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8.若$\dfrac{a-2b}{b}=\dfrac{2}{3}$，则$\dfrac{a+b}{a}=$。
答案
$\dfrac{11}{8}$
解析
【分析】
本题是已知比例式求分式值的基础题型，解题思路清晰：首先对已知比例式进行变形，推导得到a与b的数量关系，既可以拆分已知分式求出a与b的比值，也可以用比例基本性质交叉相乘得到a、b的等量关系；再将a、b的关系代入待求分式，约分消去相同参数即可得到结果。
【解析】
方法一：拆分已知分式计算
已知$\dfrac{a-2b}{b}=\dfrac{2}{3}$，拆分左边分式可得：
$\dfrac{a}{b}-\dfrac{2b}{b}=\dfrac{2}{3}$，化简得$\dfrac{a}{b}-2=\dfrac{2}{3}$
移项计算得$\dfrac{a}{b}=2+\dfrac{2}{3}=\dfrac{8}{3}$
设$a=8k$，$b=3k$（$k≠0$，保证分式有意义），代入$\dfrac{a+b}{a}$得：
$\dfrac{8k+3k}{8k}=\dfrac{11k}{8k}=\dfrac{11}{8}$
方法二：利用比例基本性质计算
由$\dfrac{a-2b}{b}=\dfrac{2}{3}$，交叉相乘得：
$3(a-2b)=2b$
展开整理得$3a-6b=2b$，即$3a=8b$，可得$b=\dfrac{3}{8}a$
代入$\dfrac{a+b}{a}$得：
$\dfrac{a+\dfrac{3}{8}a}{a}=\dfrac{\dfrac{11}{8}a}{a}=\dfrac{11}{8}$（$a≠0$，符合分式有意义条件）
【答案】
$\dfrac{11}{8}$
【知识点】
比例的基本性质，分式化简求值
【点评】
本题属于比例运算的常规题型，解题关键是通过已知条件建立a和b的数量关系，代入计算时注意保证分式分母不为0，消去参数后即可得到结果，整体运算量小，思路直接。
【难度系数】
0.8
本题是已知比例式求分式值的基础题型，解题思路清晰：首先对已知比例式进行变形，推导得到a与b的数量关系，既可以拆分已知分式求出a与b的比值，也可以用比例基本性质交叉相乘得到a、b的等量关系；再将a、b的关系代入待求分式，约分消去相同参数即可得到结果。
【解析】
方法一：拆分已知分式计算
已知$\dfrac{a-2b}{b}=\dfrac{2}{3}$，拆分左边分式可得：
$\dfrac{a}{b}-\dfrac{2b}{b}=\dfrac{2}{3}$，化简得$\dfrac{a}{b}-2=\dfrac{2}{3}$
移项计算得$\dfrac{a}{b}=2+\dfrac{2}{3}=\dfrac{8}{3}$
设$a=8k$，$b=3k$（$k≠0$，保证分式有意义），代入$\dfrac{a+b}{a}$得：
$\dfrac{8k+3k}{8k}=\dfrac{11k}{8k}=\dfrac{11}{8}$
方法二：利用比例基本性质计算
由$\dfrac{a-2b}{b}=\dfrac{2}{3}$，交叉相乘得：
$3(a-2b)=2b$
展开整理得$3a-6b=2b$，即$3a=8b$，可得$b=\dfrac{3}{8}a$
代入$\dfrac{a+b}{a}$得：
$\dfrac{a+\dfrac{3}{8}a}{a}=\dfrac{\dfrac{11}{8}a}{a}=\dfrac{11}{8}$（$a≠0$，符合分式有意义条件）
【答案】
$\dfrac{11}{8}$
【知识点】
比例的基本性质，分式化简求值
【点评】
本题属于比例运算的常规题型，解题关键是通过已知条件建立a和b的数量关系，代入计算时注意保证分式分母不为0，消去参数后即可得到结果，整体运算量小，思路直接。
