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17.如图，C是线段AB的中点，点D在线段AB上，且$DB=2AD$.若$AB=18$，求线段DC的长.
答案
解：
∵ C是线段AB的中点，AB=18，
∴ $AC = \frac{1}{2}AB = \frac{1}{2} × 18 = 9$。
∵ 点D在线段AB上，$DB=2AD$，
∴ $AD + DB = AB$，即 $AD + 2AD = 18$，
∴ $3AD = 18$，解得 $AD = 6$。
∴ $DC = AC - AD = 9 - 6 = 3$。
答：线段DC的长为3。
∵ C是线段AB的中点，AB=18，
∴ $AC = \frac{1}{2}AB = \frac{1}{2} × 18 = 9$。
∵ 点D在线段AB上，$DB=2AD$，
∴ $AD + DB = AB$，即 $AD + 2AD = 18$，
∴ $3AD = 18$，解得 $AD = 6$。
∴ $DC = AC - AD = 9 - 6 = 3$。
答：线段DC的长为3。
解析
【分析】
要计算线段DC的长度，可分三步推导：第一步，已知AB总长和C是AB中点，根据线段中点的定义先求出AC的长度；第二步，根据DB=2AD，结合AD+DB=AB的线段和关系，求出AD的长度；第三步，观察线段位置可知DC=AC-AD，将前两步求出的数值代入计算即可得到结果。
【解析】
∵ C是线段AB的中点，AB=18，
∴ $AC = \frac{1}{2}AB = \frac{1}{2} × 18 = 9$。
∵ 点D在线段AB上，$DB=2AD$，且$AD + DB = AB$，
∴ $AD + 2AD = 18$，即$3AD = 18$，解得$AD = 6$。
∴ $DC = AC - AD = 9 - 6 = 3$。
【答案】
3
【知识点】
线段中点定义、线段和差运算、线段比例计算
【点评】
本题是线段长度计算的常规基础题，考查对线段中点性质、线段和差及比例关系的应用，解题时梳理清楚各线段的数量关系，分步计算即可得到正确结果，也可通过标注图中已知条件降低思考难度。
【难度系数】
0.85
要计算线段DC的长度，可分三步推导：第一步，已知AB总长和C是AB中点，根据线段中点的定义先求出AC的长度；第二步，根据DB=2AD，结合AD+DB=AB的线段和关系，求出AD的长度；第三步，观察线段位置可知DC=AC-AD，将前两步求出的数值代入计算即可得到结果。
【解析】
∵ C是线段AB的中点，AB=18，
∴ $AC = \frac{1}{2}AB = \frac{1}{2} × 18 = 9$。
∵ 点D在线段AB上，$DB=2AD$，且$AD + DB = AB$，
∴ $AD + 2AD = 18$，即$3AD = 18$，解得$AD = 6$。
∴ $DC = AC - AD = 9 - 6 = 3$。
【答案】
3
【知识点】
线段中点定义、线段和差运算、线段比例计算
【点评】
本题是线段长度计算的常规基础题，考查对线段中点性质、线段和差及比例关系的应用，解题时梳理清楚各线段的数量关系，分步计算即可得到正确结果，也可通过标注图中已知条件降低思考难度。
【难度系数】
0.85
四、解答题
18.计算:
(1)$(-3^2 + 3)×5 - (-2)^3 ÷4$;
(2)$(-\frac{5}{3})×(-\frac{2}{3}) + (-\frac{5}{3})×\frac{20}{3}$.
18.计算:
(1)$(-3^2 + 3)×5 - (-2)^3 ÷4$;
(2)$(-\frac{5}{3})×(-\frac{2}{3}) + (-\frac{5}{3})×\frac{20}{3}$.
