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1. 乡村振兴战略是在党的十九大报告中提出的战略，小庆家为发展乡土特产“杏花鸡”，计划在农场中用篱笆围一个养鸡场。如图，利用一面长为20 m 的墙，用篱笆围一个面积为250 m² 的矩形养鸡场ABCD，设AB 的长为x m，BC 的长为y m。
(1)求y关于x的函数表达式(包括自变量x的取值范围)；
(2)如果篱笆的总长为60 m，求出BC的长。
(1)求y关于x的函数表达式(包括自变量x的取值范围)；
(2)如果篱笆的总长为60 m，求出BC的长。
答案
(1)由题意知xy=250,
∴ y=250/x.
∵ x＞0,y≤20,
∴ 250/x ≤20,解得x≥12.5,
∴ y关于x的函数表达式为y=250/x (x≥12.5).
(2)当篱笆的总长为60 m 时,
∴ 2x+y=60,y=60-2x,依题意得x(60-2x)=250,整理得(x-5)(x-25)=0,解得x₁=5,x₂=25.当x₁=5时,BC=y=250/5=50＞20(不符合题意,舍去);当x₂=25时,BC=y=250/25=10＜20(符合题意),
∴ BC的长为10 m.
∴ y=250/x.
∵ x＞0,y≤20,
∴ 250/x ≤20,解得x≥12.5,
∴ y关于x的函数表达式为y=250/x (x≥12.5).
(2)当篱笆的总长为60 m 时,
∴ 2x+y=60,y=60-2x,依题意得x(60-2x)=250,整理得(x-5)(x-25)=0,解得x₁=5,x₂=25.当x₁=5时,BC=y=250/5=50＞20(不符合题意,舍去);当x₂=25时,BC=y=250/25=10＜20(符合题意),
∴ BC的长为10 m.
解析
【分析】
(1) 首先利用矩形面积公式建立x与y的等量关系，变形即可得到y关于x的函数表达式；再结合实际限制条件：边长为正，且靠墙的边BC长度不超过墙长20m，代入函数式解不等式即可得到自变量x的取值范围。
(2) 先根据篱笆的围建结构得出篱笆总长与x、y的关系，得到y=60-2x，将其代入面积公式得到关于x的一元二次方程，解方程后需验证所得解对应的y值是否符合墙长限制，舍去不符合实际的解后即可求出BC的长度。
【解析】
(1) 由矩形面积公式可得：$xy=250$，
变形得：$y=\frac{250}{x}$。
根据实际意义可知$x＞0$，且靠墙的BC边长不超过墙长，即$y≤20$，
代入$y=\frac{250}{x}$得：$\frac{250}{x}≤20$，解得$x≥12.5$，
因此$y$关于$x$的函数表达式为$y=\frac{250}{x} \ (x≥12.5)$。
(2) 篱笆由AB、BC、CD三段组成，总长为60m，因此：
$2x+y=60$，即$y=60-2x$，
将其代入面积公式得：$x(60-2x)=250$，
整理得$x^2-30x+125=0$，因式分解为$(x-5)(x-25)=0$，
解得$x_1=5$，$x_2=25$。
检验：
当$x=5$时，$y=\frac{250}{5}=50＞20$，超过墙长，不符合题意，舍去；
当$x=25$时，$y=\frac{250}{25}=10＜20$，符合实际意义。
因此BC的长为10 m。
【答案】
(1) $y=\frac{250}{x} \ (x≥12.5)$
(2) 10 m
【知识点】
1. 反比例函数的应用
2. 一元二次方程求解
3. 实际问题取值检验
【点评】
本题结合生活场景考查函数与方程的综合应用，解题的关键是牢记实际问题的限制条件，对求得的结果进行检验，避免出现不符合现实情况的答案，能够有效锻炼学生用数学知识解决实际问题的能力。
【难度系数】
0.7
(1) 首先利用矩形面积公式建立x与y的等量关系，变形即可得到y关于x的函数表达式；再结合实际限制条件：边长为正，且靠墙的边BC长度不超过墙长20m，代入函数式解不等式即可得到自变量x的取值范围。
