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1. （2025·亳州期中）如图，一次函数$y=-x+4$的图象与反比例函数$y=\dfrac{k}{x}$的图象交于$A(1,a)$，$B$两点.$y$轴上有一点$P$，使$PA+PB$的值最小，则点$P$的坐标为
$(0,\dfrac{5}{2})$
. 答案
1. $(0,\dfrac{5}{2})$
解析
【分析】
解题思路分三步：①先利用一次函数解析式求出点A的坐标，代入反比例函数求出k值，再联立两个函数解析式求出点B的坐标；②要使y轴上的点P满足PA+PB最小，根据轴对称最短路径原理，作点A关于y轴的对称点A'，则PA=PA'，PA+PB的最小值即为线段A'B的长度，此时A'、P、B三点共线；③利用待定系数法求出直线A'B的解析式，该直线与y轴的交点即为所求点P。
【解析】
1. 求点A坐标：将$A(1,a)$代入一次函数$y=-x+4$，得$a=-1+4=3$，故$A(1,3)$。
2. 求反比例函数解析式：将$A(1,3)$代入$y=\dfrac{k}{x}$，得$k=1×3=3$，即反比例函数为$y=\dfrac{3}{x}$。
3. 求点B坐标：联立两个函数解析式$\begin{cases}y=-x+4\\y=\dfrac{3}{x}\end{cases}$，消去y得$-x+4=\dfrac{3}{x}$，整理得$x^2-4x+3=0$，解得$x_1=1$，$x_2=3$。将$x=3$代入$y=-x+4$得$y=1$，故$B(3,1)$。
4. 利用轴对称求最短路径：作点A关于y轴的对称点$A'$，由对称性质得$A'(-1,3)$，且$PA=PA'$，因此$PA+PB=PA'+PB$，当$A'$、$P$、$B$三点共线时，$PA+PB$的值最小。
5. 求直线$A'B$的解析式：设直线$A'B$的解析式为$y=mx+b$，代入$A'(-1,3)$、$B(3,1)$得：
$\begin{cases}-m+b=3\\3m+b=1\end{cases}$，两式相减得$4m=-2$，解得$m=-\dfrac{1}{2}$，将$m=-\dfrac{1}{2}$代入$-m+b=3$得$\dfrac{1}{2}+b=3$，解得$b=\dfrac{5}{2}$，故直线$A'B$的解析式为$y=-\dfrac{1}{2}x+\dfrac{5}{2}$。
6. 求点P坐标：y轴上的点横坐标为0，将$x=0$代入$y=-\dfrac{1}{2}x+\dfrac{5}{2}$得$y=\dfrac{5}{2}$，即$P(0,\dfrac{5}{2})$。
【答案】
$(0,\dfrac{5}{2})$
【知识点】
反比例函数与一次函数综合，最短路径问题，待定系数法求解析式
【点评】
本题是反比例函数与一次函数的常考综合题，将线段和最小值问题转化为轴对称最短路径问题是解题的突破口，需要熟练掌握函数交点求解、待定系数法求解析式等基础方法。
【难度系数】
0.6
解题思路分三步：①先利用一次函数解析式求出点A的坐标，代入反比例函数求出k值，再联立两个函数解析式求出点B的坐标；②要使y轴上的点P满足PA+PB最小，根据轴对称最短路径原理，作点A关于y轴的对称点A'，则PA=PA'，PA+PB的最小值即为线段A'B的长度，此时A'、P、B三点共线；③利用待定系数法求出直线A'B的解析式，该直线与y轴的交点即为所求点P。
【解析】
1. 求点A坐标：将$A(1,a)$代入一次函数$y=-x+4$，得$a=-1+4=3$，故$A(1,3)$。
2. 求反比例函数解析式：将$A(1,3)$代入$y=\dfrac{k}{x}$，得$k=1×3=3$，即反比例函数为$y=\dfrac{3}{x}$。
3. 求点B坐标：联立两个函数解析式$\begin{cases}y=-x+4\\y=\dfrac{3}{x}\end{cases}$，消去y得$-x+4=\dfrac{3}{x}$，整理得$x^2-4x+3=0$，解得$x_1=1$，$x_2=3$。将$x=3$代入$y=-x+4$得$y=1$，故$B(3,1)$。
4. 利用轴对称求最短路径：作点A关于y轴的对称点$A'$，由对称性质得$A'(-1,3)$，且$PA=PA'$，因此$PA+PB=PA'+PB$，当$A'$、$P$、$B$三点共线时，$PA+PB$的值最小。
