1. ★★★|转化思想 如图,在△ABC中,AB=AC=15,tan A=2,BE⊥AC于点E,D是线段BE上的一个动点,则$CD+\frac{\sqrt{5}}{5}BD$的最小值是 ()

A.$3\sqrt{5}$
B.$6\sqrt{5}$
C.$5\sqrt{5}$
D.10

1.B

【分析】
本题属于胡不归最值类问题，解题思路如下：首先观察所求式子$CD+\frac{\sqrt{5}}{5}BD$的结构，需将带系数的$\frac{\sqrt{5}}{5}BD$转化为等长的普通线段；结合已知$tanA=2$，可推导得出$∠ ABE$的正弦值恰好为$\frac{\sqrt{5}}{5}$，因此过D作AB的垂线段，即可将$\frac{\sqrt{5}}{5}BD$转化为该垂线段；最后根据“垂线段最短”，确定三点共线且垂直时线段和取最小值，计算该最小值即可。
【解析】
解：1. 线段转化：
$\because BE⊥ AC$，$\therefore ∠ AEB=90°$，可得$∠ A+∠ ABE=90°$
已知$tanA=2$，即$Rt△ ABE$中$\frac{BE}{AE}=2$，设$AE=x$，则$BE=2x$
由勾股定理得$AB^2=AE^2+BE^2$，代入$AB=15$得：
$15^2=x^2+(2x)^2$，解得$x=3\sqrt{5}$（长度取正值）
$\therefore sin∠ ABE=\frac{AE}{AB}=\frac{3\sqrt{5}}{15}=\frac{\sqrt{5}}{5}$
过D作$DF⊥ AB$于点F，在$Rt△ BDF$中，$DF=BD· sin∠ ABE=\frac{\sqrt{5}}{5}BD$
因此$CD+\frac{\sqrt{5}}{5}BD=CD+DF$
2. 计算最小值：
根据垂线段最短的性质，当$CF⊥ AB$，且D为CF与BE的交点时，$CD+DF$取最小值，最小值为CF的长度。
$\because S_{△ ABC}=\frac{1}{2}· AC· BE=\frac{1}{2}· AB· CF$，且$AB=AC=15$
$\therefore CF=BE=2x=2×3\sqrt{5}=6\sqrt{5}$
即$CD+\frac{\sqrt{5}}{5}BD$的最小值为$6\sqrt{5}$。
【答案】
B
【知识点】
胡不归最值模型，解直角三角形，垂线段最短
【点评】
本题是胡不归最值类的典型习题，核心解题思路是通过三角函数将带系数的线段转化为垂线段，再结合垂线段最短的性质求最值，对模型识别能力和线段转化的思路有一定要求。
【难度系数】
0.6

2. 如图,矩形ABCD的对角线交于点O,AB=2,BC=2√3,点P是线段BC上的动点,则OP+$\frac{1}{2}$BP的最小值是.

2.√3

【分析】
本题属于胡不归型最值问题，解题思路如下：第一步先利用矩形的边长求出对角线相关角度，找到30°特殊角；第二步利用30°角直角三角形的性质，将$\frac{1}{2}BP$转化为某条垂线段的长度，把$OP+\frac{1}{2}BP$转化为两条线段之和；第三步根据“点到直线的距离最短”，求出两条线段和的最小值。
【解析】
1. 计算矩形对角线及相关角度：
在矩形$ABCD$中，$∠ ABC=90°$，已知$AB=2$，$BC=2\sqrt{3}$，由勾股定理得对角线$AC=\sqrt{AB^2+BC^2}=\sqrt{2^2+(2\sqrt{3})^2}=4$。
矩形对角线相等且互相平分，因此$OB=OC=\frac{1}{2}AC=2$，在等腰$△ OBC$中，结合边长可推得$∠ OBC=30°$。
2. 转化带系数的线段：
过点$B$作与$BC$夹角为$30°$的射线，过点$P$作该射线的垂线，垂足为$Q$。在$Rt△ BPQ$中，30°角所对直角边为斜边的一半，因此$PQ=\frac{1}{2}BP$，原式可转化为$OP+\frac{1}{2}BP=OP+PQ$。
3. 求最小值：
线段和$OP+PQ$的最小值为点$O$到上述射线的垂线段长度，经计算该垂线段长度为$\sqrt{3}$，即$OP+\frac{1}{2}BP$的最小值为$\sqrt{3}$。
【答案】
$\sqrt{3}$
【知识点】
矩形的性质；胡不归最值模型；含30°角的直角三角形性质
【点评】
本题是典型的胡不归最值问题，解题核心是通过特殊角的三角函数关系将带系数的线段转化为垂线段，再利用点到直线距离最短的性质求解，需要学生熟练掌握特殊几何图形性质和几何最值的转化思路。
【难度系数】
0.4

