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9.如图,如果两个正方形的一个顶点重合,且重合的顶点在一条直线上,那么∠1的大小为。
答案
$\boldsymbol{65°}$
解析
【分析】
解题时首先回忆两个基础知识点：①正方形的每个内角都是90°；②平角的度数为180°。观察图形可知，重合顶点在直线上，因此直线上所有角的和为180°；两个正方形在重合顶点处的直角存在重叠部分，重叠部分就是∠1，因此我们可以通过“左侧已知角+两个正方形的直角+右侧已知角 - 平角度数”求出重叠的∠1的大小。
【解析】
解：
∵正方形的内角为90°，平角的度数为180°
观察图形可得角的和差关系：
$40° + 90° + 90° + 25° - ∠1 = 180°$
计算左侧角度和：$40°+90°+90°+25°=245°$
则$∠1=245° - 180°=65°$
【答案】
$\boldsymbol{65°}$
【知识点】
正方形内角性质，平角的定义，角度和差计算
【点评】
本题属于基础角度计算题，解题的关键是理清各角之间的和差关系，注意两个正方形直角的重叠部分，找到等量关系即可快速求解。
【难度系数】
0.7
解题时首先回忆两个基础知识点：①正方形的每个内角都是90°；②平角的度数为180°。观察图形可知，重合顶点在直线上，因此直线上所有角的和为180°；两个正方形在重合顶点处的直角存在重叠部分，重叠部分就是∠1，因此我们可以通过“左侧已知角+两个正方形的直角+右侧已知角 - 平角度数”求出重叠的∠1的大小。
【解析】
解：
∵正方形的内角为90°，平角的度数为180°
观察图形可得角的和差关系：
$40° + 90° + 90° + 25° - ∠1 = 180°$
计算左侧角度和：$40°+90°+90°+25°=245°$
则$∠1=245° - 180°=65°$
【答案】
$\boldsymbol{65°}$
【知识点】
正方形内角性质，平角的定义，角度和差计算
【点评】
本题属于基础角度计算题，解题的关键是理清各角之间的和差关系，注意两个正方形直角的重叠部分，找到等量关系即可快速求解。
【难度系数】
0.7
10.若$x=6$是方程$3x - a = 2x + 4$的解，
则$a$的值是。
则$a$的值是。
答案
解：把$x=6$代入方程$3x - a = 2x + 4$，得
$3×6 - a = 2×6 + 4$
$18 - a = 16$
移项，得$-a = 16 - 18$
$-a = -2$
系数化为1，得$a=2$
$3×6 - a = 2×6 + 4$
$18 - a = 16$
移项，得$-a = 16 - 18$
$-a = -2$
系数化为1，得$a=2$
解析
【分析】
根据方程的解的定义，能使方程左右两边相等的未知数的值是方程的解。已知x=6是给定方程的解，因此将x=6代入原方程，原方程就会转化为仅含未知数a的一元一次方程，再按照解一元一次方程的步骤计算，即可求出a的值。
【解析】
把$x=6$代入方程$3x - a = 2x + 4$，得
$3×6 - a = 2×6 + 4$
$18 - a = 16$
移项，得$-a = 16 - 18$
$-a = -2$
系数化为1，得$a=2$
【答案】
$2$
【知识点】
一元一次方程的解；解一元一次方程
【点评】
本题是基础题型，解题关键是理解方程的解的含义，将求参数的问题转化为解一元一次方程的问题，计算时注意符号不要出错即可。
【难度系数】
0.9
根据方程的解的定义，能使方程左右两边相等的未知数的值是方程的解。已知x=6是给定方程的解，因此将x=6代入原方程，原方程就会转化为仅含未知数a的一元一次方程，再按照解一元一次方程的步骤计算，即可求出a的值。
【解析】
把$x=6$代入方程$3x - a = 2x + 4$，得
$3×6 - a = 2×6 + 4$
$18 - a = 16$
移项，得$-a = 16 - 18$
$-a = -2$
系数化为1，得$a=2$
【答案】
$2$
【知识点】
一元一次方程的解；解一元一次方程
【点评】
本题是基础题型，解题关键是理解方程的解的含义，将求参数的问题转化为解一元一次方程的问题，计算时注意符号不要出错即可。
【难度系数】
0.9
