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1.若$x=2$是关于$x$的方程$x^2 - mx -8=0$的一个根，则$m$的值为()
A.$-3$
B.$-1$
C.$2$
D.$-2$
A.$-3$
B.$-1$
C.$2$
D.$-2$
答案
D
解析
【分析】
本题考查方程根的定义的应用，解题思路如下：根据方程根的定义，能使方程左右两边相等的未知数的值就是方程的根，因此将已知的根$x=2$代入原方程，即可得到只含有未知数$m$的一元一次方程，解这个方程就能求出$m$的值。
【解析】
∵$x=2$是方程$x^2 - mx -8=0$的一个根
∴将$x=2$代入方程，等式成立，即：
$2^2 - m×2 -8=0$
计算得：$4 -2m -8=0$
整理得：$-2m -4=0$
移项得：$-2m=4$
系数化为1得：$m=-2$
因此答案选D。
【答案】
D
【知识点】
一元二次方程根的定义；解一元一次方程
【点评】
本题属于基础题型，核心考查对“方程的根”这一概念的理解，计算量小，只要掌握代入法求解参数的思路即可快速作答。
【难度系数】
0.9
本题考查方程根的定义的应用，解题思路如下：根据方程根的定义，能使方程左右两边相等的未知数的值就是方程的根，因此将已知的根$x=2$代入原方程，即可得到只含有未知数$m$的一元一次方程，解这个方程就能求出$m$的值。
【解析】
∵$x=2$是方程$x^2 - mx -8=0$的一个根
∴将$x=2$代入方程，等式成立，即：
$2^2 - m×2 -8=0$
计算得：$4 -2m -8=0$
整理得：$-2m -4=0$
移项得：$-2m=4$
系数化为1得：$m=-2$
因此答案选D。
【答案】
D
【知识点】
一元二次方程根的定义；解一元一次方程
【点评】
本题属于基础题型，核心考查对“方程的根”这一概念的理解，计算量小，只要掌握代入法求解参数的思路即可快速作答。
【难度系数】
0.9
2.下图是由长方体和圆柱组成的几何体，其俯视图是()
答案
C
解析
【分析】
要解决这道题，首先明确俯视图的定义：俯视图是从几何体的正上方向下观察得到的平面图形。解题时先拆分组合几何体：该几何体由下方长方体和上方圆柱两部分组成，分别分析两个基本几何体的俯视图，再结合二者的位置关系判断即可：长方体从上方看是矩形，圆柱从上方看是圆，且圆柱位于长方体上表面，因此圆会出现在矩形内部，最终对应正确选项。
【解析】
解：俯视图是从几何体正上方观察得到的平面图形。
1. 观察下方的长方体：从正上方看，得到的平面图形为矩形；
2. 观察上方的圆柱：从正上方看，得到的平面图形为圆；
3. 结合位置关系：圆柱放置在长方体的上表面，因此圆在矩形的内部，符合该特征的是选项C。
【答案】
C
【知识点】
组合体三视图判断；俯视图识别
【点评】
本题考查三视图中俯视图的判断，解题关键是牢记俯视图的观察方向，同时注意组合体各部分的位置关系对视图的影响，属于三视图类基础题型。
【难度系数】
0.8
要解决这道题，首先明确俯视图的定义：俯视图是从几何体的正上方向下观察得到的平面图形。解题时先拆分组合几何体：该几何体由下方长方体和上方圆柱两部分组成，分别分析两个基本几何体的俯视图，再结合二者的位置关系判断即可：长方体从上方看是矩形，圆柱从上方看是圆，且圆柱位于长方体上表面，因此圆会出现在矩形内部，最终对应正确选项。
【解析】
解：俯视图是从几何体正上方观察得到的平面图形。
1. 观察下方的长方体：从正上方看，得到的平面图形为矩形；
2. 观察上方的圆柱：从正上方看，得到的平面图形为圆；
3. 结合位置关系：圆柱放置在长方体的上表面，因此圆在矩形的内部，符合该特征的是选项C。
【答案】
C
【知识点】
组合体三视图判断；俯视图识别
【点评】
