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12.如图,该图形是由一个长方形和一个三角形组成的,则这个平面图形的面积是 (
A.$6a^2 - 2ab$
B.$4a^2 - b^2 + 4ab$
C.$8a^2 - 4ab$
D.$6a^2 - \frac{1}{2}b^2 - 2ab$
D
) A.$6a^2 - 2ab$
B.$4a^2 - b^2 + 4ab$
C.$8a^2 - 4ab$
D.$6a^2 - \frac{1}{2}b^2 - 2ab$
答案
12.D
解析
【分析】
解题时首先观察图形，可知总图形面积等于下方长方形面积加上上方三角形面积。第一步先确定长方形的长和宽，计算长方形面积；第二步先求出三角形的高（总高度减去长方形的高度），结合三角形的底和长方形的长相等，计算三角形面积；第三步将两部分面积相加，利用整式乘法公式化简后匹配选项即可。
【解析】
首先计算长方形的面积：
长方形的长为$2a-b$，宽为$2a+b$，根据长方形面积公式：
$S_{\mathrm{长方形}} = 长 × 宽 = (2a-b)(2a+b) = 4a^2 - b^2$
接下来计算三角形的面积：
三角形的底和长方形的长相等，为$2a-b$，三角形的高为总高度减去长方形的高度，即$4a - (2a + b) = 2a - b$，根据三角形面积公式：
$S_{\mathrm{三角形}} = \frac{1}{2} × 底 × 高 = \frac{1}{2} × (2a-b) × (2a-b) = \frac{1}{2}(2a-b)^2 = \frac{1}{2}(4a^2 -4ab + b^2) = 2a^2 -2ab + \frac{1}{2}b^2$
最后计算总图形面积：
$S_{\mathrm{总}} = S_{\mathrm{长方形}} + S_{\mathrm{三角形}} = (4a^2 - b^2) + (2a^2 -2ab + \frac{1}{2}b^2) = 6a^2 -2ab - \frac{1}{2}b^2$，和选项D一致。
【答案】
D
【知识点】
组合图形面积计算，整式乘法运算，乘法公式
【点评】
本题需要掌握拆分组合图形的方法，分别计算各部分面积后求和，解题关键是正确求出三角形的高，同时要熟练运用平方差公式和完全平方公式进行整式运算，避免符号和计算错误。
【难度系数】
0.7
解题时首先观察图形，可知总图形面积等于下方长方形面积加上上方三角形面积。第一步先确定长方形的长和宽，计算长方形面积；第二步先求出三角形的高（总高度减去长方形的高度），结合三角形的底和长方形的长相等，计算三角形面积；第三步将两部分面积相加，利用整式乘法公式化简后匹配选项即可。
【解析】
首先计算长方形的面积：
长方形的长为$2a-b$，宽为$2a+b$，根据长方形面积公式：
$S_{\mathrm{长方形}} = 长 × 宽 = (2a-b)(2a+b) = 4a^2 - b^2$
接下来计算三角形的面积：
三角形的底和长方形的长相等，为$2a-b$，三角形的高为总高度减去长方形的高度，即$4a - (2a + b) = 2a - b$，根据三角形面积公式：
$S_{\mathrm{三角形}} = \frac{1}{2} × 底 × 高 = \frac{1}{2} × (2a-b) × (2a-b) = \frac{1}{2}(2a-b)^2 = \frac{1}{2}(4a^2 -4ab + b^2) = 2a^2 -2ab + \frac{1}{2}b^2$
最后计算总图形面积：
$S_{\mathrm{总}} = S_{\mathrm{长方形}} + S_{\mathrm{三角形}} = (4a^2 - b^2) + (2a^2 -2ab + \frac{1}{2}b^2) = 6a^2 -2ab - \frac{1}{2}b^2$，和选项D一致。
【答案】
D
【知识点】
组合图形面积计算，整式乘法运算，乘法公式
【点评】
本题需要掌握拆分组合图形的方法，分别计算各部分面积后求和，解题关键是正确求出三角形的高，同时要熟练运用平方差公式和完全平方公式进行整式运算，避免符号和计算错误。
【难度系数】
0.7
13.已知$a=16^{51},b=8^{67},c=4^{101}$，则$a,b,c$的大小关系是（
A.$a＞b＞c$
B.$a＜b＜c$
C.$a＞c＞b$
D.$b＞c＞a$
C
）A.$a＞b＞c$
B.$a＜b＜c$
C.$a＞c＞b$
D.$b＞c＞a$
答案
13.C
解析
【分析】
要比较a、b、c的大小，观察发现三个数的底数16、8、4都是2的正整数次幂，因此可以利用幂的乘方法则，把三个数都转化为底数为2的幂。当底数大于1时，指数越大，幂越大，只需要比较转化后三个幂的指数大小，即可得出原数的大小关系。
【解析】
解：先将a、b、c转化为底数为2的幂：
∵ $a = 16^{51} = (2^4)^{51} = 2^{4×51} = 2^{204}$
