数上点的坐标关系，通过方程思想求解参数，对几何与代数的综合应用能力有一定要求。
【难度系数】
0.6
3. （2025·长春模拟）如图，在平面直角坐标系中，O为坐标原点，△ABC是等腰直角三角形，其直角顶点B在x轴正半轴上，点A、点C在函数$y=\frac{k}{x}$（$k＞0,x＞0$）的图象上，延长CB交y轴于点$D(0,-2)$。若点B的横坐标为4，则k的值为（
A.2
B.4
C.6
D.12
C
）A.2
B.4
C.6
D.12
答案
3. C
解析
【分析】
解题时先根据已知点坐标求出直线BD的解析式，再通过作x轴的垂线构造全等三角形，利用等腰直角三角形的性质推导点A、C的坐标关系，最后结合点A、C在反比例函数图象上、点C在直线BD上的条件列方程求解参数，进而计算k的值。具体思路：第一步先确定B点坐标，求直线BD的解析式；第二步构造全等三角形，得到A、C坐标的等量关系；第三步代入坐标列方程求解参数，计算k值。
【解析】
1. 由点B的横坐标为4，得B(4,0)，已知D(0,-2)，设直线BD的解析式为$y=mx+n$，代入两点坐标：
代入D(0,-2)得$n=-2$，代入B(4,0)得$0=4m-2$，解得$m=\frac{1}{2}$，故直线BD的解析式为$y=\frac{1}{2}x-2$。
2. 过A作$AE⊥x$轴于E，过C作$CF⊥x$轴于F，得$∠ AEB=∠ BFC=90°$。
∵$△ ABC$是等腰直角三角形，直角顶点为B，
∴$AB=BC$，$∠ ABC=90°$，
∴$∠ ABE+∠ CBF=90°$，又$∠ ABE+∠ EAB=90°$，
∴$∠ EAB=∠ CBF$，
∴$△ AEB≌△ BFC$（AAS），得$AE=BF$，$BE=CF$。
3. 设$BE=a$，$AE=b$，则$CF=a$，$BF=b$，
∴$A(4-a,b)$，$C(4+b,a)$。
4.
∵点C在直线BD上，将$C(4+b,a)$代入$y=\frac{1}{2}x-2$得：
$a=\frac{1}{2}(4+b)-2$，化简得$b=2a$。
5.
∵点A、C在反比例函数$y=\frac{k}{x}$上，
∴$k=(4-a)b=(4+b)a$，
将$b=2a$代入得：$(4-a)×2a=(4+2a)× a$，
整理得$4a-4a^2=0$，
∵$a＞0$，
∴$a=1$，$b=2$，
则$k=(4-1)×2=6$。
【答案】
C
【知识点】
反比例函数的性质，全等三角形的判定与性质，一次函数解析式
【点评】
本题是反比例函数与几何的综合题，核心是通过构造全等三角形转化坐标关系，结合函数图象上点的坐标特征列方程求解，侧重考查数形结合思想和方程思想的应用。
【难度系数】
0.6
解题时先根据已知点坐标求出直线BD的解析式，再通过作x轴的垂线构造全等三角形，利用等腰直角三角形的性质推导点A、C的坐标关系，最后结合点A、C在反比例函数图象上、点C在直线BD上的条件列方程求解参数，进而计算k的值。具体思路：第一步先确定B点坐标，求直线BD的解析式；第二步构造全等三角形，得到A、C坐标的等量关系；第三步代入坐标列方程求解参数，计算k值。
【解析】
1. 由点B的横坐标为4，得B(4,0)，已知D(0,-2)，设直线BD的解析式为$y=mx+n$，代入两点坐标：
代入D(0,-2)得$n=-2$，代入B(4,0)得$0=4m-2$，解得$m=\frac{1}{2}$，故直线BD的解析式为$y=\frac{1}{2}x-2$。
2. 过A作$AE⊥x$轴于E，过C作$CF⊥x$轴于F，得$∠ AEB=∠ BFC=90°$。
∵$△ ABC$是等腰直角三角形，直角顶点为B，
∴$AB=BC$，$∠ ABC=90°$，
∴$∠ ABE+∠ CBF=90°$，又$∠ ABE+∠ EAB=90°$，
∴$∠ EAB=∠ CBF$，
∴$△ AEB≌△ BFC$（AAS），得$AE=BF$，$BE=CF$。
3. 设$BE=a$，$AE=b$，则$CF=a$，$BF=b$，
∴$A(4-a,b)$，$C(4+b,a)$。
4.