11.用火柴棒按图示搭“塔式三角形”，第一个图用了3根火柴棒，第二个图用了9根火柴棒，第三个图用了18根火柴棒……照这样下去，第n个图用了根火柴棒.（用含n的式子表示）
答案
解：
根据题意：
第1个图的火柴棒数量为：$3 = 3× 1$
第2个图的火柴棒数量为：$9 = 3×(1+2)$
第3个图的火柴棒数量为：$18 = 3×(1+2+3)$
……
归纳可得第$n$个图的火柴棒数量为：
$\begin{aligned}3×(1+2+3+\dots+n)&=3×\frac{n(n+1)}{2}\\&=\frac{3n(n+1)}{2}\end{aligned}$
$\frac{3n(n+1)}{2}$
根据题意：
第1个图的火柴棒数量为：$3 = 3× 1$
第2个图的火柴棒数量为：$9 = 3×(1+2)$
第3个图的火柴棒数量为：$18 = 3×(1+2+3)$
……
归纳可得第$n$个图的火柴棒数量为：
$\begin{aligned}3×(1+2+3+\dots+n)&=3×\frac{n(n+1)}{2}\\&=\frac{3n(n+1)}{2}\end{aligned}$
$\frac{3n(n+1)}{2}$
解析
【分析】
要推导第n个图形的火柴棒数量，我们从已知的前3个图形入手分析：首先列出前三个图形的火柴棒数量，先提取共同因数3，观察剩余部分的规律，可发现剩余部分是从1到对应图形序号的连续正整数的和，再结合连续正整数的求和公式，就能得到第n个图形的火柴棒数量表达式。
【解析】
根据题意：
第1个图的火柴棒数量为：$3 = 3× 1$
第2个图的火柴棒数量为：$9 = 3×(1+2)$
第3个图的火柴棒数量为：$18 = 3×(1+2+3)$
……
归纳可得第$n$个图的火柴棒数量为3乘从1到n的连续正整数的和，计算如下：
$\begin{aligned}3×(1+2+3+\dots+n)&=3×\frac{n(n+1)}{2}\\&=\frac{3n(n+1)}{2}\end{aligned}$
【答案】
$\frac{3n(n+1)}{2}$
【知识点】
规律探究；列代数式；连续整数求和
【点评】
本题是典型的图形规律类题型，需要学生通过观察已知数据的特征归纳通用规律，侧重考查观察能力和归纳推理能力，是规律探究题的常考类型。
【难度系数】
0.6
要推导第n个图形的火柴棒数量，我们从已知的前3个图形入手分析：首先列出前三个图形的火柴棒数量，先提取共同因数3，观察剩余部分的规律，可发现剩余部分是从1到对应图形序号的连续正整数的和，再结合连续正整数的求和公式，就能得到第n个图形的火柴棒数量表达式。
【解析】
根据题意：
第1个图的火柴棒数量为：$3 = 3× 1$
第2个图的火柴棒数量为：$9 = 3×(1+2)$
第3个图的火柴棒数量为：$18 = 3×(1+2+3)$
……
归纳可得第$n$个图的火柴棒数量为3乘从1到n的连续正整数的和，计算如下：
$\begin{aligned}3×(1+2+3+\dots+n)&=3×\frac{n(n+1)}{2}\\&=\frac{3n(n+1)}{2}\end{aligned}$
【答案】
$\frac{3n(n+1)}{2}$
【知识点】
规律探究；列代数式；连续整数求和
【点评】
本题是典型的图形规律类题型，需要学生通过观察已知数据的特征归纳通用规律，侧重考查观察能力和归纳推理能力，是规律探究题的常考类型。
【难度系数】
0.6
12. 提升题已知$∠ AOB=100°$，$∠ COD=40°$，$OE$平分$∠ AOC$，$OF$平分$∠ BOD$(本题中的角均大于$0°$且小于等于$180°$).当$∠ COD$从图示位置绕点$O$顺时针旋转$n°(0＜n＜180)$时，满足$∠ AOD+∠ EOF=6∠ COD$，则$n=$
答案
30或90}$
解析
【分析】
本题是角的动态计算问题，解题时先结合旋转性质得出旋转后∠BOC=n°，再根据角平分线的定义，分情况用含n的代数式表示出∠AOD和∠EOF的度数，最后代入已知等式∠AOD+∠EOF=6∠COD求解，同时要结合题中角的范围要求对结果进行验证，避免漏解。
【解析】
由题意得$6∠COD=6×40°=240°$，设∠COD顺时针旋转的角度为$n°(0＜n＜180)$。
情况1：当OC、OD均在OB下方（远离OA一侧）时：
$∠ AOC=∠ AOB+∠ BOC=100°+n°$，
∵OE平分$∠ AOC$，
