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9. 用换元法解分式方程$\dfrac{x - 1}{x} - \dfrac{3x}{x - 1} + 1 = 0$时，设$\dfrac{x - 1}{x} = y$，则原方程可化为关于$y$的整式方程，这个整式方程是（
A.$y^2 + y - 3 = 0$
B.$y^2 - 3y + 1 = 0$
C.$3y^2 - y + 1 = 0$
D.$3y^2 - y - 1 = 0$
A
）.A.$y^2 + y - 3 = 0$
B.$y^2 - 3y + 1 = 0$
C.$3y^2 - y + 1 = 0$
D.$3y^2 - y - 1 = 0$
答案
9. A
解析
【分析】
本题用换元法化简分式方程，解题思路如下：第一步，根据题目给出的换元设定$\dfrac{x-1}{x}=y$，可推出$\dfrac{x}{x-1}$是$y$的倒数，因此$\dfrac{3x}{x-1}=\dfrac{3}{y}$；第二步，将原方程中的两个分式全部替换为含$y$的代数式；第三步，给得到的分式方程两边同乘$y$去分母，整理后即可得到对应的整式方程，注意去分母时不要漏乘常数项1。
【解析】
解：已知设$\dfrac{x-1}{x}=y$，根据倒数的性质可得$\dfrac{x}{x-1}=\dfrac{1}{y}$，因此$\dfrac{3x}{x-1}=\dfrac{3}{y}$。
将$\dfrac{x-1}{x}=y$、$\dfrac{3x}{x-1}=\dfrac{3}{y}$代入原方程，可得：
$y - \dfrac{3}{y} + 1 = 0$
方程两边同时乘以$y$（$y≠0$，否则原分式无意义）去分母，得：
$y^2 + y - 3 = 0$
因此得到的整式方程为$y^2 + y - 3 = 0$，对应选项A。
【答案】
A
【知识点】
换元法解分式方程，分式方程去分母，倒数的性质
【点评】
本题是换元法解分式方程的基础题型，核心是识别出方程中互为倒数的两个分式，通过换元简化方程，去分母时需注意给每一项都乘最简公分母，避免漏乘常数项出错。
【难度系数】
0.8
本题用换元法化简分式方程，解题思路如下：第一步，根据题目给出的换元设定$\dfrac{x-1}{x}=y$，可推出$\dfrac{x}{x-1}$是$y$的倒数，因此$\dfrac{3x}{x-1}=\dfrac{3}{y}$；第二步，将原方程中的两个分式全部替换为含$y$的代数式；第三步，给得到的分式方程两边同乘$y$去分母，整理后即可得到对应的整式方程，注意去分母时不要漏乘常数项1。
【解析】
解：已知设$\dfrac{x-1}{x}=y$，根据倒数的性质可得$\dfrac{x}{x-1}=\dfrac{1}{y}$，因此$\dfrac{3x}{x-1}=\dfrac{3}{y}$。
将$\dfrac{x-1}{x}=y$、$\dfrac{3x}{x-1}=\dfrac{3}{y}$代入原方程，可得：
$y - \dfrac{3}{y} + 1 = 0$
方程两边同时乘以$y$（$y≠0$，否则原分式无意义）去分母，得：
$y^2 + y - 3 = 0$
因此得到的整式方程为$y^2 + y - 3 = 0$，对应选项A。
【答案】
A
【知识点】
换元法解分式方程，分式方程去分母，倒数的性质
【点评】