$b = 8^{67} = (2^3)^{67} = 2^{3×67} = 2^{201}$
$c = 4^{101} = (2^2)^{101} = 2^{2×101} = 2^{202}$
又
∵ 底数2＞1，指数越大对应的幂越大，且$204＞202＞201$
∴ $2^{204}＞2^{202}＞2^{201}$，即$a＞c＞b$
故选：C
【答案】
C
【知识点】
幂的乘方运算、同底数幂大小比较
【点评】
本题是幂的大小比较的典型题型，解题关键是将不同底数的幂通过幂的乘方法则统一为相同底数，再通过比较指数大小判断原数的大小，熟练掌握幂的运算性质是解题的基础。
【难度系数】
0.7
要比较a、b、c的大小，观察发现三个数的底数16、8、4都是2的正整数次幂，因此可以利用幂的乘方法则，把三个数都转化为底数为2的幂。当底数大于1时，指数越大，幂越大，只需要比较转化后三个幂的指数大小，即可得出原数的大小关系。
【解析】
解：先将a、b、c转化为底数为2的幂：
∵ $a = 16^{51} = (2^4)^{51} = 2^{4×51} = 2^{204}$
$b = 8^{67} = (2^3)^{67} = 2^{3×67} = 2^{201}$
$c = 4^{101} = (2^2)^{101} = 2^{2×101} = 2^{202}$
又
∵ 底数2＞1，指数越大对应的幂越大，且$204＞202＞201$
∴ $2^{204}＞2^{202}＞2^{201}$，即$a＞c＞b$
故选：C
【答案】
C
【知识点】
幂的乘方运算、同底数幂大小比较
【点评】
本题是幂的大小比较的典型题型，解题关键是将不同底数的幂通过幂的乘方法则统一为相同底数，再通过比较指数大小判断原数的大小，熟练掌握幂的运算性质是解题的基础。
【难度系数】
0.7
14.我们知道,同底数幂的乘法法则为$a^m × a^n = a^{m+n}($其中a≠0,m,n为正整数)。类似地,我们规定关于任意正整数m,n的一种新运算:f(m+n)=f(m)·f(n)。若f(2)=5,则f(4)=f(2+2)=f(2)·f(2)=5×5=25。请根据这种新运算解决以下问题:
(1)若f(1)=-3,则f(2)=______;
(2)若f(2)=16,则f(1)=_________。
(1)若f(1)=-3,则f(2)=______;
(2)若f(2)=16,则f(1)=_________。
答案
14.(1)9 (2)$\pm4$
解析
【分析】
本题是定义新运算类题目，解题核心是准确理解新运算规则$f(m+n)=f(m)·f(n)$，将待求的$f$值拆分为已知$f$值的和的形式，代入规则计算即可。第(1)问可将$f(2)$拆为$f(1+1)$，利用已知的$f(1)$计算；第(2)问同样将$f(2)$拆为$f(1+1)$，建立关于$f(1)$的等式求解即可，注意正数的平方根有两个，不要漏解。
【解析】
(1) 根据新运算规则$f(m+n)=f(m)·f(n)$可得：
$f(2)=f(1+1)=f(1)·f(1)$
将$f(1)=-3$代入上式得：
$f(2)=(-3)×(-3)=9$
(2) 由新运算规则可得：
$f(2)=f(1+1)=f(1)·f(1)=[f(1)]^2$
已知$f(2)=16$，因此：
$[f(1)]^2=16$
因为$(±4)^2=16$，所以$f(1)=±4$
【答案】
(1)$9$；(2)$\pm4$
【知识点】
定义新运算，有理数乘法，平方根运算
【点评】
本题属于新定义基础题型，主要考查对新规则的理解与迁移应用能力，解题关键是将待求函数值按照新运算规则转化为已知条件的形式计算，第二问需注意正数有两个互为相反数的平方根，避免漏解。
【难度系数】
0.7
本题是定义新运算类题目，解题核心是准确理解新运算规则$f(m+n)=f(m)·f(n)$，将待求的$f$值拆分为已知$f$值的和的形式，代入规则计算即可。第(1)问可将$f(2)$拆为$f(1+1)$，利用已知的$f(1)$计算；第(2)问同样将$f(2)$拆为$f(1+1)$，建立关于$f(1)$的等式求解即可，注意正数的平方根有两个，不要漏解。
【解析】
(1) 根据新运算规则$f(m+n)=f(m)·f(n)$可得：
$f(2)=f(1+1)=f(1)·f(1)$
将$f(1)=-3$代入上式得：
$f(2)=(-3)×(-3)=9$
(2) 由新运算规则可得：
$f(2)=f(1+1)=f(1)·f(1)=[f(1)]^2$
已知$f(2)=16$，因此：
$[f(1)]^2=16$
因为$(±4)^2=16$，所以$f(1)=±4$
【答案】
(1)$9$；(2)$\pm4$
【知识点】
定义新运算，有理数乘法，平方根运算
【点评】
本题属于新定义基础题型，主要考查对新规则的理解与迁移应用能力，解题关键是将待求函数值按照新运算规则转化为已知条件的形式计算，第二问需注意正数有两个互为相反数的平方根，避免漏解。