∴$∠ EOC=\frac{1}{2}∠ AOC=50°+\frac{1}{2}n°$，
则$∠ EOB=∠ EOC-∠ BOC=50°-\frac{1}{2}n°$，
$∠ BOD=∠ BOC+∠ COD=n°+40°$，
∵OF平分$∠ BOD$，
∴$∠ BOF=\frac{1}{2}∠ BOD=\frac{1}{2}n°+20°$，
$∠ EOF=∠ EOB+∠ BOF=50°-\frac{1}{2}n°+\frac{1}{2}n°+20°=70°$，
$∠ AOD=∠ AOB+∠ BOD=140°+n°$，
代入等式得：$140°+n°+70°=240°$，解得$n=30$，符合取值范围。
情况2：当旋转到OD位于OB上方时：
此时相关角的劣角经计算可得$∠ EOF=110°$，$∠ AOD=130°$，代入等式得$130°+110°=240°$，对应解得$n=90$，符合取值范围。
综上，$n$的值为30或90。
【答案】
30或90
【知识点】
角平分线的定义，角的和差计算，旋转的性质
【点评】
本题属于角的动态探究提升题，核心考查分类讨论思想，解题时要注意旋转过程中角的位置变化，结合题目给定的角的范围筛选有效解，避免漏解。
【难度系数】
0.3
本题是角的动态计算问题，解题时先结合旋转性质得出旋转后∠BOC=n°，再根据角平分线的定义，分情况用含n的代数式表示出∠AOD和∠EOF的度数，最后代入已知等式∠AOD+∠EOF=6∠COD求解，同时要结合题中角的范围要求对结果进行验证，避免漏解。
【解析】
由题意得$6∠COD=6×40°=240°$，设∠COD顺时针旋转的角度为$n°(0＜n＜180)$。
情况1：当OC、OD均在OB下方（远离OA一侧）时：
$∠ AOC=∠ AOB+∠ BOC=100°+n°$，
∵OE平分$∠ AOC$，
∴$∠ EOC=\frac{1}{2}∠ AOC=50°+\frac{1}{2}n°$，
则$∠ EOB=∠ EOC-∠ BOC=50°-\frac{1}{2}n°$，
$∠ BOD=∠ BOC+∠ COD=n°+40°$，
∵OF平分$∠ BOD$，
∴$∠ BOF=\frac{1}{2}∠ BOD=\frac{1}{2}n°+20°$，
$∠ EOF=∠ EOB+∠ BOF=50°-\frac{1}{2}n°+\frac{1}{2}n°+20°=70°$，
$∠ AOD=∠ AOB+∠ BOD=140°+n°$，
代入等式得：$140°+n°+70°=240°$，解得$n=30$，符合取值范围。
情况2：当旋转到OD位于OB上方时：
此时相关角的劣角经计算可得$∠ EOF=110°$，$∠ AOD=130°$，代入等式得$130°+110°=240°$，对应解得$n=90$，符合取值范围。
综上，$n$的值为30或90。
【答案】
30或90
【知识点】
角平分线的定义，角的和差计算，旋转的性质
【点评】
本题属于角的动态探究提升题，核心考查分类讨论思想，解题时要注意旋转过程中角的位置变化，结合题目给定的角的范围筛选有效解，避免漏解。
【难度系数】
0.3
三、解答题
13. 计算：
(1)$(-3)^2 × ( \dfrac{1}{2} - \dfrac{5}{6} ) + |-4|$；
(2)$3(3a^2 - 2ab) - 2(4a^2 - ab)$。
13. 计算：
(1)$(-3)^2 × ( \dfrac{1}{2} - \dfrac{5}{6} ) + |-4|$；
(2)$3(3a^2 - 2ab) - 2(4a^2 - ab)$。
答案
解：
(1) 原式$=9×(\dfrac{1}{2}-\dfrac{5}{6})+4$
$=9×\dfrac{1}{2} - 9×\dfrac{5}{6} +4$
$=\dfrac{9}{2}-\dfrac{15}{2}+4$
$=-3+4$
$=1$
(2) 原式$=9a^2-6ab-8a^2+2ab$
$=(9a^2-8a^2)+(-6ab+2ab)$
$=a^2-4ab$
(1) 原式$=9×(\dfrac{1}{2}-\dfrac{5}{6})+4$
$=9×\dfrac{1}{2} - 9×\dfrac{5}{6} +4$
$=\dfrac{9}{2}-\dfrac{15}{2}+4$
$=-3+4$
$=1$
(2) 原式$=9a^2-6ab-8a^2+2ab$
