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1. ★★★(2025·绵阳期末)如图,直线$y=-x+m$与双曲线$y=\frac{k}{x}(k＜0)$交于点$A(-1,3)$和点$B$,则不等式$-x+m＜\frac{k}{x}$的解集是 (
A.$x＜-1$或$x＞3$
B.$-1＜x＜3$
C.$-1＜x＜0$或$x＞3$
D.$x＜-1$或$0＜x＜3$
C
)A.$x＜-1$或$x＞3$
B.$-1＜x＜3$
C.$-1＜x＜0$或$x＞3$
D.$x＜-1$或$0＜x＜3$
答案
1. C
解析
【分析】
要解决该不等式的解集问题，首先利用已知交点A的坐标，通过待定系数法求出一次函数和反比例函数的解析式，再联立两个解析式求出另一个交点B的坐标；不等式$-x+m＜\frac{k}{x}$的几何意义是一次函数图象在反比例函数图象下方时对应的x的取值范围，结合函数图象分$x＜0$和$x＞0$两个区间观察即可得到解集，注意反比例函数自变量x不能为0。
【解析】
1. 求参数$m$、$k$的值
将点$A(-1,3)$分别代入$y=-x+m$和$y=\frac{k}{x}$：
代入直线解析式得$3=-(-1)+m$，解得$m=2$，因此直线解析式为$y=-x+2$；
代入反比例函数解析式得$3=\frac{k}{-1}$，解得$k=-3$，因此反比例函数解析式为$y=-\frac{3}{x}$。
2. 求交点B的坐标
联立两个函数解析式$\begin{cases}y=-x+2\\y=-\frac{3}{x}\end{cases}$，消去$y$得：
$-x+2=-\frac{3}{x}$，两边同乘$x$（$x≠0$）整理得$x^2-2x-3=0$，
因式分解得$(x-3)(x+1)=0$，解得$x_1=-1$（对应点A），$x_2=3$，
将$x=3$代入$y=-x+2$得$y=-1$，即点$B$坐标为$(3,-1)$。
3. 结合图象求不等式解集
不等式$-x+m＜\frac{k}{x}$对应一次函数值小于反比例函数值，即直线在双曲线下方的部分：
当$x＜0$时，观察第二象限图象，$-1＜x＜0$区间内直线在双曲线下方，满足条件；
当$x＞0$时，观察第四象限图象，$x＞3$区间内直线在双曲线下方，满足条件。
因此不等式的解集为$-1＜x＜0$或$x＞3$。
【答案】
C
【知识点】
一次函数与反比例函数综合，图象法解不等式，待定系数法求解析式
【点评】
本题解题核心是掌握函数值大小与图象上下位置的对应关系，求解时注意反比例函数自变量不为0，要分正负区间分别讨论，避免漏解或错解。
【难度系数】
0.7
要解决该不等式的解集问题，首先利用已知交点A的坐标，通过待定系数法求出一次函数和反比例函数的解析式，再联立两个解析式求出另一个交点B的坐标；不等式$-x+m＜\frac{k}{x}$的几何意义是一次函数图象在反比例函数图象下方时对应的x的取值范围，结合函数图象分$x＜0$和$x＞0$两个区间观察即可得到解集，注意反比例函数自变量x不能为0。
【解析】
1. 求参数$m$、$k$的值
将点$A(-1,3)$分别代入$y=-x+m$和$y=\frac{k}{x}$：
代入直线解析式得$3=-(-1)+m$，解得$m=2$，因此直线解析式为$y=-x+2$；
代入反比例函数解析式得$3=\frac{k}{-1}$，解得$k=-3$，因此反比例函数解析式为$y=-\frac{3}{x}$。
2. 求交点B的坐标
联立两个函数解析式$\begin{cases}y=-x+2\\y=-\frac{3}{x}\end{cases}$，消去$y$得：
$-x+2=-\frac{3}{x}$，两边同乘$x$（$x≠0$）整理得$x^2-2x-3=0$，
因式分解得$(x-3)(x+1)=0$，解得$x_1=-1$（对应点A），$x_2=3$，
