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一、选择题
1.有四条线段，长度分别为4,6,8,10，从中任取三条，能构成直角三角形的概率是()
A.$\frac{1}{3}$
B.$\frac{1}{4}$
C.$\frac{1}{2}$
D.$\frac{3}{4}$
1.有四条线段，长度分别为4,6,8,10，从中任取三条，能构成直角三角形的概率是()
A.$\frac{1}{3}$
B.$\frac{1}{4}$
C.$\frac{1}{2}$
D.$\frac{3}{4}$
答案
B
解析
【分析】
本题是概率与直角三角形判定的综合题，解题思路分为三步：第一步，用列举法求出从4条线段中任取3条的所有等可能结果；第二步，先根据三角形三边关系判断能否构成三角形，再结合勾股定理的逆定理筛选出能构成直角三角形的情况；第三步，根据“概率=符合条件的情况数÷总情况数”计算最终概率即可。
【解析】
首先列举从长度为4,6,8,10的线段中任取3条的所有等可能结果，共4种：
①4,6,8；②4,6,10；③4,8,10；④6,8,10
接下来逐一判断：
1. 4,6,8：$4^2+6^2=16+36=52$，$8^2=64$，$52≠64$，不能构成直角三角形；
2. 4,6,10：$4+6=10$，不满足三角形两边之和大于第三边，无法构成三角形，排除；
3. 4,8,10：$4^2+8^2=16+64=80$，$10^2=100$，$80≠100$，不能构成直角三角形；
4. 6,8,10：$6^2+8^2=36+64=100=10^2$，符合勾股定理逆定理，能构成直角三角形。
综上，符合条件的情况共1种，因此能构成直角三角形的概率$P=\frac{1}{4}$。
【答案】
B
【知识点】
勾股定理的逆定理；列举法求概率；三角形三边关系
【点评】
本题属于基础综合题，解题的关键是不重不漏地列举出所有取线段的情况，判断直角三角形前要先验证三条线段能否构成普通三角形，避免因忽略三边关系而出错。
【难度系数】
0.7
本题是概率与直角三角形判定的综合题，解题思路分为三步：第一步，用列举法求出从4条线段中任取3条的所有等可能结果；第二步，先根据三角形三边关系判断能否构成三角形，再结合勾股定理的逆定理筛选出能构成直角三角形的情况；第三步，根据“概率=符合条件的情况数÷总情况数”计算最终概率即可。
【解析】
首先列举从长度为4,6,8,10的线段中任取3条的所有等可能结果，共4种：
①4,6,8；②4,6,10；③4,8,10；④6,8,10
接下来逐一判断：
1. 4,6,8：$4^2+6^2=16+36=52$，$8^2=64$，$52≠64$，不能构成直角三角形；
2. 4,6,10：$4+6=10$，不满足三角形两边之和大于第三边，无法构成三角形，排除；
3. 4,8,10：$4^2+8^2=16+64=80$，$10^2=100$，$80≠100$，不能构成直角三角形；
4. 6,8,10：$6^2+8^2=36+64=100=10^2$，符合勾股定理逆定理，能构成直角三角形。
综上，符合条件的情况共1种，因此能构成直角三角形的概率$P=\frac{1}{4}$。
【答案】
B
【知识点】
勾股定理的逆定理；列举法求概率；三角形三边关系
【点评】
本题属于基础综合题，解题的关键是不重不漏地列举出所有取线段的情况，判断直角三角形前要先验证三条线段能否构成普通三角形，避免因忽略三边关系而出错。
【难度系数】
0.7
2.桌面上有三张背面完全相同的卡片，正面分别写有数字1,2,3。先将卡片背面朝上洗匀，然后从中同时抽取两张，则抽到的两张卡片上的数字之积为奇数的概率是（）
A.$\frac{1}{6}$
B.$\frac{2}{3}$
C.$\frac{1}{3}$
D.$\frac{1}{2}$
A.$\frac{1}{6}$
B.$\frac{2}{3}$
C.$\frac{1}{3}$
D.$\frac{1}{2}$
答案
C
解析
【分析】