(2) 先根据篱笆的围建结构得出篱笆总长与x、y的关系，得到y=60-2x，将其代入面积公式得到关于x的一元二次方程，解方程后需验证所得解对应的y值是否符合墙长限制，舍去不符合实际的解后即可求出BC的长度。
【解析】
(1) 由矩形面积公式可得：$xy=250$，
变形得：$y=\frac{250}{x}$。
根据实际意义可知$x＞0$，且靠墙的BC边长不超过墙长，即$y≤20$，
代入$y=\frac{250}{x}$得：$\frac{250}{x}≤20$，解得$x≥12.5$，
因此$y$关于$x$的函数表达式为$y=\frac{250}{x} \ (x≥12.5)$。
(2) 篱笆由AB、BC、CD三段组成，总长为60m，因此：
$2x+y=60$，即$y=60-2x$，
将其代入面积公式得：$x(60-2x)=250$，
整理得$x^2-30x+125=0$，因式分解为$(x-5)(x-25)=0$，
解得$x_1=5$，$x_2=25$。
检验：
当$x=5$时，$y=\frac{250}{5}=50＞20$，超过墙长，不符合题意，舍去；
当$x=25$时，$y=\frac{250}{25}=10＜20$，符合实际意义。
因此BC的长为10 m。
【答案】
(1) $y=\frac{250}{x} \ (x≥12.5)$
(2) 10 m
【知识点】
1. 反比例函数的应用
2. 一元二次方程求解
3. 实际问题取值检验
【点评】
本题结合生活场景考查函数与方程的综合应用，解题的关键是牢记实际问题的限制条件，对求得的结果进行检验，避免出现不符合现实情况的答案，能够有效锻炼学生用数学知识解决实际问题的能力。
【难度系数】
0.7
2. （2025·深圳期中）根据以下素材，完成设计货船通过曲线桥的方案：一座曲线桥如图①所示，当水面宽AB=16米时，桥洞顶部离水面距离CD=4米。已知桥洞形如双曲线，图②是其示意图，且该桥洞关于CD对称。如图④，一艘货船露出水面部分的横截面可看作矩形EFGH，测得EH=8米。因水深足够，货船可以根据需要运载货物。据调查，船身下降的高度h（米）与货船增加的载质量t（吨）满足函数表达式 $h=\frac{1}{10}t$。
（1）问题解决：确定桥洞的形状。
建立平面直角坐标系如图③所示，CD落在第一象限的角平分线上。设点C为$(m,m)$，
①点A的坐标为
②求出经过点A的双曲线的函数表达式。
（2）探索应用：
这艘货船运载货物高3米（即EF=3米），此时货船能通过该桥洞吗？若能，请说明理由；若不能，至少要增加多少吨货物？（已知$\sqrt{10}\approx3.2,\sqrt{13}\approx3.6.$）
＞＞进一步挑战进阶专题:P169 专题9
（1）问题解决：确定桥洞的形状。
建立平面直角坐标系如图③所示，CD落在第一象限的角平分线上。设点C为$(m,m)$，
①点A的坐标为
(m+6√2 ,m-2√2)
（用m的代数式表示）；②求出经过点A的双曲线的函数表达式。
（2）探索应用：
这艘货船运载货物高3米（即EF=3米），此时货船能通过该桥洞吗？若能，请说明理由；若不能，至少要增加多少吨货物？（已知$\sqrt{10}\approx3.2,\sqrt{13}\approx3.6.$）
＞＞进一步挑战进阶专题:P169 专题9
答案
(1)①(m+6√2 ,m-2√2) 解析:如图①,过点C,D分别作x轴,y轴的平行线交于E,过点A作AF⊥DE交DE延长线于F,延长DF交x轴于P,过点C作CQ⊥x轴于Q,则四边形CEPQ为矩形,
∴ CE=PQ,CQ=PE.
∵ 点C为(m,m),
∴ CQ=OQ=PE=m.
∵ CD落在第一象限的角平分线上,且点A,B关于CD对称,
∴ 点A,B关于第一象限角平分线y=x对称,∠DOP=45°,
∴ 点D是AB的中点,OD⊥AB,
∴ ∠ODA=90°.
∵ AB=16,
∴ AD=8.
∵ ∠DOP=∠DCE=45°,∠DPO=90°,
∴ ∠DOP=∠DCE=∠CDE=45°,
∴ DE=CE,PO=PD.
∵ CD=4,
∴ PQ=DE=CE=2√2,
∴ PO=PD=OQ+PQ=m+2√2.