本题考查三视图中俯视图的判断，解题关键是牢记俯视图的观察方向，同时注意组合体各部分的位置关系对视图的影响，属于三视图类基础题型。
【难度系数】
0.8
3.如图,要使$□ ABCD$成为矩形,则可添加的一个条件是()
A.$AB=AD$
B.$OA=OC$
C.$AD=BC$
D.$AC=BD$
A.$AB=AD$
B.$OA=OC$
C.$AD=BC$
D.$AC=BD$
答案
D
解析
【分析】
已知四边形ABCD是平行四边形，要判定它为矩形，需结合矩形的判定定理分析选项：针对平行四边形判定为矩形的定理有两种，一是有一个内角是直角的平行四边形是矩形，二是对角线相等的平行四边形是矩形，逐一验证各选项是否符合判定要求即可。
【解析】
解：已知四边形ABCD是平行四边形，逐一分析选项：
选项A：若$AB=AD$，即平行四边形邻边相等，可判定$□ABCD$是菱形，不符合要求；
选项B：平行四边形的对角线本身互相平分，$OA=OC$是平行四边形自带的性质，添加该条件无法判定为矩形；
选项C：平行四边形的对边本身相等，$AD=BC$是平行四边形自带的性质，添加该条件无法判定为矩形；
选项D：若$AC=BD$，即平行四边形的对角线相等，根据“对角线相等的平行四边形是矩形”，可判定$□ABCD$是矩形，符合要求。
【答案】
D
【知识点】
平行四边形的性质；矩形的判定
【点评】
本题考查特殊平行四边形的判定，解题关键是区分矩形和菱形的判定条件，牢记平行四边形的固有性质，避免把平行四边形已有的性质当作额外判定条件。
【难度系数】
0.85
已知四边形ABCD是平行四边形，要判定它为矩形，需结合矩形的判定定理分析选项：针对平行四边形判定为矩形的定理有两种，一是有一个内角是直角的平行四边形是矩形，二是对角线相等的平行四边形是矩形，逐一验证各选项是否符合判定要求即可。
【解析】
解：已知四边形ABCD是平行四边形，逐一分析选项：
选项A：若$AB=AD$，即平行四边形邻边相等，可判定$□ABCD$是菱形，不符合要求；
选项B：平行四边形的对角线本身互相平分，$OA=OC$是平行四边形自带的性质，添加该条件无法判定为矩形；
选项C：平行四边形的对边本身相等，$AD=BC$是平行四边形自带的性质，添加该条件无法判定为矩形；
选项D：若$AC=BD$，即平行四边形的对角线相等，根据“对角线相等的平行四边形是矩形”，可判定$□ABCD$是矩形，符合要求。
【答案】
D
【知识点】
平行四边形的性质；矩形的判定
【点评】
本题考查特殊平行四边形的判定，解题关键是区分矩形和菱形的判定条件，牢记平行四边形的固有性质，避免把平行四边形已有的性质当作额外判定条件。
【难度系数】
0.85
4.如图,在$△ ABC$中,$DE// BC$,$∠ ADE=∠ EFC$。若$AD:BD=5:3$,$CF=6$,则$DE$的长为()
A.6
B.8
C.10
D.12
A.6
B.8
C.10
D.12
答案
C
解析
【分析】
首先利用平行线的性质，由$DE// BC$可得$∠ ADE=∠ B$，结合已知$∠ ADE=∠ EFC$，推出$∠ B=∠ EFC$，进而得到$AB// EF$，判定四边形$DBFE$是平行四边形，可得$DE=BF$；再由$DE// BC$证明$△ ADE∽△ ABC$，得到相似比，结合线段比例关系和$CF$的长度列方程求解$DE$的长度即可。
【解析】
1. 因为$DE// BC$，根据两直线平行，同位角相等，得$∠ ADE=∠ B$。
2. 已知$∠ ADE=∠ EFC$，所以$∠ B=∠ EFC$，根据同位角相等，两直线平行，得$AB// EF$。
3. 又因为$DE// BC$，所以四边形$DBFE$是平行四边形（两组对边分别平行的四边形是平行四边形），因此$DE=BF$。
4. 已知$AD:BD=5:3$，则$AD:AB=5:(5+3)=5:8$。
