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1. ★★★（2025·淄博月考）下列说法中，正确的是 （
A.在 $Rt△ ABC$ 中，每边都扩大5倍，则 $\cos A$ 也扩大5倍
B.若 $45°＜α＜90°$，则 $\sin α＞1$
C.$\cos 30°+\cos 45°=\cos(30°+45°)$
D.若 $α$ 为锐角，$\tan α=\dfrac{5}{12}$，则 $\sin α=\dfrac{5}{13}$
D
）A.在 $Rt△ ABC$ 中，每边都扩大5倍，则 $\cos A$ 也扩大5倍
B.若 $45°＜α＜90°$，则 $\sin α＞1$
C.$\cos 30°+\cos 45°=\cos(30°+45°)$
D.若 $α$ 为锐角，$\tan α=\dfrac{5}{12}$，则 $\sin α=\dfrac{5}{13}$
答案
1.D
解析
【分析】
本题考查锐角三角函数的相关知识，解题时需逐个分析选项，结合对应知识点判断正误：①回忆锐角三角函数的本质是角的两边的比值，大小仅和角的度数有关，可判断A选项；②结合锐角正弦值的取值范围可判断B选项；③代入特殊角的三角函数值计算可判断C选项；④结合正切、正弦的定义，利用勾股定理计算可判断D选项。
【解析】
我们逐个分析选项：
A选项：Rt△ABC各边扩大5倍后，新三角形与原三角形相似，∠A的度数不变。$\cos A$是∠A的邻边与斜边的比值，比值不随边长的等比例扩大改变，因此$\cos A$大小不变，A错误。
B选项：对于任意锐角α，$\sinα$的取值范围是$0＜\sinα＜1$，因此当$45°＜α＜90°$时，$\sinα$仍小于1，B错误。
C选项：代入特殊角三角函数值计算：$\cos30°=\frac{\sqrt{3}}{2}$，$\cos45°=\frac{\sqrt{2}}{2}$，两者之和为$\frac{\sqrt{3}+\sqrt{2}}{2}\approx1.573$；而$\cos(30°+45°)=\cos75°\approx0.259$，二者不相等，C错误。
D选项：已知α为锐角，$\tanα=\frac{\mathrm{对边}}{\mathrm{邻边}}=\frac{5}{12}$，设对边长为$5k$，邻边长为$12k$（$k＞0$），由勾股定理得斜边长为$\sqrt{(5k)^2+(12k)^2}=13k$，因此$\sinα=\frac{\mathrm{对边}}{\mathrm{斜边}}=\frac{5k}{13k}=\frac{5}{13}$，D正确。
【答案】
D
【知识点】
锐角三角函数的定义；特殊角的三角函数值；锐角三角函数的性质
【点评】
本题是锐角三角函数的基础考查题，需要准确理解三角函数的本质是比值，避免出现“边长同比例扩大则三角函数值同比例扩大”“三角函数可直接按角度加减合并运算”这类常见误区，同时要牢记特殊角的三角函数值和同角三角函数的对应关系。
【难度系数】
0.7
本题考查锐角三角函数的相关知识，解题时需逐个分析选项，结合对应知识点判断正误：①回忆锐角三角函数的本质是角的两边的比值，大小仅和角的度数有关，可判断A选项；②结合锐角正弦值的取值范围可判断B选项；③代入特殊角的三角函数值计算可判断C选项；④结合正切、正弦的定义，利用勾股定理计算可判断D选项。
【解析】
我们逐个分析选项：
A选项：Rt△ABC各边扩大5倍后，新三角形与原三角形相似，∠A的度数不变。$\cos A$是∠A的邻边与斜边的比值，比值不随边长的等比例扩大改变，因此$\cos A$大小不变，A错误。
B选项：对于任意锐角α，$\sinα$的取值范围是$0＜\sinα＜1$，因此当$45°＜α＜90°$时，$\sinα$仍小于1，B错误。
C选项：代入特殊角三角函数值计算：$\cos30°=\frac{\sqrt{3}}{2}$，$\cos45°=\frac{\sqrt{2}}{2}$，两者之和为$\frac{\sqrt{3}+\sqrt{2}}{2}\approx1.573$；而$\cos(30°+45°)=\cos75°\approx0.259$，二者不相等，C错误。