答案
解：
(1) 原式$=(-9 + 3)×5 - (-8)÷4$
$= (-6)×5 - (-2)$
$= -30 + 2$
$= -28$
(2) 原式$= (-\dfrac{5}{3}) × ( -\dfrac{2}{3} + \dfrac{20}{3} )$
$= (-\dfrac{5}{3}) × 6$
$= -10$
(1) 原式$=(-9 + 3)×5 - (-8)÷4$
$= (-6)×5 - (-2)$
$= -30 + 2$
$= -28$
(2) 原式$= (-\dfrac{5}{3}) × ( -\dfrac{2}{3} + \dfrac{20}{3} )$
$= (-\dfrac{5}{3}) × 6$
$= -10$
解析
【分析】
本题考查有理数的混合运算，解题需牢记运算顺序，灵活运用运算律简化计算：
(1) 按照有理数混合运算顺序：先算乘方，再算乘除，最后算加减，有括号先算括号内的部分。计算乘方时注意区分$-3^2$（是$3^2$的相反数，结果为$-9$）和$(-2)^3$（是3个$-2$相乘，结果为$-8$），再依次计算括号内加减、乘除，最后算最终的加减即可。
(2) 观察算式发现两个乘法项有相同的公因数$-\frac{5}{3}$，可逆用乘法分配律提取公因数，先计算剩余两个数的和，再计算乘法，可简化计算步骤，降低出错概率。
【解析】
(1) 先计算乘方，再算括号内的加法，接着算乘除，最后算加减：
原式$=(-9 + 3)×5 - (-8)÷4$
$= (-6)×5 - (-2)$
$= -30 + 2$
$= -28$
(2) 逆用乘法分配律提取公因数$-\frac{5}{3}$，再计算：
原式$= (-\dfrac{5}{3}) × ( -\dfrac{2}{3} + \dfrac{20}{3} )$
$= (-\dfrac{5}{3}) × 6$
$= -10$
【答案】
(1) $\boldsymbol{-28}$；(2) $\boldsymbol{-10}$
【知识点】
有理数混合运算，乘方的运算，乘法分配律的应用
【点评】
这两道题是有理数运算的常规题型，第一问需重点注意带负号的乘方运算的符号判断，严格遵循运算顺序计算；第二问要学会观察算式特征，灵活运用运算律简化计算，提升运算效率和正确率。
【难度系数】
0.8
本题考查有理数的混合运算，解题需牢记运算顺序，灵活运用运算律简化计算：
(1) 按照有理数混合运算顺序：先算乘方，再算乘除，最后算加减，有括号先算括号内的部分。计算乘方时注意区分$-3^2$（是$3^2$的相反数，结果为$-9$）和$(-2)^3$（是3个$-2$相乘，结果为$-8$），再依次计算括号内加减、乘除，最后算最终的加减即可。
(2) 观察算式发现两个乘法项有相同的公因数$-\frac{5}{3}$，可逆用乘法分配律提取公因数，先计算剩余两个数的和，再计算乘法，可简化计算步骤，降低出错概率。
【解析】
(1) 先计算乘方，再算括号内的加法，接着算乘除，最后算加减：
原式$=(-9 + 3)×5 - (-8)÷4$
$= (-6)×5 - (-2)$
$= -30 + 2$
$= -28$
(2) 逆用乘法分配律提取公因数$-\frac{5}{3}$，再计算：
原式$= (-\dfrac{5}{3}) × ( -\dfrac{2}{3} + \dfrac{20}{3} )$
$= (-\dfrac{5}{3}) × 6$
$= -10$
【答案】
(1) $\boldsymbol{-28}$；(2) $\boldsymbol{-10}$
【知识点】
有理数混合运算，乘方的运算，乘法分配律的应用
【点评】
这两道题是有理数运算的常规题型，第一问需重点注意带负号的乘方运算的符号判断，严格遵循运算顺序计算；第二问要学会观察算式特征，灵活运用运算律简化计算，提升运算效率和正确率。
【难度系数】
0.8
19.为贯彻实施教育部提出的五育并举，发展学生的劳动教育，七(1)班计划在培植园利用一面墙(墙足够长)，用$a$ m长的篱笆围成一个长方形的菜地，并开两个1 m宽的小门.同学们设计了两种方案，方案一:如图①，左右两边分别用5 m长的篱笆，在平行于墙的一边开两个小门，面积记为$S_1$.方案二:如图②，在左右两边分别开一个小门，5 m长的篱笆用料不变，面积记为$S_2$.(注:两种方案中篱笆的长足够围成长方形)
(1)图①中边$BC$的长度为 m；图②中边$FG$的长度为 m.(用含$a$的代数式表示)
(2)七(1)班的同学们在计算过程中发现$6S_1 - 5S_2$的值与$a$无关，试判断这个发现是否正确，并说明理由.