5. 求直线$A'B$的解析式：设直线$A'B$的解析式为$y=mx+b$，代入$A'(-1,3)$、$B(3,1)$得：
$\begin{cases}-m+b=3\\3m+b=1\end{cases}$，两式相减得$4m=-2$，解得$m=-\dfrac{1}{2}$，将$m=-\dfrac{1}{2}$代入$-m+b=3$得$\dfrac{1}{2}+b=3$，解得$b=\dfrac{5}{2}$，故直线$A'B$的解析式为$y=-\dfrac{1}{2}x+\dfrac{5}{2}$。
6. 求点P坐标：y轴上的点横坐标为0，将$x=0$代入$y=-\dfrac{1}{2}x+\dfrac{5}{2}$得$y=\dfrac{5}{2}$，即$P(0,\dfrac{5}{2})$。
【答案】
$(0,\dfrac{5}{2})$
【知识点】
反比例函数与一次函数综合，最短路径问题，待定系数法求解析式
【点评】
本题是反比例函数与一次函数的常考综合题，将线段和最小值问题转化为轴对称最短路径问题是解题的突破口，需要熟练掌握函数交点求解、待定系数法求解析式等基础方法。
【难度系数】
0.6
2. (2025·周口期末)如图,一次函数$y_1=\frac{1}{2}x+1$的图象与反比例函数$y_2=\frac{k}{x}$$(x＞0)$的图象交于点$A(a,3)$,与$y$轴交于点$B$.
(1)求$a,k$的值;
(2)请直接写出在第一象限,$y_1＜y_2＜4$时,$x$的取值范围;
(3)直线$CD$过点$A$,与反比例函数图象交于点$C$,与$x$轴交于点$D$,$AC=AD$,连结$CB$.求$△ ABC$的面积.
(1)求$a,k$的值;
(2)请直接写出在第一象限,$y_1＜y_2＜4$时,$x$的取值范围;
(3)直线$CD$过点$A$,与反比例函数图象交于点$C$,与$x$轴交于点$D$,$AC=AD$,连结$CB$.求$△ ABC$的面积.
答案
(1)将点A的坐标代入一次函数表达式得$3=\frac{1}{2}a+1$,解得$a=4$,则点$A(4,3)$,将点$A$的坐标代入反比例函数表达式得$3=\frac{k}{4}$,解得$k=12$.
(2)$3＜x＜4$ 解析:把$y=4$代入$y=\frac{12}{x}$,得$x=3$,由题图可知$y_2＜4$时,$x＞3$,又$y_1＜y_2$时,$x＜4$,$\therefore y_1＜y_2＜4$时,$3＜x＜4$.
(3)$\because$ 点$A(4,3)$,$D$点的纵坐标是$0$,$AD=AC$,$\therefore$ 点$C$的纵坐标是$3×2-0=6$,把$y=6$代入$y=\frac{12}{x}$,得$x=2$,$\therefore C(2,6)$,作$CH⊥ x$轴于点$H$,交$AB$于点$E$,当$x=2$时,$y=\frac{1}{2}×2+1=2$,$\therefore E(2,2)$.$\because C(2,6)$,$\therefore CE=6-2=4$,$\therefore S_{△ ABC}=\frac{1}{2}CE·|x_A|=\frac{1}{2}×4×4=8$.
(2)$3＜x＜4$ 解析:把$y=4$代入$y=\frac{12}{x}$,得$x=3$,由题图可知$y_2＜4$时,$x＞3$,又$y_1＜y_2$时,$x＜4$,$\therefore y_1＜y_2＜4$时,$3＜x＜4$.
(3)$\because$ 点$A(4,3)$,$D$点的纵坐标是$0$,$AD=AC$,$\therefore$ 点$C$的纵坐标是$3×2-0=6$,把$y=6$代入$y=\frac{12}{x}$,得$x=2$,$\therefore C(2,6)$,作$CH⊥ x$轴于点$H$,交$AB$于点$E$,当$x=2$时,$y=\frac{1}{2}×2+1=2$,$\therefore E(2,2)$.$\because C(2,6)$,$\therefore CE=6-2=4$,$\therefore S_{△ ABC}=\frac{1}{2}CE·|x_A|=\frac{1}{2}×4×4=8$.