D选项：已知α为锐角，$\tanα=\frac{\mathrm{对边}}{\mathrm{邻边}}=\frac{5}{12}$，设对边长为$5k$，邻边长为$12k$（$k＞0$），由勾股定理得斜边长为$\sqrt{(5k)^2+(12k)^2}=13k$，因此$\sinα=\frac{\mathrm{对边}}{\mathrm{斜边}}=\frac{5k}{13k}=\frac{5}{13}$，D正确。
【答案】
D
【知识点】
锐角三角函数的定义；特殊角的三角函数值；锐角三角函数的性质
【点评】
本题是锐角三角函数的基础考查题，需要准确理解三角函数的本质是比值，避免出现“边长同比例扩大则三角函数值同比例扩大”“三角函数可直接按角度加减合并运算”这类常见误区，同时要牢记特殊角的三角函数值和同角三角函数的对应关系。
【难度系数】
0.7
2. ★★★ 如图,在 $Rt△ ABC$ 中,D 为 BC 上的点,若 $AD=\sqrt{2}CD$,$AB=BD$,则 $\sin C$ 的值为 (
A.$\sqrt{2}$
B.$\dfrac{\sqrt{5}}{5}$
C.$\dfrac{\sqrt{2}}{2}$
D.$\dfrac{2\sqrt{5}}{5}$
＞＞ 对点专练 P124
B
)A.$\sqrt{2}$
B.$\dfrac{\sqrt{5}}{5}$
C.$\dfrac{\sqrt{2}}{2}$
D.$\dfrac{2\sqrt{5}}{5}$
＞＞ 对点专练 P124
答案
2.B
解析
【分析】
本题要求Rt△ABC中∠C的正弦值，正弦值为角的对边与斜边的比值，因此需要先求出∠C的对边AB和斜边AC的长度关系。首先可通过设参数的方式，将已知相等的边AB、BD设为同一个未知数，先利用Rt△ABD的勾股定理求出AD的长度，再结合AD与CD的数量关系求出CD的长度，进而得到BC的总长度，最后在Rt△ABC中用勾股定理求出斜边AC，代入正弦定义即可计算出结果。
【解析】
设$AB = BD = x$（$x＞0$），
在$\mathrm{Rt}△ ABD$中，$∠ B=90°$，由勾股定理得：
$AD = \sqrt{AB^2 + BD^2} = \sqrt{x^2 + x^2} = \sqrt{2}x$，
已知$AD=\sqrt{2}CD$，代入得$\sqrt{2}x=\sqrt{2}CD$，解得$CD=x$，
因此$BC = BD + CD = x + x = 2x$，
在$\mathrm{Rt}△ ABC$中，$∠ B=90°$，由勾股定理得：
$AC = \sqrt{AB^2 + BC^2} = \sqrt{x^2 + (2x)^2} = \sqrt{5}x$，
根据锐角正弦的定义，$\sin C = \frac{\mathrm{∠C的对边}}{\mathrm{斜边}} = \frac{AB}{AC} = \frac{x}{\sqrt{5}x} = \frac{\sqrt{5}}{5}$。
【答案】
B
【知识点】
勾股定理，锐角三角函数定义，等腰直角三角形性质
【点评】
本题是锐角三角函数的基础综合题，核心解题思路是通过设参数将边的数量关系转化为可计算的长度，结合勾股定理即可求出对应三角函数值，解题时注意参数在计算中可约去，不需要求出参数的具体值。
【难度系数】
0.6
本题要求Rt△ABC中∠C的正弦值，正弦值为角的对边与斜边的比值，因此需要先求出∠C的对边AB和斜边AC的长度关系。首先可通过设参数的方式，将已知相等的边AB、BD设为同一个未知数，先利用Rt△ABD的勾股定理求出AD的长度，再结合AD与CD的数量关系求出CD的长度，进而得到BC的总长度，最后在Rt△ABC中用勾股定理求出斜边AC，代入正弦定义即可计算出结果。
【解析】
设$AB = BD = x$（$x＞0$），
在$\mathrm{Rt}△ ABD$中，$∠ B=90°$，由勾股定理得：
$AD = \sqrt{AB^2 + BD^2} = \sqrt{x^2 + x^2} = \sqrt{2}x$，