3. 如图,在四边形ABCD中,∠BAD=∠ABC=60°,AB=2AD=12,BC=9,E,F是BC边上的两个动点,BE=2CF,连结AE,DF,则AE+2DF的最小值为.

3.6√13

【分析】
本题属于带系数的线段和最值问题，是胡不归模型的典型应用，解题思路如下：1. 先通过建立平面直角坐标系，将各点坐标用参数表示，把几何问题转化为代数问题；2. 用含参数的代数式表示AE和2DF的长度，化简后可将原式转化为x轴上动点到两个定点的距离之和的2倍；3. 利用轴对称将同侧点的距离和转化为两点之间的线段长，即可求出最小值，该方法符合九年级的知识储备，直观易理解。
【解析】
1. 建系设点：将点A置于坐标原点(0,0)，AB放在x轴上，故B(12,0)。
由∠BAD=60°、AD=6，得D点坐标为$(6\cos60°,6\sin60°)$，即$(3,3\sqrt{3})$；
由∠ABC=60°、BC=9，得C点坐标为$(12-9\cos60°,9\sin60°)$，即$(\frac{15}{2},\frac{9\sqrt{3}}{2})$。
2. 参数表示动点坐标：设$CF=x$，由题意得$BE=2x$。
E点距B点长度为$2x$，故E点坐标为$(12-2x·\cos60°,2x·\sin60°)$，即$(12-x,\sqrt{3}x)$；
F点距C点长度为$x$，故F点坐标为$(\frac{15}{2}+x·\cos60°,\frac{9\sqrt{3}}{2}-x·\sin60°)$，即$(\frac{15+x}{2},\frac{\sqrt{3}(9-x)}{2})$。
3. 化简线段长度表达式：
$AE=\sqrt{(12-x)^2+(\sqrt{3}x)^2}=\sqrt{4x^2-24x+144}=2\sqrt{(x-3)^2+(3\sqrt{3})^2}$
$DF=\sqrt{(\frac{15+x}{2}-3)^2+(\frac{\sqrt{3}(9-x)}{2}-3\sqrt{3})^2}=\sqrt{(\frac{x+9}{2})^2+(\frac{\sqrt{3}(3-x)}{2})^2}$
因此$2DF=\sqrt{(x+9)^2+3(3-x)^2}=\sqrt{4x^2+108}=2\sqrt{x^2+(3\sqrt{3})^2}$
整理得：$AE+2DF=2[\sqrt{x^2+(3\sqrt{3})^2}+\sqrt{(x-3)^2+(3\sqrt{3})^2}]$
4. 求最短距离：上式中$\sqrt{x^2+(3\sqrt{3})^2}+\sqrt{(x-3)^2+(3\sqrt{3})^2}$可看作x轴上动点$P(x,0)$到点$M(0,3\sqrt{3})$、$N(3,3\sqrt{3})$的距离之和。
作M关于x轴的对称点$M'(0,-3\sqrt{3})$，由两点之间线段最短得$PM+PN=PM'+PN≥ M'N$。
计算$M'N$的长度：$M'N=\sqrt{(3-0)^2+(3\sqrt{3}+3\sqrt{3})^2}=\sqrt{9+108}=3\sqrt{13}$。
5. 计算最终结果：$AE+2DF≥ 2×3\sqrt{13}=6\sqrt{13}$。
【答案】
$6\sqrt{13}$
【知识点】
胡不归模型，轴对称求最短路径，坐标法求最值
【点评】
本题重点考察带系数线段和的最值求解，核心是通过参数转化将带系数的线段转化为普通线段，再利用轴对称模型将折线和转化为线段长求解，对学生的模型识别能力和代数化简能力有一定要求。
【难度系数】
0.35