解析
【分析】
(1) 点A在一次函数图象上，将点A坐标代入一次函数解析式即可求出a的值，得到点A的完整坐标后，再代入反比例函数解析式就能求出k值；
(2) 先求出反比例函数中y=4时对应的x值，结合图象分别确定$y_2＜4$和$y_1＜y_2$时x的取值范围，两个范围的公共部分即为所求；
(3) 由$AC=AD$可知点A是线段CD的中点，D在x轴上纵坐标为0，根据中点坐标的性质可求出点C的纵坐标，代入反比例函数求出C的坐标；再用割补法，过C作x轴垂线交AB于点E，求出CE的长度后即可计算$△ ABC$的面积。
【解析】
(1) 把点$A(a,3)$代入一次函数$y_1=\frac{1}{2}x+1$，得：
$3=\frac{1}{2}a+1$，解得$a=4$，
∴点A的坐标为$(4,3)$，
把$A(4,3)$代入反比例函数$y_2=\frac{k}{x}(x＞0)$，得：
$3=\frac{k}{4}$，解得$k=12$。
(2) 把$y=4$代入$y=\frac{12}{x}$，得$4=\frac{12}{x}$，解得$x=3$，
结合图象可得：第一象限内$y_2＜4$时，$x＞3$；$y_1＜y_2$时，$x＜4$，
∴$y_1＜y_2＜4$时，x的取值范围是$3＜x＜4$。
(3)
∵$AC=AD$，
∴A是线段CD的中点，
∵D在x轴上，纵坐标为0，点A的纵坐标为3，
∴点C的纵坐标为$3×2 - 0=6$，
把$y=6$代入$y=\frac{12}{x}$，得$6=\frac{12}{x}$，解得$x=2$，即$C(2,6)$，
过点C作$CH⊥x$轴，交AB于点E，
当$x=2$时，$y_1=\frac{1}{2}×2 +1=2$，
∴$E(2,2)$，
∴$CE=6-2=4$，
∴$S_{△ABC}=\frac{1}{2}·CE·|x_A|=\frac{1}{2}×4×4=8$。
【答案】
(1) $a=4$，$k=12$；
(2) $3＜x＜4$；
(3) $8$
【知识点】
1. 一次函数与反比例函数综合
2. 函数与不等式
3. 坐标系内面积计算
【点评】
本题是一次函数与反比例函数的常规综合题，既考查了待定系数法求解析式、利用图象判断不等式解集等基础知识点，也考查了中点性质、割补法求面积的能力，解题时要熟练运用数形结合思想简化分析过程。
【难度系数】
0.6
(1) 点A在一次函数图象上，将点A坐标代入一次函数解析式即可求出a的值，得到点A的完整坐标后，再代入反比例函数解析式就能求出k值；
(2) 先求出反比例函数中y=4时对应的x值，结合图象分别确定$y_2＜4$和$y_1＜y_2$时x的取值范围，两个范围的公共部分即为所求；
(3) 由$AC=AD$可知点A是线段CD的中点，D在x轴上纵坐标为0，根据中点坐标的性质可求出点C的纵坐标，代入反比例函数求出C的坐标；再用割补法，过C作x轴垂线交AB于点E，求出CE的长度后即可计算$△ ABC$的面积。
【解析】
(1) 把点$A(a,3)$代入一次函数$y_1=\frac{1}{2}x+1$，得：
$3=\frac{1}{2}a+1$，解得$a=4$，
∴点A的坐标为$(4,3)$，
把$A(4,3)$代入反比例函数$y_2=\frac{k}{x}(x＞0)$，得：
$3=\frac{k}{4}$，解得$k=12$。
(2) 把$y=4$代入$y=\frac{12}{x}$，得$4=\frac{12}{x}$，解得$x=3$，