将$x=3$代入$y=-x+2$得$y=-1$，即点$B$坐标为$(3,-1)$。
3. 结合图象求不等式解集
不等式$-x+m＜\frac{k}{x}$对应一次函数值小于反比例函数值，即直线在双曲线下方的部分：
当$x＜0$时，观察第二象限图象，$-1＜x＜0$区间内直线在双曲线下方，满足条件；
当$x＞0$时，观察第四象限图象，$x＞3$区间内直线在双曲线下方，满足条件。
因此不等式的解集为$-1＜x＜0$或$x＞3$。
【答案】
C
【知识点】
一次函数与反比例函数综合，图象法解不等式，待定系数法求解析式
【点评】
本题解题核心是掌握函数值大小与图象上下位置的对应关系，求解时注意反比例函数自变量不为0，要分正负区间分别讨论，避免漏解或错解。
【难度系数】
0.7
2. ★★★ (2025·衢州模拟)已知点$A(a,b)$在反比例函数$y=\frac{2}{x}$的图象上，点$B$在一次函数$y=x+3$的图象上，若点$A$和点$B$关于$x$轴对称，则$\frac{a}{b}+\frac{b}{a}=$
$\frac{5}{2}$
。答案
2. $\frac{5}{2}$
解析
【分析】
解题思路可分为三步：第一步，根据点在反比例函数图象上的坐标特征，得到a与b的乘积；第二步，利用关于x轴对称的点的坐标规律写出点B的坐标，再代入一次函数解析式，得到a与b的和；第三步，将所求代数式通分变形，结合完全平方公式转化为含a+b和ab的式子，整体代入求值即可，无需单独求解a、b的具体值。
【解析】
解：
∵点$A(a,b)$在反比例函数$y=\frac{2}{x}$的图象上，
∴$b=\frac{2}{a}$，即$ab=2$。
∵点$A$和点$B$关于$x$轴对称，
∴点$B$的坐标为$(a,-b)$。
又
∵点$B$在一次函数$y=x+3$的图象上，
∴将$x=a$，$y=-b$代入解析式得：$-b=a+3$，整理得$a+b=-3$。
对所求代数式变形：
$\frac{a}{b}+\frac{b}{a}=\frac{a^2+b^2}{ab}=\frac{(a+b)^2-2ab}{ab}$
将$a+b=-3$，$ab=2$代入上式：
原式$=\frac{(-3)^2-2×2}{2}=\frac{9-4}{2}=\frac{5}{2}$。
【答案】
$\frac{5}{2}$
【知识点】
反比例函数点坐标特征，轴对称点坐标规律，分式化简求值
【点评】
本题是反比例函数与一次函数的综合基础题，核心考查了整体代入的数学思想，解题时不需要求出a、b的具体值，通过推导得到a+b和ab的值后代入计算即可，能有效简化运算过程。
【难度系数】
0.7
解题思路可分为三步：第一步，根据点在反比例函数图象上的坐标特征，得到a与b的乘积；第二步，利用关于x轴对称的点的坐标规律写出点B的坐标，再代入一次函数解析式，得到a与b的和；第三步，将所求代数式通分变形，结合完全平方公式转化为含a+b和ab的式子，整体代入求值即可，无需单独求解a、b的具体值。
【解析】
解：
∵点$A(a,b)$在反比例函数$y=\frac{2}{x}$的图象上，
∴$b=\frac{2}{a}$，即$ab=2$。
∵点$A$和点$B$关于$x$轴对称，
∴点$B$的坐标为$(a,-b)$。
又
∵点$B$在一次函数$y=x+3$的图象上，
∴将$x=a$，$y=-b$代入解析式得：$-b=a+3$，整理得$a+b=-3$。
对所求代数式变形：
$\frac{a}{b}+\frac{b}{a}=\frac{a^2+b^2}{ab}=\frac{(a+b)^2-2ab}{ab}$
将$a+b=-3$，$ab=2$代入上式：
原式$=\frac{(-3)^2-2×2}{2}=\frac{9-4}{2}=\frac{5}{2}$。
【答案】
$\frac{5}{2}$
【知识点】
反比例函数点坐标特征，轴对称点坐标规律，分式化简求值
【点评】