已知$AD=\sqrt{2}CD$，代入得$\sqrt{2}x=\sqrt{2}CD$，解得$CD=x$，
因此$BC = BD + CD = x + x = 2x$，
在$\mathrm{Rt}△ ABC$中，$∠ B=90°$，由勾股定理得：
$AC = \sqrt{AB^2 + BC^2} = \sqrt{x^2 + (2x)^2} = \sqrt{5}x$，
根据锐角正弦的定义，$\sin C = \frac{\mathrm{∠C的对边}}{\mathrm{斜边}} = \frac{AB}{AC} = \frac{x}{\sqrt{5}x} = \frac{\sqrt{5}}{5}$。
【答案】
B
【知识点】
勾股定理，锐角三角函数定义，等腰直角三角形性质
【点评】
本题是锐角三角函数的基础综合题，核心解题思路是通过设参数将边的数量关系转化为可计算的长度，结合勾股定理即可求出对应三角函数值，解题时注意参数在计算中可约去，不需要求出参数的具体值。
【难度系数】
0.6
3. ★★★（2024·自贡中考）如图，等边$△ ABC$钢架的立柱$CD ⊥ AB$于点$D$，$AB$长12 m.现将钢架立柱缩短成$DE$，$∠ BED=60°$.则新钢架减少用钢 （
A.$(24 - 12\sqrt{3})\ \mathrm{m}$
B.$(24 - 8\sqrt{3})\ \mathrm{m}$
C.$(24 - 6\sqrt{3})\ \mathrm{m}$
D.$(24 - 4\sqrt{3})\ \mathrm{m}$
D
）A.$(24 - 12\sqrt{3})\ \mathrm{m}$
B.$(24 - 8\sqrt{3})\ \mathrm{m}$
C.$(24 - 6\sqrt{3})\ \mathrm{m}$
D.$(24 - 4\sqrt{3})\ \mathrm{m}$
答案
3.D
解析
【分析】
要计算新钢架减少的用钢量，只需计算原钢架钢材总长度与新钢架钢材总长度的差值即可，其中AB是公共边，无需计入差值计算。首先根据等边三角形的性质求出原钢架中AC、BC、CD的长度，再结合垂直平分线性质、直角三角形性质求出新钢架中AE、BE、DE的长度，最后作差即可得到结果。
【解析】
∵△ABC是等边三角形，AB=12 m，
∴AC=BC=12 m，
又
∵CD⊥AB，由等边三角形三线合一可得：D为AB中点，$AD=DB=\frac{1}{2}AB=6\ \mathrm{m}$，
CD为等边△ABC的高，$CD=\frac{\sqrt{3}}{2}AB=\frac{\sqrt{3}}{2}×12=6\sqrt{3}\ \mathrm{m}$。
∵ED⊥AB且D为AB中点，
∴ED是AB的垂直平分线，故AE=BE。
在Rt△EDB中，∠EDB=90°，∠BED=60°，则∠EBD=30°，
设DE=x，由直角三角形中30°角对的直角边是斜边的一半，得BE=2x，
由勾股定理得：$DE^2+BD^2=BE^2$，代入得：
$x^2+6^2=(2x)^2$，解得$x=2\sqrt{3}$（长度为正，舍去负根），
∴$DE=2\sqrt{3}\ \mathrm{m}$，$BE=AE=4\sqrt{3}\ \mathrm{m}$。
减少的用钢量为：
$(AC+BC+CD)-(AE+BE+DE)=(12+12+6\sqrt{3})-(4\sqrt{3}+4\sqrt{3}+2\sqrt{3})=24-4\sqrt{3}\ \mathrm{m}$
【答案】
D
【知识点】
等边三角形的性质、直角三角形的性质、勾股定理
【点评】
本题结合实际场景考查三角形相关性质的应用，解题关键是明确减少的用钢量对应的线段差值，熟练掌握特殊三角形的边长计算方法即可快速求解。
【难度系数】
0.6
要计算新钢架减少的用钢量，只需计算原钢架钢材总长度与新钢架钢材总长度的差值即可，其中AB是公共边，无需计入差值计算。首先根据等边三角形的性质求出原钢架中AC、BC、CD的长度，再结合垂直平分线性质、直角三角形性质求出新钢架中AE、BE、DE的长度，最后作差即可得到结果。
【解析】
∵△ABC是等边三角形，AB=12 m，
∴AC=BC=12 m，
