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7.一个袋子中装有5个白球和若干个红球,每个球除颜色外都相同。某活动小组想估计袋子中红球的个数,分20组进行摸球试验,每组做400次试验,汇总后,摸到红球的次数为6000次。估计从袋中任意摸出一个球,恰好是红球的概率是。
答案
解：总摸球试验次数为 $20 × 400 = 8000$ 次，
由频率估计概率，摸到红球的频率为 $\frac{6000}{8000} = \frac{3}{4}$，
因此估计从袋中任意摸出一个球，恰好是红球的概率是 $\frac{3}{4}$（或0.75）。
由频率估计概率，摸到红球的频率为 $\frac{6000}{8000} = \frac{3}{4}$，
因此估计从袋中任意摸出一个球，恰好是红球的概率是 $\frac{3}{4}$（或0.75）。
解析
【分析】
解题时首先要明确：当试验次数足够多时，事件发生的频率会稳定在对应概率的附近，因此可以用摸到红球的频率来估计摸出红球的概率。第一步先计算所有小组的总摸球试验次数，第二步用摸到红球的总次数除以总试验次数得到摸到红球的频率，该频率就是所求的概率估计值。
【解析】
首先计算总摸球试验次数：
共有20组试验，每组做400次，总试验次数为 $20×400=8000$ 次。
根据频率估计概率的原理，大量重复试验中事件的频率近似等于其概率，因此摸到红球的频率为：
$\frac{\mathrm{摸到红球的次数}}{\mathrm{总试验次数}}=\frac{6000}{8000}=\frac{3}{4}=0.75$
即估计从袋中任意摸出一个球是红球的概率为$\frac{3}{4}$（或0.75）。
【答案】
$\frac{3}{4}$（或0.75）
【知识点】
1. 用频率估计概率
2. 频率的计算
【点评】
本题是频率与概率关系的基础应用题，核心考查对“大量重复试验下频率可估计概率”的理解，只要准确计算总试验次数和对应频率即可得分，难度较低。
【难度系数】
0.85
解题时首先要明确：当试验次数足够多时，事件发生的频率会稳定在对应概率的附近，因此可以用摸到红球的频率来估计摸出红球的概率。第一步先计算所有小组的总摸球试验次数，第二步用摸到红球的总次数除以总试验次数得到摸到红球的频率，该频率就是所求的概率估计值。
【解析】
首先计算总摸球试验次数：
共有20组试验，每组做400次，总试验次数为 $20×400=8000$ 次。
根据频率估计概率的原理，大量重复试验中事件的频率近似等于其概率，因此摸到红球的频率为：
$\frac{\mathrm{摸到红球的次数}}{\mathrm{总试验次数}}=\frac{6000}{8000}=\frac{3}{4}=0.75$
即估计从袋中任意摸出一个球是红球的概率为$\frac{3}{4}$（或0.75）。
【答案】
$\frac{3}{4}$（或0.75）
【知识点】
1. 用频率估计概率
2. 频率的计算
【点评】
本题是频率与概率关系的基础应用题，核心考查对“大量重复试验下频率可估计概率”的理解，只要准确计算总试验次数和对应频率即可得分，难度较低。
【难度系数】
0.85
8.在一个不透明的布袋里装有4个标号分别为1,2,3,4的小球,它们的材质、形状、大小完全相同。小慧从布袋里随机取出一个小球,记下数字为m;小莹从剩下的3个小球中随机取出一个小球,记下数字为n,由此确定点A的坐标(m,n)。点A(m,n)在函数$y=-2x+7$的图象上的概率为。
答案
$\boldsymbol{\frac{1}{6}}$
解析
【分析】