【难度系数】
0.8
9.如图，D是△ABC的边BC上一点。若△BAC∽△BDA，∠BAC=130°，∠B=30°，则∠BAD=°。
答案
$\boldsymbol{20}$
解析
【分析】
解题思路：首先根据已知的三角形相似关系，利用相似三角形对应角相等的性质，确定待求角∠BAD的对应角；再结合三角形内角和为180°，计算出对应角的度数，即可得到∠BAD的大小。首先明确相似三角形的对应顶点：△BAC∽△BDA，公共角∠B为对应角，∠BAC与∠BDA对应，∠C与∠BAD对应，因此只需要求出∠C的度数即可得到∠BAD的度数。
【解析】
解：
∵△BAC∽△BDA，
∴∠BAD = ∠C（相似三角形的对应角相等），
在△ABC中，根据三角形内角和定理，三角形内角和为180°，
∴∠C = 180° - ∠BAC - ∠B = 180° - 130° - 30° = 20°，
∴∠BAD = ∠C = 20°。
【答案】
20
【知识点】
相似三角形的性质；三角形内角和定理
【点评】
本题是基础的角度计算题，解题关键是准确识别相似三角形的对应角，结合三角形内角和公式即可求解，注意不要混淆相似三角形的对应角关系。
【难度系数】
0.8
解题思路：首先根据已知的三角形相似关系，利用相似三角形对应角相等的性质，确定待求角∠BAD的对应角；再结合三角形内角和为180°，计算出对应角的度数，即可得到∠BAD的大小。首先明确相似三角形的对应顶点：△BAC∽△BDA，公共角∠B为对应角，∠BAC与∠BDA对应，∠C与∠BAD对应，因此只需要求出∠C的度数即可得到∠BAD的度数。
【解析】
解：
∵△BAC∽△BDA，
∴∠BAD = ∠C（相似三角形的对应角相等），
在△ABC中，根据三角形内角和定理，三角形内角和为180°，
∴∠C = 180° - ∠BAC - ∠B = 180° - 130° - 30° = 20°，
∴∠BAD = ∠C = 20°。
【答案】
20
【知识点】
相似三角形的性质；三角形内角和定理
【点评】
本题是基础的角度计算题，解题关键是准确识别相似三角形的对应角，结合三角形内角和公式即可求解，注意不要混淆相似三角形的对应角关系。
【难度系数】
0.8
10.若矩形ABCD的两条邻边的长分别为一元二次方程$x^2 -7x +12=0$的两个实数根，则矩形ABCD的对角线长为。
答案
$\boldsymbol{5}$
解析
【分析】
解题思路可分为两步：首先，要求矩形的对角线长，需要先得到矩形两条邻边的长度，题目已知邻边长是一元二次方程的两个实数根，因此先求解该一元二次方程得到两根；其次，矩形的内角为直角，对角线与两条邻边构成直角三角形，根据勾股定理即可计算出对角线的长度。也可以利用韦达定理直接求两根的平方和，无需单独求解每个根，简化计算。
【解析】
解法一：
第一步：解一元二次方程$x^2 -7x +12=0$
因式分解得：$(x-3)(x-4)=0$
解得$x_1=3$，$x_2=4$，即矩形两条邻边的长分别为3和4。
第二步：根据勾股定理求对角线长
矩形对角线长$=\sqrt{3^2 + 4^2}=\sqrt{9+16}=\sqrt{25}=5$。
解法二：
设方程的两个根为$a$、$b$，即矩形两条邻边长为$a$、$b$，由韦达定理得：
$a+b=7$，$ab=12$
矩形对角线长为$\sqrt{a^2 + b^2}$，由完全平方公式变形得：
$\sqrt{a^2 + b^2}=\sqrt{(a+b)^2 - 2ab}=\sqrt{7^2 - 2×12}=\sqrt{49-24}=\sqrt{25}=5$
【答案】
$\boldsymbol{5}$
【知识点】
一元二次方程的解法，矩形的性质，勾股定理
【点评】
