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16. 观察下列各式,你会发现什么规律?
$3×5=15$,而$15=4^2 -1$;
$5×7=35$,而$35=6^2 -1$;
$···$;
$11×13=143$,而$143=12^2 -1$;
$···$。
将你猜想的规律用只含有一个字母的式子表示出来。
假期作业 3
年月日 星期
$3×5=15$,而$15=4^2 -1$;
$5×7=35$,而$35=6^2 -1$;
$···$;
$11×13=143$,而$143=12^2 -1$;
$···$。
将你猜想的规律用只含有一个字母的式子表示出来。
假期作业 3
年月日 星期
答案
16.解:$(2n+1)(2n+3)=(2n+2)^2-1(n 为正整数)$。(答案不唯一)
解析
【分析】
解题时先分别观察等式左右两边的特征：首先看左边，给出的式子都是两个相邻的正奇数相乘，两个乘数相差2；再看右边，结果刚好是这两个奇数中间的偶数的平方减1。接下来我们可以用正整数n来表示其中较小的奇数，通常正奇数可以表示为$2n+1$，那么比它大2的相邻奇数就是$2n+3$，二者中间的偶数就是$2n+2$，最后代入已知例子验证是否符合，就能得到规律式子。
【解析】
1. 观察已知等式左侧：$3×5$、$5×7$、$11×13$均为两个连续的正奇数相乘，两个乘数的差为2；
2. 观察已知等式右侧：$4^2-1$、$6^2-1$、$12^2-1$里的底数4、6、12分别是对应左侧两个乘数的中间偶数，右侧均为中间偶数的平方减1；
3. 设n为正整数，用$2n+1$表示较小的正奇数，则较大的相邻正奇数为$2n+1+2=2n+3$，两个数的中间偶数为$2n+2$；
4. 将上述含n的式子代入等式，可得$(2n+1)(2n+3)=(2n+2)^2-1$，代入n=1、2、5等验证，均符合已知式子，规律成立。
【答案】
$(2n+1)(2n+3)=(2n+2)^2-1(n 为正整数)$。(答案不唯一)
【知识点】
数字规律探究；列代数式；整式运算
【点评】
本题考查归纳推理能力，解题核心是先从已知式子中提炼出左右两侧的数字特征，再用字母统一表示规律，最后验证规律的正确性即可，属于规律探究类的基础题型。
【难度系数】
0.7
解题时先分别观察等式左右两边的特征：首先看左边，给出的式子都是两个相邻的正奇数相乘，两个乘数相差2；再看右边，结果刚好是这两个奇数中间的偶数的平方减1。接下来我们可以用正整数n来表示其中较小的奇数，通常正奇数可以表示为$2n+1$，那么比它大2的相邻奇数就是$2n+3$，二者中间的偶数就是$2n+2$，最后代入已知例子验证是否符合，就能得到规律式子。
【解析】
1. 观察已知等式左侧：$3×5$、$5×7$、$11×13$均为两个连续的正奇数相乘，两个乘数的差为2；
2. 观察已知等式右侧：$4^2-1$、$6^2-1$、$12^2-1$里的底数4、6、12分别是对应左侧两个乘数的中间偶数，右侧均为中间偶数的平方减1；
3. 设n为正整数，用$2n+1$表示较小的正奇数，则较大的相邻正奇数为$2n+1+2=2n+3$，两个数的中间偶数为$2n+2$；
4. 将上述含n的式子代入等式，可得$(2n+1)(2n+3)=(2n+2)^2-1$，代入n=1、2、5等验证，均符合已知式子，规律成立。
【答案】
$(2n+1)(2n+3)=(2n+2)^2-1(n 为正整数)$。(答案不唯一)
【知识点】
数字规律探究；列代数式；整式运算
【点评】
本题考查归纳推理能力，解题核心是先从已知式子中提炼出左右两侧的数字特征，再用字母统一表示规律，最后验证规律的正确性即可，属于规律探究类的基础题型。
【难度系数】
0.7
