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2. 下列等式是否正确？如果不正确，请改正：
(1) $\sqrt{|-49|}=-7$；
(2) $\sqrt{(-3)^2}=3$；
(3) $-\sqrt{(-5)^2}=5$；
(4) $\sqrt{81}=\pm9$。
(1) $\sqrt{|-49|}=-7$；
(2) $\sqrt{(-3)^2}=3$；
(3) $-\sqrt{(-5)^2}=5$；
(4) $\sqrt{81}=\pm9$。
答案
(1) 不正确，$\sqrt{|-49|}=7$. (2) 正确. (3) 不正确，$-\sqrt{(-5)^2}=-5$. (4) 不正确，$\sqrt{81}=9$.
解析
【分析】
解决这类根式等式正误判断的问题，首先要明确算术平方根的核心性质：$\sqrt{a}$（$a≥0$）表示非负数$a$的算术平方根，计算结果一定是非负的。运算时遵循先算根号内的绝对值、平方，再求算术平方根，最后考虑根号外符号的顺序，逐个判断即可。
【解析】
我们对每个等式逐一分析：
(1) 先化简根号内部分：$|-49|=49$，$\sqrt{49}$是49的算术平方根，结果为非负数，即$\sqrt{49}=7$，原等式错误，改正为$\sqrt{|-49|}=7$；
(2) 先化简根号内部分：$(-3)^2=9$，$\sqrt{9}=3$，和等式右侧一致，原等式正确；
(3) 先化简根号内部分：$(-5)^2=25$，$\sqrt{25}=5$，根号外带负号，因此整体结果为$-5$，原等式错误，改正为$-\sqrt{(-5)^2}=-5$；
(4) $\sqrt{81}$表示81的算术平方根，结果只能是正的9，$\pm9$是81的平方根，原等式错误，改正为$\sqrt{81}=9$。
【答案】
(1) 不正确，$\sqrt{|-49|}=7$；(2) 正确；(3) 不正确，$-\sqrt{(-5)^2}=-5$；(4) 不正确，$\sqrt{81}=9$
【知识点】
1. 算术平方根的性质
2. 绝对值运算
3. 平方运算
【点评】
本题属于根式基础题型，易错点是混淆算术平方根和平方根的概念，忽略算术平方根的非负性。做题时要先化简根号内的表达式，再结合符号规则计算结果，牢记$\sqrt{a}$的结果恒为非负数。
【难度系数】
0.7
解决这类根式等式正误判断的问题，首先要明确算术平方根的核心性质：$\sqrt{a}$（$a≥0$）表示非负数$a$的算术平方根，计算结果一定是非负的。运算时遵循先算根号内的绝对值、平方，再求算术平方根，最后考虑根号外符号的顺序，逐个判断即可。
【解析】
我们对每个等式逐一分析：
(1) 先化简根号内部分：$|-49|=49$，$\sqrt{49}$是49的算术平方根，结果为非负数，即$\sqrt{49}=7$，原等式错误，改正为$\sqrt{|-49|}=7$；
(2) 先化简根号内部分：$(-3)^2=9$，$\sqrt{9}=3$，和等式右侧一致，原等式正确；
(3) 先化简根号内部分：$(-5)^2=25$，$\sqrt{25}=5$，根号外带负号，因此整体结果为$-5$，原等式错误，改正为$-\sqrt{(-5)^2}=-5$；
(4) $\sqrt{81}$表示81的算术平方根，结果只能是正的9，$\pm9$是81的平方根，原等式错误，改正为$\sqrt{81}=9$。
【答案】
(1) 不正确，$\sqrt{|-49|}=7$；(2) 正确；(3) 不正确，$-\sqrt{(-5)^2}=-5$；(4) 不正确，$\sqrt{81}=9$
【知识点】
1. 算术平方根的性质
2. 绝对值运算
3. 平方运算
【点评】
本题属于根式基础题型，易错点是混淆算术平方根和平方根的概念，忽略算术平方根的非负性。做题时要先化简根号内的表达式，再结合符号规则计算结果，牢记$\sqrt{a}$的结果恒为非负数。
【难度系数】
0.7
3. 求下列各数的平方根：
(1) $64$；
(2) $\dfrac{16}{81}$；
(3) $\dfrac{169}{256}$；
(4) $20\dfrac{1}{4}$；
(5) $1\ 960\ 000$；
(6) $0.014\ 4$。
(1) $64$；
(2) $\dfrac{16}{81}$；
(3) $\dfrac{169}{256}$；
(4) $20\dfrac{1}{4}$；
(5) $1\ 960\ 000$；
(6) $0.014\ 4$。
答案
(1) $\pm8$. (2) $\pm\dfrac{4}{9}$. (3) $\pm\dfrac{13}{16}$. (4) $\pm\dfrac{9}{2}$. (5) $\pm1\ 400$. (6) $\pm0.12$.