本题属于基础综合题，将一元二次方程的知识与矩形性质、勾股定理相结合，考查学生对基础知识点的综合运用能力，解题关键是先得到矩形邻边的长度或邻边的和与积，再结合勾股定理计算。
【难度系数】
0.8
解题思路可分为两步：首先，要求矩形的对角线长，需要先得到矩形两条邻边的长度，题目已知邻边长是一元二次方程的两个实数根，因此先求解该一元二次方程得到两根；其次，矩形的内角为直角，对角线与两条邻边构成直角三角形，根据勾股定理即可计算出对角线的长度。也可以利用韦达定理直接求两根的平方和，无需单独求解每个根，简化计算。
【解析】
解法一：
第一步：解一元二次方程$x^2 -7x +12=0$
因式分解得：$(x-3)(x-4)=0$
解得$x_1=3$，$x_2=4$，即矩形两条邻边的长分别为3和4。
第二步：根据勾股定理求对角线长
矩形对角线长$=\sqrt{3^2 + 4^2}=\sqrt{9+16}=\sqrt{25}=5$。
解法二：
设方程的两个根为$a$、$b$，即矩形两条邻边长为$a$、$b$，由韦达定理得：
$a+b=7$，$ab=12$
矩形对角线长为$\sqrt{a^2 + b^2}$，由完全平方公式变形得：
$\sqrt{a^2 + b^2}=\sqrt{(a+b)^2 - 2ab}=\sqrt{7^2 - 2×12}=\sqrt{49-24}=\sqrt{25}=5$
【答案】
$\boldsymbol{5}$
【知识点】
一元二次方程的解法，矩形的性质，勾股定理
【点评】
本题属于基础综合题，将一元二次方程的知识与矩形性质、勾股定理相结合，考查学生对基础知识点的综合运用能力，解题关键是先得到矩形邻边的长度或邻边的和与积，再结合勾股定理计算。
【难度系数】
0.8
11.某水果销售网络平台以2.6元/kg的成本价购进20 000 kg沃柑。下表是平台销售部通过随机取样得到的“沃柑损坏率”统计表的一部分，从而可估计每千克沃柑的实际售价定为（精确到0.1）元时，可获得13 000元利润。（销售总金额－损耗总金额－销售部分成本＝销售总利润）
答案
$\boldsymbol{3.6}$
解析
【分析】
首先观察表格中损坏频率的变化规律，当取样总质量足够大时，损坏频率会稳定在某个常数附近，这个常数就是我们要估计的损坏率。得到损坏率后，可算出20000kg沃柑中能正常销售的质量，再根据利润的等量关系，设售价为未知数列方程求解即可。
【解析】
1. 估计损坏率：观察表格中沃柑损坏的频率，随着取样总质量增大，频率稳定在0.1附近，因此估计沃柑的损坏率为0.1。
2. 计算可销售沃柑的质量：总质量为20000kg，完好可销售的质量为$20000×(1-0.1)=18000\ \mathrm{kg}$。
3. 列方程求解：设每千克沃柑的实际售价定为$x$元，根据利润为13000元列方程：
$18000x - 20000×2.6 = 13000$
计算得：$18000x - 52000 = 13000$
移项得：$18000x = 65000$
解得：$x = \frac{65000}{18000}\approx3.6$
【答案】
$\boldsymbol{3.6}$
【知识点】
用频率估计概率，一元一次方程应用，利润问题计算
【点评】
本题结合实际销售场景，既考查了频率估计概率的统计思想，又考查了利用方程解决实际利润问题的能力，解题核心是准确估计损坏率，找准利润的等量关系。
【难度系数】
0.7
首先观察表格中损坏频率的变化规律，当取样总质量足够大时，损坏频率会稳定在某个常数附近，这个常数就是我们要估计的损坏率。得到损坏率后，可算出20000kg沃柑中能正常销售的质量，再根据利润的等量关系，设售价为未知数列方程求解即可。
【解析】
1. 估计损坏率：观察表格中沃柑损坏的频率，随着取样总质量增大，频率稳定在0.1附近，因此估计沃柑的损坏率为0.1。
