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一、填空题
1. 如图，若$∠1=60°$，$∠B=60°$，$∠2=115°$，则$∠A=$
1. 如图，若$∠1=60°$，$∠B=60°$，$∠2=115°$，则$∠A=$
65°
。答案
1. $65°$
解析
【分析】
解题时先观察已知角的关系：首先已知∠1和∠B的度数相等，二者是同位角，根据“同位角相等，两直线平行”可判定AB和CD平行；其次所求的∠A和已知的∠2是平行线AB、CD被AC截得的同旁内角，根据平行线的性质“两直线平行，同旁内角互补”，即可通过∠2的度数计算出∠A的大小。
【解析】
解：
∵ $∠ 1=60°$，$∠ B=60°$
∴ $∠ 1=∠ B$
∴ $AB// CD$（同位角相等，两直线平行）
∴ $∠ A+∠ 2=180°$（两直线平行，同旁内角互补）
∵ $∠ 2=115°$
∴ $∠ A=180°-115°=65°$
【答案】
$65°$
【知识点】
平行线的判定、平行线的性质、角度计算
【点评】
本题属于几何基础题型，核心是结合角的位置关系和数量关系判定平行线，再利用平行线的性质求解未知角，掌握相关定理即可快速作答。
【难度系数】
0.8
解题时先观察已知角的关系：首先已知∠1和∠B的度数相等，二者是同位角，根据“同位角相等，两直线平行”可判定AB和CD平行；其次所求的∠A和已知的∠2是平行线AB、CD被AC截得的同旁内角，根据平行线的性质“两直线平行，同旁内角互补”，即可通过∠2的度数计算出∠A的大小。
【解析】
解：
∵ $∠ 1=60°$，$∠ B=60°$
∴ $∠ 1=∠ B$
∴ $AB// CD$（同位角相等，两直线平行）
∴ $∠ A+∠ 2=180°$（两直线平行，同旁内角互补）
∵ $∠ 2=115°$
∴ $∠ A=180°-115°=65°$
【答案】
$65°$
【知识点】
平行线的判定、平行线的性质、角度计算
【点评】
本题属于几何基础题型，核心是结合角的位置关系和数量关系判定平行线，再利用平行线的性质求解未知角，掌握相关定理即可快速作答。
【难度系数】
0.8
2. 如图，在四边形ABCD中，∠C+∠D=180°，∠A-∠B=40°，则∠B=
70°
.答案
2. $70°$
解析
【分析】
解题时首先回忆四边形内角和定理，先利用四边形内角和为360°，结合已知∠C+∠D=180°，求出∠A与∠B的度数和；再结合题目给出的∠A-∠B=40°的数量关系，通过和差运算即可计算出∠B的度数。
【解析】
根据多边形内角和公式，四边形内角和为：$(4-2)×180°=360°$
已知$∠ C+∠ D=180°$，因此：
$∠ A+∠ B=360°-(∠ C+∠ D)=360°-180°=180°$ ①
又已知$∠ A-∠ B=40°$ ②
用①-②可得：$(∠ A+∠ B)-(∠ A-∠ B)=180°-40°$
化简得：$2∠ B=140°$
解得：$∠ B=70°$
【答案】
$70°$
【知识点】
四边形内角和定理；角的和差计算
【点评】
本题属于基础运算题，核心是利用四边形内角和建立已知角和未知角的联系，再结合两角的差的关系求解，计算量小，解题思路清晰直接。
【难度系数】
0.8
解题时首先回忆四边形内角和定理，先利用四边形内角和为360°，结合已知∠C+∠D=180°，求出∠A与∠B的度数和；再结合题目给出的∠A-∠B=40°的数量关系，通过和差运算即可计算出∠B的度数。
【解析】
根据多边形内角和公式，四边形内角和为：$(4-2)×180°=360°$
已知$∠ C+∠ D=180°$，因此：
$∠ A+∠ B=360°-(∠ C+∠ D)=360°-180°=180°$ ①
又已知$∠ A-∠ B=40°$ ②
用①-②可得：$(∠ A+∠ B)-(∠ A-∠ B)=180°-40°$
化简得：$2∠ B=140°$
解得：$∠ B=70°$
【答案】
$70°$
【知识点】
四边形内角和定理；角的和差计算
【点评】
本题属于基础运算题，核心是利用四边形内角和建立已知角和未知角的联系，再结合两角的差的关系求解，计算量小，解题思路清晰直接。
【难度系数】
0.8
3. 如图，已知$∠ A + ∠ C = 90°$，试再添上一个条件使$∠ 1 = ∠ 2$，添加的条件为________.
