14.如图,在 $\mathrm{Rt}△ ABC$ 中,$∠ C=90°,CB=3,CA=4$,将$△ ABC$绕点$B$按逆时针方向旋转得到$△ DBM$,使点$C$的对应点$M$落在$AB$边上,点$A$的对应点为点$D$,连接$AD$.求$AD$的长.

14.解:由旋转的性质,可知
MB=CB=3,MD=CA=4,∠DMB=∠C=90°.
在Rt△ABC中,根据勾股定理,可得AB=$\sqrt{CB^2+CA^2}=\sqrt{3^2+4^2}=5$,
∴MA=AB-MB=5-3=2.
∵∠DMA=180°-∠DMB=180°-90°=90°,
∴在Rt△DMA中,根据勾股定理,可得AD=$\sqrt{MD^2+MA^2}=\sqrt{4^2+2^2}=2\sqrt{5}$.

【分析】
解题时首先回忆旋转的性质：旋转前后图形的对应边相等、对应角相等。要计算AD的长，可按以下思路推导：第一步先在已知的Rt△ABC中用勾股定理求出AB的长度；第二步结合旋转性质得到MB、MD的长度以及∠DMB的度数，进而求出AM的长度，同时根据平角的性质可推出∠AMD为直角，此时AD为Rt△AMD的斜边；第三步在Rt△AMD中用勾股定理即可求出AD的长度。
【解析】
解：由旋转的性质，可知$MB=CB=3$，$MD=CA=4$，$∠DMB=∠C=90°$。
在$\mathrm{Rt}△ ABC$中，根据勾股定理，可得
$AB=\sqrt{CB^2+CA^2}=\sqrt{3^2+4^2}=5$，
∴$MA=AB-MB=5-3=2$。
∵$∠DMA=180°-∠DMB=180°-90°=90°$，
∴在$\mathrm{Rt}△ DMA$中，根据勾股定理，可得
$AD=\sqrt{MD^2+MA^2}=\sqrt{4^2+2^2}=2\sqrt{5}$。
【答案】
$2\sqrt{5}$
【知识点】
1.旋转的性质 2.勾股定理 3.平角的定义
【点评】
本题属于几何基础综合题，解题的关键是熟练运用旋转的性质得到相等的边和角，构造出可求解的直角三角形，再结合勾股定理计算线段长度，解题逻辑清晰，对几何性质的应用能力有一定考查。
【难度系数】
0.7

15.如图,在$△ ABC$中,$AB=9$,$BC=13$,$∠ B=60°$,将$△ ABC$沿着射线$BC$的方向平移得到$△ A'B'C'$,连接$A'C$.若$BB'=4$,则$△ A'B'C$的周长为 （）

A.12
B.26
C.27
D.31

15.C

【分析】
解题时首先回忆平移的基本性质：平移前后对应边相等、对应角相等。第一步先根据平移性质得到△A'B'C的两条边和夹角的数值：A'B'与AB相等，∠A'B'C与∠B相等；第二步计算B'C的长度，用BC的长度减去平移距离BB'即可；第三步观察得到的边和角的关系，发现△A'B'C是有一个角为60°的等腰三角形，即等边三角形，最后计算等边三角形的周长即可得到结果。
【解析】
解：
∵△ABC沿射线BC方向平移得到△A'B'C'，
∴A'B'=AB=9，∠A'B'C=∠B=60°，
又
∵BB'=4，BC=13，
∴B'C=BC - BB'=13 - 4=9，
∴A'B'=B'C=9，且∠A'B'C=60°，
∴△A'B'C是等边三角形，
∴A'C=A'B'=B'C=9，
∴△A'B'C的周长为9+9+9=27。
【答案】
C
【知识点】
平移的性质、等边三角形的判定、三角形周长计算
【点评】
本题属于基础综合题，将平移性质和特殊三角形的判定结合考查，解题的关键是熟练掌握平移的性质，准确找到边与角的对应关系，正确判定三角形的类型。
【难度系数】
0.7

16.若点$P(m,2)$与点$Q(3,n)$关于$x$轴对称,则点$P$关于原点对称的点$M$的坐标为________.