2. 计算可销售沃柑的质量：总质量为20000kg，完好可销售的质量为$20000×(1-0.1)=18000\ \mathrm{kg}$。
3. 列方程求解：设每千克沃柑的实际售价定为$x$元，根据利润为13000元列方程：
$18000x - 20000×2.6 = 13000$
计算得：$18000x - 52000 = 13000$
移项得：$18000x = 65000$
解得：$x = \frac{65000}{18000}\approx3.6$
【答案】
$\boldsymbol{3.6}$
【知识点】
用频率估计概率，一元一次方程应用，利润问题计算
【点评】
本题结合实际销售场景，既考查了频率估计概率的统计思想，又考查了利用方程解决实际利润问题的能力，解题核心是准确估计损坏率，找准利润的等量关系。
【难度系数】
0.7
12. 提升题 如图，在菱形$ABCD$中，$AB=4$，$∠ DAB=120°$。动点$P$从点$A$出发，以每秒2个单位长度的速度沿对角线$AC$向终点$C$运动。设点$P$的运动时间为$t\ \mathrm{s}$。在点$P$出发的同时，有一点$Q$从点$C$出发，以每秒6个单位长度的速度沿折线$C\to D\to A\to B$运动。规定其中一个动点到达终点时，另一个动点也随之停止运动。当$PQ$与菱形$ABCD$的边垂直时，$t$的值是。
答案
解：
在菱形$ABCD$中，$AB=4$，$∠ DAB=120°$，可得：
$AB=BC=CD=DA=4$，$∠ DAC=∠ CAB=∠ DCA=∠ BCA=60°$，$△ ABC$和$△ ADC$均为等边三角形，$AC=4$。
点$P$运动全程时间为$4÷2=2\ \mathrm{s}$，点$Q$运动总路程为$4+4+4=12$，全程时间为$12÷6=2\ \mathrm{s}$，故$0≤ t≤2$，分三段讨论：
1. 当$0≤ t≤\frac{2}{3}$时，$Q$在$CD$边上
若$PQ⊥ CD$，在$\mathrm{Rt}△ PQC$中，$∠ PQC=90°$，$∠ PCQ=60°$，$CQ=6t$，$PC=4-2t$：
$6t=(4-2t)·\cos60°$
$6t=2-t$
解得$t=\frac{2}{7}$，符合区间要求。
2. 当$\frac{2}{3}＜ t≤\frac{4}{3}$时，$Q$在$DA$边上
若$PQ⊥ AD$，在$\mathrm{Rt}△ PQA$中，$∠ PQA=90°$，$∠ PAQ=60°$，$AP=2t$，$AQ=8-6t$：
$8-6t=2t·\cos60°$
$8-6t=t$
解得$t=\frac{8}{7}$，符合区间要求。
3. 当$\frac{4}{3}＜ t≤2$时，$Q$在$AB$边上
若$PQ⊥ AB$，在$\mathrm{Rt}△ PQA$中，$∠ PQA=90°$，$∠ PAQ=60°$，$AP=2t$，$AQ=6t-8$：
$6t-8=2t·\cos60°$
$6t-8=t$
解得$t=\frac{8}{5}$，符合区间要求。
综上，$t$的值为$\boldsymbol{\frac{2}{7},\frac{8}{7},\frac{8}{5}}$。
在菱形$ABCD$中，$AB=4$，$∠ DAB=120°$，可得：
$AB=BC=CD=DA=4$，$∠ DAC=∠ CAB=∠ DCA=∠ BCA=60°$，$△ ABC$和$△ ADC$均为等边三角形，$AC=4$。
点$P$运动全程时间为$4÷2=2\ \mathrm{s}$，点$Q$运动总路程为$4+4+4=12$，全程时间为$12÷6=2\ \mathrm{s}$，故$0≤ t≤2$，分三段讨论：
1. 当$0≤ t≤\frac{2}{3}$时，$Q$在$CD$边上