本题是换元法解分式方程的基础题型，核心是识别出方程中互为倒数的两个分式，通过换元简化方程，去分母时需注意给每一项都乘最简公分母，避免漏乘常数项出错。
【难度系数】
0.8
10. 若$a^2 + b^2 = 6ab$，且$a ＞ b ＞ 0$，则$(\dfrac{a + b}{a - b})^2$的值为（
A.0.25
B.4
C.2
D.0.5
C
）.A.0.25
B.4
C.2
D.0.5
答案
10. C
解析
【分析】
解题时首先观察所求式子的结构，发现是两个和差式的比值的平方，可先利用完全平方公式分别展开分子、分母的平方项，再结合已知条件$a^2+b^2=6ab$，将$a^2+b^2$作为整体代入展开后的式子，化简后即可求出结果，不需要单独求解a、b的具体数值。
【解析】
首先对所求代数式变形：
$(\dfrac{a + b}{a - b})^2 = \dfrac{(a+b)^2}{(a-b)^2}$
根据完全平方公式展开分子、分母：
分子$(a+b)^2 = a^2 + 2ab + b^2$，分母$(a-b)^2 = a^2 - 2ab + b^2$
已知$a^2 + b^2 = 6ab$，将其代入分子、分母：
分子$= 6ab + 2ab = 8ab$，分母$= 6ab - 2ab = 4ab$
因为$a＞b＞0$，所以$ab ≠ 0$，可约分化简：
$\dfrac{8ab}{4ab} = 2$
【答案】
C
【知识点】
完全平方公式，分式化简，整体代入求值
【点评】
本题重点考查完全平方公式的灵活应用，解题核心是利用整体代入的思想，将已知的$a^2+b^2$的值直接代入展开后的代数式，避免了单独求解a、b的繁琐过程，是代数式求值类问题的常见考法。
【难度系数】
0.7
解题时首先观察所求式子的结构，发现是两个和差式的比值的平方，可先利用完全平方公式分别展开分子、分母的平方项，再结合已知条件$a^2+b^2=6ab$，将$a^2+b^2$作为整体代入展开后的式子，化简后即可求出结果，不需要单独求解a、b的具体数值。
【解析】
首先对所求代数式变形：
$(\dfrac{a + b}{a - b})^2 = \dfrac{(a+b)^2}{(a-b)^2}$
根据完全平方公式展开分子、分母：
分子$(a+b)^2 = a^2 + 2ab + b^2$，分母$(a-b)^2 = a^2 - 2ab + b^2$
已知$a^2 + b^2 = 6ab$，将其代入分子、分母：
分子$= 6ab + 2ab = 8ab$，分母$= 6ab - 2ab = 4ab$
因为$a＞b＞0$，所以$ab ≠ 0$，可约分化简：
$\dfrac{8ab}{4ab} = 2$
【答案】
C
【知识点】
完全平方公式，分式化简，整体代入求值
【点评】
本题重点考查完全平方公式的灵活应用，解题核心是利用整体代入的思想，将已知的$a^2+b^2$的值直接代入展开后的代数式，避免了单独求解a、b的繁琐过程，是代数式求值类问题的常见考法。
【难度系数】
0.7
三、解答题
11. 已知关于 $ x $ 的方程 $ \frac{2}{x+1} + \frac{3}{x-1} = \frac{k}{x^2 - 1} $ 有增根，求 $ k $ 的值.
11. 已知关于 $ x $ 的方程 $ \frac{2}{x+1} + \frac{3}{x-1} = \frac{k}{x^2 - 1} $ 有增根，求 $ k $ 的值.