本题属于古典概型概率计算问题，解题思路可分为三步：第一步明确抽取规则，同时抽取两张卡片属于无序抽取，先列举出所有等可能的抽取结果；第二步结合奇偶数乘法性质，明确“两数之积为奇数”的充要条件是两个数均为奇数，据此筛选出符合条件的结果；最后代入古典概型概率公式：$P(A)=\frac{事件A包含的等可能结果数}{所有等可能结果总数}$，计算得到概率即可。
【解析】
从分别写有1、2、3的三张卡片中同时抽取两张，所有等可能的结果为：(1,2)、(1,3)、(2,3)，共3种。
根据奇偶数乘法规则：奇数×奇数=奇数，奇数×偶数=偶数，偶数×偶数=偶数，要使两张卡片数字之积为奇数，需两张卡片的数字均为奇数，满足条件的结果只有(1,3)这1种。
根据概率公式可得，抽到的两张卡片数字之积为奇数的概率为：$P=\frac{1}{3}$。
【答案】
C
【知识点】
列举法求概率；奇偶数运算性质；概率公式
【点评】
本题是概率基础常考题，解题的核心是正确列举所有等可能结果，同时结合数的运算性质筛选符合条件的结果，注意同时抽取两张卡片无需考虑抽取顺序，避免不必要的重复计数。
【难度系数】
0.7
本题属于古典概型概率计算问题，解题思路可分为三步：第一步明确抽取规则，同时抽取两张卡片属于无序抽取，先列举出所有等可能的抽取结果；第二步结合奇偶数乘法性质，明确“两数之积为奇数”的充要条件是两个数均为奇数，据此筛选出符合条件的结果；最后代入古典概型概率公式：$P(A)=\frac{事件A包含的等可能结果数}{所有等可能结果总数}$，计算得到概率即可。
【解析】
从分别写有1、2、3的三张卡片中同时抽取两张，所有等可能的结果为：(1,2)、(1,3)、(2,3)，共3种。
根据奇偶数乘法规则：奇数×奇数=奇数，奇数×偶数=偶数，偶数×偶数=偶数，要使两张卡片数字之积为奇数，需两张卡片的数字均为奇数，满足条件的结果只有(1,3)这1种。
根据概率公式可得，抽到的两张卡片数字之积为奇数的概率为：$P=\frac{1}{3}$。
【答案】
C
【知识点】
列举法求概率；奇偶数运算性质；概率公式
【点评】
本题是概率基础常考题，解题的核心是正确列举所有等可能结果，同时结合数的运算性质筛选符合条件的结果，注意同时抽取两张卡片无需考虑抽取顺序，避免不必要的重复计数。
【难度系数】
0.7
3.某区为了解初中生体质健康水平，对全区初中生开展体质健康随机抽测，结果如下表所示。根据抽测结果，估计该区初中生体质健康合格的概率是（）
A.0.92
B.0.905
C.0.903
D.0.9
A.0.92
B.0.905
C.0.903
D.0.9
答案
A
解析
【分析】
我们可以利用频率估计概率的思路解题：当大量重复试验时，事件发生的频率会逐渐稳定在某个常数附近，这个常数就可以作为该事件发生概率的估计值。因此我们需要观察表格中随着抽测学生数n不断增大，体质健康合格人数与n的比值的变化趋势，找到其稳定的数值，即为所求的概率估计值。
【解析】
观察表格中的数据：随着累计抽测的学生数n从100逐步增加到1000，体质健康合格的学生数与n的比值最初有小幅波动，当n增大到900、1000时，该比值稳定在0.92。根据频率估计概率的原理，此时稳定的频率值就可以作为该区初中生体质健康合格概率的估计值，因此估计概率为0.92。
【答案】
A
【知识点】
频率估计概率；频率与概率的关系
【点评】
本题结合实际抽测场景考查概率的估算，解题关键是明确试验次数越大，频率越接近概率，只需找到频率的稳定值即可得到答案，侧重对基础概念的理解和应用。
【难度系数】
0.8
我们可以利用频率估计概率的思路解题：当大量重复试验时，事件发生的频率会逐渐稳定在某个常数附近，这个常数就可以作为该事件发生概率的估计值。因此我们需要观察表格中随着抽测学生数n不断增大，体质健康合格人数与n的比值的变化趋势，找到其稳定的数值，即为所求的概率估计值。
【解析】
观察表格中的数据：随着累计抽测的学生数n从100逐步增加到1000，体质健康合格的学生数与n的比值最初有小幅波动，当n增大到900、1000时，该比值稳定在0.92。根据频率估计概率的原理，此时稳定的频率值就可以作为该区初中生体质健康合格概率的估计值，因此估计概率为0.92。
【答案】
A
【知识点】
频率估计概率；频率与概率的关系
【点评】
本题结合实际抽测场景考查概率的估算，解题关键是明确试验次数越大，频率越接近概率，只需找到频率的稳定值即可得到答案，侧重对基础概念的理解和应用。