若$PQ⊥ CD$，在$\mathrm{Rt}△ PQC$中，$∠ PQC=90°$，$∠ PCQ=60°$，$CQ=6t$，$PC=4-2t$：
$6t=(4-2t)·\cos60°$
$6t=2-t$
解得$t=\frac{2}{7}$，符合区间要求。
2. 当$\frac{2}{3}＜ t≤\frac{4}{3}$时，$Q$在$DA$边上
若$PQ⊥ AD$，在$\mathrm{Rt}△ PQA$中，$∠ PQA=90°$，$∠ PAQ=60°$，$AP=2t$，$AQ=8-6t$：
$8-6t=2t·\cos60°$
$8-6t=t$
解得$t=\frac{8}{7}$，符合区间要求。
3. 当$\frac{4}{3}＜ t≤2$时，$Q$在$AB$边上
若$PQ⊥ AB$，在$\mathrm{Rt}△ PQA$中，$∠ PQA=90°$，$∠ PAQ=60°$，$AP=2t$，$AQ=6t-8$：
$6t-8=2t·\cos60°$
$6t-8=t$
解得$t=\frac{8}{5}$，符合区间要求。
综上，$t$的值为$\boldsymbol{\frac{2}{7},\frac{8}{7},\frac{8}{5}}$。
解析
【分析】
解决本题首先利用菱形的性质求出边长、内角及对角线AC的长度，先确定两个动点的总运动时间，得到t的取值范围；再根据点Q的运动路径（CD、DA、AB三段）分情况讨论：在每一段中，找到PQ垂直对应边时的直角三角形，利用60°角的余弦关系列出关于t的方程，求解后验证解是否在对应时间段内，符合要求的即为所求的t值。
【解析】
∵四边形ABCD是菱形，AB=4，∠DAB=120°，
∴AB=BC=CD=DA=4，∠DAC=∠CAB=∠DCA=∠BCA=60°，△ABC和△ADC均为等边三角形，因此AC=4。
动点P走完全程的时间为$4÷2=2\ \mathrm{s}$，动点Q走完全程（C→D→A→B总路程为12）的时间为$12÷6=2\ \mathrm{s}$，故t的取值范围是$0≤ t≤2$，分三段讨论：
1. 当$0≤ t≤\frac{2}{3}$时，Q在CD边上：
若PQ⊥CD，在$\mathrm{Rt}△PQC$中，∠PQC=90°，∠PCQ=60°，$CQ=6t$，$PC=4-2t$，
由$\cos60°=\frac{CQ}{PC}$得$CQ=PC·\cos60°$，
即$6t=(4-2t)×\frac{1}{2}$，解得$t=\frac{2}{7}$，符合该区间要求。
2. 当$\frac{2}{3}＜ t≤\frac{4}{3}$时，Q在DA边上：
若PQ⊥AD，在$\mathrm{Rt}△PQA$中，∠PQA=90°，∠PAQ=60°，$AP=2t$，$AQ=8-6t$，
由$\cos60°=\frac{AQ}{AP}$得$AQ=AP·\cos60°$，
即$8-6t=2t×\frac{1}{2}$，解得$t=\frac{8}{7}$，符合该区间要求。
3. 当$\frac{4}{3}＜ t≤2$时，Q在AB边上：
若PQ⊥AB，在$\mathrm{Rt}△PQA$中，∠PQA=90°，∠PAQ=60°，$AP=2t$，$AQ=6t-8$，
由$\cos60°=\frac{AQ}{AP}$得$AQ=AP·\cos60°$，
即$6t-8=2t×\frac{1}{2}$，解得$t=\frac{8}{5}$，符合该区间要求。
【答案】
$\boldsymbol{\frac{2}{7},\frac{8}{7},\frac{8}{5}}$
【知识点】
菱形的性质、动点分类讨论、解直角三角形
【点评】
本题是菱形与动点结合的综合题，核心考查分类讨论思想，解题时需先明确动点的运动阶段，再结合直角三角形的边角关系列方程求解，注意要验证所得解是否符合对应阶段的时间范围，避免出现增解或漏解。