答案
3. $∠E=90°$或$AB // CD$
解析
【分析】
要使$∠ 1=∠ 2$，先观察两角的位置特征：$∠ 1$是截线与直线$AB$相交形成的角，$∠ 2$的对顶角是截线与直线$CD$相交形成的同位角，若能推出$AB// CD$，就可根据“两直线平行，同位角相等”得$∠ 1$等于$∠ 2$的对顶角，再结合对顶角相等即可推出$∠ 1=∠ 2$。因此我们可以直接添加$AB// CD$，也可结合已知$∠ A+∠ C=90°$，添加能推出$AB// CD$的$∠ E=90°$，过点$E$作$AB$的平行线即可证明$AB// CD$，满足要求。
【解析】
可添加的条件有两种，验证如下：
1. 添加$AB// CD$：
$\because AB// CD$，
$\therefore ∠ 1$与截线和$CD$相交形成的同位角相等，
又$\because$该同位角与$∠ 2$是对顶角，对顶角相等，
$\therefore ∠ 1=∠ 2$，符合要求。
2. 添加$∠ E=90°$：
过点$E$作$EF// AB$，由两直线平行，内错角相等可得$∠ A=∠ AEF$。
已知$∠ A+∠ C=90°$，$∠ AEC=∠ AEF+∠ FEC=90°$，
代入得$∠ FEC=90°-∠ AEF=90°-∠ A=∠ C$，
由内错角相等，两直线平行可得$EF// CD$。
又$\because EF// AB$，根据平行于同一直线的两条直线互相平行，得$AB// CD$，
同理可推出$∠ 1=∠ 2$，符合要求。
【答案】
$∠ E=90°$（或$AB// CD$，答案不唯一）
【知识点】
平行线的判定、平行线的性质、对顶角的性质
【点评】
本题是开放性条件添加题，核心是逆向推导得到结论成立的关键条件$AB// CD$，再结合已知推导可行的添加条件，重点考查平行线相关知识的综合应用，能锻炼学生的逻辑推理能力。
【难度系数】
0.7
要使$∠ 1=∠ 2$，先观察两角的位置特征：$∠ 1$是截线与直线$AB$相交形成的角，$∠ 2$的对顶角是截线与直线$CD$相交形成的同位角，若能推出$AB// CD$，就可根据“两直线平行，同位角相等”得$∠ 1$等于$∠ 2$的对顶角，再结合对顶角相等即可推出$∠ 1=∠ 2$。因此我们可以直接添加$AB// CD$，也可结合已知$∠ A+∠ C=90°$，添加能推出$AB// CD$的$∠ E=90°$，过点$E$作$AB$的平行线即可证明$AB// CD$，满足要求。
【解析】
可添加的条件有两种，验证如下：
1. 添加$AB// CD$：
$\because AB// CD$，
$\therefore ∠ 1$与截线和$CD$相交形成的同位角相等，
又$\because$该同位角与$∠ 2$是对顶角，对顶角相等，
$\therefore ∠ 1=∠ 2$，符合要求。
2. 添加$∠ E=90°$：
过点$E$作$EF// AB$，由两直线平行，内错角相等可得$∠ A=∠ AEF$。
已知$∠ A+∠ C=90°$，$∠ AEC=∠ AEF+∠ FEC=90°$，
代入得$∠ FEC=90°-∠ AEF=90°-∠ A=∠ C$，
由内错角相等，两直线平行可得$EF// CD$。
又$\because EF// AB$，根据平行于同一直线的两条直线互相平行，得$AB// CD$，
同理可推出$∠ 1=∠ 2$，符合要求。
【答案】
$∠ E=90°$（或$AB// CD$，答案不唯一）
【知识点】
平行线的判定、平行线的性质、对顶角的性质
【点评】
本题是开放性条件添加题，核心是逆向推导得到结论成立的关键条件$AB// CD$，再结合已知推导可行的添加条件，重点考查平行线相关知识的综合应用，能锻炼学生的逻辑推理能力。
【难度系数】
0.7
4. 如图，$∠ ACB=60°$，$∠ ABC=50°$，$BO$，$CO$分别是$∠ ABC$，$∠ ACB$的平分线，$EF$经过点$O$且平行于$BC$，则$∠ BOC$的度数为________.