又
∵CD⊥AB，由等边三角形三线合一可得：D为AB中点，$AD=DB=\frac{1}{2}AB=6\ \mathrm{m}$，
CD为等边△ABC的高，$CD=\frac{\sqrt{3}}{2}AB=\frac{\sqrt{3}}{2}×12=6\sqrt{3}\ \mathrm{m}$。
∵ED⊥AB且D为AB中点，
∴ED是AB的垂直平分线，故AE=BE。
在Rt△EDB中，∠EDB=90°，∠BED=60°，则∠EBD=30°，
设DE=x，由直角三角形中30°角对的直角边是斜边的一半，得BE=2x，
由勾股定理得：$DE^2+BD^2=BE^2$，代入得：
$x^2+6^2=(2x)^2$，解得$x=2\sqrt{3}$（长度为正，舍去负根），
∴$DE=2\sqrt{3}\ \mathrm{m}$，$BE=AE=4\sqrt{3}\ \mathrm{m}$。
减少的用钢量为：
$(AC+BC+CD)-(AE+BE+DE)=(12+12+6\sqrt{3})-(4\sqrt{3}+4\sqrt{3}+2\sqrt{3})=24-4\sqrt{3}\ \mathrm{m}$
【答案】
D
【知识点】
等边三角形的性质、直角三角形的性质、勾股定理
【点评】
本题结合实际场景考查三角形相关性质的应用，解题关键是明确减少的用钢量对应的线段差值，熟练掌握特殊三角形的边长计算方法即可快速求解。
【难度系数】
0.6
4. 如图，在半径为5的$\odot O$中，弦$AB$，$AC$在圆心$O$的同侧，$AB=8$，$AC=6$，则关于$\tan∠ BAC$的取值范围正确的是（
A.$0.225≤\tan∠ BAC＜0.25$
B.$0.25≤\tan∠ BAC＜0.275$
C.$0.275≤\tan∠ BAC＜0.30$
D.$0.30≤\tan∠ BAC＜0.325$
＞＞对点专练 P127
C
）A.$0.225≤\tan∠ BAC＜0.25$
B.$0.25≤\tan∠ BAC＜0.275$
C.$0.275≤\tan∠ BAC＜0.30$
D.$0.30≤\tan∠ BAC＜0.325$
＞＞对点专练 P127
答案
4.C
解析
【分析】
要确定$\tan∠BAC$的取值范围，我们可以通过作弦心距构造直角三角形求解：首先过圆心作两条弦的垂线，利用垂径定理得到弦长的一半，结合圆的半径用勾股定理算出弦心距，进而得到半径OA与AB、AC的夹角的近似角度，再根据两弦在圆心同侧的条件，得出$∠ BAC$是两个夹角的差，计算其正切值即可判断所属区间。
【解析】
过点$O$作$OD⊥ AB$于$D$，$OE⊥ AC$于$E$。
1. 根据垂径定理，得：
$AD=\frac{1}{2}AB=\frac{1}{2}×8=4$，$AE=\frac{1}{2}AC=\frac{1}{2}×6=3$。
2. 在$\mathrm{Rt}△ OAD$中，$OA=5$，由勾股定理得：
$OD=\sqrt{OA^2-AD^2}=\sqrt{5^2-4^2}=3$，
由此可知$∠ OAD\approx37°$（边长为3、4、5的直角三角形中，边长3对应的锐角约为$37°$）。
3. 在$\mathrm{Rt}△ OAE$中，由勾股定理得：
$OE=\sqrt{OA^2-AE^2}=\sqrt{5^2-3^2}=4$，
由此可知$∠ OAE\approx53°$（边长为3、4、5的直角三角形中，边长4对应的锐角约为$53°$）。
4. 因为弦$AB$、$AC$在圆心$O$的同侧，所以$∠ BAC=∠ OAE-∠ OAD\approx53°-37°=16°$。
5. 查三角函数值可得$\tan16°\approx0.287$，该值满足$0.275≤\tan∠BAC＜0.30$。
【答案】
C
【知识点】
垂径定理，勾股定理，锐角三角函数
【点评】
本题结合圆的性质与锐角三角函数考查范围判断，解题的关键是正确作出弦心距构造直角三角形，利用常见的3-4-5直角三角形的角度近似值快速求出目标角的范围，避免复杂计算。
【难度系数】
0.6