结合图象可得：第一象限内$y_2＜4$时，$x＞3$；$y_1＜y_2$时，$x＜4$，
∴$y_1＜y_2＜4$时，x的取值范围是$3＜x＜4$。
(3)
∵$AC=AD$，
∴A是线段CD的中点，
∵D在x轴上，纵坐标为0，点A的纵坐标为3，
∴点C的纵坐标为$3×2 - 0=6$，
把$y=6$代入$y=\frac{12}{x}$，得$6=\frac{12}{x}$，解得$x=2$，即$C(2,6)$，
过点C作$CH⊥x$轴，交AB于点E，
当$x=2$时，$y_1=\frac{1}{2}×2 +1=2$，
∴$E(2,2)$，
∴$CE=6-2=4$，
∴$S_{△ABC}=\frac{1}{2}·CE·|x_A|=\frac{1}{2}×4×4=8$。
【答案】
(1) $a=4$，$k=12$；
(2) $3＜x＜4$；
(3) $8$
【知识点】
1. 一次函数与反比例函数综合
2. 函数与不等式
3. 坐标系内面积计算
【点评】
本题是一次函数与反比例函数的常规综合题，既考查了待定系数法求解析式、利用图象判断不等式解集等基础知识点，也考查了中点性质、割补法求面积的能力，解题时要熟练运用数形结合思想简化分析过程。
【难度系数】
0.6
3. 如图①,平面直角坐标系中,直线$y=\frac{4}{3}x+12$与双曲线$y=-\frac{24}{x}$交于A,B两点(点A在点B左边),过A,O两点作直线,与双曲线的另一交点为D,过B作直线AO的平行线交双曲线于点C.
(1)则点A坐标为
(2)如图②,点P在y轴负半轴上,连结PB,交直线AO于点E,连结CE,PA,且$S_{△ PAB}=\frac{8}{15}S_{△ BCE}$,将线段PO在y轴上移动,得到线段$P'O'$(如图③),请求出$|P'B-O'D|$的最大值.
(1)则点A坐标为
$(-6,4)$
,点B坐标为$(-3,8)$
,并求直线BC的表达式;(2)如图②,点P在y轴负半轴上,连结PB,交直线AO于点E,连结CE,PA,且$S_{△ PAB}=\frac{8}{15}S_{△ BCE}$,将线段PO在y轴上移动,得到线段$P'O'$(如图③),请求出$|P'B-O'D|$的最大值.
答案
(1)$A(-6,4)$，$B(-3,8)$ 解析:联立方程组$\begin{cases}y=\frac{4}{3}x+12,\\y=-\frac{24}{x},\end{cases}$解得$\begin{cases}x=-3,\\y=8\end{cases}$或$\begin{cases}x=-6,\\y=4.\end{cases}$$\because$ 点A在点B左边,$\therefore A(-6,4)$,$B(-3,8)$.
设直线$AO$的表达式为$y=kx(k≠0)$,将$A(-6,4)$代入表达式得$-6k=4$,解得$k=-\frac{2}{3}$,$\therefore$ 直线$AO$的表达式为$y=-\frac{2}{3}x$.$\because BC// OA$,$\therefore$ 设直线$BC$的表达式为$y=-\frac{2}{3}x+b$,将$B(-3,8)$代入表达式得$-\frac{2}{3}×(-3)+b=8$,解得$b=6$,$\therefore$ 直线$BC$的表达式为$y=-\frac{2}{3}x+6$.