20.提升题 某商场经销的A，B两种商品:A种商品每件售价60元，利润率为50%;B种商品每件进价50元，售价为80元.
(1)A种商品每件进价为元，B种商品每件利润率为.
(2)若该商场同时购进A，B两种商品共50件，恰好总进价为2 100元，求购进A种商品多少件.
(3)在春节期间，该商场只对A，B两种商品进行如下的优惠促销活动:
按上述优惠条件，若小华一次性购买A，B两种商品的实际付款为522元，求没有优惠促销活动时小华在该商场购买同样的商品要付多少元.
(1)图①中边$BC$的长度为 m；图②中边$FG$的长度为 m.(用含$a$的代数式表示)
(2)七(1)班的同学们在计算过程中发现$6S_1 - 5S_2$的值与$a$无关，试判断这个发现是否正确，并说明理由.
20.提升题 某商场经销的A，B两种商品:A种商品每件售价60元，利润率为50%;B种商品每件进价50元，售价为80元.
(1)A种商品每件进价为元，B种商品每件利润率为.
(2)若该商场同时购进A，B两种商品共50件，恰好总进价为2 100元，求购进A种商品多少件.
(3)在春节期间，该商场只对A，B两种商品进行如下的优惠促销活动:
按上述优惠条件，若小华一次性购买A，B两种商品的实际付款为522元，求没有优惠促销活动时小华在该商场购买同样的商品要付多少元.
答案
19.
(1) $\boldsymbol{a-8}$；$\boldsymbol{a-10}$
(2) 解：这个发现正确，理由如下：
由题意得 $S_1 = 5(a-8)$，$S_2 = (5+1)(a-10) = 6(a-10)$
则 $6S_1 - 5S_2 = 6× 5(a-8) - 5× 6(a-10)$
$= 30a - 240 - 30a + 300$
$= 60$
最终结果为常数60，不含字母$a$，因此$6S_1-5S_2$的值与$a$无关，这个发现正确。
---
20.
(1) $\boldsymbol{40}$；$\boldsymbol{60\%}$
(2) 解：设购进A种商品$x$件，则购进B种商品$(50-x)$件。
根据题意得：
$40x + 50(50-x) = 2100$
去括号得：$40x + 2500 - 50x = 2100$
移项合并得：$-10x = -400$
解得：$x=40$
答：购进A种商品40件。
(3) 解：设没有优惠促销活动时小华要付的总金额为$y$元，分两种情况讨论：
① 当$450 ＜ y ≤ 600$时，享受九折优惠：
$0.9y = 522$
解得：$y=580$，符合条件。
② 当$y ＞ 600$时，600元部分享八折，超过600元的部分享七折：
$600× 0.8 + 0.7(y-600) = 522$
整理得：$480 + 0.7y - 420 = 522$
解得：$y=660$，符合条件。
答：没有优惠促销活动时小华在该商场购买同样的商品要付580元或660元。
(1) $\boldsymbol{a-8}$；$\boldsymbol{a-10}$
(2) 解：这个发现正确，理由如下：
由题意得 $S_1 = 5(a-8)$，$S_2 = (5+1)(a-10) = 6(a-10)$
则 $6S_1 - 5S_2 = 6× 5(a-8) - 5× 6(a-10)$
$= 30a - 240 - 30a + 300$
$= 60$
最终结果为常数60，不含字母$a$，因此$6S_1-5S_2$的值与$a$无关，这个发现正确。
---
20.
