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三、解答题
8. |代数推理 如图,在 Rt△ABC 中,∠C=90°,∠A=α,∠A,∠B,∠C 的对边分别是 a,b,c.
(1)利用锐角三角函数的定义证明:tan α=$\frac{\sin α}{\cos α}$;
(2)若 tan α=2,求$\frac{\sin α+\cos α}{\sin α-\cos α}$的值.
8. |代数推理 如图,在 Rt△ABC 中,∠C=90°,∠A=α,∠A,∠B,∠C 的对边分别是 a,b,c.
(1)利用锐角三角函数的定义证明:tan α=$\frac{\sin α}{\cos α}$;
(2)若 tan α=2,求$\frac{\sin α+\cos α}{\sin α-\cos α}$的值.
答案
8. (1)
∵ 在 Rt△ABC 中,∠C=90°,∠A=α,∠A,∠B,∠C 的对边分别是 a,b,c,
∴ $\sin α=\dfrac{BC}{AB}=\dfrac{a}{c}$, $\cos α=\dfrac{AC}{AB}=\dfrac{b}{c}$, $\tan α=\dfrac{BC}{AC}=\dfrac{a}{b}$,
∴ $\dfrac{\sin α}{\cos α}=\dfrac{\dfrac{a}{c}}{\dfrac{b}{c}}=\dfrac{a}{b}$,
∴ $\tan α=\dfrac{\sin α}{\cos α}$.
(2)
∵ $\tan α = \dfrac{\sin α}{\cos α} = 2$,
∴ $\sin α = 2\cos α$,
∴ $\dfrac{\sin α+\cos α}{\sin α-\cos α} =\dfrac{2\cos α+\cos α}{2\cos α-\cos α}=\dfrac{3\cos α}{\cos α}=3$.
∵ 在 Rt△ABC 中,∠C=90°,∠A=α,∠A,∠B,∠C 的对边分别是 a,b,c,
∴ $\sin α=\dfrac{BC}{AB}=\dfrac{a}{c}$, $\cos α=\dfrac{AC}{AB}=\dfrac{b}{c}$, $\tan α=\dfrac{BC}{AC}=\dfrac{a}{b}$,
∴ $\dfrac{\sin α}{\cos α}=\dfrac{\dfrac{a}{c}}{\dfrac{b}{c}}=\dfrac{a}{b}$,
∴ $\tan α=\dfrac{\sin α}{\cos α}$.
(2)
∵ $\tan α = \dfrac{\sin α}{\cos α} = 2$,
∴ $\sin α = 2\cos α$,
∴ $\dfrac{\sin α+\cos α}{\sin α-\cos α} =\dfrac{2\cos α+\cos α}{2\cos α-\cos α}=\dfrac{3\cos α}{\cos α}=3$.
解析
【分析】
(1)要证明$\tanα=\frac{\sinα}{\cosα}$，首先根据锐角三角函数的定义，分别写出$\sinα$、$\cosα$、$\tanα$关于三角形三边$a,b,c$的表达式，再计算$\frac{\sinα}{\cosα}$的结果，和$\tanα$的表达式对比即可得证。
(2)求分式$\frac{\sinα+\cosα}{\sinα-\cosα}$的值，可利用第(1)问得到的$\tanα=\frac{\sinα}{\cosα}$的结论，结合已知$\tanα=2$得到$\sinα$和$\cosα$的关系，代入分式后约分即可求出结果。
【解析】
(1)
∵ 在$\mathrm{Rt}△ ABC$中，$∠ C=90°$，$∠ A=α$，$∠ A,∠ B,∠ C$的对边分别是$a,b,c$，
∴ $\sinα=\dfrac{BC}{AB}=\dfrac{a}{c}$，$\cosα=\dfrac{AC}{AB}=\dfrac{b}{c}$，$\tanα=\dfrac{BC}{AC}=\dfrac{a}{b}$，
∴ $\dfrac{\sinα}{\cosα}=\dfrac{\dfrac{a}{c}}{\dfrac{b}{c}}=\dfrac{a}{b}$，
∴ $\tanα=\dfrac{\sinα}{\cosα}$。
(2)
∵ $\tanα = \dfrac{\sinα}{\cosα} = 2$，