16.(-3,-2)

【分析】
解题思路分为两步：第一步，利用关于x轴对称的点的坐标性质求解m的值，确定点P的坐标：关于x轴对称的两个点，横坐标相等，纵坐标互为相反数，因此可直接得到m与Q点横坐标的关系，求出m。第二步，利用关于原点对称的点的坐标性质求点M的坐标：关于原点对称的两个点，横、纵坐标均互为相反数，将P点的横、纵坐标分别取相反数即可得到M的坐标。
【解析】
解：
∵点P(m,2)与点Q(3,n)关于x轴对称，
根据关于x轴对称的点的坐标特征：横坐标相同，纵坐标互为相反数，
∴m=3，即点P的坐标为(3,2)。
又
∵关于原点对称的点的坐标特征为：横、纵坐标均互为相反数，
∴点P(3,2)关于原点对称的点M的坐标为(-3,-2)。
【答案】
(-3,-2)
【知识点】
关于x轴对称的点的坐标特征；关于原点对称的点的坐标特征
【点评】
本题考查平面直角坐标系中对称点的坐标规律，解题的核心是熟记不同对称方式对应的坐标变化规则，属于基础题型，只要掌握相关性质就能快速求解。
【难度系数】
0.8

17.如图,在平面直角坐标系中,每个小方格都是边长为1个单位长度的正方形,△ABC的顶点坐标分别为A(2,-5),B(5,-3),C(3,-1).
(1)若△A₁B₁C₁和△ABC关于原点对称,请在图中画出△A₁B₁C₁;
(2)请求出△A₁B₁C₁的面积;
(3)将△A₁B₁C₁绕点M顺时针旋转90°得到△A₂B₂C₂,若C₂(0,2),直接写出点M,A₂,B₂的坐标.

17.解:(1)如图1,△A₁B₁C₁即为所求.
(2)△A₁B₁C₁的面积为$3×4-\frac{1}{2}×1×4-\frac{1}{2}×2×3-\frac{1}{2}×2×2=12-2-3-2=5$.
(3)如图2.
∴M(-1,0),A₂(4,1),B₂(2,4).

【分析】
(1) 关于原点对称的点的横、纵坐标均互为相反数，据此先求出△ABC三个顶点关于原点的对称点坐标，再依次描点、连线即可画出△A₁B₁C₁；
(2) 中心对称的两个图形全等，因此△A₁B₁C₁的面积等于△ABC的面积，可采用割补法：用包含三角形的最小矩形面积减去周围三个直角三角形的面积计算即可；
(3) 旋转中心到旋转前后对应点的距离相等，因此M是对应点连线垂直平分线的交点，结合已知C₂的坐标可确定M的坐标，再根据顺时针旋转90°的坐标变化规律即可求出A₂、B₂的坐标。
【解析】
(1) 关于原点对称的点坐标特征为横、纵坐标均变号，因此：
A(2,-5)的对称点A₁(-2,5)，B(5,-3)的对称点B₁(-5,3)，C(3,-1)的对称点C₁(-3,1)，依次连接A₁、B₁、C₁，得到△A₁B₁C₁；
(2) 用割补法计算面积：
取包围△A₁B₁C₁的矩形，长为4，宽为3，矩形面积为$3×4=12$；
矩形内周围三个直角三角形的面积分别为：$\frac{1}{2}×1×4=2$，$\frac{1}{2}×2×3=3$，$\frac{1}{2}×2×2=2$；
因此△A₁B₁C₁的面积为$12-2-3-2=5$；
(3) 根据旋转的性质，结合C₁(-3,1)、C₂(0,2)，可求得旋转中心M的坐标为(-1,0)，将△A₁B₁C₁绕M顺时针旋转90°后，可得A₂(4,1)，B₂(2,4)。
【答案】
(1) 如图1,△A₁B₁C₁即为所求.
(2) △A₁B₁C₁的面积为5；
(3) M(-1,0),A₂(4,1),B₂(2,4)，如图2.
【知识点】
关于原点对称的坐标特征；割补法求面积；旋转的性质
【点评】
本题综合考查了平面直角坐标系内的对称作图、旋转作图以及网格中图形面积的计算，既考查了基本作图能力，也考查了坐标变换的运算能力，是平面直角坐标系与图形变换结合的典型题型。
【难度系数】
0.7