(2)$\because$ 点A,D关于原点对称,$A(-6,4)$,$\therefore D(6,-4)$.$\because$ 点P在y轴负半轴上,$\therefore$ 设$P(0,a)$,令直线AB交y轴于点F,在$y=\frac{4}{3}x+12$中,当$x=0$时,$y=12$,即$F(0,12)$,$\therefore PF=12-a$,$\therefore S_{△ ABP}=S_{△ APF}-S_{△ BPF}=\frac{1}{2}×(12-a)×6-\frac{1}{2}×(12-a)×3=18-\frac{3}{2}a$.联立$\begin{cases}y=-\frac{2}{3}x+6,\\y=-\frac{24}{x},\end{cases}$解得$\begin{cases}x=-3,\\y=8\end{cases}$或$\begin{cases}x=12,\\y=-2,\end{cases}$$\therefore C(12,-2)$,$\therefore BC=\sqrt{[12-(-3)]^2+(-2-8)^2}=5\sqrt{13}$,如图
,作$DG⊥ BC$于点G,连结CD,BD,则$BD=\sqrt{(-3-6)^2+[8-(-4)]^2}=15$,$CD=\sqrt{(12-6)^2+[-2-(-4)]^2}=2\sqrt{10}$,设$DG=h$,由勾股定理得$BG=\sqrt{BD^2-DG^2}=\sqrt{225-h^2}$,$CG=\sqrt{CD^2-DG^2}=\sqrt{40-h^2}$.$\because BG+CG=BC=5\sqrt{13}$,$\therefore \sqrt{225-h^2}+\sqrt{40-h^2}=5\sqrt{13}$,解得$h=\frac{18\sqrt{13}}{13}$(负值舍去),$\therefore DG=\frac{18\sqrt{13}}{13}$.$\because BC// OA$,$\therefore S_{△ BCE}=S_{△ BCD}=\frac{1}{2}BC· DG=\frac{1}{2}×5\sqrt{13}×\frac{18\sqrt{13}}{13}=45$.$\because S_{△ PAB}=\frac{8}{15}S_{△ BCE}$,$\therefore 18-\frac{3}{2}a=\frac{8}{15}×45$,解得$a=-4$,$\therefore P(0,-4)$,则$OP=4$.如图
,将点B向上平移4个单位,得到点$B_1(-3,12)$,设点$B_1$,$B_2$关于y轴对称,则$B_2(3,12)$,连结$DB_2$并延长交y轴于点$O'$,连结$B_1O'$,则$BB_1=PO=4=P'O'$,则四边形$BB_1O'P'$为平行四边形,$\therefore P'B=O'B_1$,$\therefore |P'B-O'D|=|O'B_1-O'D|=|O'B_2-O'D|$的最大值为$DB_2=\sqrt{(6-3)^2+(-4-12)^2}=\sqrt{265}$.解析
【分析】
(1) 求直线与双曲线的交点坐标，只需联立两个函数的解析式解方程组，再根据点A在点B左侧确定A、B的坐标；求直线BC的解析式时，先求出直线AO的斜率，由BC//AO可知两直线斜率相等，设出BC的解析式后代入点B坐标即可求解。
(2) 首先根据反比例函数的中心对称性，点A和D关于原点对称，直接得到D点坐标；设点P坐标，利用割补法表示出△PAB的面积；再联立BC与双曲线解析式求出C点坐标，由BC//AO可得△BCE和△BCD同底等高，面积相等，计算出△BCE的面积后结合面积关系求出P点坐标；最后通过平移、对称转化线段$|P'B-O'D|$，利用三角形三边关系“两边之差小于第三边”，可知当三点共线时，差值最大，即为对应两点的距离。
【解析】
(1) 联立直线与双曲线的解析式：
$\begin{cases}y=\frac{4}{3}x+12\\y=-\frac{24}{x}\end{cases}$
消去y整理得$x^2+9x+18=0$，解得$\begin{cases}x=-3\\y=8\end{cases}$或$\begin{cases}x=-6\\y=4\end{cases}$，
∵点A在点B左侧，
∴$A(-6,4)$，$B(-3,8)$。
设直线AO的解析式为$y=kx(k≠0)$，将$A(-6,4)$代入得$-6k=4$，解得$k=-\frac{2}{3}$，即直线AO解析式为$y=-\frac{2}{3}x$。
∵BC//OA，