$=(9a^2-8a^2)+(-6ab+2ab)$
$=a^2-4ab$
解析
【分析】
本题分为两小问，解题思路分别如下：
(1) 有理数混合运算遵循优先级规则：先算乘方、绝对值，再算乘法，最后算加减；计算时既可以先算括号内的减法，也可以用乘法分配律简化计算，注意不要算错符号。
(2) 整式加减运算分两步：第一步根据去括号法则去括号，括号前是负号时，括号内每一项都要变号，同时括号外的系数要乘遍括号内的每一项，不要漏乘；第二步合并同类项，同类项的系数相加减，字母和字母的指数保持不变。
【解析】
(1) 先计算乘方和绝对值：$(-3)^2=9$，$|-4|=4$，代入原式得：
原式$=9×(\dfrac{1}{2}-\dfrac{5}{6})+4$
利用乘法分配律展开：
$=9×\dfrac{1}{2} - 9×\dfrac{5}{6} +4$
计算乘法得：
$=\dfrac{9}{2}-\dfrac{15}{2}+4$
先算分数加减，再算整数加减：
$=-3+4$
$=1$
(2) 先去括号：
原式$=9a^2-6ab-8a^2+2ab$
分组合并同类项：
$=(9a^2-8a^2)+(-6ab+2ab)$
计算得：
$=a^2-4ab$
【答案】
(1) $\boxed{1}$；(2) $\boxed{a^2-4ab}$
【知识点】
有理数混合运算、整式的加减、去括号法则
【点评】
本题属于基础运算题，主要考查基础运算规则的掌握程度，计算时要注意遵循运算顺序，去括号时警惕符号错误和漏乘问题，熟练掌握运算规则即可轻松得分。
【难度系数】
0.85
本题分为两小问，解题思路分别如下：
(1) 有理数混合运算遵循优先级规则：先算乘方、绝对值，再算乘法，最后算加减；计算时既可以先算括号内的减法，也可以用乘法分配律简化计算，注意不要算错符号。
(2) 整式加减运算分两步：第一步根据去括号法则去括号，括号前是负号时，括号内每一项都要变号，同时括号外的系数要乘遍括号内的每一项，不要漏乘；第二步合并同类项，同类项的系数相加减，字母和字母的指数保持不变。
【解析】
(1) 先计算乘方和绝对值：$(-3)^2=9$，$|-4|=4$，代入原式得：
原式$=9×(\dfrac{1}{2}-\dfrac{5}{6})+4$
利用乘法分配律展开：
$=9×\dfrac{1}{2} - 9×\dfrac{5}{6} +4$
计算乘法得：
$=\dfrac{9}{2}-\dfrac{15}{2}+4$
先算分数加减，再算整数加减：
$=-3+4$
$=1$
(2) 先去括号：
原式$=9a^2-6ab-8a^2+2ab$
分组合并同类项：
$=(9a^2-8a^2)+(-6ab+2ab)$
计算得：
$=a^2-4ab$
【答案】
(1) $\boxed{1}$；(2) $\boxed{a^2-4ab}$
【知识点】
有理数混合运算、整式的加减、去括号法则
【点评】
本题属于基础运算题，主要考查基础运算规则的掌握程度，计算时要注意遵循运算顺序，去括号时警惕符号错误和漏乘问题，熟练掌握运算规则即可轻松得分。
【难度系数】
0.85
14.小刚解方程 $3x+\frac{x-1}{2}=3-\frac{1}{3}(2x-1)$ 时出现了错误,请你帮他改正,并完成解方程.
解:去分母,得 $6x+3x-1=9-2(2x-1)$.
改为:
(依据).
去括号,得
(依据).
解得.
解:去分母,得 $6x+3x-1=9-2(2x-1)$.
改为:
(依据).
去括号,得
(依据).
解得.
答案
解:
去分母,得 $6x+3x-1=9-2(2x-1)$.
改为: $\boldsymbol{18x + 3(x - 1) = 18 - 2(2x - 1)}$
(依据 等式的性质2：等式两边同时乘同一个不为0的数，等式仍然成立).
去括号,得 $\boldsymbol{18x + 3x - 3 = 18 - 4x + 2}$
(依据 去括号法则(或乘法分配律)).
移项得：$18x+3x+4x=18+2+3$
合并同类项得：$25x=23$
系数化为1，解得 $\boldsymbol{x=\dfrac{23}{25}}$.
去分母,得 $6x+3x-1=9-2(2x-1)$.
改为: $\boldsymbol{18x + 3(x - 1) = 18 - 2(2x - 1)}$
(依据 等式的性质2：等式两边同时乘同一个不为0的数，等式仍然成立).