∵ AF⊥DE,
∴ ∠AFD=90°,
∴ ∠CDE=∠ADF=∠DAF=45°,
∴ DF=AF.
∵ AD=8,
∴ DF=AF=4√2,
∴ FP=PD-DF=m+2√2-4√2=m-2√2,OP+AF=m+2√2+4√2=m+6√2,
∴ A(m+6√2 ,m-2√2).
②设双曲线的函数表达式为y=k/x,把A(m+6√2 ,m-2√2),C(m,m)代入y=k/x得k=(m+6√2)(m-2√2)=m²,解得m=3√2,k=18,
∴ 经过点A的双曲线的函数表达式为y=18/x.
(2)由(1)可知A(9√2 ,√2),B(√2 ,9√2),C(3√2 ,3√2),D(5√2 ,5√2),
∵ 四边形EFGH是矩形,
∴ FG=EH,GH=EF,EH=8,如图②,设OD和EH交于点M(n,n),过M作MN⊥x轴于N,过H作HT⊥MN于T,则MN=ON=n,若能恰好通过,则E,H在双曲线上,且MH=EM=1/2 EH=4,
∴ ∠MON=∠OMN=∠HMT=∠THM=45°,
∴ TM=HT=√2/2 MH=2√2,
∴ TN=MN-MT=n-2√2,ON+HT=n+2√2,
∴ H(n+2√2 ,n-2√2),把H(n+2√2 ,n-2√2)代入y=18/x,得(n+2√2)·(n-2√2)=18,解得n=√26,
∴ OM=√2 n=2√13 ≈7.2.
∵ D(5√2 ,5√2),
∴ OD=10,
∴ DM=EF=OD-OM≈2.8,
∴ 此货船最高载货2.8米.
∵ 2.8＜3,
∴ 此时货船不能通过,
∴ 船身至少下降的高度h=3-2.8=0.2(米).
∵ h=1/10 t,
∴ t=10h=2,故要至少增加2吨货物,货船才能通过该桥洞.答:此时货船不能通过该桥洞,至少要增加2吨货物,货船才能通过该桥洞.
解析
【分析】
(1) ①首先利用第一象限角平分线y=x的性质，结合桥洞关于CD对称可知AB垂直于y=x，得到△CDE、△ADF均为等腰直角三角形；再根据CD=4、AD=8分别计算等腰直角三角形的直角边长，结合C点坐标(m,m)通过线段加减推导A点的横纵坐标。②反比例函数解析式为$y=\frac{k}{x}$，点C和点A都在双曲线上，因此两点横纵坐标乘积均等于k，列方程求解m和k即可得到函数解析式。
(2) 货船刚好通过时EH的中点在y=x上，构造等腰直角三角形得到H点坐标，代入反比例函数求出中点坐标，计算出货船能通过的最大高度，与3米对比，若无法通过则计算需要下降的高度，再代入$h=\frac{1}{10}t$求出需要增加的载重量。
【解析】
(1) ① 如图①，过点C,D分别作x轴,y轴的平行线交于E，过点A作AF⊥DE交DE延长线于F，延长DF交x轴于P，过点C作CQ⊥x轴于Q，则四边形CEPQ为矩形，
∴ CE=PQ，CQ=PE。
∵ 点C为(m,m)，
∴ CQ=OQ=PE=m。
∵ CD落在第一象限的角平分线上，且点A,B关于CD对称，
∴ 点A,B关于直线y=x对称，∠DOP=45°，D是AB中点，OD⊥AB，即∠ODA=90°。
∵ AB=16，
∴ AD=8。
∵ ∠DOP=∠DCE=45°，∠DPO=∠CED=90°，
∴ ∠CDE=45°，△CDE为等腰直角三角形，同理△DPO、△ADF均为等腰直角三角形。
∵ CD=4，
∴ $DE=CE=CD·\sin45°=4×\frac{\sqrt{2}}{2}=2\sqrt{2}$，
∴ $PO=PD=OQ+PQ=m+CE=m+2\sqrt{2}$。
在等腰Rt△ADF中，AD=8，
∴ $DF=AF=AD·\sin45°=8×\frac{\sqrt{2}}{2}=4\sqrt{2}$，
∴ 点A的纵坐标为$PD-DF = m+2\sqrt{2} - 4\sqrt{2} = m-2\sqrt{2}$，
点A的横坐标为$OP + AF = m+2\sqrt{2} + 4\sqrt{2} = m+6\sqrt{2}$，