5. 因为$DE// BC$，所以$△ ADE∽△ ABC$（平行于三角形一边的直线和其他两边相交，所构成的三角形与原三角形相似），所以$\frac{DE}{BC}=\frac{AD}{AB}=\frac{5}{8}$。
6. 设$DE=x$，因为$DE=BF$，$CF=6$，所以$BC=BF+CF=x+6$，代入比例得：
$\frac{x}{x+6}=\frac{5}{8}$
交叉相乘得$8x=5(x+6)$，解得$x=10$。
【答案】C
【知识点】
平行线的性质、相似三角形的判定与性质、平行四边形的判定与性质
【点评】
本题是几何基础综合题，解题关键是通过角的等量关系推导平行关系，进而得到平行四边形，再结合相似三角形的比例关系列方程求解，逻辑链条清晰，难度适中。
【难度系数】
0.7
首先利用平行线的性质，由$DE// BC$可得$∠ ADE=∠ B$，结合已知$∠ ADE=∠ EFC$，推出$∠ B=∠ EFC$，进而得到$AB// EF$，判定四边形$DBFE$是平行四边形，可得$DE=BF$；再由$DE// BC$证明$△ ADE∽△ ABC$，得到相似比，结合线段比例关系和$CF$的长度列方程求解$DE$的长度即可。
【解析】
1. 因为$DE// BC$，根据两直线平行，同位角相等，得$∠ ADE=∠ B$。
2. 已知$∠ ADE=∠ EFC$，所以$∠ B=∠ EFC$，根据同位角相等，两直线平行，得$AB// EF$。
3. 又因为$DE// BC$，所以四边形$DBFE$是平行四边形（两组对边分别平行的四边形是平行四边形），因此$DE=BF$。
4. 已知$AD:BD=5:3$，则$AD:AB=5:(5+3)=5:8$。
5. 因为$DE// BC$，所以$△ ADE∽△ ABC$（平行于三角形一边的直线和其他两边相交，所构成的三角形与原三角形相似），所以$\frac{DE}{BC}=\frac{AD}{AB}=\frac{5}{8}$。
6. 设$DE=x$，因为$DE=BF$，$CF=6$，所以$BC=BF+CF=x+6$，代入比例得：
$\frac{x}{x+6}=\frac{5}{8}$
交叉相乘得$8x=5(x+6)$，解得$x=10$。
【答案】C
【知识点】
平行线的性质、相似三角形的判定与性质、平行四边形的判定与性质
【点评】
本题是几何基础综合题，解题关键是通过角的等量关系推导平行关系，进而得到平行四边形，再结合相似三角形的比例关系列方程求解，逻辑链条清晰，难度适中。
【难度系数】
0.7
5.如图，一个转盘被等分成四个扇形区域，并分别标有数字－1,0,1,2。若转动转盘两次，每次转盘停止后，记录指针所指区域的数字（若指针落在区域分界线上，则重新转动转盘），则记录的两个数都是正数的概率为()
A.$\frac{1}{8}$
B.$\frac{1}{6}$
C.$\frac{1}{4}$
D.$\frac{1}{2}$
A.$\frac{1}{8}$
B.$\frac{1}{6}$
C.$\frac{1}{4}$
D.$\frac{1}{2}$
答案
C
解析
【分析】
本题考查两步随机事件的概率计算，解题思路如下：首先明确转动一次转盘有4种等可能的结果，转动两次的总等可能结果数可通过乘法原理得到；再判断出标注的数字里的正数是1、2，共2个，算出两次都转到正数的结果数；最后用符合条件的结果数除以总结果数即可得到所求概率。
【解析】
解：
∵转盘被等分成4个扇形区域，转动一次转盘，出现-1、0、1、2共4种等可能的结果，
∴转动两次转盘，所有等可能的结果总数为：$4×4=16$种。
其中正数为1和2，共2个，因此两次记录的数都是正数的结果数为：$2×2=4$种。
根据概率公式$P=\frac{\mathrm{符合条件的结果数}}{\mathrm{所有等可能的结果数}}$，可得：
