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(1)如图①,已知点A,B,C,直线l及l上一点M,请你按照下列要求画出图形.
①画射线BM;
②画线段AC,并取线段AC的中点N;
③请在直线l上确定一点O,使点O到点A与点B的距离之和(OA+OB)最小.
①画射线BM;
②画线段AC,并取线段AC的中点N;
③请在直线l上确定一点O,使点O到点A与点B的距离之和(OA+OB)最小.
答案
解：
① 以点B为端点，经过点M画出射线，所得图形即为射线BM；
② 连接点A、C得到线段AC，在线段AC上取点N，使AN=NC，点N即为线段AC的中点；
③ 连接A、B两点，线段AB与直线l的交点即为所求的点O，根据两点之间线段最短，此时OA+OB的和最小。
按上述步骤完成作图即可。
① 以点B为端点，经过点M画出射线，所得图形即为射线BM；
② 连接点A、C得到线段AC，在线段AC上取点N，使AN=NC，点N即为线段AC的中点；
③ 连接A、B两点，线段AB与直线l的交点即为所求的点O，根据两点之间线段最短，此时OA+OB的和最小。
按上述步骤完成作图即可。
解析
【分析】
1. 画射线BM：根据射线的定义，射线有且仅有一个端点，可向一端无限延伸，本题射线端点为B，需经过点M，因此确定以B为端点向M方向延伸即可画出对应射线。
2. 画线段AC及中点N：线段是两端都有端点、不可延伸的图形，因此直接连接A、C两点即可得到线段AC；线段中点将线段分为长度相等的两段，因此在线段AC上找到满足AN=NC的点N，就是AC的中点。
3. 确定点O：要使直线l上的点O到A、B的距离之和最小，依据“两点之间线段最短”的公理，OA+OB的最小值为线段AB的长度，因此线段AB与直线l的交点就是所求的O点，此时OA+OB=AB，和最小。
【解析】
① 以点B为端点，经过点M画出射线，所得图形即为射线BM；
② 连接点A、C得到线段AC，在线段AC上取点N，使AN=NC，点N即为线段AC的中点；
③ 连接A、B两点，线段AB与直线l的交点即为所求的点O，根据两点之间线段最短，此时OA+OB的和最小。
按上述步骤完成作图即可。
【答案】
按上述步骤完成对应作图即可。
【知识点】
射线的定义；线段中点概念；两点之间线段最短
【点评】
本题是基础几何作图类题目，综合考查了常见几何图形的绘制方法及最短路径原理的实际应用，准确掌握基础几何概念与公理即可顺利解题。
【难度系数】
0.9
1. 画射线BM：根据射线的定义，射线有且仅有一个端点，可向一端无限延伸，本题射线端点为B，需经过点M，因此确定以B为端点向M方向延伸即可画出对应射线。
2. 画线段AC及中点N：线段是两端都有端点、不可延伸的图形，因此直接连接A、C两点即可得到线段AC；线段中点将线段分为长度相等的两段，因此在线段AC上找到满足AN=NC的点N，就是AC的中点。
3. 确定点O：要使直线l上的点O到A、B的距离之和最小，依据“两点之间线段最短”的公理，OA+OB的最小值为线段AB的长度，因此线段AB与直线l的交点就是所求的O点，此时OA+OB=AB，和最小。
【解析】
① 以点B为端点，经过点M画出射线，所得图形即为射线BM；
② 连接点A、C得到线段AC，在线段AC上取点N，使AN=NC，点N即为线段AC的中点；
③ 连接A、B两点，线段AB与直线l的交点即为所求的点O，根据两点之间线段最短，此时OA+OB的和最小。
按上述步骤完成作图即可。
【答案】
按上述步骤完成对应作图即可。
【知识点】
射线的定义；线段中点概念；两点之间线段最短
【点评】
本题是基础几何作图类题目，综合考查了常见几何图形的绘制方法及最短路径原理的实际应用，准确掌握基础几何概念与公理即可顺利解题。
【难度系数】
0.9
(2)有5个大小一样的正方形制成如图②所示的拼接图形(阴影部分),请你在图中的拼接图形上再补一个正方形,使新拼接成的图形经过折叠后能成为一个封闭的正方体盒子(只需添加一个符合要求的正方形即可,并用阴影表示)。
①
②
①
②
答案
解：