(1) $\boldsymbol{40}$；$\boldsymbol{60\%}$
(2) 解：设购进A种商品$x$件，则购进B种商品$(50-x)$件。
根据题意得：
$40x + 50(50-x) = 2100$
去括号得：$40x + 2500 - 50x = 2100$
移项合并得：$-10x = -400$
解得：$x=40$
答：购进A种商品40件。
(3) 解：设没有优惠促销活动时小华要付的总金额为$y$元，分两种情况讨论：
① 当$450 ＜ y ≤ 600$时，享受九折优惠：
$0.9y = 522$
解得：$y=580$，符合条件。
② 当$y ＞ 600$时，600元部分享八折，超过600元的部分享七折：
$600× 0.8 + 0.7(y-600) = 522$
整理得：$480 + 0.7y - 420 = 522$
解得：$y=660$，符合条件。
答：没有优惠促销活动时小华在该商场购买同样的商品要付580元或660元。
解析
19题
【分析】
(1) 方案一：垂直于墙的两边各长5m，平行于墙的一侧开2个1m宽的小门（小门无需篱笆），因此BC的长度=总篱笆长-2个垂直边的篱笆长+2个小门的宽度，代入即可得表达式。方案二：小门开在垂直于墙的两侧，平行于墙的一侧无小门，2个垂直边的篱笆总用料仍为10m，因此FG的长度=总篱笆长-2个垂直边的篱笆长，代入得表达式。
(2) 要判断$6S_1 - 5S_2$是否与$a$无关，先根据长方形面积公式分别求出$S_1$、$S_2$的代数式，再代入$6S_1 - 5S_2$进行整式加减运算，若化简结果不含$a$则与$a$无关，否则有关。
【解析】
(1) 图①中$BC=a-5×2+2×1=a-8$（m）；
图②中$FG=a-5×2=a-10$（m）。
(2) 这个发现正确，理由如下：
由长方形面积公式得：
$S_1=5(a-8)$，
方案二垂直边实际长度为$5+1=6$（m），因此$S_2=6(a-10)$，
代入$6S_1 - 5S_2$得：
$6S_1 - 5S_2=6×5(a-8)-5×6(a-10)$
$=30a-240-30a+300$
$=60$
化简结果为常数60，不含字母$a$，因此$6S_1 - 5S_2$的值与$a$无关，该发现正确。
【答案】
(1) $\boldsymbol{a-8}$；$\boldsymbol{a-10}$
(2) 发现正确，理由见解析。
【知识点】
列代数式，整式的加减，长方形面积计算
【点评】
本题结合劳动实践场景考查代数式与整式运算的应用，解题关键是准确理解小门位置对边长计算的影响，熟练掌握整式化简规则。
【难度系数】
0.7
---
20题
【分析】
(1) 根据利润率公式：$\mathrm{利润率}=(\mathrm{售价}-\mathrm{进价})÷\mathrm{进价}$，代入A商品的售价、利润率可求进价，代入B商品的进价、售价可求利润率。
(2) 设购进A种商品$x$件，则B种商品为$(50-x)$件，根据“总进价=A商品总进价+B商品总进价”列一元一次方程求解即可。
(3) 优惠为分段计费，分两种情况讨论：①打折前总金额超过450元不超过600元，享九折优惠；②打折前总金额超过600元，600元部分打八折，超出部分打七折，分别列方程求解并验证解是否符合对应区间即可。
【解析】
(1) 设A种商品每件进价为$x$元，由题意得：
$(60-x)÷ x=50\%$，解得$x=40$；
B种商品利润率为$(80-50)÷50×100\%=60\%$。
(2) 设购进A种商品$x$件，则购进B种商品$(50-x)$件。
根据总进价为2100元列方程：
$40x+50(50-x)=2100$
去括号得：$40x+2500-50x=2100$
移项合并得：$-10x=-400$
解得：$x=40$
(3) 设没有优惠时小华应付总金额为$y$元，分两种情况讨论：
① 当$450＜y≤600$时，享受九折优惠：
$0.9y=522$，解得$y=580$，符合区间要求。
② 当$y＞600$时，600元部分打八折，超出部分打七折：
$600×0.8+0.7(y-600)=522$