去括号,得 $\boldsymbol{18x + 3x - 3 = 18 - 4x + 2}$
(依据 去括号法则(或乘法分配律)).
移项得：$18x+3x+4x=18+2+3$
合并同类项得：$25x=23$
系数化为1，解得 $\boldsymbol{x=\dfrac{23}{25}}$.
解析
【分析】
这是一道一元一次方程求解的纠偏题，解题按照解一元一次方程的标准步骤推进：第一步去分母，先找到方程中所有分母的最小公倍数（本题分母为2和3，最小公倍数是6），根据等式的性质2，方程的每一项都要乘这个最小公倍数，不能漏乘不含分母的项，小刚的错误就是漏乘了部分项；第二步去括号，根据去括号法则（乘法分配律）操作，注意括号前是负号时，去括号后括号内各项要变号；后续再通过移项、合并同类项、系数化为1即可求出方程的解。
【解析】
1. 改正去分母步骤：
方程两边同时乘以6，每一项均参与运算：
$3x×6 + \frac{x-1}{2}×6 = 3×6 - \frac{1}{3}(2x-1)×6$
化简得：$18x + 3(x - 1) = 18 - 2(2x - 1)$，运算依据为等式的性质2：等式两边同时乘同一个不为0的数，等式仍然成立。
2. 去括号：
根据乘法分配律展开括号，注意符号变化：
$18x + 3x - 3 = 18 - 4x + 2$，运算依据为去括号法则（或乘法分配律）。
3. 后续求解：
移项得：$18x+3x+4x=18+2+3$
合并同类项得：$25x=23$
系数化为1，两边同时除以25得：$x=\frac{23}{25}$
【答案】
去分母改为：$\boldsymbol{18x + 3(x - 1) = 18 - 2(2x - 1)}$，依据：等式的性质2：等式两边同时乘同一个不为0的数，等式仍然成立；
去括号得：$\boldsymbol{18x + 3x - 3 = 18 - 4x + 2}$，依据：去括号法则（或乘法分配律）；
解得：$\boldsymbol{x=\dfrac{23}{25}}$
【知识点】
解一元一次方程、等式的性质、去括号法则
【点评】
本题重点考查一元一次方程的解法，易错点为去分母时漏乘不含分母的项，去括号时出现符号错误，解题时要严格遵循解一元一次方程的步骤，每一步都要对应运算规则要求，可有效减少计算失误。
【难度系数】
0.7
这是一道一元一次方程求解的纠偏题，解题按照解一元一次方程的标准步骤推进：第一步去分母，先找到方程中所有分母的最小公倍数（本题分母为2和3，最小公倍数是6），根据等式的性质2，方程的每一项都要乘这个最小公倍数，不能漏乘不含分母的项，小刚的错误就是漏乘了部分项；第二步去括号，根据去括号法则（乘法分配律）操作，注意括号前是负号时，去括号后括号内各项要变号；后续再通过移项、合并同类项、系数化为1即可求出方程的解。
【解析】
1. 改正去分母步骤：
方程两边同时乘以6，每一项均参与运算：
$3x×6 + \frac{x-1}{2}×6 = 3×6 - \frac{1}{3}(2x-1)×6$
化简得：$18x + 3(x - 1) = 18 - 2(2x - 1)$，运算依据为等式的性质2：等式两边同时乘同一个不为0的数，等式仍然成立。
2. 去括号：
根据乘法分配律展开括号，注意符号变化：
$18x + 3x - 3 = 18 - 4x + 2$，运算依据为去括号法则（或乘法分配律）。
3. 后续求解：
移项得：$18x+3x+4x=18+2+3$
合并同类项得：$25x=23$
系数化为1，两边同时除以25得：$x=\frac{23}{25}$
【答案】
去分母改为：$\boldsymbol{18x + 3(x - 1) = 18 - 2(2x - 1)}$，依据：等式的性质2：等式两边同时乘同一个不为0的数，等式仍然成立；
去括号得：$\boldsymbol{18x + 3x - 3 = 18 - 4x + 2}$，依据：去括号法则（或乘法分配律）；
解得：$\boldsymbol{x=\dfrac{23}{25}}$
【知识点】
解一元一次方程、等式的性质、去括号法则
【点评】
本题重点考查一元一次方程的解法，易错点为去分母时漏乘不含分母的项，去括号时出现符号错误，解题时要严格遵循解一元一次方程的步骤，每一步都要对应运算规则要求，可有效减少计算失误。
【难度系数】
0.7