【难度系数】
0.3
解决本题首先利用菱形的性质求出边长、内角及对角线AC的长度，先确定两个动点的总运动时间，得到t的取值范围；再根据点Q的运动路径（CD、DA、AB三段）分情况讨论：在每一段中，找到PQ垂直对应边时的直角三角形，利用60°角的余弦关系列出关于t的方程，求解后验证解是否在对应时间段内，符合要求的即为所求的t值。
【解析】
∵四边形ABCD是菱形，AB=4，∠DAB=120°，
∴AB=BC=CD=DA=4，∠DAC=∠CAB=∠DCA=∠BCA=60°，△ABC和△ADC均为等边三角形，因此AC=4。
动点P走完全程的时间为$4÷2=2\ \mathrm{s}$，动点Q走完全程（C→D→A→B总路程为12）的时间为$12÷6=2\ \mathrm{s}$，故t的取值范围是$0≤ t≤2$，分三段讨论：
1. 当$0≤ t≤\frac{2}{3}$时，Q在CD边上：
若PQ⊥CD，在$\mathrm{Rt}△PQC$中，∠PQC=90°，∠PCQ=60°，$CQ=6t$，$PC=4-2t$，
由$\cos60°=\frac{CQ}{PC}$得$CQ=PC·\cos60°$，
即$6t=(4-2t)×\frac{1}{2}$，解得$t=\frac{2}{7}$，符合该区间要求。
2. 当$\frac{2}{3}＜ t≤\frac{4}{3}$时，Q在DA边上：
若PQ⊥AD，在$\mathrm{Rt}△PQA$中，∠PQA=90°，∠PAQ=60°，$AP=2t$，$AQ=8-6t$，
由$\cos60°=\frac{AQ}{AP}$得$AQ=AP·\cos60°$，
即$8-6t=2t×\frac{1}{2}$，解得$t=\frac{8}{7}$，符合该区间要求。
3. 当$\frac{4}{3}＜ t≤2$时，Q在AB边上：
若PQ⊥AB，在$\mathrm{Rt}△PQA$中，∠PQA=90°，∠PAQ=60°，$AP=2t$，$AQ=6t-8$，
由$\cos60°=\frac{AQ}{AP}$得$AQ=AP·\cos60°$，
即$6t-8=2t×\frac{1}{2}$，解得$t=\frac{8}{5}$，符合该区间要求。
【答案】
$\boldsymbol{\frac{2}{7},\frac{8}{7},\frac{8}{5}}$
【知识点】
菱形的性质、动点分类讨论、解直角三角形
【点评】
本题是菱形与动点结合的综合题，核心考查分类讨论思想，解题时需先明确动点的运动阶段，再结合直角三角形的边角关系列方程求解，注意要验证所得解是否符合对应阶段的时间范围，避免出现增解或漏解。
【难度系数】
0.3
三、解答题
13. 解下列方程：
(1)$(x+1)^2 -4=0$；
(2)$x(x-2)=x-2$。
13. 解下列方程：
(1)$(x+1)^2 -4=0$；
(2)$x(x-2)=x-2$。
答案
解：
(1) 移项，得$(x+1)^2 = 4$，
直接开平方，得$x+1 = \pm 2$，
当$x+1=2$时，解得$x_1=1$，
当$x+1=-2$时，解得$x_2=-3$。
(2) 移项，得$x(x-2)-(x-2)=0$，
因式分解，得$(x-2)(x-1)=0$，
则$x-2=0$或$x-1=0$，
解得$x_1=2$，$x_2=1$。
(1) 移项，得$(x+1)^2 = 4$，
直接开平方，得$x+1 = \pm 2$，
当$x+1=2$时，解得$x_1=1$，
当$x+1=-2$时，解得$x_2=-3$。
(2) 移项，得$x(x-2)-(x-2)=0$，
因式分解，得$(x-2)(x-1)=0$，
则$x-2=0$或$x-1=0$，
解得$x_1=2$，$x_2=1$。
解析
【分析】
本题考查一元二次方程的求解，两个小题对应不同的常用解法：