【难度系数】
0.8
4.在一次大量重复试验中，统计了某一结果出现的频率，绘制出的统计图如图所示。符合这一试验结果的可能是()
A.一个不透明的袋中有3个红球和7个白球，这些球除颜色外都相同，从中随机取出一个球，取到红球
B.任意掷一枚质地均匀的骰子，掷出的点数大于3
C.从分别标有1,1,2,2,3,4,5的7张纸条中随机抽出一张，抽到2的倍数
D.在玩“石头、剪刀、布”的游戏中，小明随机出的是“剪刀”
A.一个不透明的袋中有3个红球和7个白球，这些球除颜色外都相同，从中随机取出一个球，取到红球
B.任意掷一枚质地均匀的骰子，掷出的点数大于3
C.从分别标有1,1,2,2,3,4,5的7张纸条中随机抽出一张，抽到2的倍数
D.在玩“石头、剪刀、布”的游戏中，小明随机出的是“剪刀”
答案
D
解析
【分析】
本题考查利用频率估计概率的知识，解题思路如下：首先，根据大量重复试验的规律，事件发生的频率会逐渐稳定在该事件的概率附近，因此我们先从统计图中判断频率的稳定值约为0.33；接下来分别计算四个选项对应事件的概率，选出概率最接近0.33的选项即可。
【解析】
观察统计图可知，随着试验次数增加，该结果出现的频率稳定在0.33附近，即对应事件的概率约为0.33。
逐一计算各选项事件的概率：
A选项：袋中共有3+7=10个球，取到红球的概率为$\frac{3}{10}=0.3$，与稳定值不符；
B选项：掷一枚质地均匀的骰子，点数大于3的情况有4、5、6共3种，概率为$\frac{3}{6}=0.5$，与稳定值不符；
C选项：7张纸条中，2的倍数有2、2、4共3张，抽到2的倍数的概率为$\frac{3}{7}\approx0.429$，与稳定值不符；
D选项：“石头、剪刀、布”共3种等可能的出法，小明随机出“剪刀”的概率为$\frac{1}{3}\approx0.333$，与频率稳定值最接近，符合要求。
【答案】
D
【知识点】
频率估计概率；简单概率计算
【点评】
本题核心是理解大量重复试验下频率与概率的关系，解题时只要准确计算各事件的概率，再和频率稳定值比对就能得到正确答案，需要注意计算概率时要数对总情况数和符合条件的情况数，避免计数错误。
【难度系数】
0.7
本题考查利用频率估计概率的知识，解题思路如下：首先，根据大量重复试验的规律，事件发生的频率会逐渐稳定在该事件的概率附近，因此我们先从统计图中判断频率的稳定值约为0.33；接下来分别计算四个选项对应事件的概率，选出概率最接近0.33的选项即可。
【解析】
观察统计图可知，随着试验次数增加，该结果出现的频率稳定在0.33附近，即对应事件的概率约为0.33。
逐一计算各选项事件的概率：
A选项：袋中共有3+7=10个球，取到红球的概率为$\frac{3}{10}=0.3$，与稳定值不符；
B选项：掷一枚质地均匀的骰子，点数大于3的情况有4、5、6共3种，概率为$\frac{3}{6}=0.5$，与稳定值不符；
C选项：7张纸条中，2的倍数有2、2、4共3张，抽到2的倍数的概率为$\frac{3}{7}\approx0.429$，与稳定值不符；
D选项：“石头、剪刀、布”共3种等可能的出法，小明随机出“剪刀”的概率为$\frac{1}{3}\approx0.333$，与频率稳定值最接近，符合要求。
【答案】
D
【知识点】
频率估计概率；简单概率计算
【点评】
本题核心是理解大量重复试验下频率与概率的关系，解题时只要准确计算各事件的概率，再和频率稳定值比对就能得到正确答案，需要注意计算概率时要数对总情况数和符合条件的情况数，避免计数错误。
【难度系数】
0.7
5.一个不透明的盒子中装有2个白球和2个黑球，每个球除颜色外都相同。若从盒子中同时摸出2个球，则2个球都是白球的概率是。
答案
解：将2个白球分别记为白₁、白₂，2个黑球分别记为黑₁、黑₂。
从盒子中同时摸出2个球，所有等可能的结果为：(白₁,白₂)、(白₁,黑₁)、(白₁,黑₂)、(白₂,黑₁)、(白₂,黑₂)、(黑₁,黑₂)，共6种。
其中2个球都是白球的结果只有1种。
因此所求概率为$\frac{1}{6}$。