∴直线BC的斜率也为$-\frac{2}{3}$，设BC解析式为$y=-\frac{2}{3}x+b$，将$B(-3,8)$代入得$-\frac{2}{3}×(-3)+b=8$，解得$b=6$，
∴直线BC的表达式为$y=-\frac{2}{3}x+6$。
(2)
∵反比例函数图象关于原点中心对称，直线AD过原点，
∴点A、D关于原点对称，
∵$A(-6,4)$，
∴$D(6,-4)$。
设$P(0,a)$（$a＜0$），直线$y=\frac{4}{3}x+12$与y轴交于F，令$x=0$得$y=12$，即$F(0,12)$，
∴$PF=12-a$，
$S_{△ PAB}=S_{△ APF}-S_{△ BPF}=\frac{1}{2}×(12-a)×6 - \frac{1}{2}×(12-a)×3=18-\frac{3}{2}a$。
联立BC与双曲线解析式：
$\begin{cases}y=-\frac{2}{3}x+6\\y=-\frac{24}{x}\end{cases}$
解得$\begin{cases}x=-3\\y=8\end{cases}$（即点B）或$\begin{cases}x=12\\y=-2\end{cases}$，
∴$C(12,-2)$。
∵BC//AO，点E在AO上，
∴△BCE和△BCD同底等高，$S_{△ BCE}=S_{△ BCD}$。
计算得$BC=\sqrt{[12-(-3)]^2+(-2-8)^2}=5\sqrt{13}$，
如图，作$DG⊥ BC$于点G，连结CD、BD，
$BD=\sqrt{(-3-6)^2+[8-(-4)]^2}=15$，$CD=\sqrt{(12-6)^2+[-2-(-4)]^2}=2\sqrt{10}$，
设$DG=h$，由勾股定理得$BG=\sqrt{225-h^2}$，$CG=\sqrt{40-h^2}$，
∵$BG+CG=BC=5\sqrt{13}$，
∴$\sqrt{225-h^2}+\sqrt{40-h^2}=5\sqrt{13}$，
解得$h=\frac{18\sqrt{13}}{13}$（负值舍去），
∴$S_{△ BCD}=\frac{1}{2}×BC×DG=\frac{1}{2}×5\sqrt{13}×\frac{18\sqrt{13}}{13}=45$，即$S_{△ BCE}=45$。
由$S_{△ PAB}=\frac{8}{15}S_{△ BCE}$，得$18-\frac{3}{2}a=\frac{8}{15}×45=24$，解得$a=-4$，
∴$P(0,-4)$，即$OP=4$。
如图，将点B向上平移4个单位得$B_1(-3,12)$，作$B_1$关于y轴的对称点$B_2(3,12)$，连结$DB_2$并延长交y轴于点$O'$，连结$B_1O'$，
∵$BB_1=PO=P'O'=4$，且$BB_1//P'O'$，
∴四边形$BB_1O'P'$是平行四边形，
∴$P'B=O'B_1$，又由对称性质得$O'B_1=O'B_2$，
∴$|P'B-O'D|=|O'B_2-O'D|$，根据三角形三边关系，$|O'B_2-O'D|≤DB_2$，当且仅当$O'$、$B_2$、D三点共线时取等号，
∴最大值为$DB_2=\sqrt{(6-3)^2+(-4-12)^2}=\sqrt{265}$。
【答案】
(1) $\boldsymbol{A(-6,4)}$，$\boldsymbol{B(-3,8)}$；直线BC的表达式为$\boldsymbol{y=-\frac{2}{3}x+6}$
(2) $|P'B-O'D|$的最大值为$\boldsymbol{\sqrt{265}}$
【知识点】
一次函数与反比例函数综合；平行线的性质；线段最值问题
【点评】
本题综合考查了一次函数、反比例函数的图象与性质，涉及联立解析式求交点、割补法求三角形面积、平移与对称的应用等内容，解题时需要灵活运用转化思想将线段差值问题转化为共线最值问题，对知识的综合运用能力要求较高。
【难度系数】
0.3
(1) 求直线与双曲线的交点坐标，只需联立两个函数的解析式解方程组，再根据点A在点B左侧确定A、B的坐标；求直线BC的解析式时，先求出直线AO的斜率，由BC//AO可知两直线斜率相等，设出BC的解析式后代入点B坐标即可求解。
(2) 首先根据反比例函数的中心对称性，点A和D关于原点对称，直接得到D点坐标；设点P坐标，利用割补法表示出△PAB的面积；再联立BC与双曲线解析式求出C点坐标，由BC//AO可得△BCE和△BCD同底等高，面积相等，计算出△BCE的面积后结合面积关系求出P点坐标；最后通过平移、对称转化线段$|P'B-O'D|$，利用三角形三边关系“两边之差小于第三边”，可知当三点共线时，差值最大，即为对应两点的距离。
【解析】