要计算点A在函数图象上的概率，需分三步思考：第一步先确定所有等可能的点A的坐标总数，本题是不放回取球，先取m再取n，可用分步计数原理算出总结果数；第二步根据一次函数图象上点的坐标满足函数解析式，代入不同的m值求出对应的n，判断n是否符合取球的可能，统计符合条件的结果数；第三步用符合条件的结果数除以总结果数，即可得到所求概率。
【解析】
解：1. 计算总等可能结果数：
小慧从4个球中随机取1个记为m，有4种等可能的结果；小莹从剩下的3个球中取1个记为n，有3种等可能的结果，因此点A(m,n)的所有等可能结果共有 $4 × 3 = 12$ 种。
2. 找出在函数$y=-2x+7$图象上的点：
一次函数图象上的点的坐标满足解析式，即$n = -2m + 7$，分别代入m的可能值验证：
当$m=1$时，$n=-2×1 +7=5$，小球没有标号5，不符合；
当$m=2$时，$n=-2×2 +7=3$，存在标号3的小球，符合，即点$(2,3)$；
当$m=3$时，$n=-2×3 +7=1$，存在标号1的小球，符合，即点$(3,1)$；
当$m=4$时，$n=-2×4 +7=-1$，无对应标号小球，不符合。
因此符合条件的结果共有2种。
3. 计算概率：
根据概率公式$P=\frac{符合条件的结果数}{总等可能结果数}$，可得所求概率为$\frac{2}{12}=\frac{1}{6}$。
【答案】
$\boldsymbol{\frac{1}{6}}$
【知识点】
1. 一次函数图象上点的坐标特征
2. 不放回试验概率计算
3. 概率公式
【点评】
本题是一次函数与概率的综合基础题，解题核心是准确统计总结果数和符合函数条件的结果数，需注意取球为不放回试验，避免算错总结果数，掌握两个知识点的基础应用即可顺利解答。
【难度系数】
0.7
要计算点A在函数图象上的概率，需分三步思考：第一步先确定所有等可能的点A的坐标总数，本题是不放回取球，先取m再取n，可用分步计数原理算出总结果数；第二步根据一次函数图象上点的坐标满足函数解析式，代入不同的m值求出对应的n，判断n是否符合取球的可能，统计符合条件的结果数；第三步用符合条件的结果数除以总结果数，即可得到所求概率。
【解析】
解：1. 计算总等可能结果数：
小慧从4个球中随机取1个记为m，有4种等可能的结果；小莹从剩下的3个球中取1个记为n，有3种等可能的结果，因此点A(m,n)的所有等可能结果共有 $4 × 3 = 12$ 种。
2. 找出在函数$y=-2x+7$图象上的点：
一次函数图象上的点的坐标满足解析式，即$n = -2m + 7$，分别代入m的可能值验证：
当$m=1$时，$n=-2×1 +7=5$，小球没有标号5，不符合；
当$m=2$时，$n=-2×2 +7=3$，存在标号3的小球，符合，即点$(2,3)$；
当$m=3$时，$n=-2×3 +7=1$，存在标号1的小球，符合，即点$(3,1)$；
当$m=4$时，$n=-2×4 +7=-1$，无对应标号小球，不符合。
因此符合条件的结果共有2种。
3. 计算概率：
根据概率公式$P=\frac{符合条件的结果数}{总等可能结果数}$，可得所求概率为$\frac{2}{12}=\frac{1}{6}$。
【答案】
$\boldsymbol{\frac{1}{6}}$
【知识点】
1. 一次函数图象上点的坐标特征
2. 不放回试验概率计算
3. 概率公式
【点评】
本题是一次函数与概率的综合基础题，解题核心是准确统计总结果数和符合函数条件的结果数，需注意取球为不放回试验，避免算错总结果数，掌握两个知识点的基础应用即可顺利解答。
【难度系数】
0.7
三、解答题
9. 如图，甲、乙两个完全相同的转盘均被分成A,B两个区域。甲转盘中A区域的圆心角为$120°$，乙转盘中A区域的圆心角为$90°$。自由转动转盘（若指针落在区域分界线上，则重新转动转盘）。
（1）转动甲转盘一次，求指针落在A区域的概率。