要确定$\tan∠BAC$的取值范围，我们可以通过作弦心距构造直角三角形求解：首先过圆心作两条弦的垂线，利用垂径定理得到弦长的一半，结合圆的半径用勾股定理算出弦心距，进而得到半径OA与AB、AC的夹角的近似角度，再根据两弦在圆心同侧的条件，得出$∠ BAC$是两个夹角的差，计算其正切值即可判断所属区间。
【解析】
过点$O$作$OD⊥ AB$于$D$，$OE⊥ AC$于$E$。
1. 根据垂径定理，得：
$AD=\frac{1}{2}AB=\frac{1}{2}×8=4$，$AE=\frac{1}{2}AC=\frac{1}{2}×6=3$。
2. 在$\mathrm{Rt}△ OAD$中，$OA=5$，由勾股定理得：
$OD=\sqrt{OA^2-AD^2}=\sqrt{5^2-4^2}=3$，
由此可知$∠ OAD\approx37°$（边长为3、4、5的直角三角形中，边长3对应的锐角约为$37°$）。
3. 在$\mathrm{Rt}△ OAE$中，由勾股定理得：
$OE=\sqrt{OA^2-AE^2}=\sqrt{5^2-3^2}=4$，
由此可知$∠ OAE\approx53°$（边长为3、4、5的直角三角形中，边长4对应的锐角约为$53°$）。
4. 因为弦$AB$、$AC$在圆心$O$的同侧，所以$∠ BAC=∠ OAE-∠ OAD\approx53°-37°=16°$。
5. 查三角函数值可得$\tan16°\approx0.287$，该值满足$0.275≤\tan∠BAC＜0.30$。
【答案】
C
【知识点】
垂径定理，勾股定理，锐角三角函数
【点评】
本题结合圆的性质与锐角三角函数考查范围判断，解题的关键是正确作出弦心距构造直角三角形，利用常见的3-4-5直角三角形的角度近似值快速求出目标角的范围，避免复杂计算。
【难度系数】
0.6
5. 已知α为锐角，若$\sqrt{3}\tan^2α -4\tanα +\sqrt{3}=0$，则α的度数为
30°或60°
。答案
5.30°或60°
解析
【分析】
本题是结合一元二次方程与锐角三角函数的基础题，解题思路分为两步：第一步，将原方程看作关于$\tanα$的一元二次方程，选用因式分解法或求根公式法求解，得到$\tanα$的取值；第二步，结合α为锐角的条件，对应特殊角的正切函数值，即可求出α的度数，注意不要漏解。
【解析】
解：将方程$\sqrt{3}\tan^2α -4\tanα +\sqrt{3}=0$看作关于$\tanα$的一元二次方程，因式分解得：
$(\sqrt{3}\tanα - 1)(\tanα - \sqrt{3})=0$
则有$\sqrt{3}\tanα -1=0$ 或 $\tanα - \sqrt{3}=0$，
解得：$\tanα=\frac{\sqrt{3}}{3}$ 或 $\tanα=\sqrt{3}$。
∵α为锐角，且$\tan30°=\frac{\sqrt{3}}{3}$，$\tan60°=\sqrt{3}$，
∴α的度数为$30°$或$60°$。
【答案】
$30°$或$60°$
【知识点】
一元二次方程的解法，特殊角的三角函数值，锐角三角函数的性质
【点评】
本题属于基础综合题，解题的关键是将$\tanα$看作整体求解一元二次方程，再结合锐角的限定对应特殊角的三角函数值，注意两个解都符合锐角要求，不要漏写。
【难度系数】
0.7
本题是结合一元二次方程与锐角三角函数的基础题，解题思路分为两步：第一步，将原方程看作关于$\tanα$的一元二次方程，选用因式分解法或求根公式法求解，得到$\tanα$的取值；第二步，结合α为锐角的条件，对应特殊角的正切函数值，即可求出α的度数，注意不要漏解。
【解析】
解：将方程$\sqrt{3}\tan^2α -4\tanα +\sqrt{3}=0$看作关于$\tanα$的一元二次方程，因式分解得：
$(\sqrt{3}\tanα - 1)(\tanα - \sqrt{3})=0$
则有$\sqrt{3}\tanα -1=0$ 或 $\tanα - \sqrt{3}=0$，
解得：$\tanα=\frac{\sqrt{3}}{3}$ 或 $\tanα=\sqrt{3}$。