答案
4. $125°$
解析
【分析】
要求∠BOC的度数，可结合三角形内角和定理求解，我们首先需要得到△BOC中另外两个内角∠OBC、∠OCB的度数。已知BO、CO分别是∠ABC、∠ACB的平分线，可先根据角平分线的性质算出∠OBC和∠OCB的大小，再利用三角形内角和为180°即可求出∠BOC的度数，题干中的EF//BC为多余条件，解题时无需考虑。
【解析】
∵BO平分∠ABC，∠ABC=50°，
∴∠OBC = $\frac{1}{2}$∠ABC = $\frac{1}{2}$×50° = 25°，
∵CO平分∠ACB，∠ACB=60°，
∴∠OCB = $\frac{1}{2}$∠ACB = $\frac{1}{2}$×60° = 30°，
在△BOC中，根据三角形内角和为180°可得：
∠BOC = 180° - ∠OBC - ∠OCB = 180° - 25° - 30° = 125°。
【答案】
$125°$
【知识点】
角平分线的定义，三角形内角和定理
【点评】
本题属于基础几何计算题，解题时要注意筛选题干中的有效条件，不要被无关的平行条件干扰，熟练掌握角平分线性质和三角形内角和定理即可快速求解。
【难度系数】
0.8
要求∠BOC的度数，可结合三角形内角和定理求解，我们首先需要得到△BOC中另外两个内角∠OBC、∠OCB的度数。已知BO、CO分别是∠ABC、∠ACB的平分线，可先根据角平分线的性质算出∠OBC和∠OCB的大小，再利用三角形内角和为180°即可求出∠BOC的度数，题干中的EF//BC为多余条件，解题时无需考虑。
【解析】
∵BO平分∠ABC，∠ABC=50°，
∴∠OBC = $\frac{1}{2}$∠ABC = $\frac{1}{2}$×50° = 25°，
∵CO平分∠ACB，∠ACB=60°，
∴∠OCB = $\frac{1}{2}$∠ACB = $\frac{1}{2}$×60° = 30°，
在△BOC中，根据三角形内角和为180°可得：
∠BOC = 180° - ∠OBC - ∠OCB = 180° - 25° - 30° = 125°。
【答案】
$125°$
【知识点】
角平分线的定义，三角形内角和定理
【点评】
本题属于基础几何计算题，解题时要注意筛选题干中的有效条件，不要被无关的平行条件干扰，熟练掌握角平分线性质和三角形内角和定理即可快速求解。
【难度系数】
0.8
5. 如图，下列推理正确的有________（填序号）.
① 因为$∠1=∠4$，所以$AB // CD$；
② 因为$∠2=∠3$，所以$AE // DF$；
③ 因为$∠1=∠3$，所以$AB // DF$；
④ 因为$AE // DF$，所以$∠1=∠4$；
⑤ 因为$∠1=∠4$，$∠2=∠3$，所以$AB // CD$.