【难度系数】
0.7
15.(1)化简并求值：$(x-2)(x^2-6x-9)-x(x-5)(x-3)$，其中$x=\frac{1}{3}$；
(2)已知$ab^2=-1$，求$-ab(a^2b^5-ab^3-2b)$的值。
(2)已知$ab^2=-1$，求$-ab(a^2b^5-ab^3-2b)$的值。
答案
15.解:(1)$(x-2)(x^2-6x-9)-x(x-5)(x-3)=x^3-8x^2+3x+18-(x^3-8x^2+15x)=x^3-8x^2+3x+18-x^3+8x^2-15x=-12x+18$。
当$x=\frac{1}{3}$时,原式$=-12×\frac{1}{3}+18=14$。
(2)因为$ab^2=-1$,所以原式$=-a^3b^6+a^2b^4+2ab^2=-(ab^2)^3+(ab^2)^2+2ab^2=1+1-2=0$。
当$x=\frac{1}{3}$时,原式$=-12×\frac{1}{3}+18=14$。
(2)因为$ab^2=-1$,所以原式$=-a^3b^6+a^2b^4+2ab^2=-(ab^2)^3+(ab^2)^2+2ab^2=1+1-2=0$。
解析
【分析】
(1)本题是整式化简求值题，解题思路为：先按照多项式乘多项式、单项式乘多项式的运算法则分别计算两个乘积项，再去括号、合并同类项得到最简整式，最后将x的值代入最简式计算结果。计算时注意去括号的符号规则，避免符号出错。
(2)本题已知含字母的整体的值，无需单独求a、b的取值，解题思路为：先利用单项式乘多项式法则展开待求式，再将各项变形为以$ab^2$为整体的幂的形式，最后整体代入$ab^2=-1$计算即可，可大幅简化运算。
【解析】
(1) 先展开各项：
$(x-2)(x^2-6x-9)=x^3-6x^2-9x-2x^2+12x+18=x^3-8x^2+3x+18$
$x(x-5)(x-3)=x(x^2-8x+15)=x^3-8x^2+15x$
再相减并化简：
原式$=x^3-8x^2+3x+18-(x^3-8x^2+15x)$
$=x^3-8x^2+3x+18-x^3+8x^2-15x$
$=-12x+18$
将$x=\frac{1}{3}$代入得：
原式$=-12×\frac{1}{3}+18=-4+18=14$
(2) 先展开待求式：
原式$=-ab· a^2b^5 + ab· ab^3 + ab· 2b=-a^3b^6+a^2b^4+2ab^2$
变形为含$ab^2$的形式：
$-a^3b^6=-(ab^2)^3$，$a^2b^4=(ab^2)^2$
将$ab^2=-1$整体代入得：
原式$=-(-1)^3+(-1)^2+2×(-1)=1+1-2=0$
【答案】
(1) $\boxed{14}$；(2) $\boxed{0}$
【知识点】
整式混合运算，化简求值，整体代入思想
【点评】
本题主要考察整式运算的基本法则和求值技巧，计算过程中要注意去括号、乘方运算的符号问题，第二问的整体代入思想是整式求值类题型的常用方法，能有效避免复杂计算，提升解题效率。
【难度系数】
0.7
(1)本题是整式化简求值题，解题思路为：先按照多项式乘多项式、单项式乘多项式的运算法则分别计算两个乘积项，再去括号、合并同类项得到最简整式，最后将x的值代入最简式计算结果。计算时注意去括号的符号规则，避免符号出错。
(2)本题已知含字母的整体的值，无需单独求a、b的取值，解题思路为：先利用单项式乘多项式法则展开待求式，再将各项变形为以$ab^2$为整体的幂的形式，最后整体代入$ab^2=-1$计算即可，可大幅简化运算。
【解析】
(1) 先展开各项：
$(x-2)(x^2-6x-9)=x^3-6x^2-9x-2x^2+12x+18=x^3-8x^2+3x+18$
$x(x-5)(x-3)=x(x^2-8x+15)=x^3-8x^2+15x$
再相减并化简：
原式$=x^3-8x^2+3x+18-(x^3-8x^2+15x)$
$=x^3-8x^2+3x+18-x^3+8x^2-15x$
$=-12x+18$
将$x=\frac{1}{3}$代入得：
原式$=-12×\frac{1}{3}+18=-4+18=14$
(2) 先展开待求式：
原式$=-ab· a^2b^5 + ab· ab^3 + ab· 2b=-a^3b^6+a^2b^4+2ab^2$
变形为含$ab^2$的形式：
$-a^3b^6=-(ab^2)^3$，$a^2b^4=(ab^2)^2$
将$ab^2=-1$整体代入得：
原式$=-(-1)^3+(-1)^2+2×(-1)=1+1-2=0$
【答案】
(1) $\boxed{14}$；(2) $\boxed{0}$
【知识点】
整式混合运算，化简求值，整体代入思想
【点评】
本题主要考察整式运算的基本法则和求值技巧，计算过程中要注意去括号、乘方运算的符号问题，第二问的整体代入思想是整式求值类题型的常用方法，能有效避免复杂计算，提升解题效率。
【难度系数】
0.7