（2）自由转动两个转盘各一次，利用画树状图或列表的方法，求两个转盘指针同时落在B区域的概率。
9. 如图，甲、乙两个完全相同的转盘均被分成A,B两个区域。甲转盘中A区域的圆心角为$120°$，乙转盘中A区域的圆心角为$90°$。自由转动转盘（若指针落在区域分界线上，则重新转动转盘）。
（1）转动甲转盘一次，求指针落在A区域的概率。
（2）自由转动两个转盘各一次，利用画树状图或列表的方法，求两个转盘指针同时落在B区域的概率。
答案
解：
(1) 甲转盘的总圆心角为$360°$，A区域圆心角为$120°$，
因此转动甲转盘一次，指针落在A区域的概率为：
$P=\frac{120°}{360°}=\frac{1}{3}$
(2) 甲转盘中B区域的圆心角为$360°-120°=240°$，将甲转盘三等分，三个等概率区域分别记为$A$、$B_1$、$B_2$；
乙转盘中A区域圆心角为$90°$，B区域的圆心角为$360°-90°=270°$，将乙转盘四等分，四个等概率区域分别记为$A$、$B_3$、$B_4$、$B_5$。
列表如下：
| 甲\乙 | $A$ | $B_3$ | $B_4$ | $B_5$ |
| ---- | ---- | ---- | ---- | ---- |
| $A$ | $(A,A)$ | $(A,B_3)$ | $(A,B_4)$ | $(A,B_5)$ |
| $B_1$ | $(B_1,A)$ | $(B_1,B_3)$ | $(B_1,B_4)$ | $(B_1,B_5)$ |
| $B_2$ | $(B_2,A)$ | $(B_2,B_3)$ | $(B_2,B_4)$ | $(B_2,B_5)$ |
由表可知，共有12种等可能的结果，其中两个转盘指针同时落在B区域的结果有6种，
因此两个转盘指针同时落在B区域的概率为：
$P=\frac{6}{12}=\frac{1}{2}$
答：(1) 转动甲转盘一次指针落在A区域的概率为$\frac{1}{3}$；(2) 两个转盘指针同时落在B区域的概率为$\frac{1}{2}$。
(1) 甲转盘的总圆心角为$360°$，A区域圆心角为$120°$，
因此转动甲转盘一次，指针落在A区域的概率为：
$P=\frac{120°}{360°}=\frac{1}{3}$
(2) 甲转盘中B区域的圆心角为$360°-120°=240°$，将甲转盘三等分，三个等概率区域分别记为$A$、$B_1$、$B_2$；
乙转盘中A区域圆心角为$90°$，B区域的圆心角为$360°-90°=270°$，将乙转盘四等分，四个等概率区域分别记为$A$、$B_3$、$B_4$、$B_5$。
列表如下：
| 甲\乙 | $A$ | $B_3$ | $B_4$ | $B_5$ |
| ---- | ---- | ---- | ---- | ---- |
| $A$ | $(A,A)$ | $(A,B_3)$ | $(A,B_4)$ | $(A,B_5)$ |
| $B_1$ | $(B_1,A)$ | $(B_1,B_3)$ | $(B_1,B_4)$ | $(B_1,B_5)$ |
| $B_2$ | $(B_2,A)$ | $(B_2,B_3)$ | $(B_2,B_4)$ | $(B_2,B_5)$ |
由表可知，共有12种等可能的结果，其中两个转盘指针同时落在B区域的结果有6种，
因此两个转盘指针同时落在B区域的概率为：
$P=\frac{6}{12}=\frac{1}{2}$
答：(1) 转动甲转盘一次指针落在A区域的概率为$\frac{1}{3}$；(2) 两个转盘指针同时落在B区域的概率为$\frac{1}{2}$。
解析
【分析】
（1）转动单个转盘的概率属于几何概率问题，指针落在某区域的概率等于该区域圆心角与整圆圆心角360°的比值，直接代入甲转盘A区域的圆心角度数计算即可。