∵点C在直线BD上，将$C(4+b,a)$代入$y=\frac{1}{2}x-2$得：
$a=\frac{1}{2}(4+b)-2$，化简得$b=2a$。
5.
∵点A、C在反比例函数$y=\frac{k}{x}$上，
∴$k=(4-a)b=(4+b)a$，
将$b=2a$代入得：$(4-a)×2a=(4+2a)× a$，
整理得$4a-4a^2=0$，
∵$a＞0$，
∴$a=1$，$b=2$，
则$k=(4-1)×2=6$。
【答案】
C
【知识点】
反比例函数的性质，全等三角形的判定与性质，一次函数解析式
【点评】
本题是反比例函数与几何的综合题，核心是通过构造全等三角形转化坐标关系，结合函数图象上点的坐标特征列方程求解，侧重考查数形结合思想和方程思想的应用。
【难度系数】
0.6
4. 如图,点 B 是反比例函数$y=\frac{16}{x}(x＞0)$的图象上的一点,作$BA⊥x$轴于点A,$BC⊥y$轴于点C,点D,E分别是AB,BC上的点,且$△ OCE$的面积为2,$△ OAD$的面积为4,则$△ BED$的面积为
3
.答案
4. 3
解析
【分析】
解题思路如下：1. 首先利用反比例函数k的几何意义，得出矩形OABC的面积为16；2. 设点B坐标为$(a,\frac{16}{a})$，用含a的式子表示出矩形的边长OA、OC；3. 结合已知的△OCE、△OAD的面积，分别求出CE、AD的长度，进而得到BE、BD的长度；4. 由于∠B为直角，利用直角三角形面积公式计算△BED的面积，计算过程中参数a会被消去，即可得到结果。
【解析】
解：
∵点B在反比例函数$y=\frac{16}{x}(x＞0)$的图象上，$BA⊥x$轴，$BC⊥y$轴，
∴矩形OABC的面积$S_{矩形OABC}=|k|=16$。
设点B的坐标为$(a,\frac{16}{a})$，则$OA=BC=a$，$OC=AB=\frac{16}{a}$。
在$Rt△OCE$中，$S_{△OCE}=\frac{1}{2}· OC· CE=2$，
代入$OC=\frac{16}{a}$，得$\frac{1}{2}×\frac{16}{a}× CE=2$，解得$CE=\frac{a}{4}$，
∴$BE=BC-CE=a-\frac{a}{4}=\frac{3a}{4}$。
在$Rt△OAD$中，$S_{△OAD}=\frac{1}{2}· OA· AD=4$，
代入$OA=a$，得$\frac{1}{2}× a× AD=4$，解得$AD=\frac{8}{a}$，
∴$BD=AB-AD=\frac{16}{a}-\frac{8}{a}=\frac{8}{a}$。
∵四边形OABC是矩形，
∴∠B=90°，
∴$S_{△BED}=\frac{1}{2}· BE· BD=\frac{1}{2}×\frac{3a}{4}×\frac{8}{a}=3$。
【答案】
3
【知识点】
反比例函数k的几何意义，矩形的性质，三角形面积计算
【点评】
本题是反比例函数面积类的典型题型，解题核心是灵活运用反比例函数k的几何意义，通过设参数表示各边长度，计算时参数会自动消去，无需求出参数的具体值即可得到结果，能很好地考查学生对反比例函数性质的掌握和几何计算能力。
【难度系数】
0.7