(1) 联立直线与双曲线的解析式：
$\begin{cases}y=\frac{4}{3}x+12\\y=-\frac{24}{x}\end{cases}$
消去y整理得$x^2+9x+18=0$，解得$\begin{cases}x=-3\\y=8\end{cases}$或$\begin{cases}x=-6\\y=4\end{cases}$，
∵点A在点B左侧，
∴$A(-6,4)$，$B(-3,8)$。
设直线AO的解析式为$y=kx(k≠0)$，将$A(-6,4)$代入得$-6k=4$，解得$k=-\frac{2}{3}$，即直线AO解析式为$y=-\frac{2}{3}x$。
∵BC//OA，
∴直线BC的斜率也为$-\frac{2}{3}$，设BC解析式为$y=-\frac{2}{3}x+b$，将$B(-3,8)$代入得$-\frac{2}{3}×(-3)+b=8$，解得$b=6$，
∴直线BC的表达式为$y=-\frac{2}{3}x+6$。
(2)
∵反比例函数图象关于原点中心对称，直线AD过原点，
∴点A、D关于原点对称，
∵$A(-6,4)$，
∴$D(6,-4)$。
设$P(0,a)$（$a＜0$），直线$y=\frac{4}{3}x+12$与y轴交于F，令$x=0$得$y=12$，即$F(0,12)$，
∴$PF=12-a$，
$S_{△ PAB}=S_{△ APF}-S_{△ BPF}=\frac{1}{2}×(12-a)×6 - \frac{1}{2}×(12-a)×3=18-\frac{3}{2}a$。
联立BC与双曲线解析式：
$\begin{cases}y=-\frac{2}{3}x+6\\y=-\frac{24}{x}\end{cases}$
解得$\begin{cases}x=-3\\y=8\end{cases}$（即点B）或$\begin{cases}x=12\\y=-2\end{cases}$，
∴$C(12,-2)$。
∵BC//AO，点E在AO上，
∴△BCE和△BCD同底等高，$S_{△ BCE}=S_{△ BCD}$。
计算得$BC=\sqrt{[12-(-3)]^2+(-2-8)^2}=5\sqrt{13}$，
如图
，作$DG⊥ BC$于点G，连结CD、BD，$BD=\sqrt{(-3-6)^2+[8-(-4)]^2}=15$，$CD=\sqrt{(12-6)^2+[-2-(-4)]^2}=2\sqrt{10}$，
设$DG=h$，由勾股定理得$BG=\sqrt{225-h^2}$，$CG=\sqrt{40-h^2}$，
∵$BG+CG=BC=5\sqrt{13}$，
∴$\sqrt{225-h^2}+\sqrt{40-h^2}=5\sqrt{13}$，
解得$h=\frac{18\sqrt{13}}{13}$（负值舍去），
∴$S_{△ BCD}=\frac{1}{2}×BC×DG=\frac{1}{2}×5\sqrt{13}×\frac{18\sqrt{13}}{13}=45$，即$S_{△ BCE}=45$。
由$S_{△ PAB}=\frac{8}{15}S_{△ BCE}$，得$18-\frac{3}{2}a=\frac{8}{15}×45=24$，解得$a=-4$，
∴$P(0,-4)$，即$OP=4$。
如图
，将点B向上平移4个单位得$B_1(-3,12)$，作$B_1$关于y轴的对称点$B_2(3,12)$，连结$DB_2$并延长交y轴于点$O'$，连结$B_1O'$，∵$BB_1=PO=P'O'=4$，且$BB_1//P'O'$，
∴四边形$BB_1O'P'$是平行四边形，
∴$P'B=O'B_1$，又由对称性质得$O'B_1=O'B_2$，
∴$|P'B-O'D|=|O'B_2-O'D|$，根据三角形三边关系，$|O'B_2-O'D|≤DB_2$，当且仅当$O'$、$B_2$、D三点共线时取等号，
∴最大值为$DB_2=\sqrt{(6-3)^2+(-4-12)^2}=\sqrt{265}$。
【答案】
(1) $\boldsymbol{A(-6,4)}$，$\boldsymbol{B(-3,8)}$；直线BC的表达式为$\boldsymbol{y=-\frac{2}{3}x+6}$
(2) $|P'B-O'D|$的最大值为$\boldsymbol{\sqrt{265}}$
【知识点】
一次函数与反比例函数综合；平行线的性质；线段最值问题
【点评】
本题综合考查了一次函数、反比例函数的图象与性质，涉及联立解析式求交点、割补法求三角形面积、平移与对称的应用等内容，解题时需要灵活运用转化思想将线段差值问题转化为共线最值问题，对知识的综合运用能力要求较高。
【难度系数】
0.3