本题是反比例函数与一次函数的综合基础题，核心考查了整体代入的数学思想，解题时不需要求出a、b的具体值，通过推导得到a+b和ab的值后代入计算即可，能有效简化运算过程。
【难度系数】
0.7
3. （2025·宁波月考）如图，直线$y=kx$与反比例函数$y=\frac{a}{x}$的图象交于$A,B$两点，与函数$y=\frac{b}{x}$（$0＜b＜a$）在第一象限的图象交于点$C$，$AC=3BC$，过点$B$分别作$x$轴、$y$轴的平行线交函数$y=\frac{b}{x}$在第一象限的图象于点$E,D$，连结$AE$交$x$轴于点$G$，连结$AD$交$y$轴于点$F$，连结$FG$，若$△ AFG$的面积为$39$，则$\frac{a}{b}$的值为________，$a+b$的值为________。
答案
3. 4 160
解析
【分析】
首先，正比例函数与反比例函数$y=\frac{a}{x}$的交点A、B关于原点对称，可设B点坐标进而得到A点坐标；结合$AC=3BC$的线段比例关系，利用分点规则求出C点坐标，代入$y=\frac{b}{x}$即可算出$\frac{a}{b}$的值。接下来根据E、D的构造特征求出E、D的坐标，再求直线AE、AD与坐标轴的交点G、F的坐标，最后用割补法计算$△ AFG$的面积，结合面积为39求出a、b的值，即可得到$a+b$。
【解析】
1. 求$\frac{a}{b}$的值
∵ 直线$y=kx$与$y=\frac{a}{x}$交于A、B两点，
∴ A、B关于原点对称，设$B(t,\frac{a}{t})(t＞0)$，则$A(-t,-\frac{a}{t})$。
∵ $AC=3BC$，即$AC:CB=3:1$，由线段分点坐标规则可得C点坐标：
$x_C=\frac{1×(-t)+3× t}{3+1}=\frac{t}{2}$，$y_C=\frac{1×(-\frac{a}{t})+3×\frac{a}{t}}{3+1}=\frac{a}{2t}$
∵ C在$y=\frac{b}{x}$上，代入得$\frac{a}{2t}=\frac{b}{\frac{t}{2}}$，化简得$a=4b$，故$\frac{a}{b}=4$。
2. 求$a+b$的值
过B作x轴平行线交$y=\frac{b}{x}$于E，E的纵坐标为$\frac{a}{t}$，代入$y=\frac{b}{x}$得$x_E=\frac{bt}{a}=\frac{t}{4}$，即$E(\frac{t}{4},\frac{a}{t})$；
过B作y轴平行线交$y=\frac{b}{x}$于D，D的横坐标为$t$，代入$y=\frac{b}{x}$得$y_D=\frac{b}{t}=\frac{a}{4t}$，即$D(t,\frac{a}{4t})$。
求直线AE与x轴交点G：
直线AE的解析式为$y+\frac{a}{t}=\frac{8a}{5t^2}(x+t)$，令$y=0$，解得$x=-\frac{3t}{8}$，即$G(-\frac{3t}{8},0)$。
求直线AD与y轴交点F：
直线AD的解析式为$y+\frac{a}{t}=\frac{5a}{8t^2}(x+t)$，令$x=0$，解得$y=-\frac{3a}{8t}$，即$F(0,-\frac{3a}{8t})$。
计算$△ AFG$的面积：
用割补法得$S_{△ AFG}=S_{△ AOG}+S_{△ AOF}-S_{△ FOG}$
$=\frac{1}{2}×\frac{3t}{8}×\frac{a}{t}+\frac{1}{2}×\frac{3a}{8t}× t-\frac{1}{2}×\frac{3t}{8}×\frac{3a}{8t}$
$=\frac{3a}{16}+\frac{3a}{16}-\frac{9a}{128}=\frac{39a}{128}$
已知$S_{△ AFG}=39$，则$\frac{39a}{128}=39$，解得$a=128$，$b=\frac{a}{4}=32$，故$a+b=128+32=160$。