解题思路如下：1. 首先利用反比例函数k的几何意义，得出矩形OABC的面积为16；2. 设点B坐标为$(a,\frac{16}{a})$，用含a的式子表示出矩形的边长OA、OC；3. 结合已知的△OCE、△OAD的面积，分别求出CE、AD的长度，进而得到BE、BD的长度；4. 由于∠B为直角，利用直角三角形面积公式计算△BED的面积，计算过程中参数a会被消去，即可得到结果。
【解析】
解：
∵点B在反比例函数$y=\frac{16}{x}(x＞0)$的图象上，$BA⊥x$轴，$BC⊥y$轴，
∴矩形OABC的面积$S_{矩形OABC}=|k|=16$。
设点B的坐标为$(a,\frac{16}{a})$，则$OA=BC=a$，$OC=AB=\frac{16}{a}$。
在$Rt△OCE$中，$S_{△OCE}=\frac{1}{2}· OC· CE=2$，
代入$OC=\frac{16}{a}$，得$\frac{1}{2}×\frac{16}{a}× CE=2$，解得$CE=\frac{a}{4}$，
∴$BE=BC-CE=a-\frac{a}{4}=\frac{3a}{4}$。
在$Rt△OAD$中，$S_{△OAD}=\frac{1}{2}· OA· AD=4$，
代入$OA=a$，得$\frac{1}{2}× a× AD=4$，解得$AD=\frac{8}{a}$，
∴$BD=AB-AD=\frac{16}{a}-\frac{8}{a}=\frac{8}{a}$。
∵四边形OABC是矩形，
∴∠B=90°，
∴$S_{△BED}=\frac{1}{2}· BE· BD=\frac{1}{2}×\frac{3a}{4}×\frac{8}{a}=3$。
【答案】
3
【知识点】
反比例函数k的几何意义，矩形的性质，三角形面积计算
【点评】
本题是反比例函数面积类的典型题型，解题核心是灵活运用反比例函数k的几何意义，通过设参数表示各边长度，计算时参数会自动消去，无需求出参数的具体值即可得到结果，能很好地考查学生对反比例函数性质的掌握和几何计算能力。
【难度系数】
0.7
5. 如图，点A，B在反比例函数$y=\frac{k}{x}(x＞0)$的图象上，点A的横坐标为1，连结OA，OB，AB，若OA=OB，△OAB的面积为4，则k的值为
3
。答案
5. 3 解析:如图
,过点A作$AC ⊥ y$轴于点C,过点B作$BD ⊥ x$轴于点D,过点A作$AE ⊥ OD$于点E,$∵$ 点A,B在反比例函数$y=\frac{k}{x}(x＞0)$的图象上,点A的横坐标为1,$∴ AC=OE=1$,$OC=AE=k$,$∴ A(1,k)$.设$B(a,\frac{k}{a})$,则$a＞1$.$∵ OA=OB$,$∴ AC^2+OC^2=BD^2+OD^2$,$∴ 1+k^2=a^2+\frac{k^2}{a^2}$,整理得$a^2-1+k^2(\frac{1}{a^2}-1)=0$,即$(a^2-1)(1-\frac{k^2}{a^2})=0$.$∵ a＞1$,$∴ a^2-1≠0$,$∴ a^2=k^2$,$∴ a=k$(负值舍去),$∴ B(k,1)$,$∴ BD=AC=1$,$OD=OC=k$.
$∵ S_{△AEO}=S_{△BDO}=\frac{1}{2}k$,$S_{四边形OABD}=S_{梯形AEDB}+S_{△AEO}=S_{△BDO}+S_{△AOB}$,
$∴ S_{△AOB}=S_{梯形AEDB}$.$∵ S_{△AOB}=4$,$∴ 4=\frac{1}{2}(k+1)(k-1)$,$∴ k^2-1=8$,
$∴ k=±3$.$∵$ 由图可知$k＞0$,$∴ k=3$.