即$A(m+6\sqrt{2} , m-2\sqrt{2})$。
② 设双曲线的函数表达式为$y=\frac{k}{x}(k≠0)$，
∵ 点C(m,m)、$A(m+6\sqrt{2} , m-2\sqrt{2})$都在双曲线上，
∴ $k = m·m = (m+6\sqrt{2})(m-2\sqrt{2})$，
展开得：$m² = m² + 4\sqrt{2} m - 24$，
解得$m=3\sqrt{2}$，
∴ $k = m² = (3\sqrt{2})² = 18$，
∴ 双曲线的函数表达式为$y=\frac{18}{x}$。
(2) 由(1)可知$m=3\sqrt{2}$，因此A$(9\sqrt{2},\sqrt{2})$，C$(3\sqrt{2},3\sqrt{2})$，D$(5\sqrt{2},5\sqrt{2})$，$OD=\sqrt{(5\sqrt{2})^2 + (5\sqrt{2})^2}=10$。
∵ 四边形EFGH是矩形，EH=8，
∴ 当货船刚好能通过桥洞时，EH的中点M在直线y=x上，设M(n,n)，如图②，过M作MN⊥x轴于N，过H作HT⊥MN于T，
则△OMN、△HMT均为等腰直角三角形，且$MH=\frac{1}{2}EH=4$，
∴ $TM=HT=MH·\sin45°=4×\frac{\sqrt{2}}{2}=2\sqrt{2}$，
∴ 点H的坐标为$(n+2\sqrt{2}, n-2\sqrt{2})$。
∵ 点H在双曲线上，代入$y=\frac{18}{x}$得：
$(n+2\sqrt{2})(n-2\sqrt{2})=18$，即$n² - 8 =18$，
解得$n=\sqrt{26}$（舍去负根），
∴ $OM=\sqrt{n² +n²}=\sqrt{2}n=2\sqrt{13}≈2×3.6=7.2$，
此时货船能通过的最大高度$EF=OD - OM≈10-7.2=2.8$米。
∵ 2.8＜3，
∴ 此时货船不能通过桥洞。
需要船身下降的高度$h=3-2.8=0.2$米，
代入$h=\frac{1}{10}t$得$t=10h=10×0.2=2$吨。
答：此时货船不能通过该桥洞，至少要增加2吨货物才能通过。
【答案】
(1) ① $\boldsymbol{(m+6\sqrt{2},m-2\sqrt{2})}$；② 双曲线的函数表达式为$\boldsymbol{y=\frac{18}{x}}$
(2) 此时货船不能通过该桥洞，至少要增加$\boldsymbol{2}$吨货物
【知识点】
1.反比例函数的实际应用 2.等腰直角三角形的性质 3.轴对称的性质
【点评】
本题将反比例函数与实际生活的桥洞通行问题相结合，既考查了反比例函数解析式的求解方法，也要求结合几何图形性质推导点的坐标，能够锻炼学生将数学知识应用到实际问题的能力，解题关键是利用第一象限角平分线的性质构造等腰直角三角形求得相关点坐标。
【难度系数】
0.4
(1) ①首先利用第一象限角平分线y=x的性质，结合桥洞关于CD对称可知AB垂直于y=x，得到△CDE、△ADF均为等腰直角三角形；再根据CD=4、AD=8分别计算等腰直角三角形的直角边长，结合C点坐标(m,m)通过线段加减推导A点的横纵坐标。②反比例函数解析式为$y=\frac{k}{x}$，点C和点A都在双曲线上，因此两点横纵坐标乘积均等于k，列方程求解m和k即可得到函数解析式。
(2) 货船刚好通过时EH的中点在y=x上，构造等腰直角三角形得到H点坐标，代入反比例函数求出中点坐标，计算出货船能通过的最大高度，与3米对比，若无法通过则计算需要下降的高度，再代入$h=\frac{1}{10}t$求出需要增加的载重量。
【解析】
(1) ① 如图①，过点C,D分别作x轴,y轴的平行线交于E，过点A作AF⊥DE交DE延长线于F，延长DF交x轴于P，过点C作CQ⊥x轴于Q，则四边形CEPQ为矩形，
∴ CE=PQ，CQ=PE。
∵ 点C为(m,m)，
∴ CQ=OQ=PE=m。