$P(\mathrm{两个数都是正数})=\frac{4}{16}=\frac{1}{4}$。
故选C。
【答案】
C
【知识点】
概率公式，正数的判定，两步试验概率计算
【点评】
本题属于概率基础题型，解题的关键是准确找出总等可能结果数和符合条件的结果数，注意0不是正数，避免因概念混淆导致计数错误。
【难度系数】
0.7
本题考查两步随机事件的概率计算，解题思路如下：首先明确转动一次转盘有4种等可能的结果，转动两次的总等可能结果数可通过乘法原理得到；再判断出标注的数字里的正数是1、2，共2个，算出两次都转到正数的结果数；最后用符合条件的结果数除以总结果数即可得到所求概率。
【解析】
解：
∵转盘被等分成4个扇形区域，转动一次转盘，出现-1、0、1、2共4种等可能的结果，
∴转动两次转盘，所有等可能的结果总数为：$4×4=16$种。
其中正数为1和2，共2个，因此两次记录的数都是正数的结果数为：$2×2=4$种。
根据概率公式$P=\frac{\mathrm{符合条件的结果数}}{\mathrm{所有等可能的结果数}}$，可得：
$P(\mathrm{两个数都是正数})=\frac{4}{16}=\frac{1}{4}$。
故选C。
【答案】
C
【知识点】
概率公式，正数的判定，两步试验概率计算
【点评】
本题属于概率基础题型，解题的关键是准确找出总等可能结果数和符合条件的结果数，注意0不是正数，避免因概念混淆导致计数错误。
【难度系数】
0.7
6.已知抛物线$y=ax^2+bx+c(a≠0)$上部分点的横坐标$x$与纵坐标$y$的对应值如下表所示，则下列结论正确的是（）
A.抛物线的开口向上
B.当$x＞0$时，$y$随$x$的增大而减小
C.抛物线的对称轴是直线$x=\dfrac{3}{2}$
D.函数$y=ax^2+bx+c(a≠0)$的最大值为2
A.抛物线的开口向上
B.当$x＞0$时，$y$随$x$的增大而减小
C.抛物线的对称轴是直线$x=\dfrac{3}{2}$
D.函数$y=ax^2+bx+c(a≠0)$的最大值为2
答案
C
解析
【分析】
解决本题的核心是先利用二次函数的对称性确定抛物线的对称轴，再结合对称轴分析抛物线的开口方向、增减性、最值，逐一判断选项即可。首先观察表格中y值相同的两个点，它们的横坐标的中点就是抛物线的对称轴；再根据对称轴左右两侧y随x的变化趋势判断开口方向；再结合开口方向和对称轴分析增减性和最值，排除错误选项得到答案。
【解析】
1. 求抛物线的对称轴：
观察表格可知，当x=0和x=3时，函数值y均为2，这两个点关于抛物线的对称轴对称，因此对称轴为直线$x=\dfrac{0+3}{2}=\dfrac{3}{2}$，故选项C正确。
2. 判断开口方向：
在对称轴左侧，x从-1到0时，y从0增大到2，即y随x的增大而增大；在对称轴右侧，x从3到4时，y从2减小到0，即y随x的增大而减小，说明抛物线开口向下，故选项A错误。
3. 判断增减性：
抛物线开口向下，因此在对称轴$x=\dfrac{3}{2}$左侧y随x的增大而增大，右侧y随x的增大而减小。当$0＜x＜\dfrac{3}{2}$时，y随x的增大而增大，仅当$x＞\dfrac{3}{2}$时y随x的增大而减小，故选项B错误。
4. 判断最值：
抛物线开口向下，顶点处为最大值，顶点在对称轴$x=\dfrac{3}{2}$处，顶点的函数值大于x=0和x=3处的函数值2，因此函数最大值大于2，故选项D错误。
综上，正确选项为C。
【答案】
C
【知识点】
二次函数的对称性；二次函数的图象与性质；二次函数的最值
【点评】
本题考查二次函数的基本性质，解题的突破口是利用函数值相等的点快速确定对称轴，再结合对称轴分析其余性质，能较好地考查学生对二次函数性质的理解和应用能力。
【难度系数】
0.7