解析
【分析】
计算正数的平方根需依据平方根的定义：若$x^2=a$（$a＞0$），则$x$是$a$的平方根，正数有两个互为相反数的平方根。解题思路为：1. 若所给数是带分数，先化为假分数；若为整数或小数，先整理为易识别的平方形式；2. 找到平方后等于该数的正负两个数，即为所求平方根，注意不要遗漏负的平方根。
【解析】
根据平方根的定义，各数的平方根计算如下：
(1) $\because (\pm8)^2=64$，$\therefore 64$的平方根为$\pm8$；
(2) $\because (\pm\dfrac{4}{9})^2=\dfrac{16}{81}$，$\therefore \dfrac{16}{81}$的平方根为$\pm\dfrac{4}{9}$；
(3) $\because (\pm\dfrac{13}{16})^2=\dfrac{169}{256}$，$\therefore \dfrac{169}{256}$的平方根为$\pm\dfrac{13}{16}$；
(4) 先将带分数化为假分数：$20\dfrac{1}{4}=\dfrac{81}{4}$，$\because (\pm\dfrac{9}{2})^2=\dfrac{81}{4}$，$\therefore 20\dfrac{1}{4}$的平方根为$\pm\dfrac{9}{2}$；
(5) $\because (\pm1400)^2=1960000$，$\therefore 1960000$的平方根为$\pm1400$；
(6) $\because (\pm0.12)^2=0.0144$，$\therefore 0.0144$的平方根为$\pm0.12$。
【答案】
(1) $\pm8$；(2) $\pm\dfrac{4}{9}$；(3) $\pm\dfrac{13}{16}$；(4) $\pm\dfrac{9}{2}$；(5) $\pm1\ 400$；(6) $\pm0.12$
【知识点】
平方根的定义；开平方运算；有理数乘方
【点评】
本题是平方根计算的基础题，解题核心是牢记正数的平方根有两个且互为相反数，避免漏写负根；计算带分数的平方根时，先将其转化为假分数能简化计算过程，降低出错概率。
【难度系数】
0.85
计算正数的平方根需依据平方根的定义：若$x^2=a$（$a＞0$），则$x$是$a$的平方根，正数有两个互为相反数的平方根。解题思路为：1. 若所给数是带分数，先化为假分数；若为整数或小数，先整理为易识别的平方形式；2. 找到平方后等于该数的正负两个数，即为所求平方根，注意不要遗漏负的平方根。
【解析】
根据平方根的定义，各数的平方根计算如下：
(1) $\because (\pm8)^2=64$，$\therefore 64$的平方根为$\pm8$；
(2) $\because (\pm\dfrac{4}{9})^2=\dfrac{16}{81}$，$\therefore \dfrac{16}{81}$的平方根为$\pm\dfrac{4}{9}$；
(3) $\because (\pm\dfrac{13}{16})^2=\dfrac{169}{256}$，$\therefore \dfrac{169}{256}$的平方根为$\pm\dfrac{13}{16}$；
(4) 先将带分数化为假分数：$20\dfrac{1}{4}=\dfrac{81}{4}$，$\because (\pm\dfrac{9}{2})^2=\dfrac{81}{4}$，$\therefore 20\dfrac{1}{4}$的平方根为$\pm\dfrac{9}{2}$；
(5) $\because (\pm1400)^2=1960000$，$\therefore 1960000$的平方根为$\pm1400$；
(6) $\because (\pm0.12)^2=0.0144$，$\therefore 0.0144$的平方根为$\pm0.12$。
【答案】
(1) $\pm8$；(2) $\pm\dfrac{4}{9}$；(3) $\pm\dfrac{13}{16}$；(4) $\pm\dfrac{9}{2}$；(5) $\pm1\ 400$；(6) $\pm0.12$
【知识点】
平方根的定义；开平方运算；有理数乘方
【点评】
本题是平方根计算的基础题，解题核心是牢记正数的平方根有两个且互为相反数，避免漏写负根；计算带分数的平方根时，先将其转化为假分数能简化计算过程，降低出错概率。
【难度系数】
0.85
4. 化简：
(1) $\sqrt{1600}$；
(2) $-\sqrt{0.81}$；
(3) $\pm\sqrt{12\frac{1}{4}}$；
(4) $-\sqrt{(-\frac{5}{9})^2}$。
(1) $\sqrt{1600}$；
(2) $-\sqrt{0.81}$；
(3) $\pm\sqrt{12\frac{1}{4}}$；
(4) $-\sqrt{(-\frac{5}{9})^2}$。
答案
(1) 40. (2) $-0.9$. (3) $\pm\dfrac{7}{2}$. (4) $-\dfrac{5}{9}$.