从盒子中同时摸出2个球，所有等可能的结果为：(白₁,白₂)、(白₁,黑₁)、(白₁,黑₂)、(白₂,黑₁)、(白₂,黑₂)、(黑₁,黑₂)，共6种。
其中2个球都是白球的结果只有1种。
因此所求概率为$\frac{1}{6}$。
解析
【分析】
这是一道等可能事件的概率计算问题，解题时首先要明确所有摸球结果都是等可能的，为了避免计数时重复或遗漏，我们可以先给每个球做不同标记，再列举出同时摸2个球的所有等可能结果，接着找出2个球都是白球的结果数，最后根据“概率=符合条件的结果数÷所有等可能的结果数”计算即可，注意同时摸2个球不需要考虑两个球的先后顺序，避免重复计数。
【解析】
将2个白球分别记为白₁、白₂，2个黑球分别记为黑₁、黑₂。从盒子中同时摸出2个球，所有等可能的结果为：(白₁,白₂)、(白₁,黑₁)、(白₁,黑₂)、(白₂,黑₁)、(白₂,黑₂)、(黑₁,黑₂)，共6种。其中2个球都是白球的结果只有1种。因此所求概率为$\frac{1}{6}$。
【答案】
$\frac{1}{6}$
【知识点】
列举法求概率，等可能事件，概率公式
【点评】
本题考查概率的基础计算，解题核心是不重不漏地列举出所有等可能的事件结果，需注意同时摸两个球属于组合问题，无需考虑摸取顺序，避免因重复计数导致计算错误。
【难度系数】
0.7
这是一道等可能事件的概率计算问题，解题时首先要明确所有摸球结果都是等可能的，为了避免计数时重复或遗漏，我们可以先给每个球做不同标记，再列举出同时摸2个球的所有等可能结果，接着找出2个球都是白球的结果数，最后根据“概率=符合条件的结果数÷所有等可能的结果数”计算即可，注意同时摸2个球不需要考虑两个球的先后顺序，避免重复计数。
【解析】
将2个白球分别记为白₁、白₂，2个黑球分别记为黑₁、黑₂。从盒子中同时摸出2个球，所有等可能的结果为：(白₁,白₂)、(白₁,黑₁)、(白₁,黑₂)、(白₂,黑₁)、(白₂,黑₂)、(黑₁,黑₂)，共6种。其中2个球都是白球的结果只有1种。因此所求概率为$\frac{1}{6}$。
【答案】
$\frac{1}{6}$
【知识点】
列举法求概率，等可能事件，概率公式
【点评】
本题考查概率的基础计算，解题核心是不重不漏地列举出所有等可能的事件结果，需注意同时摸两个球属于组合问题，无需考虑摸取顺序，避免因重复计数导致计算错误。
【难度系数】
0.7
6.用力转动转盘甲和转盘乙，两个转盘的指针停在白色区域的概率分别为$P_甲,P_乙$，则$P_甲$ （填“＞”“＜”或“=”）$P_乙$。
答案
$=$
解析
【分析】
要比较两个转盘指针停在白色区域的概率，首先明确几何概率的计算逻辑：指针停在某区域的概率等于该区域面积除以转盘的总面积，概率只和两者的比值有关，和转盘本身的大小无关。观察两个转盘可知，甲、乙转盘都被平均分成2份，白色区域各占1份，分别计算两者概率后比较即可。
【解析】
解：几何概率中，指针停在某区域的概率 = 目标区域面积÷转盘总面积。
转盘甲被平均分为2等份，白色区域占1份，因此$P_甲=\frac{1}{2}$；
转盘乙同样被平均分为2等份，白色区域占1份，因此$P_乙=\frac{1}{2}$；
故$P_甲=P_乙$。
【答案】
$=$
【知识点】
1.几何概率计算
2.等可能事件概率
【点评】
本题是基础概率类题目，解题的核心是明确几何概率仅和目标区域占总面积的比例有关，不要被两个转盘的大小差异误导。
【难度系数】
0.9
要比较两个转盘指针停在白色区域的概率，首先明确几何概率的计算逻辑：指针停在某区域的概率等于该区域面积除以转盘的总面积，概率只和两者的比值有关，和转盘本身的大小无关。观察两个转盘可知，甲、乙转盘都被平均分成2份，白色区域各占1份，分别计算两者概率后比较即可。
【解析】
解：几何概率中，指针停在某区域的概率 = 目标区域面积÷转盘总面积。
转盘甲被平均分为2等份，白色区域占1份，因此$P_甲=\frac{1}{2}$；
转盘乙同样被平均分为2等份，白色区域占1份，因此$P_乙=\frac{1}{2}$；
故$P_甲=P_乙$。
【答案】
$=$
【知识点】
1.几何概率计算
2.等可能事件概率
【点评】
本题是基础概率类题目，解题的核心是明确几何概率仅和目标区域占总面积的比例有关，不要被两个转盘的大小差异误导。
【难度系数】
0.9