（2）转动两个转盘属于两步概率问题，由于两个转盘的A、B区域占比不同，直接列举的结果不是等可能的，因此需要先将两个转盘划分为若干个面积相等的小区域，保证每个小区域被指针落到的概率相等，再通过列表法列举所有等可能的结果，找出两个指针都落在B区域的结果数，最后用符合条件的结果数除以总结果数得到所求概率。
【解析】
(1) 整圆的圆心角为$360°$，甲转盘A区域的圆心角为$120°$，因此：
$P(\mathrm{指针落在A区域})=\frac{\mathrm{A区域圆心角}}{\mathrm{总圆心角}}=\frac{120°}{360°}=\frac{1}{3}$。
(2) 先计算两个转盘B区域的圆心角：
甲转盘B区域圆心角：$360°-120°=240°$，将甲转盘平均分为3个等概率区域，分别记为$A$、$B_1$、$B_2$（$B_1$、$B_2$均属于B区域）；
乙转盘B区域圆心角：$360°-90°=270°$，将乙转盘平均分为4个等概率区域，分别记为$A$、$B_3$、$B_4$、$B_5$（$B_3$、$B_4$、$B_5$均属于B区域）。
列表统计所有等可能结果：
| 甲\乙 | $A$ | $B_3$ | $B_4$ | $B_5$ |
| ---- | ---- | ---- | ---- | ---- |
| $A$ | $(A,A)$ | $(A,B_3)$ | $(A,B_4)$ | $(A,B_5)$ |
| $B_1$ | $(B_1,A)$ | $(B_1,B_3)$ | $(B_1,B_4)$ | $(B_1,B_5)$ |
| $B_2$ | $(B_2,A)$ | $(B_2,B_3)$ | $(B_2,B_4)$ | $(B_2,B_5)$ |
由表可知，共有12种等可能的结果，其中两个转盘指针同时落在B区域的结果有6种，因此：
$P(\mathrm{两个指针同时落在B区域})=\frac{6}{12}=\frac{1}{2}$。
【答案】
(1) $\frac{1}{3}$；(2) $\frac{1}{2}$
【知识点】
几何概率计算，列表法求概率
【点评】
本题核心考查概率的计算方法，解题时要注意几何概率和等可能事件概率的区别，处理多步概率问题时，首先要保证列举的所有结果是等可能的，再进行计数计算，避免因不等概率列举出现错误。
【难度系数】
0.7
（1）转动单个转盘的概率属于几何概率问题，指针落在某区域的概率等于该区域圆心角与整圆圆心角360°的比值，直接代入甲转盘A区域的圆心角度数计算即可。
（2）转动两个转盘属于两步概率问题，由于两个转盘的A、B区域占比不同，直接列举的结果不是等可能的，因此需要先将两个转盘划分为若干个面积相等的小区域，保证每个小区域被指针落到的概率相等，再通过列表法列举所有等可能的结果，找出两个指针都落在B区域的结果数，最后用符合条件的结果数除以总结果数得到所求概率。
【解析】
(1) 整圆的圆心角为$360°$，甲转盘A区域的圆心角为$120°$，因此：
$P(\mathrm{指针落在A区域})=\frac{\mathrm{A区域圆心角}}{\mathrm{总圆心角}}=\frac{120°}{360°}=\frac{1}{3}$。
(2) 先计算两个转盘B区域的圆心角：
甲转盘B区域圆心角：$360°-120°=240°$，将甲转盘平均分为3个等概率区域，分别记为$A$、$B_1$、$B_2$（$B_1$、$B_2$均属于B区域）；
乙转盘B区域圆心角：$360°-90°=270°$，将乙转盘平均分为4个等概率区域，分别记为$A$、$B_3$、$B_4$、$B_5$（$B_3$、$B_4$、$B_5$均属于B区域）。
列表统计所有等可能结果：
| 甲\乙 | $A$ | $B_3$ | $B_4$ | $B_5$ |
