五、解答题
21. 提升题＞综合与探究.
【背景知识】
如图①,已知线段$AB=20\ \mathrm{cm},CD=4\ \mathrm{cm}$,线段$CD$在线段$AB$上运动,$E,F$分别是$AC,BD$的中点.
【知识探究】
(1)若$AC=6\ \mathrm{cm}$,则$EF=\_\_\_\_\_\_\ \mathrm{cm}$.
(2)当线段$CD$在线段$AB$上运动时,试判断$EF$的长度是否发生变化.如果不变,请求出$EF$的长度;如果变化,请说明理由.
【类比探究】
(3)对于角,也有与线段类似的规律.如图②,已知$∠ COD$在$∠ AOB$内部转动,$OE,OF$分别平分$∠ AOC$和$∠ BOD$.
①若$∠ AOB=150°,∠ COD=30°$,求$∠ EOF$的度数;
②请你猜想$∠ COD,∠ AOB$和$∠ EOF$三个角有怎样的数量关系,并说明理由.

$\boldsymbol{12}$
(2)
$EF$的长度不发生变化，推导如下：
因为$E$，$F$分别是$AC$，$BD$的中点，
所以$EC=\frac{1}{2}AC$，$DF=\frac{1}{2}BD$。
$\begin{aligned}EF&=EC+CD+DF\\&=\frac{1}{2}AC + CD + \frac{1}{2}BD\\&=\frac{1}{2}(AC+BD) + CD\end{aligned}$
又因为$AC+BD=AB-CD$，代入得：
$\begin{aligned}EF&=\frac{1}{2}(AB-CD) + CD\\&=\frac{1}{2}AB + \frac{1}{2}CD\\&=\frac{1}{2}(AB+CD)\end{aligned}$
将$AB=20\ \mathrm{cm}$，$CD=4\ \mathrm{cm}$代入，得$EF=\frac{1}{2}×(20+4)=12\ \mathrm{cm}$。
所以$EF$长度不变，为$12\ \mathrm{cm}$。
(3)①
因为$OE$，$OF$分别平分$∠ AOC$和$∠ BOD$，
所以$∠ AOE=\frac{1}{2}∠ AOC$，$∠ BOF=\frac{1}{2}∠ BOD$。
已知$∠ AOB=150°$，$∠ COD=30°$，
则$∠ AOC+∠ BOD=∠ AOB-∠ COD=150°-30°=120°$。
$\begin{aligned}∠ EOF&=∠ AOB-∠ AOE-∠ BOF\\&=∠ AOB-\frac{1}{2}(∠ AOC+∠ BOD)\\&=150°-\frac{1}{2}×120°\\&=90°\end{aligned}$
即$∠ EOF=90°$。
②
猜想：$\boldsymbol{∠ EOF=\frac{1}{2}(∠ AOB+∠ COD)}$，理由如下：
因为$OE$平分$∠ AOC$，$OF$平分$∠ BOD$，
所以$∠ COE=\frac{1}{2}∠ AOC$，$∠ DOF=\frac{1}{2}∠ BOD$。
$\begin{aligned}∠ EOF&=∠ COE+∠ COD+∠ DOF\\&=\frac{1}{2}∠ AOC + ∠ COD + \frac{1}{2}∠ BOD\\&=\frac{1}{2}(∠ AOC+∠ BOD) + ∠ COD\end{aligned}$
又因为$∠ AOC+∠ BOD=∠ AOB-∠ COD$，代入得：
$\begin{aligned}∠ EOF&=\frac{1}{2}(∠ AOB-∠ COD) + ∠ COD\\&=\frac{1}{2}∠ AOB + \frac{1}{2}∠ COD\\&=\frac{1}{2}(∠ AOB+∠ COD)\end{aligned}$

【分析】
本题分为线段规律探究和角的类比探究两部分，解题思路如下：
1. 第(1)问：先根据已知的AB、AC、CD长度求出BD的长，再利用中点的性质求出EC和DF的长度，最后将EC+CD+DF相加即可得到EF的长度。
2. 第(2)问：不管CD怎么移动，始终利用中点性质把EC、DF用AC、BD表示，将EF拆分为EC+CD+DF，再把AC+BD替换为AB-CD，化简后看EF是否为定值即可。
