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1. 若$ab=-1$，$a+b=2$，则$\dfrac{b}{a}+\dfrac{a}{b}=$______.
答案
1. -6
解析
【分析】
首先观察所求代数式是两个异分母分式的和，解题时第一步先对其通分，可转化为$\dfrac{a^2+b^2}{ab}$的形式。已知$ab$的取值，因此只需要求出$a^2+b^2$的值即可。结合已学的完全平方公式变形可得$a^2+b^2=(a+b)^2-2ab$，恰好已知$a+b$和$ab$的值，将已知条件整体代入计算，就能得到最终结果，不需要单独求解$a$、$b$的具体数值。
【解析】
先对所求代数式通分：
$\dfrac{b}{a}+\dfrac{a}{b}=\dfrac{b^2+a^2}{ab}$
根据完全平方公式变形得：
$a^2+b^2=(a+b)^2-2ab$
将$ab=-1$，$a+b=2$代入上式：
$a^2+b^2=2^2-2×(-1)=4+2=6$
再将$a^2+b^2=6$，$ab=-1$代入通分后的式子：
$\dfrac{b}{a}+\dfrac{a}{b}=\dfrac{6}{-1}=-6$
【答案】
-6
【知识点】
1. 分式加减法运算
2. 完全平方公式
3. 整体代入求值
【点评】
本题是代数式求值类的常见题型，解题关键在于灵活运用通分法则和完全平方公式的变形，将未知代数式转化为包含已知条件的结构，通过整体代入的方法简化计算，避免了求解未知参数具体值的繁琐步骤。
【难度系数】
0.7
首先观察所求代数式是两个异分母分式的和，解题时第一步先对其通分，可转化为$\dfrac{a^2+b^2}{ab}$的形式。已知$ab$的取值，因此只需要求出$a^2+b^2$的值即可。结合已学的完全平方公式变形可得$a^2+b^2=(a+b)^2-2ab$，恰好已知$a+b$和$ab$的值，将已知条件整体代入计算，就能得到最终结果，不需要单独求解$a$、$b$的具体数值。
【解析】
先对所求代数式通分：
$\dfrac{b}{a}+\dfrac{a}{b}=\dfrac{b^2+a^2}{ab}$
根据完全平方公式变形得：
$a^2+b^2=(a+b)^2-2ab$
将$ab=-1$，$a+b=2$代入上式：
$a^2+b^2=2^2-2×(-1)=4+2=6$
再将$a^2+b^2=6$，$ab=-1$代入通分后的式子：
$\dfrac{b}{a}+\dfrac{a}{b}=\dfrac{6}{-1}=-6$
【答案】
-6
【知识点】
1. 分式加减法运算
2. 完全平方公式
3. 整体代入求值
【点评】
本题是代数式求值类的常见题型，解题关键在于灵活运用通分法则和完全平方公式的变形，将未知代数式转化为包含已知条件的结构，通过整体代入的方法简化计算，避免了求解未知参数具体值的繁琐步骤。
【难度系数】
0.7
2. 当 $ m = \underline{\hspace{3em}} $ 时，关于 $ x $ 的分式方程 $ \dfrac{2x + m}{x - 3} = -1 $ 无解。
答案
2. -6
解析
【分析】要解决分式方程无解求参数的问题，首先需明确分式方程无解的两种情况：一是去分母后得到的整式方程本身无解；二是整式方程的解为原分式方程的增根（即使原分式方程分母为0的未知数的值）。本题先将分式方程去分母转化为整式方程，观察可知该整式方程是一元一次方程，必然有解，因此只需考虑解为增根的情况：原方程分母为x-3，因此增根为x=3，将x=3代入整式方程即可求出m的值。
【解析】
解：给原分式方程两边同时乘以最简公分母$x-3$（默认$x≠3$），去分母得：
$2x + m = -(x - 3)$
整理得：
$2x + m = -x + 3$
移项、合并同类项得：
$3x = 3 - m$
系数化为1得：
$x = \dfrac{3 - m}{3}$
∵ 原分式方程无解
∴ 整式方程的解是原方程的增根，即$x=3$