(1) 方程左侧是完全平方形式，右侧为常数，适合用直接开平方法求解，先移项将常数项移到等号右侧，再对两边同时开平方，注意开平方后有正负两个结果，分别求解即可得到方程的两个根；
(2) 方程两侧都有公因式$(x-2)$，若直接两边除以$(x-2)$会漏掉$x=2$的根，因此选用因式分解法，先移项将右侧项移到左侧，再提取公因式$(x-2)$，将方程转化为两个一次因式乘积为0的形式，令每个因式分别为0，求解得到两个根。
【解析】
(1) 移项，得$(x+1)^2 = 4$，
直接开平方，得$x+1 = \pm 2$，
当$x+1=2$时，解得$x_1=1$，
当$x+1=-2$时，解得$x_2=-3$。
(2) 移项，得$x(x-2)-(x-2)=0$，
因式分解，得$(x-2)(x-1)=0$，
则$x-2=0$或$x-1=0$，
解得$x_1=2$，$x_2=1$。
【答案】
(1)$x_1=1$，$x_2=-3$；(2)$x_1=2$，$x_2=1$
【知识点】
直接开平方法解一元二次方程、因式分解法解一元二次方程
【点评】
本题是一元二次方程求解的基础题型，考查两种常见的一元二次方程解法，解题时注意不要随意除以含有未知数的整式，避免出现漏根的情况，熟练掌握对应解法即可快速准确作答。
【难度系数】
0.85
本题考查一元二次方程的求解，两个小题对应不同的常用解法：
(1) 方程左侧是完全平方形式，右侧为常数，适合用直接开平方法求解，先移项将常数项移到等号右侧，再对两边同时开平方，注意开平方后有正负两个结果，分别求解即可得到方程的两个根；
(2) 方程两侧都有公因式$(x-2)$，若直接两边除以$(x-2)$会漏掉$x=2$的根，因此选用因式分解法，先移项将右侧项移到左侧，再提取公因式$(x-2)$，将方程转化为两个一次因式乘积为0的形式，令每个因式分别为0，求解得到两个根。
【解析】
(1) 移项，得$(x+1)^2 = 4$，
直接开平方，得$x+1 = \pm 2$，
当$x+1=2$时，解得$x_1=1$，
当$x+1=-2$时，解得$x_2=-3$。
(2) 移项，得$x(x-2)-(x-2)=0$，
因式分解，得$(x-2)(x-1)=0$，
则$x-2=0$或$x-1=0$，
解得$x_1=2$，$x_2=1$。
【答案】
(1)$x_1=1$，$x_2=-3$；(2)$x_1=2$，$x_2=1$
【知识点】
直接开平方法解一元二次方程、因式分解法解一元二次方程
【点评】
本题是一元二次方程求解的基础题型，考查两种常见的一元二次方程解法，解题时注意不要随意除以含有未知数的整式，避免出现漏根的情况，熟练掌握对应解法即可快速准确作答。
【难度系数】
0.85
14.如图，E是矩形ABCD的边BC上的一点，且AE=AD。
(1)尺规作图:作∠DAE的平分线AF，交BC的延长线于点F，连接DF。
(不写作法，保留作图痕迹)
(2)试判断四边形AEFD的形状，并说明理由。
(1)尺规作图:作∠DAE的平分线AF，交BC的延长线于点F，连接DF。
(不写作法，保留作图痕迹)
(2)试判断四边形AEFD的形状，并说明理由。
答案
(1) 按要求完成尺规作图，保留对应作图痕迹即可。
(2) 四边形AEFD是菱形，理由如下：
解：∵ 四边形ABCD是矩形，
∴ AD//BC，即AD//EF，
∴ ∠DAF = ∠AFE。
∵ AF平分∠DAE，
∴ ∠DAF = ∠EAF，
∴ ∠EAF = ∠AFE，
∴ AE = EF。
又∵ AE = AD，
∴ AD = EF，
又∵ AD//EF，
∴ 四边形AEFD是平行四边形。
又∵ AD = AE，
∴ 平行四边形AEFD是菱形。
(2) 四边形AEFD是菱形，理由如下：
解：∵ 四边形ABCD是矩形，
∴ AD//BC，即AD//EF，
∴ ∠DAF = ∠AFE。