| ---- | ---- | ---- | ---- | ---- |
| $A$ | $(A,A)$ | $(A,B_3)$ | $(A,B_4)$ | $(A,B_5)$ |
| $B_1$ | $(B_1,A)$ | $(B_1,B_3)$ | $(B_1,B_4)$ | $(B_1,B_5)$ |
| $B_2$ | $(B_2,A)$ | $(B_2,B_3)$ | $(B_2,B_4)$ | $(B_2,B_5)$ |
由表可知，共有12种等可能的结果，其中两个转盘指针同时落在B区域的结果有6种，因此：
$P(\mathrm{两个指针同时落在B区域})=\frac{6}{12}=\frac{1}{2}$。
【答案】
(1) $\frac{1}{3}$；(2) $\frac{1}{2}$
【知识点】
几何概率计算，列表法求概率
【点评】
本题核心考查概率的计算方法，解题时要注意几何概率和等可能事件概率的区别，处理多步概率问题时，首先要保证列举的所有结果是等可能的，再进行计数计算，避免因不等概率列举出现错误。
【难度系数】
0.7
10. 提升题▶小昆和小明玩游戏赢电影票，游戏规则：在一个不透明的口袋中装有分别标有数字1,2,3的3个小球，这些小球除数字外都相同。从口袋中随机摸出一个小球，记下数字后再放回；再从口袋中随机摸出一个小球，记下数字，两次记下的数字分别记为x,y。若$x+y$能被3整除，则小昆赢；若$x+y$能被4整除，则小明赢。
(1)用画树状图或列表的方法求$(x,y)$所有可能出现的结果总数。
(2)你认为这个游戏公平吗？请说明理由。
(1)用画树状图或列表的方法求$(x,y)$所有可能出现的结果总数。
(2)你认为这个游戏公平吗？请说明理由。
答案
解：
(1) 列表如下：
| x \ y | 1 | 2 | 3 |
|---------|---|---|---|
| 1 | (1,1) | (1,2) | (1,3) |
| 2 | (2,1) | (2,2) | (2,3) |
| 3 | (3,1) | (3,2) | (3,3) |
由表可知，$(x,y)$所有可能出现的结果共有9种，且每种结果出现的可能性相等。
(2) 这个游戏公平，理由如下：
从所有9种等可能结果中，统计可得：
$x+y$能被3整除的结果共3种，分别为$(1,2),(2,1),(3,3)$，
因此$P(\mathrm{小昆赢})=\frac{3}{9}=\frac{1}{3}$。
$x+y$能被4整除的结果共3种，分别为$(1,3),(2,2),(3,1)$，
因此$P(\mathrm{小明赢})=\frac{3}{9}=\frac{1}{3}$。
因为$P(\mathrm{小昆赢})=P(\mathrm{小明赢})$，所以这个游戏公平。
(1) 列表如下：
| x \ y | 1 | 2 | 3 |
|---------|---|---|---|
| 1 | (1,1) | (1,2) | (1,3) |
| 2 | (2,1) | (2,2) | (2,3) |
| 3 | (3,1) | (3,2) | (3,3) |
由表可知，$(x,y)$所有可能出现的结果共有9种，且每种结果出现的可能性相等。
(2) 这个游戏公平，理由如下：
从所有9种等可能结果中，统计可得：
$x+y$能被3整除的结果共3种，分别为$(1,2),(2,1),(3,3)$，
因此$P(\mathrm{小昆赢})=\frac{3}{9}=\frac{1}{3}$。
$x+y$能被4整除的结果共3种，分别为$(1,3),(2,2),(3,1)$，
因此$P(\mathrm{小明赢})=\frac{3}{9}=\frac{1}{3}$。