解决本题的核心是先利用二次函数的对称性确定抛物线的对称轴，再结合对称轴分析抛物线的开口方向、增减性、最值，逐一判断选项即可。首先观察表格中y值相同的两个点，它们的横坐标的中点就是抛物线的对称轴；再根据对称轴左右两侧y随x的变化趋势判断开口方向；再结合开口方向和对称轴分析增减性和最值，排除错误选项得到答案。
【解析】
1. 求抛物线的对称轴：
观察表格可知，当x=0和x=3时，函数值y均为2，这两个点关于抛物线的对称轴对称，因此对称轴为直线$x=\dfrac{0+3}{2}=\dfrac{3}{2}$，故选项C正确。
2. 判断开口方向：
在对称轴左侧，x从-1到0时，y从0增大到2，即y随x的增大而增大；在对称轴右侧，x从3到4时，y从2减小到0，即y随x的增大而减小，说明抛物线开口向下，故选项A错误。
3. 判断增减性：
抛物线开口向下，因此在对称轴$x=\dfrac{3}{2}$左侧y随x的增大而增大，右侧y随x的增大而减小。当$0＜x＜\dfrac{3}{2}$时，y随x的增大而增大，仅当$x＞\dfrac{3}{2}$时y随x的增大而减小，故选项B错误。
4. 判断最值：
抛物线开口向下，顶点处为最大值，顶点在对称轴$x=\dfrac{3}{2}$处，顶点的函数值大于x=0和x=3处的函数值2，因此函数最大值大于2，故选项D错误。
综上，正确选项为C。
【答案】
C
【知识点】
二次函数的对称性；二次函数的图象与性质；二次函数的最值
【点评】
本题考查二次函数的基本性质，解题的突破口是利用函数值相等的点快速确定对称轴，再结合对称轴分析其余性质，能较好地考查学生对二次函数性质的理解和应用能力。
【难度系数】
0.7
7.抛物线$y=(x-2)^2+5$的顶点坐标是。
答案
解：二次函数的顶点式$y=a(x-h)^2+k$（$a≠0$）的顶点坐标为$(h,k)$，
将抛物线$y=(x-2)^2+5$与顶点式对比，可得$h=2$，$k=5$，
因此该抛物线的顶点坐标是$(2,5)$。
将抛物线$y=(x-2)^2+5$与顶点式对比，可得$h=2$，$k=5$，
因此该抛物线的顶点坐标是$(2,5)$。
解析
【分析】
首先观察所给抛物线的解析式，可判断其为二次函数的顶点式形式，无需进行配方或代入顶点坐标公式计算，只需回忆顶点式的结构特征：$y=a(x-h)^2+k$（$a≠0$）的顶点坐标为$(h,k)$，注意括号内是$x$减去$h$，因此只需对应找到式中$h$、$k$的取值，即可直接得出顶点坐标。
【解析】
二次函数的顶点式$y=a(x-h)^2+k$（$a≠0$）的顶点坐标为$(h,k)$，
将抛物线$y=(x-2)^2+5$与顶点式对比，可得$h=2$，$k=5$，
因此该抛物线的顶点坐标是$(2,5)$。
【答案】
$(2,5)$
【知识点】
二次函数顶点式；抛物线顶点坐标
【点评】
本题是基础题型，主要考查二次函数顶点式的应用，只要牢记顶点式中参数和顶点坐标的对应关系，注意$h$的符号不要搞错，就能快速求解。
【难度系数】
0.9
首先观察所给抛物线的解析式，可判断其为二次函数的顶点式形式，无需进行配方或代入顶点坐标公式计算，只需回忆顶点式的结构特征：$y=a(x-h)^2+k$（$a≠0$）的顶点坐标为$(h,k)$，注意括号内是$x$减去$h$，因此只需对应找到式中$h$、$k$的取值，即可直接得出顶点坐标。
【解析】
二次函数的顶点式$y=a(x-h)^2+k$（$a≠0$）的顶点坐标为$(h,k)$，
将抛物线$y=(x-2)^2+5$与顶点式对比，可得$h=2$，$k=5$，
因此该抛物线的顶点坐标是$(2,5)$。
【答案】
$(2,5)$
【知识点】
二次函数顶点式；抛物线顶点坐标
【点评】
本题是基础题型，主要考查二次函数顶点式的应用，只要牢记顶点式中参数和顶点坐标的对应关系，注意$h$的符号不要搞错，就能快速求解。
【难度系数】
0.9