本题添加方式不唯一，给出一种符合要求的补法：在现有拼接图形中，三个横向连续的阴影正方形里最左侧的阴影正方形的正下方空白正方形内填充阴影，得到的新图形是正方体的合法展开图，折叠后可形成封闭的正方体盒子。
（注：其余合法补法也可，只要最终图形不属于含“田”字格的无效正方体展开图即可）
本题添加方式不唯一，给出一种符合要求的补法：在现有拼接图形中，三个横向连续的阴影正方形里最左侧的阴影正方形的正下方空白正方形内填充阴影，得到的新图形是正方体的合法展开图，折叠后可形成封闭的正方体盒子。
（注：其余合法补法也可，只要最终图形不属于含“田”字格的无效正方体展开图即可）
解析
【分析】
解题思路如下：首先回忆正方体展开图的判定规则：一是完整的正方体展开图由6个完全相同的正方形组成，二是展开图中不能出现“田”字格、“凹”字形结构，且同一条直线上的正方形数量不超过4个。题目中已经给出了5个正方形，我们只需要在空白区域选一个位置补画1个正方形，让补完后的图形符合上述规则，就能折叠成封闭的正方体盒子。我们可以优先参考常见的“一四一”“一三二”等合法展开图的结构来找补画位置，比如选三个横向并排正方形最左侧的正下方补画，即可得到合法的展开图。
【解析】
步骤1：明确正方体展开图的有效判定要求：共有6个全等正方形，无“田”字格、“凹”字形结构，同一直线上的正方形最多4个。
步骤2：观察现有拼接图形的布局，选择补画位置：找到三个横向连续排列的阴影正方形，在最左侧的那个阴影正方形的正下方空白正方形处填充阴影。
步骤3：验证补画后的图形：总共有6个正方形，不存在“田”字格、“凹”字形结构，属于典型的“一四一”型正方体展开图，折叠后可以形成封闭的正方体盒子。
注：补法不唯一，只要补画后符合正方体展开图的判定要求即可。
【答案】
补法不唯一，示例：在现有拼接图形中三个横向连续的阴影正方形里最左侧的阴影正方形的正下方空白正方形内填充阴影即可（其余合法补法也可，只要最终图形不属于含“田”字格的无效正方体展开图即可）。
【知识点】
正方体的展开与折叠；正方体展开图的判定
【点评】
本题主要考查空间想象能力和对正方体展开图特征的掌握，熟记无效正方体展开图的特征（如含“田”字格、“凹”字形）可以快速判断补画位置是否正确，题目开放性较强，只要符合规则即可得分。
【难度系数】
0.7
解题思路如下：首先回忆正方体展开图的判定规则：一是完整的正方体展开图由6个完全相同的正方形组成，二是展开图中不能出现“田”字格、“凹”字形结构，且同一条直线上的正方形数量不超过4个。题目中已经给出了5个正方形，我们只需要在空白区域选一个位置补画1个正方形，让补完后的图形符合上述规则，就能折叠成封闭的正方体盒子。我们可以优先参考常见的“一四一”“一三二”等合法展开图的结构来找补画位置，比如选三个横向并排正方形最左侧的正下方补画，即可得到合法的展开图。
【解析】
步骤1：明确正方体展开图的有效判定要求：共有6个全等正方形，无“田”字格、“凹”字形结构，同一直线上的正方形最多4个。
步骤2：观察现有拼接图形的布局，选择补画位置：找到三个横向连续排列的阴影正方形，在最左侧的那个阴影正方形的正下方空白正方形处填充阴影。
步骤3：验证补画后的图形：总共有6个正方形，不存在“田”字格、“凹”字形结构，属于典型的“一四一”型正方体展开图，折叠后可以形成封闭的正方体盒子。
注：补法不唯一，只要补画后符合正方体展开图的判定要求即可。
【答案】
补法不唯一，示例：在现有拼接图形中三个横向连续的阴影正方形里最左侧的阴影正方形的正下方空白正方形内填充阴影即可（其余合法补法也可，只要最终图形不属于含“田”字格的无效正方体展开图即可）。
【知识点】
正方体的展开与折叠；正方体展开图的判定
【点评】
本题主要考查空间想象能力和对正方体展开图特征的掌握，熟记无效正方体展开图的特征（如含“田”字格、“凹”字形）可以快速判断补画位置是否正确，题目开放性较强，只要符合规则即可得分。
【难度系数】
0.7
16. 先化简,再求值:$2x^2 + 4y^2 + (2y^2 - 3x^2) - 2(y^2 - 2x^2)$,其中 $x=-1$, $y=\frac{1}{2}$.