答案
11. $k=6$ 或 $k=-4$
解析
【分析】
要解决分式方程有增根求参数的问题，首先要明确增根的性质：增根是使分式方程分母为0的根，同时也是去分母后得到的整式方程的根。解题思路分为三步：第一步先找出原方程所有可能的增根，也就是让各分母为0的x的值；第二步将分式方程去分母转化为整式方程；第三步把可能的增根分别代入整式方程，即可求出对应的k值。
【解析】
解：首先确定原方程的增根可能取值：
原方程分母为$x+1$、$x-1$、$x^2-1$，令分母为0，得$x^2-1=0$，解得$x=1$或$x=-1$，即原方程的增根只能是1或-1。
将原方程两边同时乘以最简公分母$x^2-1=(x+1)(x-1)$去分母，得：
$2(x-1) + 3(x+1) = k$
整理整式方程：
去括号：$2x - 2 + 3x + 3 = k$
合并同类项：$5x + 1 = k$
分别将增根代入整式方程求k：
①当$x=1$时，$k=5×1 +1=6$；
②当$x=-1$时，$k=5×(-1)+1=-4$。
综上，k的值为6或-4。
【答案】
$k=6$或$k=-4$
【知识点】
1. 分式方程增根的定义
2. 分式方程的解法
【点评】
本题是分式方程增根问题的常规考法，解题核心是牢牢抓住增根的两个必备条件，确定增根的可能取值后代入整式方程计算即可，注意不要漏算任何一个可能的增根。
【难度系数】
0.6
要解决分式方程有增根求参数的问题，首先要明确增根的性质：增根是使分式方程分母为0的根，同时也是去分母后得到的整式方程的根。解题思路分为三步：第一步先找出原方程所有可能的增根，也就是让各分母为0的x的值；第二步将分式方程去分母转化为整式方程；第三步把可能的增根分别代入整式方程，即可求出对应的k值。
【解析】
解：首先确定原方程的增根可能取值：
原方程分母为$x+1$、$x-1$、$x^2-1$，令分母为0，得$x^2-1=0$，解得$x=1$或$x=-1$，即原方程的增根只能是1或-1。
将原方程两边同时乘以最简公分母$x^2-1=(x+1)(x-1)$去分母，得：
$2(x-1) + 3(x+1) = k$
整理整式方程：
去括号：$2x - 2 + 3x + 3 = k$
合并同类项：$5x + 1 = k$
分别将增根代入整式方程求k：
①当$x=1$时，$k=5×1 +1=6$；
②当$x=-1$时，$k=5×(-1)+1=-4$。
综上，k的值为6或-4。
【答案】
$k=6$或$k=-4$
【知识点】
1. 分式方程增根的定义
2. 分式方程的解法
【点评】
本题是分式方程增根问题的常规考法，解题核心是牢牢抓住增根的两个必备条件，确定增根的可能取值后代入整式方程计算即可，注意不要漏算任何一个可能的增根。
【难度系数】
0.6
12. 已知$A=\dfrac{1}{x-2}$，$B=\dfrac{2}{x^2 - 4}$，$C=\dfrac{x}{x+2}$，试化简$(A - B) ÷ C$和$A - B ÷ C$，并求当$x=1$时的值。
答案
12. $(A - B) ÷ C = \dfrac{1}{x-2} = -1$，$A - B ÷ C = \dfrac{1}{x} = 1$
解析
【分析】
解题时先明确两个式子的运算顺序：①计算$(A-B)÷C$时，先算括号内的$A-B$，分式减法先通分统一分母，计算出结果后将除法转化为乘法，约分得到最简形式再代入$x=1$求值；②计算$A-B÷C$时，先算除法部分$B÷C$，将除法转化为乘法约分后，再和$A$做减法运算，通分化简后代入$x=1$求值，运算全程要保证各分式分母不为0。
【解析】
化简并求$(A-B)÷C$的值：
1. 先算括号内的$A-B$：
对$A$通分可得$A=\frac{1}{x-2}=\frac{x+2}{(x-2)(x+2)}=\frac{x+2}{x^2-4}$，已知$B=\frac{2}{x^2-4}$，则：
$A-B=\frac{x+2}{x^2-4}-\frac{2}{x^2-4}=\frac{x+2-2}{x^2-4}=\frac{x}{x^2-4}$