【答案】
4；160
【知识点】
反比例函数性质；一次函数解析式求解；坐标法算三角形面积
【点评】
本题是反比例函数与一次函数的综合题，核心是利用反比例函数的对称性设点，结合线段比例推导点坐标，再通过面积建立方程求解，对坐标运算能力要求较高。
【难度系数】
0.3
首先，正比例函数与反比例函数$y=\frac{a}{x}$的交点A、B关于原点对称，可设B点坐标进而得到A点坐标；结合$AC=3BC$的线段比例关系，利用分点规则求出C点坐标，代入$y=\frac{b}{x}$即可算出$\frac{a}{b}$的值。接下来根据E、D的构造特征求出E、D的坐标，再求直线AE、AD与坐标轴的交点G、F的坐标，最后用割补法计算$△ AFG$的面积，结合面积为39求出a、b的值，即可得到$a+b$。
【解析】
1. 求$\frac{a}{b}$的值
∵ 直线$y=kx$与$y=\frac{a}{x}$交于A、B两点，
∴ A、B关于原点对称，设$B(t,\frac{a}{t})(t＞0)$，则$A(-t,-\frac{a}{t})$。
∵ $AC=3BC$，即$AC:CB=3:1$，由线段分点坐标规则可得C点坐标：
$x_C=\frac{1×(-t)+3× t}{3+1}=\frac{t}{2}$，$y_C=\frac{1×(-\frac{a}{t})+3×\frac{a}{t}}{3+1}=\frac{a}{2t}$
∵ C在$y=\frac{b}{x}$上，代入得$\frac{a}{2t}=\frac{b}{\frac{t}{2}}$，化简得$a=4b$，故$\frac{a}{b}=4$。
2. 求$a+b$的值
过B作x轴平行线交$y=\frac{b}{x}$于E，E的纵坐标为$\frac{a}{t}$，代入$y=\frac{b}{x}$得$x_E=\frac{bt}{a}=\frac{t}{4}$，即$E(\frac{t}{4},\frac{a}{t})$；
过B作y轴平行线交$y=\frac{b}{x}$于D，D的横坐标为$t$，代入$y=\frac{b}{x}$得$y_D=\frac{b}{t}=\frac{a}{4t}$，即$D(t,\frac{a}{4t})$。
求直线AE与x轴交点G：
直线AE的解析式为$y+\frac{a}{t}=\frac{8a}{5t^2}(x+t)$，令$y=0$，解得$x=-\frac{3t}{8}$，即$G(-\frac{3t}{8},0)$。
求直线AD与y轴交点F：
直线AD的解析式为$y+\frac{a}{t}=\frac{5a}{8t^2}(x+t)$，令$x=0$，解得$y=-\frac{3a}{8t}$，即$F(0,-\frac{3a}{8t})$。
计算$△ AFG$的面积：
用割补法得$S_{△ AFG}=S_{△ AOG}+S_{△ AOF}-S_{△ FOG}$
$=\frac{1}{2}×\frac{3t}{8}×\frac{a}{t}+\frac{1}{2}×\frac{3a}{8t}× t-\frac{1}{2}×\frac{3t}{8}×\frac{3a}{8t}$
$=\frac{3a}{16}+\frac{3a}{16}-\frac{9a}{128}=\frac{39a}{128}$
已知$S_{△ AFG}=39$，则$\frac{39a}{128}=39$，解得$a=128$，$b=\frac{a}{4}=32$，故$a+b=128+32=160$。
【答案】
4；160
【知识点】
反比例函数性质；一次函数解析式求解；坐标法算三角形面积
【点评】
本题是反比例函数与一次函数的综合题，核心是利用反比例函数的对称性设点，结合线段比例推导点坐标，再通过面积建立方程求解，对坐标运算能力要求较高。
【难度系数】
0.3