因为$P(\mathrm{小昆赢})=P(\mathrm{小明赢})$，所以这个游戏公平。
解析
【分析】
第(1)问：由于是有放回的两次摸球试验，两次摸球的结果相互独立，每次摸球都有3种等可能的结果，可通过列表法逐一列举出两次摸球数字的所有组合，做到不重不漏，即可得到所有可能的结果总数。
第(2)问：判断游戏是否公平的核心是比较小昆和小明获胜的概率是否相等，因此只需分别统计“x+y能被3整除”“x+y能被4整除”的结果数量，再分别除以总结果数得到两人的获胜概率，比较二者大小即可得出结论。
【解析】
(1) 列表如下：
| x \ y | 1 | 2 | 3 |
|---------|---|---|---|
| 1 | (1,1) | (1,2) | (1,3) |
| 2 | (2,1) | (2,2) | (2,3) |
| 3 | (3,1) | (3,2) | (3,3) |
由表可知，$(x,y)$所有可能出现的结果共有9种，且每种结果出现的可能性相等。
(2) 游戏公平，理由如下：
从上述9种等可能结果中统计可得：
$x+y$能被3整除的结果共3种，分别为$(1,2),(2,1),(3,3)$，因此$P(\mathrm{小昆赢})=\frac{3}{9}=\frac{1}{3}$。
$x+y$能被4整除的结果共3种，分别为$(1,3),(2,2),(3,1)$，因此$P(\mathrm{小明赢})=\frac{3}{9}=\frac{1}{3}$。
因为$P(\mathrm{小昆赢})=P(\mathrm{小明赢})$，所以这个游戏公平。
【答案】
(1) 9种；
(2) 这个游戏公平。
【知识点】
列表法求等可能结果，概率计算，游戏公平性判断
【点评】
本题是概率的基础应用类题目，结合游戏场景考察学生对放回试验结果的列举能力和概率计算能力，解题时需要细心计算两次数字的和，准确统计符合条件的结果，避免因漏数、错数导致概率计算错误。
【难度系数】
0.7
第(1)问：由于是有放回的两次摸球试验，两次摸球的结果相互独立，每次摸球都有3种等可能的结果，可通过列表法逐一列举出两次摸球数字的所有组合，做到不重不漏，即可得到所有可能的结果总数。
第(2)问：判断游戏是否公平的核心是比较小昆和小明获胜的概率是否相等，因此只需分别统计“x+y能被3整除”“x+y能被4整除”的结果数量，再分别除以总结果数得到两人的获胜概率，比较二者大小即可得出结论。
【解析】
(1) 列表如下：
| x \ y | 1 | 2 | 3 |
|---------|---|---|---|
| 1 | (1,1) | (1,2) | (1,3) |
| 2 | (2,1) | (2,2) | (2,3) |
| 3 | (3,1) | (3,2) | (3,3) |
由表可知，$(x,y)$所有可能出现的结果共有9种，且每种结果出现的可能性相等。
(2) 游戏公平，理由如下：
从上述9种等可能结果中统计可得：
$x+y$能被3整除的结果共3种，分别为$(1,2),(2,1),(3,3)$，因此$P(\mathrm{小昆赢})=\frac{3}{9}=\frac{1}{3}$。
$x+y$能被4整除的结果共3种，分别为$(1,3),(2,2),(3,1)$，因此$P(\mathrm{小明赢})=\frac{3}{9}=\frac{1}{3}$。
因为$P(\mathrm{小昆赢})=P(\mathrm{小明赢})$，所以这个游戏公平。
【答案】
(1) 9种；
(2) 这个游戏公平。
【知识点】
列表法求等可能结果，概率计算，游戏公平性判断
【点评】
本题是概率的基础应用类题目，结合游戏场景考察学生对放回试验结果的列举能力和概率计算能力，解题时需要细心计算两次数字的和，准确统计符合条件的结果，避免因漏数、错数导致概率计算错误。
【难度系数】
0.7