∴ $\sinα = 2\cosα$，
∵ 在$\mathrm{Rt}△ ABC$中$∠α$为锐角，$\cosα≠0$，
∴ $\dfrac{\sinα+\cosα}{\sinα-\cosα} =\dfrac{2\cosα+\cosα}{2\cosα-\cosα}=\dfrac{3\cosα}{\cosα}=3$。
【答案】
(1)证明见解析；(2)$3$
【知识点】
锐角三角函数的定义，同角三角函数的基本关系，分式化简求值
【点评】
本题侧重考查三角函数的基础应用，第一问通过定义推导同角三角函数关系，强化了对三角函数概念的理解；第二问利用推导结论化简求值，体现了代入消元的思想，掌握锐角三角函数的定义是解题的核心。
【难度系数】
0.8
(1)要证明$\tanα=\frac{\sinα}{\cosα}$，首先根据锐角三角函数的定义，分别写出$\sinα$、$\cosα$、$\tanα$关于三角形三边$a,b,c$的表达式，再计算$\frac{\sinα}{\cosα}$的结果，和$\tanα$的表达式对比即可得证。
(2)求分式$\frac{\sinα+\cosα}{\sinα-\cosα}$的值，可利用第(1)问得到的$\tanα=\frac{\sinα}{\cosα}$的结论，结合已知$\tanα=2$得到$\sinα$和$\cosα$的关系，代入分式后约分即可求出结果。
【解析】
(1)
∵ 在$\mathrm{Rt}△ ABC$中，$∠ C=90°$，$∠ A=α$，$∠ A,∠ B,∠ C$的对边分别是$a,b,c$，
∴ $\sinα=\dfrac{BC}{AB}=\dfrac{a}{c}$，$\cosα=\dfrac{AC}{AB}=\dfrac{b}{c}$，$\tanα=\dfrac{BC}{AC}=\dfrac{a}{b}$，
∴ $\dfrac{\sinα}{\cosα}=\dfrac{\dfrac{a}{c}}{\dfrac{b}{c}}=\dfrac{a}{b}$，
∴ $\tanα=\dfrac{\sinα}{\cosα}$。
(2)
∵ $\tanα = \dfrac{\sinα}{\cosα} = 2$，
∴ $\sinα = 2\cosα$，
∵ 在$\mathrm{Rt}△ ABC$中$∠α$为锐角，$\cosα≠0$，
∴ $\dfrac{\sinα+\cosα}{\sinα-\cosα} =\dfrac{2\cosα+\cosα}{2\cosα-\cosα}=\dfrac{3\cosα}{\cosα}=3$。
【答案】
(1)证明见解析；(2)$3$
【知识点】
锐角三角函数的定义，同角三角函数的基本关系，分式化简求值
【点评】
本题侧重考查三角函数的基础应用，第一问通过定义推导同角三角函数关系，强化了对三角函数概念的理解；第二问利用推导结论化简求值，体现了代入消元的思想，掌握锐角三角函数的定义是解题的核心。
【难度系数】
0.8
9. ★★|开放性试题【兴趣引发】万佛塔是老金华城地标性建筑，始建于北宋嘉祐七年（1062）至治平元年（1064）之间.学完三角函数知识后，某校数学小组的同学决定利用所学知识测量万佛塔的高度.
【查阅资料】为了得到非特殊角的三角函数的准确值，同学们提前做了功课，得到两角和的正切值公式：$\tan(α+β)=\frac{\tanα+\tanβ}{1-\tanα·\tanβ}$.
利用公式可以将一些不是特殊角的三角函数转化为特殊角的三角函数来求值，如：$\tan105°=\tan(45°+60°)=\frac{\tan45°+\tan60°}{1-\tan45°×\tan60°}=\frac{1+\sqrt{3}}{1-1×\sqrt{3}}=\frac{(1+\sqrt{3})×(1+\sqrt{3})}{(1-\sqrt{3})×(1+\sqrt{3})}=\frac{4+2\sqrt{3}}{-2}=-2-\sqrt{3}$.
【学以致用】根据上面的知识，解决下面的实际问题：
如图，在另一建筑物楼顶D处用测角仪测得塔顶A的仰角为75°，塔底B的俯角为45°，测得万佛塔与这一建筑之间的距离BC为21 m.
(1)求$\tan75°$的值；
(2)根据测量结果，求万佛塔AB的高度；(结果保留根号)
(3)通过查阅资料得知，万佛塔的实际高度是99.99 m.请利用$\sqrt{3}\approx1.732$并根据本次测量结果求出万佛塔AB的近似值，再计算本次测量结果的误差，并提出一条减少误差的合理化建议.