4. 对于平面直角坐标系$xOy$中的图形$M$和直线$m$,给出如下定义:若图形$M$上有点到直线$m$的距离为$d$,那么称这个点为图形$M$到直线$m$的“$d$距点”.如图,双曲线$C:y=\frac{4}{x}(x＞0)$和直线$l:y=-x+n$,若图形$C$到直线$l$的“$\sqrt{2}$距点”只有$2$个,则$n$的取值范围是
2＜n＜6
.答案
4. 2＜n＜6
解析
【分析】
首先理解“$\sqrt{2}$距点”的定义，将问题转化为：双曲线上到直线$l$距离为$\sqrt{2}$的点共有2个。根据平行直线间的距离关系，到直线$l$距离为$\sqrt{2}$的点都在与$l$平行且距离为$\sqrt{2}$的两条直线上，因此只需分析这两条直线和双曲线$y=\frac{4}{x}(x＞0)$的交点总个数为2时$n$的取值范围即可。先推导两条平行直线的解析式，再联立直线与双曲线解析式，利用一元二次方程判别式判断交点个数，最终确定$n$的范围。
【解析】
1. 推导平行直线解析式
将直线$l:y=-x+n$整理为标准式：$x+y-n=0$，设与$l$平行的直线为$y=-x+b$，整理为$x+y-b=0$。
根据平行直线的距离公式，两直线距离为$\frac{|b-n|}{\sqrt{1^2+1^2}}=\frac{|b-n|}{\sqrt{2}}$，结合题意距离为$\sqrt{2}$，得$\frac{|b-n|}{\sqrt{2}}=\sqrt{2}$，解得$b=n+2$或$b=n-2$，即所有满足距离要求的点都在直线$y=-x+(n+2)$和$y=-x+(n-2)$上。
2. 分析直线与双曲线的交点规律
联立$y=-x+b$和$y=\frac{4}{x}(x＞0)$，消去$y$得$x^2-bx+4=0$（$x＞0$）。
当直线与双曲线相切时，方程有唯一正实根，判别式$\Delta=b^2-4×1×4=0$，解得$b=4$（$b=-4$时方程两根之和为负，无正实根，舍去），因此：
$b＞4$时，$\Delta＞0$，直线与双曲线有2个交点；
$b=4$时，$\Delta=0$，直线与双曲线有1个交点；
$b＜4$时，$\Delta＜0$，直线与双曲线无交点。
3. 确定$n$的取值范围
要使总交点数为2，需满足：
$n+2＞4$且$n-2＜4$，解得$2＜n＜6$。
边界验证：$n=2$时总交点数为1，$n=6$时总交点数为3，$n＜2$时无交点，$n＞6$时总交点数为4，均不符合要求。
【答案】
$2＜n＜6$
【知识点】
平行直线距离公式，函数交点问题，一元二次方程判别式
【点评】
本题属于新定义题型，核心是将陌生的新定义转化为熟悉的平行直线、函数交点问题，结合一元二次方程判别式求解参数范围，考查了转化思想和数形结合思想的应用。
【难度系数】
0.6
首先理解“$\sqrt{2}$距点”的定义，将问题转化为：双曲线上到直线$l$距离为$\sqrt{2}$的点共有2个。根据平行直线间的距离关系，到直线$l$距离为$\sqrt{2}$的点都在与$l$平行且距离为$\sqrt{2}$的两条直线上，因此只需分析这两条直线和双曲线$y=\frac{4}{x}(x＞0)$的交点总个数为2时$n$的取值范围即可。先推导两条平行直线的解析式，再联立直线与双曲线解析式，利用一元二次方程判别式判断交点个数，最终确定$n$的范围。
【解析】
1. 推导平行直线解析式
将直线$l:y=-x+n$整理为标准式：$x+y-n=0$，设与$l$平行的直线为$y=-x+b$，整理为$x+y-b=0$。
根据平行直线的距离公式，两直线距离为$\frac{|b-n|}{\sqrt{1^2+1^2}}=\frac{|b-n|}{\sqrt{2}}$，结合题意距离为$\sqrt{2}$，得$\frac{|b-n|}{\sqrt{2}}=\sqrt{2}$，解得$b=n+2$或$b=n-2$，即所有满足距离要求的点都在直线$y=-x+(n+2)$和$y=-x+(n-2)$上。
2. 分析直线与双曲线的交点规律
联立$y=-x+b$和$y=\frac{4}{x}(x＞0)$，消去$y$得$x^2-bx+4=0$（$x＞0$）。