∵α为锐角，且$\tan30°=\frac{\sqrt{3}}{3}$，$\tan60°=\sqrt{3}$，
∴α的度数为$30°$或$60°$。
【答案】
$30°$或$60°$
【知识点】
一元二次方程的解法，特殊角的三角函数值，锐角三角函数的性质
【点评】
本题属于基础综合题，解题的关键是将$\tanα$看作整体求解一元二次方程，再结合锐角的限定对应特殊角的三角函数值，注意两个解都符合锐角要求，不要漏写。
【难度系数】
0.7
6. (2025·大庆模拟)如图,边长为1的小正方形网格中,点A,B,C,E在格点上,连结AE,BC,点D在BC上且满足$AD⊥BC$,则$\cos∠AED$的值是
＞＞ 对点专练 P121
$\dfrac{2\sqrt{5}}{5}$
.＞＞ 对点专练 P121
答案
6.$\dfrac{2\sqrt{5}}{5}$
解析
【分析】
要求$\cos∠ AED$的值，可按以下思路推导：①首先观察网格特征，判断线段AE和BC的位置关系，结合已知$AD⊥ BC$，可证得$AD⊥ AE$，即$△ EAD$是直角三角形，直角为$∠ EAD$；②再利用勾股定理计算$Rt△ EAD$中相关边的长度；③最后根据锐角余弦的定义，代入边的长度化简即可得到结果。
【解析】
设每个小正方形的边长为1：
1. 证明$△ EAD$为直角三角形：
观察网格可知，直线AE与BC的倾斜程度一致，因此$AE// BC$；
已知$AD⊥ BC$，故$AD⊥ AE$，即$∠ EAD=90°$，$△ EAD$为直角三角形。
2. 计算对应边长度：
由勾股定理得：$AE=2$，$DE=\sqrt{AE^2+AD^2}=\sqrt{2^2+1^2}=\sqrt{5}$。
3. 计算$\cos∠ AED$的值：
根据锐角三角函数的定义，在$Rt△ EAD$中，$∠ AED$的邻边为AE，斜边为DE，因此：
$\cos∠ AED=\frac{\mathrm{邻边}}{\mathrm{斜边}}=\frac{AE}{DE}=\frac{2}{\sqrt{5}}=\frac{2\sqrt{5}}{5}$。
【答案】
$\dfrac{2\sqrt{5}}{5}$
【知识点】
勾股定理；平行线的性质；锐角三角函数的定义
【点评】
本题结合网格考查解直角三角形的应用，解题核心是利用网格特点推导得到直角三角形，再结合勾股定理和三角函数定义计算，既考查学生的读图分析能力，也考查基础运算能力。
【难度系数】
0.6
要求$\cos∠ AED$的值，可按以下思路推导：①首先观察网格特征，判断线段AE和BC的位置关系，结合已知$AD⊥ BC$，可证得$AD⊥ AE$，即$△ EAD$是直角三角形，直角为$∠ EAD$；②再利用勾股定理计算$Rt△ EAD$中相关边的长度；③最后根据锐角余弦的定义，代入边的长度化简即可得到结果。
【解析】
设每个小正方形的边长为1：
1. 证明$△ EAD$为直角三角形：
观察网格可知，直线AE与BC的倾斜程度一致，因此$AE// BC$；
已知$AD⊥ BC$，故$AD⊥ AE$，即$∠ EAD=90°$，$△ EAD$为直角三角形。
2. 计算对应边长度：
由勾股定理得：$AE=2$，$DE=\sqrt{AE^2+AD^2}=\sqrt{2^2+1^2}=\sqrt{5}$。
3. 计算$\cos∠ AED$的值：
根据锐角三角函数的定义，在$Rt△ EAD$中，$∠ AED$的邻边为AE，斜边为DE，因此：
$\cos∠ AED=\frac{\mathrm{邻边}}{\mathrm{斜边}}=\frac{AE}{DE}=\frac{2}{\sqrt{5}}=\frac{2\sqrt{5}}{5}$。
【答案】
$\dfrac{2\sqrt{5}}{5}$
【知识点】
勾股定理；平行线的性质；锐角三角函数的定义
【点评】
本题结合网格考查解直角三角形的应用，解题核心是利用网格特点推导得到直角三角形，再结合勾股定理和三角函数定义计算，既考查学生的读图分析能力，也考查基础运算能力。
【难度系数】
0.6
7. 如图，在△ABC中，AD⊥BC于点D，若$AC^2 - AB^2 = BC^2 - 2$，$S_{△ ABC} = \frac{\sqrt{2}}{4}$，则$\tan B = \_\_\_\_\_\_$。＞＞ 对点专练 P124