解析
【分析】
解题可按以下思路逐步推导：1. 先根据点A在反比例函数图象上且横坐标为1，写出A点坐标；2. 设出点B的坐标，利用OA=OB结合勾股定理列等式，推导得出点B坐标和k的关系；3. 借助反比例函数k的几何意义，通过面积割补将△OAB的面积转化为梯形AEDB的面积，列方程求解k，最后结合函数所在象限确定k的正负。
【解析】
如图，过点A作$AC ⊥ y$轴于点C，过点B作$BD ⊥ x$轴于点D，过点A作$AE ⊥ OD$于点E。
∵点A，B在反比例函数$y=\frac{k}{x}(x＞0)$的图象上，点A的横坐标为1，
∴$AC=OE=1$，$OC=AE=k$，即$A(1,k)$。
设$B(a,\frac{k}{a})$，其中$a＞1$。
∵$OA=OB$，由勾股定理得$AC^2+OC^2=BD^2+OD^2$，
∴$1+k^2=a^2+\frac{k^2}{a^2}$，
整理得$a^2-1+k^2(\frac{1}{a^2}-1)=0$，即$(a^2-1)(1-\frac{k^2}{a^2})=0$。
∵$a＞1$，
∴$a^2-1≠0$，
∴$1-\frac{k^2}{a^2}=0$，即$a^2=k^2$，
解得$a=k$（负值舍去），
∴$B(k,1)$，即$BD=AC=1$，$OD=OC=k$。
根据反比例函数k的几何意义，$S_{△AEO}=S_{△BDO}=\frac{1}{2}k$。
又
∵$S_{四边形OABD}=S_{梯形AEDB}+S_{△AEO}=S_{△BDO}+S_{△AOB}$，
∴$S_{△AOB}=S_{梯形AEDB}$。
已知$S_{△AOB}=4$，梯形AEDB的上底为1，下底为k，高为$k-1$，
∴$4=\frac{1}{2}(k+1)(k-1)$，即$k^2-1=8$，解得$k=±3$。
∵反比例函数图象在第一象限，$k＞0$，
∴$k=3$。
【答案】3
【知识点】反比例函数的性质；勾股定理；面积割补法
【点评】本题是反比例函数的综合应用题，将勾股定理、坐标与图形性质、面积计算相结合，解题核心是通过OA=OB推导出A、B两点坐标的对称关系，再利用面积转化建立方程求解，对学生的逻辑推导和图形分析能力有一定要求。
【难度系数】0.6
解题可按以下思路逐步推导：1. 先根据点A在反比例函数图象上且横坐标为1，写出A点坐标；2. 设出点B的坐标，利用OA=OB结合勾股定理列等式，推导得出点B坐标和k的关系；3. 借助反比例函数k的几何意义，通过面积割补将△OAB的面积转化为梯形AEDB的面积，列方程求解k，最后结合函数所在象限确定k的正负。
【解析】
如图
，过点A作$AC ⊥ y$轴于点C，过点B作$BD ⊥ x$轴于点D，过点A作$AE ⊥ OD$于点E。∵点A，B在反比例函数$y=\frac{k}{x}(x＞0)$的图象上，点A的横坐标为1，
∴$AC=OE=1$，$OC=AE=k$，即$A(1,k)$。
设$B(a,\frac{k}{a})$，其中$a＞1$。
∵$OA=OB$，由勾股定理得$AC^2+OC^2=BD^2+OD^2$，
∴$1+k^2=a^2+\frac{k^2}{a^2}$，
整理得$a^2-1+k^2(\frac{1}{a^2}-1)=0$，即$(a^2-1)(1-\frac{k^2}{a^2})=0$。
∵$a＞1$，
∴$a^2-1≠0$，
∴$1-\frac{k^2}{a^2}=0$，即$a^2=k^2$，
解得$a=k$（负值舍去），
∴$B(k,1)$，即$BD=AC=1$，$OD=OC=k$。
根据反比例函数k的几何意义，$S_{△AEO}=S_{△BDO}=\frac{1}{2}k$。
又
∵$S_{四边形OABD}=S_{梯形AEDB}+S_{△AEO}=S_{△BDO}+S_{△AOB}$，
∴$S_{△AOB}=S_{梯形AEDB}$。
已知$S_{△AOB}=4$，梯形AEDB的上底为1，下底为k，高为$k-1$，
∴$4=\frac{1}{2}(k+1)(k-1)$，即$k^2-1=8$，解得$k=±3$。
∵反比例函数图象在第一象限，$k＞0$，
∴$k=3$。
【答案】3
【知识点】反比例函数的性质；勾股定理；面积割补法
【点评】本题是反比例函数的综合应用题，将勾股定理、坐标与图形性质、面积计算相结合，解题核心是通过OA=OB推导出A、B两点坐标的对称关系，再利用面积转化建立方程求解，对学生的逻辑推导和图形分析能力有一定要求。
【难度系数】0.6