当直线与双曲线相切时，方程有唯一正实根，判别式$\Delta=b^2-4×1×4=0$，解得$b=4$（$b=-4$时方程两根之和为负，无正实根，舍去），因此：
$b＞4$时，$\Delta＞0$，直线与双曲线有2个交点；
$b=4$时，$\Delta=0$，直线与双曲线有1个交点；
$b＜4$时，$\Delta＜0$，直线与双曲线无交点。
3. 确定$n$的取值范围
要使总交点数为2，需满足：
$n+2＞4$且$n-2＜4$，解得$2＜n＜6$。
边界验证：$n=2$时总交点数为1，$n=6$时总交点数为3，$n＜2$时无交点，$n＞6$时总交点数为4，均不符合要求。
【答案】
$2＜n＜6$
【知识点】
平行直线距离公式，函数交点问题，一元二次方程判别式
【点评】
本题属于新定义题型，核心是将陌生的新定义转化为熟悉的平行直线、函数交点问题，结合一元二次方程判别式求解参数范围，考查了转化思想和数形结合思想的应用。
【难度系数】
0.6
5. ★★ 在平面直角坐标系中,设函数$y_1=-x+m$($m$是实数),$y_2=\frac{k}{x}$($k≠0$),已知函数$y_1$与$y_2$的图象都经过点$A(1,7-m)$和点$B$.
(1)求函数$y_1,y_2$的表达式与点$B$的坐标;
(2)当$y_1＞y_2$时,请直接写出自变量$x$的取值范围;
(3)已知点$C(a,b)$和点$D(c,d)$在函数$y_2$的图象上,且$a+c=4$,设$P=\frac{1}{b}-\frac{1}{d}$,当$1＜a＜c＜3$时,求$P$的取值范围.
＞＞ 进一步挑战进阶专题:P167 专题7
(1)求函数$y_1,y_2$的表达式与点$B$的坐标;
(2)当$y_1＞y_2$时,请直接写出自变量$x$的取值范围;
(3)已知点$C(a,b)$和点$D(c,d)$在函数$y_2$的图象上,且$a+c=4$,设$P=\frac{1}{b}-\frac{1}{d}$,当$1＜a＜c＜3$时,求$P$的取值范围.
＞＞ 进一步挑战进阶专题:P167 专题7
答案
5. (1)$\because$ 函数 $y_1 = -x+m$ 经过点 $A(1,7-m),\therefore 7-m = -1+m$,解得 $m=4,\therefore A(1,3).\because$ 点 $A$ 在反比例函数 $y_2=\frac{k}{x}$ 的图象上,$\therefore k=3$,
$\therefore$ 反比例函数表达式为 $y_2=\frac{3}{x}$,一次函数表达式为 $y_1=-x+4$.联立方程组$\begin{cases}y=\frac{3}{x},\\y=-x+4,\end{cases}$ 解得$\begin{cases}x=1,\\y=3,\end{cases}\begin{cases}x=3,\\y=1,\end{cases}\therefore B(3,1).$
(2)由两个函数的性质及交点坐标可知,当 $y_1＞y_2$ 时,自变量 $x$ 的取值范围为 $x＜0$ 或 $1＜x＜3.$
(3)$\because$ 点 $C(a,b)$ 和点 $D(c,d)$ 在函数 $y_2$ 的图象上,$\therefore b=\frac{3}{a},d=\frac{3}{c}$,
$\therefore P=\frac{1}{b}-\frac{1}{d}=\frac{a}{3}-\frac{c}{3}=\frac{a-c}{3}.\because a+c=4,1＜a＜c＜3,\therefore 1＜a＜2,c=4-a$,
$\therefore P=\frac{a-(4-a)}{3}=\frac{2a-4}{3}.\because 1＜a＜2,\therefore -\frac{2}{3}＜P＜0,\therefore P$ 的取值范围为$-\frac{2}{3}＜P＜0.$