解析
【分析】
这道题考查平方根与算术平方根的化简，解题思路如下：1. 先明确运算类型：根号前无符号是求算术平方根（结果非负），根号前有负号是求算术平方根的相反数，根号前有±号是求数的两个平方根；2. 处理根号内的数：如果是带分数先转化为假分数，是平方形式的先计算结果或利用√a²=|a|的性质化简；3. 找到平方后等于根号内正数的对应数，结合根号前的符号得出最终结果。
【解析】
(1) 化简$\sqrt{1600}$：
因为$40^2=1600$，1600的算术平方根为40，因此$\sqrt{1600}=40$。
(2) 化简$-\sqrt{0.81}$：
因为$0.9^2=0.81$，0.81的算术平方根为0.9，结合根号前的负号，因此$-\sqrt{0.81}=-0.9$。
(3) 化简$\pm\sqrt{12\frac{1}{4}}$：
先将带分数化为假分数：$12\frac{1}{4}=\frac{12×4+1}{4}=\frac{49}{4}$，
因为$(\pm\frac{7}{2})^2=\frac{49}{4}$，因此$\pm\sqrt{12\frac{1}{4}}=\pm\frac{7}{2}$。
(4) 化简$-\sqrt{(-\frac{5}{9})^2}$：
先计算根号内的平方：$(-\frac{5}{9})^2=\frac{25}{81}$，
因为$(\frac{5}{9})^2=\frac{25}{81}$，$\frac{25}{81}$的算术平方根为$\frac{5}{9}$，结合根号前的负号，因此$-\sqrt{(-\frac{5}{9})^2}=-\frac{5}{9}$。
【答案】
(1) $40$；(2) $-0.9$；(3) $\pm\dfrac{7}{2}$；(4) $-\dfrac{5}{9}$
【知识点】
平方根的定义，算术平方根计算，二次根式化简
【点评】
本题是根式运算的基础题型，解题时要注意区分平方根和算术平方根的差异，遇到带分数要先转化为假分数再开方，运算时不要忽略根号前的符号，避免出现符号类错误。
【难度系数】
0.8
这道题考查平方根与算术平方根的化简，解题思路如下：1. 先明确运算类型：根号前无符号是求算术平方根（结果非负），根号前有负号是求算术平方根的相反数，根号前有±号是求数的两个平方根；2. 处理根号内的数：如果是带分数先转化为假分数，是平方形式的先计算结果或利用√a²=|a|的性质化简；3. 找到平方后等于根号内正数的对应数，结合根号前的符号得出最终结果。
【解析】
(1) 化简$\sqrt{1600}$：
因为$40^2=1600$，1600的算术平方根为40，因此$\sqrt{1600}=40$。
(2) 化简$-\sqrt{0.81}$：
因为$0.9^2=0.81$，0.81的算术平方根为0.9，结合根号前的负号，因此$-\sqrt{0.81}=-0.9$。
(3) 化简$\pm\sqrt{12\frac{1}{4}}$：
先将带分数化为假分数：$12\frac{1}{4}=\frac{12×4+1}{4}=\frac{49}{4}$，
因为$(\pm\frac{7}{2})^2=\frac{49}{4}$，因此$\pm\sqrt{12\frac{1}{4}}=\pm\frac{7}{2}$。
(4) 化简$-\sqrt{(-\frac{5}{9})^2}$：
先计算根号内的平方：$(-\frac{5}{9})^2=\frac{25}{81}$，
因为$(\frac{5}{9})^2=\frac{25}{81}$，$\frac{25}{81}$的算术平方根为$\frac{5}{9}$，结合根号前的负号，因此$-\sqrt{(-\frac{5}{9})^2}=-\frac{5}{9}$。
【答案】
(1) $40$；(2) $-0.9$；(3) $\pm\dfrac{7}{2}$；(4) $-\dfrac{5}{9}$
【知识点】
平方根的定义，算术平方根计算，二次根式化简
【点评】
本题是根式运算的基础题型，解题时要注意区分平方根和算术平方根的差异，遇到带分数要先转化为假分数再开方，运算时不要忽略根号前的符号，避免出现符号类错误。
【难度系数】
0.8