2. 再计算除法，除以$C$等于乘$C$的倒数：
$(A-B)÷C=\frac{x}{x^2-4}÷\frac{x}{x+2}=\frac{x}{(x-2)(x+2)}×\frac{x+2}{x}$
约分后得最简形式：$\frac{1}{x-2}$
3. 代入$x=1$求值：
当$x=1$时，原式$=\frac{1}{1-2}=-1$
---
化简并求$A-B÷C$的值：
1. 先算除法$B÷C$：
$B÷C=\frac{2}{x^2-4}÷\frac{x}{x+2}=\frac{2}{(x-2)(x+2)}×\frac{x+2}{x}$
约分后得：$\frac{2}{x(x-2)}$
2. 再计算减法，对$A$通分后计算：
$A=\frac{1}{x-2}=\frac{x}{x(x-2)}$，则：
$A-B÷C=\frac{x}{x(x-2)}-\frac{2}{x(x-2)}=\frac{x-2}{x(x-2)}$
约分后得最简形式：$\frac{1}{x}$
3. 代入$x=1$求值：
当$x=1$时，原式$=\frac{1}{1}=1$
【答案】
$(A - B) ÷ C = \dfrac{1}{x-2} = -1$，$A - B ÷ C = \dfrac{1}{x} = 1$
【知识点】
分式混合运算，通分与约分，分式化简求值
【点评】
本题核心考查分式的运算规则，需牢记先乘除后加减、有括号优先算括号内的顺序，运算过程中要注意通分的正确性和约分时公因式的提取，代入数值前需确认所有分母不为0，避免分式无意义。
【难度系数】
0.7
解题时先明确两个式子的运算顺序：①计算$(A-B)÷C$时，先算括号内的$A-B$，分式减法先通分统一分母，计算出结果后将除法转化为乘法，约分得到最简形式再代入$x=1$求值；②计算$A-B÷C$时，先算除法部分$B÷C$，将除法转化为乘法约分后，再和$A$做减法运算，通分化简后代入$x=1$求值，运算全程要保证各分式分母不为0。
【解析】
化简并求$(A-B)÷C$的值：
1. 先算括号内的$A-B$：
对$A$通分可得$A=\frac{1}{x-2}=\frac{x+2}{(x-2)(x+2)}=\frac{x+2}{x^2-4}$，已知$B=\frac{2}{x^2-4}$，则：
$A-B=\frac{x+2}{x^2-4}-\frac{2}{x^2-4}=\frac{x+2-2}{x^2-4}=\frac{x}{x^2-4}$
2. 再计算除法，除以$C$等于乘$C$的倒数：
$(A-B)÷C=\frac{x}{x^2-4}÷\frac{x}{x+2}=\frac{x}{(x-2)(x+2)}×\frac{x+2}{x}$
约分后得最简形式：$\frac{1}{x-2}$
3. 代入$x=1$求值：
当$x=1$时，原式$=\frac{1}{1-2}=-1$
---
化简并求$A-B÷C$的值：
1. 先算除法$B÷C$：
$B÷C=\frac{2}{x^2-4}÷\frac{x}{x+2}=\frac{2}{(x-2)(x+2)}×\frac{x+2}{x}$
约分后得：$\frac{2}{x(x-2)}$
2. 再计算减法，对$A$通分后计算：
$A=\frac{1}{x-2}=\frac{x}{x(x-2)}$，则：
$A-B÷C=\frac{x}{x(x-2)}-\frac{2}{x(x-2)}=\frac{x-2}{x(x-2)}$
约分后得最简形式：$\frac{1}{x}$
3. 代入$x=1$求值：
当$x=1$时，原式$=\frac{1}{1}=1$
【答案】
$(A - B) ÷ C = \dfrac{1}{x-2} = -1$，$A - B ÷ C = \dfrac{1}{x} = 1$
【知识点】
分式混合运算，通分与约分，分式化简求值
【点评】
本题核心考查分式的运算规则，需牢记先乘除后加减、有括号优先算括号内的顺序，运算过程中要注意通分的正确性和约分时公因式的提取，代入数值前需确认所有分母不为0，避免分式无意义。
【难度系数】
0.7