$\therefore$ 反比例函数表达式为 $y_2=\frac{3}{x}$,一次函数表达式为 $y_1=-x+4$.联立方程组$\begin{cases}y=\frac{3}{x},\\y=-x+4,\end{cases}$ 解得$\begin{cases}x=1,\\y=3,\end{cases}\begin{cases}x=3,\\y=1,\end{cases}\therefore B(3,1).$
(2)由两个函数的性质及交点坐标可知,当 $y_1＞y_2$ 时,自变量 $x$ 的取值范围为 $x＜0$ 或 $1＜x＜3.$
(3)$\because$ 点 $C(a,b)$ 和点 $D(c,d)$ 在函数 $y_2$ 的图象上,$\therefore b=\frac{3}{a},d=\frac{3}{c}$,
$\therefore P=\frac{1}{b}-\frac{1}{d}=\frac{a}{3}-\frac{c}{3}=\frac{a-c}{3}.\because a+c=4,1＜a＜c＜3,\therefore 1＜a＜2,c=4-a$,
$\therefore P=\frac{a-(4-a)}{3}=\frac{2a-4}{3}.\because 1＜a＜2,\therefore -\frac{2}{3}＜P＜0,\therefore P$ 的取值范围为$-\frac{2}{3}＜P＜0.$
解析
【分析】
(1) 解题思路：首先将点A坐标代入一次函数解析式求出m的值，即可得到一次函数表达式和点A的具体坐标；再把点A代入反比例函数解析式求出k的值，得到反比例函数表达式；最后联立两个函数的解析式解方程组，除点A外的解就是点B的坐标。
(2) 解题思路：结合两个函数的图像，观察一次函数图像在反比例函数图像上方时对应的x的取值即可，注意不要遗漏反比例函数第三象限分支对应的x范围。
(3) 解题思路：先将点C、D代入反比例函数解析式，用a、c表示出b、d，代入P的表达式化简；再结合a+c=4的条件将c用a表示，把P转化为仅含a的代数式；最后根据1＜a＜c＜3的条件确定a的取值范围，进而求出P的取值范围。
【解析】
(1)
∵ 函数$y_1 = -x+m$经过点$A(1,7-m)$，
∴ 将$x=1$，$y=7-m$代入得：$7-m = -1+m$，
解得 $m=4$，
∴ 一次函数表达式为$y_1=-x+4$，点A坐标为$(1,3)$，
∵ 点A在反比例函数$y_2=\frac{k}{x}$的图象上，
∴ 将$A(1,3)$代入得$k=1×3=3$，
∴ 反比例函数表达式为$y_2=\frac{3}{x}$，
联立两个函数解析式得$\begin{cases}y=\frac{3}{x}\\y=-x+4\end{cases}$，
解得$\begin{cases}x=1\\y=3\end{cases}$，$\begin{cases}x=3\\y=1\end{cases}$，
∴ 点B的坐标为$(3,1)$。
(2) 结合两个函数的图象性质，一次函数$y_1=-x+4$过一、二、四象限，反比例函数$y_2=\frac{3}{x}$过一、三象限，交点为$A(1,3)$、$B(3,1)$，观察图象可得：当$x＜0$或$1＜x＜3$时，一次函数图象在反比例函数图象上方，即$y_1＞y_2$。
(3)
∵ 点$C(a,b)$和点$D(c,d)$在$y_2=\frac{3}{x}$的图象上，
∴ $b=\frac{3}{a}$，$d=\frac{3}{c}$，
∴ $P=\frac{1}{b}-\frac{1}{d}=\frac{a}{3}-\frac{c}{3}=\frac{a-c}{3}$，
∵ $a+c=4$，
∴ $c=4-a$，
代入P的表达式得：$P=\frac{a-(4-a)}{3}=\frac{2a-4}{3}$，
又
∵ $1＜a＜c＜3$，
∴ $a＜4-a$，解得$a＜2$，即$1＜a＜2$，