① 因为$∠1=∠4$，所以$AB // CD$；
② 因为$∠2=∠3$，所以$AE // DF$；
③ 因为$∠1=∠3$，所以$AB // DF$；
④ 因为$AE // DF$，所以$∠1=∠4$；
⑤ 因为$∠1=∠4$，$∠2=∠3$，所以$AB // CD$.
答案
5. ②⑤
解析
【分析】
本题考查平行线的判定与性质的应用，解题思路如下：首先明确平行线的判定规则（内错角相等，两直线平行）和平行线的性质（两直线平行，内错角相等）；然后逐个判断每个推理中的角对应哪两条直线被第三条直线所截，验证角的关系是否能推出对应的平行结论，或平行关系是否能推出对应的角相等。
【解析】
我们对每个推理逐一验证：
1. 推理①：∠1和∠4不是直线AB、CD被同一条直线所截得到的内错角，因此∠1=∠4不能推出AB//CD，①错误；
2. 推理②：∠2和∠3是直线AE、DF被直线AD所截得到的内错角，根据“内错角相等，两直线平行”，可由∠2=∠3推出AE//DF，②正确；
3. 推理③：∠1和∠3不是直线AB、DF被同一条直线所截得到的内错角，因此∠1=∠3不能推出AB//DF，③错误；
4. 推理④：若AE//DF，根据“两直线平行，内错角相等”，只能得到∠2=∠3，无法推出∠1=∠4，④错误；
5. 推理⑤：已知∠1=∠4，∠2=∠3，根据等式的性质可得∠1+∠2=∠3+∠4，即∠BAD=∠CDA；∠BAD和∠CDA是直线AB、CD被直线AD所截得到的内错角，根据“内错角相等，两直线平行”，可推出AB//CD，⑤正确。
综上，推理正确的是②⑤。
【答案】
②⑤
【知识点】
平行线的判定、平行线的性质
【点评】
本题的易错点是识别角时混淆对应的被截直线，解题时要先准确判断角的位置关系，再结合平行线的相关定理判断推理是否成立，属于平行线基础知识点的常规考查题型。
【难度系数】
0.7
本题考查平行线的判定与性质的应用，解题思路如下：首先明确平行线的判定规则（内错角相等，两直线平行）和平行线的性质（两直线平行，内错角相等）；然后逐个判断每个推理中的角对应哪两条直线被第三条直线所截，验证角的关系是否能推出对应的平行结论，或平行关系是否能推出对应的角相等。
【解析】
我们对每个推理逐一验证：
1. 推理①：∠1和∠4不是直线AB、CD被同一条直线所截得到的内错角，因此∠1=∠4不能推出AB//CD，①错误；
2. 推理②：∠2和∠3是直线AE、DF被直线AD所截得到的内错角，根据“内错角相等，两直线平行”，可由∠2=∠3推出AE//DF，②正确；
3. 推理③：∠1和∠3不是直线AB、DF被同一条直线所截得到的内错角，因此∠1=∠3不能推出AB//DF，③错误；
4. 推理④：若AE//DF，根据“两直线平行，内错角相等”，只能得到∠2=∠3，无法推出∠1=∠4，④错误；
5. 推理⑤：已知∠1=∠4，∠2=∠3，根据等式的性质可得∠1+∠2=∠3+∠4，即∠BAD=∠CDA；∠BAD和∠CDA是直线AB、CD被直线AD所截得到的内错角，根据“内错角相等，两直线平行”，可推出AB//CD，⑤正确。
综上，推理正确的是②⑤。
【答案】
②⑤
【知识点】
平行线的判定、平行线的性质
【点评】
本题的易错点是识别角时混淆对应的被截直线，解题时要先准确判断角的位置关系，再结合平行线的相关定理判断推理是否成立，属于平行线基础知识点的常规考查题型。
【难度系数】
0.7