＞＞ 对点专练 P131
＞＞ 根据诊断结果，请完成对应的练习
【查阅资料】为了得到非特殊角的三角函数的准确值，同学们提前做了功课，得到两角和的正切值公式：$\tan(α+β)=\frac{\tanα+\tanβ}{1-\tanα·\tanβ}$.
利用公式可以将一些不是特殊角的三角函数转化为特殊角的三角函数来求值，如：$\tan105°=\tan(45°+60°)=\frac{\tan45°+\tan60°}{1-\tan45°×\tan60°}=\frac{1+\sqrt{3}}{1-1×\sqrt{3}}=\frac{(1+\sqrt{3})×(1+\sqrt{3})}{(1-\sqrt{3})×(1+\sqrt{3})}=\frac{4+2\sqrt{3}}{-2}=-2-\sqrt{3}$.
【学以致用】根据上面的知识，解决下面的实际问题：
如图，在另一建筑物楼顶D处用测角仪测得塔顶A的仰角为75°，塔底B的俯角为45°，测得万佛塔与这一建筑之间的距离BC为21 m.
(1)求$\tan75°$的值；
(2)根据测量结果，求万佛塔AB的高度；(结果保留根号)
(3)通过查阅资料得知，万佛塔的实际高度是99.99 m.请利用$\sqrt{3}\approx1.732$并根据本次测量结果求出万佛塔AB的近似值，再计算本次测量结果的误差，并提出一条减少误差的合理化建议.
＞＞ 对点专练 P131
＞＞ 根据诊断结果，请完成对应的练习
答案
9. (1) $\tan 75° = \tan ( 30° + 45° ) = \dfrac{\tan 30°+\tan 45°}{1-\tan 30°×\tan 45°} = \dfrac{\dfrac{\sqrt{3}}{3}+1}{1-\dfrac{\sqrt{3}}{3}×1} =\dfrac{3+\sqrt{3}}{3-\sqrt{3}}=2+\sqrt{3}$.
(2)如图,过点 D 作 $DE ⊥ AB$,垂足为 E,由题意得 $CD = BE$, $BC = DE = 21$ m. 在 $Rt△ADE$ 中, $∠ADE = 75°$,
∴ $AE = DE · \tan 75°=21×(2+\sqrt{3}) = (42+21\sqrt{3})$ m. 在 $Rt△BDE$ 中, $∠EDB = 45°$,
∴ $EB = DE = 21$ m,
∴ $AB = AE + EB = 42 + 21\sqrt{3} + 21 = (63+21\sqrt{3})$ m,
∴ 万佛塔 AB 的高度为 $(63+21\sqrt{3})$ m.
(3)测量所得万佛塔 AB 的高度是 $63+21\sqrt{3}≈99.372(\mathrm{m})$,
∵ 万佛塔的实际高度是 99.99 m,
∴ 本次测量结果的误差是 $99.99-99.372= 0.618(\mathrm{m})$.建议言之有理即可,如多次测量求平均值,可以减小误差.
解析
【分析】
(1) 求tan75°时，可将75°拆分为特殊角30°和45°的和，直接套用题干给出的两角和的正切公式，代入特殊角的三角函数值化简计算即可。
(2) 求塔高AB时，先过点D作DE⊥AB于点E，构造两个直角三角形，同时得到矩形DEBC，可得DE=BC=21m。先在Rt△BDE中，利用45°角的三角函数值求出BE的长度；再在Rt△ADE中，结合(1)中求出的tan75°的值求出AE的长度，AB的长度即为AE与BE的和。
(3) 将√3≈1.732代入(2)的结果中算出AB的近似值，用实际高度减去测量得到的近似值即为误差；减少误差可从测量方式、测量次数等角度提合理建议即可。
【解析】
(1) 利用两角和的正切公式，将75°拆为30°+45°：
$\tan 75° = \tan ( 30° + 45° ) = \dfrac{\tan 30°+\tan 45°}{1-\tan 30°×\tan 45°} = \dfrac{\dfrac{\sqrt{3}}{3}+1}{1-\dfrac{\sqrt{3}}{3}×1} =\dfrac{3+\sqrt{3}}{3-\sqrt{3}}=2+\sqrt{3}$。
(2) 过点 D 作 $DE ⊥ AB$,垂足为 E，由题意可知四边形DEBC是矩形，因此 $CD = BE$, $BC = DE = 21$ m。
在 $Rt△ADE$ 中, $∠ADE = 75°$,