3. 第(3)问：类比线段的解题思路，角平分线对应线段中点，角的和差对应线段的和差。①先求出∠AOC+∠BOD的度数，再用∠AOB减去两个角平分线分出的角的和，即可得到∠EOF的度数；②按照和第(2)问类似的推导方式，将∠EOF拆分为∠COE+∠COD+∠DOF，再结合角平分线性质和角的和差关系化简，即可得到三个角的数量关系。
【解析】
(1) 已知AB=20cm，AC=6cm，CD=4cm，所以$BD=AB-AC-CD=20-6-4=10\ \mathrm{cm}$。
因为E是AC中点，所以$EC=\frac{1}{2}AC=3\ \mathrm{cm}$；F是BD中点，所以$DF=\frac{1}{2}BD=5\ \mathrm{cm}$。
所以$EF=EC+CD+DF=3+4+5=12\ \mathrm{cm}$。
(2) EF的长度不发生变化，推导如下：
因为E，F分别是AC，BD的中点，
所以$EC=\frac{1}{2}AC$，$DF=\frac{1}{2}BD$。
$\begin{aligned}EF&=EC+CD+DF\\&=\frac{1}{2}AC + CD + \frac{1}{2}BD\\&=\frac{1}{2}(AC+BD) + CD\end{aligned}$
又因为$AC+BD=AB-CD$，代入得：
$\begin{aligned}EF&=\frac{1}{2}(AB-CD) + CD\\&=\frac{1}{2}AB + \frac{1}{2}CD\\&=\frac{1}{2}(AB+CD)\end{aligned}$
将$AB=20\ \mathrm{cm}$，$CD=4\ \mathrm{cm}$代入，得$EF=\frac{1}{2}×(20+4)=12\ \mathrm{cm}$。
(3)①
因为OE，OF分别平分$∠ AOC$和$∠ BOD$，
所以$∠ AOE=\frac{1}{2}∠ AOC$，$∠ BOF=\frac{1}{2}∠ BOD$。
已知$∠ AOB=150°$，$∠ COD=30°$，
则$∠ AOC+∠ BOD=∠ AOB-∠ COD=150°-30°=120°$。
$\begin{aligned}∠ EOF&=∠ AOB-∠ AOE-∠ BOF\\&=∠ AOB-\frac{1}{2}(∠ AOC+∠ BOD)\\&=150°-\frac{1}{2}×120°\\&=90°\end{aligned}$
②
猜想：$∠ EOF=\frac{1}{2}(∠ AOB+∠ COD)$，理由如下：
因为OE平分$∠ AOC$，OF平分$∠ BOD$，
所以$∠ COE=\frac{1}{2}∠ AOC$，$∠ DOF=\frac{1}{2}∠ BOD$。
$\begin{aligned}∠ EOF&=∠ COE+∠ COD+∠ DOF\\&=\frac{1}{2}∠ AOC + ∠ COD + \frac{1}{2}∠ BOD\\&=\frac{1}{2}(∠ AOC+∠ BOD) + ∠ COD\end{aligned}$
又因为$∠ AOC+∠ BOD=∠ AOB-∠ COD$，代入得：
$\begin{aligned}∠ EOF&=\frac{1}{2}(∠ AOB-∠ COD) + ∠ COD\\&=\frac{1}{2}∠ AOB + \frac{1}{2}∠ COD\\&=\frac{1}{2}(∠ AOB+∠ COD)\end{aligned}$
【答案】
(1) $\boldsymbol{12}$
(2) EF的长度不发生变化，为$\boldsymbol{12\ \mathrm{cm}}$
(3) ①$\boldsymbol{90°}$；②$\boldsymbol{∠EOF=\frac{1}{2}(∠AOB+∠COD)}$
【知识点】
线段中点的定义，角平分线的定义，线段与角的和差计算
【点评】
本题是几何规律探究类题目，运用了类比思想，将线段中的研究方法迁移到角的探究中。解题的核心是抓住中点、角平分线的性质，合理拆分线段或角，将未知量转化为已知量的组合进行推导，能够很好地锻炼逻辑推理能力和知识迁移能力。
【难度系数】
0.6