答案
7.$\dfrac{\sqrt{2}}{2}$
解析
【分析】
解题时先结合AD⊥BC的垂直条件，对△ABD、△ACD应用勾股定理，将AC²-AB²转化为含BC、BD的表达式，结合已知等式推导得到BC与BD的乘积关系；再根据三角形面积公式得到BC与AD的乘积关系；最后根据正切的定义，将两个乘积关系作比即可直接求出tanB的值，无需单独计算各线段长度。
【解析】
解：
∵AD⊥BC，
∴△ABD和△ACD都是直角三角形，
由勾股定理得：$AB^2=AD^2+BD^2$，$AC^2=AD^2+CD^2$，
两式作差得：$AC^2-AB^2=CD^2-BD^2=(CD-BD)(CD+BD)$，
∵$CD+BD=BC$，
∴$AC^2-AB^2=BC·(CD-BD)$，
将$AC^2 - AB^2 = BC^2 - 2$代入上式：
$BC·(CD-BD)=BC^2-2$，
整理得：$BC^2-BC·(CD-BD)=2$，
把$BC=BD+CD$代入左边：
$BC·[(BD+CD)-CD+BD]=BC·2BD=2$，
化简得：$BC· BD=1$ ①，
∵$S_{△ ABC}=\frac{1}{2}· BC· AD=\frac{\sqrt{2}}{4}$，
∴$BC· AD=\frac{\sqrt{2}}{2}$ ②，
在$Rt△ ABD$中，$\tan B=\frac{AD}{BD}$，
将②÷①得：$\frac{BC· AD}{BC· BD}=\frac{AD}{BD}=\frac{\frac{\sqrt{2}}{2}}{1}=\frac{\sqrt{2}}{2}$，即$\tan B=\frac{\sqrt{2}}{2}$。
【答案】
$\dfrac{\sqrt{2}}{2}$
【知识点】
勾股定理，三角形面积计算，锐角三角函数定义
【点评】
本题考查直角三角形相关性质的综合应用，核心是利用平方差公式对线段平方差做变形，结合整体作比的思路简化运算，不需要求解单条线段的长度，对代数式变形能力有一定要求。
【难度系数】
0.6
解题时先结合AD⊥BC的垂直条件，对△ABD、△ACD应用勾股定理，将AC²-AB²转化为含BC、BD的表达式，结合已知等式推导得到BC与BD的乘积关系；再根据三角形面积公式得到BC与AD的乘积关系；最后根据正切的定义，将两个乘积关系作比即可直接求出tanB的值，无需单独计算各线段长度。
【解析】
解：
∵AD⊥BC，
∴△ABD和△ACD都是直角三角形，
由勾股定理得：$AB^2=AD^2+BD^2$，$AC^2=AD^2+CD^2$，
两式作差得：$AC^2-AB^2=CD^2-BD^2=(CD-BD)(CD+BD)$，
∵$CD+BD=BC$，
∴$AC^2-AB^2=BC·(CD-BD)$，
将$AC^2 - AB^2 = BC^2 - 2$代入上式：
$BC·(CD-BD)=BC^2-2$，
整理得：$BC^2-BC·(CD-BD)=2$，
把$BC=BD+CD$代入左边：
$BC·[(BD+CD)-CD+BD]=BC·2BD=2$，
化简得：$BC· BD=1$ ①，
∵$S_{△ ABC}=\frac{1}{2}· BC· AD=\frac{\sqrt{2}}{4}$，
∴$BC· AD=\frac{\sqrt{2}}{2}$ ②，
在$Rt△ ABD$中，$\tan B=\frac{AD}{BD}$，
将②÷①得：$\frac{BC· AD}{BC· BD}=\frac{AD}{BD}=\frac{\frac{\sqrt{2}}{2}}{1}=\frac{\sqrt{2}}{2}$，即$\tan B=\frac{\sqrt{2}}{2}$。
【答案】
$\dfrac{\sqrt{2}}{2}$
【知识点】
勾股定理，三角形面积计算，锐角三角函数定义
【点评】
本题考查直角三角形相关性质的综合应用，核心是利用平方差公式对线段平方差做变形，结合整体作比的思路简化运算，不需要求解单条线段的长度，对代数式变形能力有一定要求。
【难度系数】
0.6