∴ $AE = DE · \tan 75°=21×(2+\sqrt{3}) = (42+21\sqrt{3})$ m。
在 $Rt△BDE$ 中, $∠EDB = 45°$,
∴ $EB = DE = 21$ m,
∴ $AB = AE + EB = 42 + 21\sqrt{3} + 21 = (63+21\sqrt{3})$ m。
(3) 代入$\sqrt{3}\approx1.732$，可得测量所得万佛塔AB的高度近似值为：
$63+21\sqrt{3}≈63+21×1.732=63+36.372=99.372(\mathrm{m})$,
已知万佛塔的实际高度是 99.99 m，因此本次测量结果的误差为 $99.99-99.372= 0.618(\mathrm{m})$。
减少误差的建议：可多次测量取平均值（或使用精度更高的测量仪器，合理即可）。
【答案】
(1) $\tan75°=2+\sqrt{3}$；
(2) 万佛塔 AB 的高度为 $(63+21\sqrt{3})$ m；
(3) 测量近似值为99.372m，误差为0.618m，建议：多次测量求平均值（合理即可）。
【知识点】
1. 两角和的正切公式
2. 解直角三角形的应用
3. 误差计算
【点评】
本题以实际测量地标建筑高度为背景，将新知识考查与实际应用相结合，既检验了对新公式的迁移运用能力，又考查了仰角俯角相关的解直角三角形的知识，同时通过误差分析引导学生体会数学的实用性，综合性较强，贴合生活实际。
【难度系数】
0.7
(1) 求tan75°时，可将75°拆分为特殊角30°和45°的和，直接套用题干给出的两角和的正切公式，代入特殊角的三角函数值化简计算即可。
(2) 求塔高AB时，先过点D作DE⊥AB于点E，构造两个直角三角形，同时得到矩形DEBC，可得DE=BC=21m。先在Rt△BDE中，利用45°角的三角函数值求出BE的长度；再在Rt△ADE中，结合(1)中求出的tan75°的值求出AE的长度，AB的长度即为AE与BE的和。
(3) 将√3≈1.732代入(2)的结果中算出AB的近似值，用实际高度减去测量得到的近似值即为误差；减少误差可从测量方式、测量次数等角度提合理建议即可。
【解析】
(1) 利用两角和的正切公式，将75°拆为30°+45°：
$\tan 75° = \tan ( 30° + 45° ) = \dfrac{\tan 30°+\tan 45°}{1-\tan 30°×\tan 45°} = \dfrac{\dfrac{\sqrt{3}}{3}+1}{1-\dfrac{\sqrt{3}}{3}×1} =\dfrac{3+\sqrt{3}}{3-\sqrt{3}}=2+\sqrt{3}$。
(2) 过点 D 作 $DE ⊥ AB$,垂足为 E，由题意可知四边形DEBC是矩形，因此 $CD = BE$, $BC = DE = 21$ m。
在 $Rt△ADE$ 中, $∠ADE = 75°$,
∴ $AE = DE · \tan 75°=21×(2+\sqrt{3}) = (42+21\sqrt{3})$ m。
在 $Rt△BDE$ 中, $∠EDB = 45°$,
∴ $EB = DE = 21$ m,
∴ $AB = AE + EB = 42 + 21\sqrt{3} + 21 = (63+21\sqrt{3})$ m。
(3) 代入$\sqrt{3}\approx1.732$，可得测量所得万佛塔AB的高度近似值为：
$63+21\sqrt{3}≈63+21×1.732=63+36.372=99.372(\mathrm{m})$,
已知万佛塔的实际高度是 99.99 m，因此本次测量结果的误差为 $99.99-99.372= 0.618(\mathrm{m})$。
减少误差的建议：可多次测量取平均值（或使用精度更高的测量仪器，合理即可）。
【答案】
(1) $\tan75°=2+\sqrt{3}$；
(2) 万佛塔 AB 的高度为 $(63+21\sqrt{3})$ m；
(3) 测量近似值为99.372m，误差为0.618m，建议：多次测量求平均值（合理即可）。
【知识点】
1. 两角和的正切公式
2. 解直角三角形的应用
3. 误差计算
【点评】
本题以实际测量地标建筑高度为背景，将新知识考查与实际应用相结合，既检验了对新公式的迁移运用能力，又考查了仰角俯角相关的解直角三角形的知识，同时通过误差分析引导学生体会数学的实用性，综合性较强，贴合生活实际。
【难度系数】
0.7