答案
解：
先去括号：
原式$=2x^2 + 4y^2 + 2y^2 - 3x^2 - 2y^2 + 4x^2$
合并同类项：
$=(2x^2 - 3x^2 + 4x^2) + (4y^2 + 2y^2 - 2y^2)$
$=3x^2 + 4y^2$
当$x=-1$，$y=\frac{1}{2}$时，
代入得：
原式$=3×(-1)^2 + 4×(\frac{1}{2})^2$
$=3×1 + 4×\frac{1}{4}$
$=3 + 1$
$=4$
先去括号：
原式$=2x^2 + 4y^2 + 2y^2 - 3x^2 - 2y^2 + 4x^2$
合并同类项：
$=(2x^2 - 3x^2 + 4x^2) + (4y^2 + 2y^2 - 2y^2)$
$=3x^2 + 4y^2$
当$x=-1$，$y=\frac{1}{2}$时，
代入得：
原式$=3×(-1)^2 + 4×(\frac{1}{2})^2$
$=3×1 + 4×\frac{1}{4}$
$=3 + 1$
$=4$
解析
【分析】
这是整式化简求值类题目，解题遵循“先化简、再求值”的思路：第一步先去括号，去括号时若括号前是负号，去掉括号后括号内每一项都要变号，括号前有系数的要乘遍括号内每一项；第二步合并同类项，将含相同字母且相同字母次数也一致的项的系数相加减，字母和字母的次数保持不变，得到最简整式；第三步代入数值计算，相比直接代入原式计算更简便，出错率更低。
【解析】
先去括号：
原式$=2x^2 + 4y^2 + 2y^2 - 3x^2 - 2y^2 + 4x^2$
再合并同类项：
$=(2x^2 - 3x^2 + 4x^2) + (4y^2 + 2y^2 - 2y^2)$
$=3x^2 + 4y^2$
将$x=-1$，$y=\frac{1}{2}$代入最简式计算：
原式$=3×(-1)^2 + 4×(\frac{1}{2})^2$
$=3×1 + 4×\frac{1}{4}$
$=3 + 1$
$=4$
【答案】
$4$
【知识点】
去括号法则、合并同类项、整式化简求值
【点评】
本题是整式运算的常规基础题，重点考察去括号的符号处理、同类项的识别与合并，以及代入求值时有理数乘方、乘法运算的准确性，计算时细心处理符号即可顺利得分。
【难度系数】
0.8
这是整式化简求值类题目，解题遵循“先化简、再求值”的思路：第一步先去括号，去括号时若括号前是负号，去掉括号后括号内每一项都要变号，括号前有系数的要乘遍括号内每一项；第二步合并同类项，将含相同字母且相同字母次数也一致的项的系数相加减，字母和字母的次数保持不变，得到最简整式；第三步代入数值计算，相比直接代入原式计算更简便，出错率更低。
【解析】
先去括号：
原式$=2x^2 + 4y^2 + 2y^2 - 3x^2 - 2y^2 + 4x^2$
再合并同类项：
$=(2x^2 - 3x^2 + 4x^2) + (4y^2 + 2y^2 - 2y^2)$
$=3x^2 + 4y^2$
将$x=-1$，$y=\frac{1}{2}$代入最简式计算：
原式$=3×(-1)^2 + 4×(\frac{1}{2})^2$
$=3×1 + 4×\frac{1}{4}$
$=3 + 1$
$=4$
【答案】
$4$
【知识点】
去括号法则、合并同类项、整式化简求值
【点评】
本题是整式运算的常规基础题，重点考察去括号的符号处理、同类项的识别与合并，以及代入求值时有理数乘方、乘法运算的准确性，计算时细心处理符号即可顺利得分。
【难度系数】
0.8