∵ CD落在第一象限的角平分线上，且点A,B关于CD对称，
∴ 点A,B关于直线y=x对称，∠DOP=45°，D是AB中点，OD⊥AB，即∠ODA=90°。
∵ AB=16，
∴ AD=8。
∵ ∠DOP=∠DCE=45°，∠DPO=∠CED=90°，
∴ ∠CDE=45°，△CDE为等腰直角三角形，同理△DPO、△ADF均为等腰直角三角形。
∵ CD=4，
∴ $DE=CE=CD·\sin45°=4×\frac{\sqrt{2}}{2}=2\sqrt{2}$，
∴ $PO=PD=OQ+PQ=m+CE=m+2\sqrt{2}$。
在等腰Rt△ADF中，AD=8，
∴ $DF=AF=AD·\sin45°=8×\frac{\sqrt{2}}{2}=4\sqrt{2}$，
∴ 点A的纵坐标为$PD-DF = m+2\sqrt{2} - 4\sqrt{2} = m-2\sqrt{2}$，
点A的横坐标为$OP + AF = m+2\sqrt{2} + 4\sqrt{2} = m+6\sqrt{2}$，
即$A(m+6\sqrt{2} , m-2\sqrt{2})$。
② 设双曲线的函数表达式为$y=\frac{k}{x}(k≠0)$，
∵ 点C(m,m)、$A(m+6\sqrt{2} , m-2\sqrt{2})$都在双曲线上，
∴ $k = m·m = (m+6\sqrt{2})(m-2\sqrt{2})$，
展开得：$m² = m² + 4\sqrt{2} m - 24$，
解得$m=3\sqrt{2}$，
∴ $k = m² = (3\sqrt{2})² = 18$，
∴ 双曲线的函数表达式为$y=\frac{18}{x}$。
(2) 由(1)可知$m=3\sqrt{2}$，因此A$(9\sqrt{2},\sqrt{2})$，C$(3\sqrt{2},3\sqrt{2})$，D$(5\sqrt{2},5\sqrt{2})$，$OD=\sqrt{(5\sqrt{2})^2 + (5\sqrt{2})^2}=10$。
∵ 四边形EFGH是矩形，EH=8，
∴ 当货船刚好能通过桥洞时，EH的中点M在直线y=x上，设M(n,n)，如图②，过M作MN⊥x轴于N，过H作HT⊥MN于T，
则△OMN、△HMT均为等腰直角三角形，且$MH=\frac{1}{2}EH=4$，
∴ $TM=HT=MH·\sin45°=4×\frac{\sqrt{2}}{2}=2\sqrt{2}$，
∴ 点H的坐标为$(n+2\sqrt{2}, n-2\sqrt{2})$。
∵ 点H在双曲线上，代入$y=\frac{18}{x}$得：
$(n+2\sqrt{2})(n-2\sqrt{2})=18$，即$n² - 8 =18$，
解得$n=\sqrt{26}$（舍去负根），
∴ $OM=\sqrt{n² +n²}=\sqrt{2}n=2\sqrt{13}≈2×3.6=7.2$，
此时货船能通过的最大高度$EF=OD - OM≈10-7.2=2.8$米。
∵ 2.8＜3，
∴ 此时货船不能通过桥洞。
需要船身下降的高度$h=3-2.8=0.2$米，
代入$h=\frac{1}{10}t$得$t=10h=10×0.2=2$吨。
答：此时货船不能通过该桥洞，至少要增加2吨货物才能通过。
【答案】
(1) ① $\boldsymbol{(m+6\sqrt{2},m-2\sqrt{2})}$；② 双曲线的函数表达式为$\boldsymbol{y=\frac{18}{x}}$
(2) 此时货船不能通过该桥洞，至少要增加$\boldsymbol{2}$吨货物
【知识点】
1.反比例函数的实际应用 2.等腰直角三角形的性质 3.轴对称的性质
【点评】
本题将反比例函数与实际生活的桥洞通行问题相结合，既考查了反比例函数解析式的求解方法，也要求结合几何图形性质推导点的坐标，能够锻炼学生将数学知识应用到实际问题的能力，解题关键是利用第一象限角平分线的性质构造等腰直角三角形求得相关点坐标。
【难度系数】
0.4