∵ P随a的增大而增大，
∴ 当$a=1$时，$P=-\frac{2}{3}$；当$a=2$时，$P=0$，
∴ $-\frac{2}{3}＜P＜0$。
【答案】
(1) $y_1=-x+4$，$y_2=\frac{3}{x}$，$B(3,1)$；
(2) $x＜0$ 或 $1＜x＜3$；
(3) $-\frac{2}{3}＜P＜0$
【知识点】
1. 待定系数法求解析式
2. 函数与不等式的关系
3. 反比例函数性质
【点评】
本题是一次函数与反比例函数的综合常考题，核心考查待定系数法的应用、数形结合解不等式的思路以及代换消元求代数式取值范围的方法，解题时要注意结合图像分析，避免遗漏取值范围的情况。
【难度系数】
0.6
(1) 解题思路：首先将点A坐标代入一次函数解析式求出m的值，即可得到一次函数表达式和点A的具体坐标；再把点A代入反比例函数解析式求出k的值，得到反比例函数表达式；最后联立两个函数的解析式解方程组，除点A外的解就是点B的坐标。
(2) 解题思路：结合两个函数的图像，观察一次函数图像在反比例函数图像上方时对应的x的取值即可，注意不要遗漏反比例函数第三象限分支对应的x范围。
(3) 解题思路：先将点C、D代入反比例函数解析式，用a、c表示出b、d，代入P的表达式化简；再结合a+c=4的条件将c用a表示，把P转化为仅含a的代数式；最后根据1＜a＜c＜3的条件确定a的取值范围，进而求出P的取值范围。
【解析】
(1)
∵ 函数$y_1 = -x+m$经过点$A(1,7-m)$，
∴ 将$x=1$，$y=7-m$代入得：$7-m = -1+m$，
解得 $m=4$，
∴ 一次函数表达式为$y_1=-x+4$，点A坐标为$(1,3)$，
∵ 点A在反比例函数$y_2=\frac{k}{x}$的图象上，
∴ 将$A(1,3)$代入得$k=1×3=3$，
∴ 反比例函数表达式为$y_2=\frac{3}{x}$，
联立两个函数解析式得$\begin{cases}y=\frac{3}{x}\\y=-x+4\end{cases}$，
解得$\begin{cases}x=1\\y=3\end{cases}$，$\begin{cases}x=3\\y=1\end{cases}$，
∴ 点B的坐标为$(3,1)$。
(2) 结合两个函数的图象性质，一次函数$y_1=-x+4$过一、二、四象限，反比例函数$y_2=\frac{3}{x}$过一、三象限，交点为$A(1,3)$、$B(3,1)$，观察图象可得：当$x＜0$或$1＜x＜3$时，一次函数图象在反比例函数图象上方，即$y_1＞y_2$。
(3)
∵ 点$C(a,b)$和点$D(c,d)$在$y_2=\frac{3}{x}$的图象上，
∴ $b=\frac{3}{a}$，$d=\frac{3}{c}$，
∴ $P=\frac{1}{b}-\frac{1}{d}=\frac{a}{3}-\frac{c}{3}=\frac{a-c}{3}$，
∵ $a+c=4$，
∴ $c=4-a$，
代入P的表达式得：$P=\frac{a-(4-a)}{3}=\frac{2a-4}{3}$，
又
∵ $1＜a＜c＜3$，
∴ $a＜4-a$，解得$a＜2$，即$1＜a＜2$，
∵ P随a的增大而增大，
∴ 当$a=1$时，$P=-\frac{2}{3}$；当$a=2$时，$P=0$，
∴ $-\frac{2}{3}＜P＜0$。
【答案】
(1) $y_1=-x+4$，$y_2=\frac{3}{x}$，$B(3,1)$；
(2) $x＜0$ 或 $1＜x＜3$；
(3) $-\frac{2}{3}＜P＜0$
【知识点】
1. 待定系数法求解析式
2. 函数与不等式的关系
3. 反比例函数性质
【点评】
本题是一次函数与反比例函数的综合常考题，核心考查待定系数法的应用、数形结合解不等式的思路以及代换消元求代数式取值范围的方法，解题时要注意结合图像分析，避免遗漏取值范围的情况。
【难度系数】
0.6