化简得：$480+0.7y-420=522$
解得：$y=660$，符合区间要求。
【答案】
(1) $\boldsymbol{40}$；$\boldsymbol{60\%}$
(2) 购进A种商品40件。
(3) 没有优惠时应付580元或660元。
【知识点】
一元一次方程应用，利润率计算，分段计费问题
【点评】
本题为典型经济类应用题，考查利润率公式和一元一次方程的实际应用，解题时需注意分段优惠规则，分类讨论避免漏解。
【难度系数】
0.6
【分析】
(1) 方案一：垂直于墙的两边各长5m，平行于墙的一侧开2个1m宽的小门（小门无需篱笆），因此BC的长度=总篱笆长-2个垂直边的篱笆长+2个小门的宽度，代入即可得表达式。方案二：小门开在垂直于墙的两侧，平行于墙的一侧无小门，2个垂直边的篱笆总用料仍为10m，因此FG的长度=总篱笆长-2个垂直边的篱笆长，代入得表达式。
(2) 要判断$6S_1 - 5S_2$是否与$a$无关，先根据长方形面积公式分别求出$S_1$、$S_2$的代数式，再代入$6S_1 - 5S_2$进行整式加减运算，若化简结果不含$a$则与$a$无关，否则有关。
【解析】
(1) 图①中$BC=a-5×2+2×1=a-8$（m）；
图②中$FG=a-5×2=a-10$（m）。
(2) 这个发现正确，理由如下：
由长方形面积公式得：
$S_1=5(a-8)$，
方案二垂直边实际长度为$5+1=6$（m），因此$S_2=6(a-10)$，
代入$6S_1 - 5S_2$得：
$6S_1 - 5S_2=6×5(a-8)-5×6(a-10)$
$=30a-240-30a+300$
$=60$
化简结果为常数60，不含字母$a$，因此$6S_1 - 5S_2$的值与$a$无关，该发现正确。
【答案】
(1) $\boldsymbol{a-8}$；$\boldsymbol{a-10}$
(2) 发现正确，理由见解析。
【知识点】
列代数式，整式的加减，长方形面积计算
【点评】
本题结合劳动实践场景考查代数式与整式运算的应用，解题关键是准确理解小门位置对边长计算的影响，熟练掌握整式化简规则。
【难度系数】
0.7
---
20题
【分析】
(1) 根据利润率公式：$\mathrm{利润率}=(\mathrm{售价}-\mathrm{进价})÷\mathrm{进价}$，代入A商品的售价、利润率可求进价，代入B商品的进价、售价可求利润率。
(2) 设购进A种商品$x$件，则B种商品为$(50-x)$件，根据“总进价=A商品总进价+B商品总进价”列一元一次方程求解即可。
(3) 优惠为分段计费，分两种情况讨论：①打折前总金额超过450元不超过600元，享九折优惠；②打折前总金额超过600元，600元部分打八折，超出部分打七折，分别列方程求解并验证解是否符合对应区间即可。
【解析】
(1) 设A种商品每件进价为$x$元，由题意得：
$(60-x)÷ x=50\%$，解得$x=40$；
B种商品利润率为$(80-50)÷50×100\%=60\%$。
(2) 设购进A种商品$x$件，则购进B种商品$(50-x)$件。
根据总进价为2100元列方程：
$40x+50(50-x)=2100$
去括号得：$40x+2500-50x=2100$
移项合并得：$-10x=-400$
解得：$x=40$
(3) 设没有优惠时小华应付总金额为$y$元，分两种情况讨论：
① 当$450＜y≤600$时，享受九折优惠：
$0.9y=522$，解得$y=580$，符合区间要求。
② 当$y＞600$时，600元部分打八折，超出部分打七折：
$600×0.8+0.7(y-600)=522$
化简得：$480+0.7y-420=522$
解得：$y=660$，符合区间要求。
【答案】
(1) $\boldsymbol{40}$；$\boldsymbol{60\%}$
(2) 购进A种商品40件。
(3) 没有优惠时应付580元或660元。
【知识点】
一元一次方程应用，利润率计算，分段计费问题
【点评】
本题为典型经济类应用题，考查利润率公式和一元一次方程的实际应用，解题时需注意分段优惠规则，分类讨论避免漏解。
【难度系数】
0.6