∵ AF平分∠DAE，
∴ ∠DAF = ∠EAF，
∴ ∠EAF = ∠AFE，
∴ AE = EF。
又∵ AE = AD，
∴ AD = EF，
又∵ AD//EF，
∴ 四边形AEFD是平行四边形。
又∵ AD = AE，
∴ 平行四边形AEFD是菱形。
解析
【分析】
(1) 第一问为角平分线的尺规作图，按照角平分线的标准作图步骤操作即可：以点A为圆心、适当长度为半径画弧，分别交AD、AE于两个点，再分别以这两个交点为圆心、大于两点间距离一半的长度为半径画弧，两弧在∠DAE内部交于一点，过点A和该交点作射线，交BC的延长线于F，最后连接DF即完成作图。
(2) 第二问判断四边形形状可按以下思路推导：首先利用矩形的对边平行的性质，得到AD与EF平行，推出内错角∠DAF=∠AFE；再结合AF是角平分线的条件，得到∠DAF=∠EAF，等量代换后可推出AE=EF；结合已知AE=AD，可得AD与EF平行且相等，即可判定四边形AEFD是平行四边形；最后利用邻边相等的平行四边形是菱形的判定定理，即可得出最终结论。
【解析】
(1) 按角平分线尺规作图要求完成作图，保留对应作图痕迹即可。
(2) 四边形AEFD是菱形，理由如下：
∵ 四边形ABCD是矩形，
∴ AD//BC，即AD//EF，
∴ ∠DAF = ∠AFE。
∵ AF平分∠DAE，
∴ ∠DAF = ∠EAF，
∴ ∠EAF = ∠AFE，
∴ AE = EF。
又
∵ AE = AD，
∴ AD = EF，
又
∵ AD//EF，
∴ 四边形AEFD是平行四边形。
又
∵ AD = AE，
∴ 平行四边形AEFD是菱形。
【答案】
(1) 按要求完成尺规作图，保留对应作图痕迹即可；
(2) 四边形AEFD是菱形，理由见解析。
【知识点】
角平分线尺规作图、矩形的性质、菱形的判定
【点评】
本题综合考查了基础尺规作图能力与特殊四边形的相关知识，侧重对基础知识的运用和逻辑推理能力的考察，解题的关键是熟练掌握角平分线的作图方法，以及矩形、菱形的性质与判定定理。
【难度系数】
0.7
(1) 第一问为角平分线的尺规作图，按照角平分线的标准作图步骤操作即可：以点A为圆心、适当长度为半径画弧，分别交AD、AE于两个点，再分别以这两个交点为圆心、大于两点间距离一半的长度为半径画弧，两弧在∠DAE内部交于一点，过点A和该交点作射线，交BC的延长线于F，最后连接DF即完成作图。
(2) 第二问判断四边形形状可按以下思路推导：首先利用矩形的对边平行的性质，得到AD与EF平行，推出内错角∠DAF=∠AFE；再结合AF是角平分线的条件，得到∠DAF=∠EAF，等量代换后可推出AE=EF；结合已知AE=AD，可得AD与EF平行且相等，即可判定四边形AEFD是平行四边形；最后利用邻边相等的平行四边形是菱形的判定定理，即可得出最终结论。
【解析】
(1) 按角平分线尺规作图要求完成作图，保留对应作图痕迹即可。
(2) 四边形AEFD是菱形，理由如下：
∵ 四边形ABCD是矩形，
∴ AD//BC，即AD//EF，
∴ ∠DAF = ∠AFE。
∵ AF平分∠DAE，
∴ ∠DAF = ∠EAF，
∴ ∠EAF = ∠AFE，
∴ AE = EF。
又
∵ AE = AD，
∴ AD = EF，
又
∵ AD//EF，
∴ 四边形AEFD是平行四边形。
又
∵ AD = AE，
∴ 平行四边形AEFD是菱形。
【答案】
(1) 按要求完成尺规作图，保留对应作图痕迹即可；
(2) 四边形AEFD是菱形，理由见解析。
【知识点】
角平分线尺规作图、矩形的性质、菱形的判定
【点评】
本题综合考查了基础尺规作图能力与特殊四边形的相关知识，侧重对基础知识的运用和逻辑推理能力的考察，解题的关键是熟练掌握角平分线的作图方法，以及矩形、菱形的性质与判定定理。
【难度系数】
0.7