将$x=3$代入$x = \dfrac{3 - m}{3}$得：
$3 = \dfrac{3 - m}{3}$
两边同乘3得：
$9 = 3 - m$
解得：$m = -6$
【答案】
$-6$
【知识点】
分式方程的增根；分式方程无解判定；解分式方程
【点评】
本题主要考查分式方程无解的相关应用，解题关键是明确增根的含义：增根是去分母后整式方程的解，同时会使原分式方程的分母为0，熟练掌握解分式方程的步骤是解决此类问题的基础。
【难度系数】
0.6
【解析】
解：给原分式方程两边同时乘以最简公分母$x-3$（默认$x≠3$），去分母得：
$2x + m = -(x - 3)$
整理得：
$2x + m = -x + 3$
移项、合并同类项得：
$3x = 3 - m$
系数化为1得：
$x = \dfrac{3 - m}{3}$
∵ 原分式方程无解
∴ 整式方程的解是原方程的增根，即$x=3$
将$x=3$代入$x = \dfrac{3 - m}{3}$得：
$3 = \dfrac{3 - m}{3}$
两边同乘3得：
$9 = 3 - m$
解得：$m = -6$
【答案】
$-6$
【知识点】
分式方程的增根；分式方程无解判定；解分式方程
【点评】
本题主要考查分式方程无解的相关应用，解题关键是明确增根的含义：增根是去分母后整式方程的解，同时会使原分式方程的分母为0，熟练掌握解分式方程的步骤是解决此类问题的基础。
【难度系数】
0.6
3. 若$a + \dfrac{1}{a} = 3$，则$a^2 + \dfrac{1}{a^2} = \_\_\_\_\_\_$.
答案
3. 7
解析
【分析】
本题已知$a+\frac{1}{a}$的值，要求$a^2+\frac{1}{a^2}$的值，解题核心是利用完全平方公式建立两个代数式的联系。首先回忆完全平方公式：$(x+y)^2=x^2+2xy+y^2$，观察发现将已知等式两边平方后，展开式中会出现所求的$a^2+\frac{1}{a^2}$，且中间交叉项$2· a·\frac{1}{a}$可化简为常数，整理后即可求出结果。
【解析】
解：已知$a + \dfrac{1}{a} = 3$，将等式两边同时平方，得：
$(a+\dfrac{1}{a})^2=3^2$
根据完全平方公式展开左边：
$a^2 + 2· a·\dfrac{1}{a} + \dfrac{1}{a^2}=9$
化简中间项$2· a·\dfrac{1}{a}=2$，可得：
$a^2 + 2 + \dfrac{1}{a^2}=9$
移项计算得：
$a^2 + \dfrac{1}{a^2}=9-2=7$
【答案】
7
【知识点】
完全平方公式；代数式求值
【点评】
本题是完全平方公式的典型应用题型，解题关键是观察已知和所求代数式的结构特征，通过对已知等式平方的方式建立关联，不需要求出$a$的具体值即可直接求解，是代数式变形类的常考基础题。
【难度系数】
0.7
本题已知$a+\frac{1}{a}$的值，要求$a^2+\frac{1}{a^2}$的值，解题核心是利用完全平方公式建立两个代数式的联系。首先回忆完全平方公式：$(x+y)^2=x^2+2xy+y^2$，观察发现将已知等式两边平方后，展开式中会出现所求的$a^2+\frac{1}{a^2}$，且中间交叉项$2· a·\frac{1}{a}$可化简为常数，整理后即可求出结果。
【解析】
解：已知$a + \dfrac{1}{a} = 3$，将等式两边同时平方，得：
$(a+\dfrac{1}{a})^2=3^2$
根据完全平方公式展开左边：
$a^2 + 2· a·\dfrac{1}{a} + \dfrac{1}{a^2}=9$
化简中间项$2· a·\dfrac{1}{a}=2$，可得：
$a^2 + 2 + \dfrac{1}{a^2}=9$
移项计算得：
$a^2 + \dfrac{1}{a^2}=9-2=7$
【答案】
7
【知识点】
完全平方公式；代数式求值
【点评】
本题是完全平方公式的典型应用题型，解题关键是观察已知和所求代数式的结构特征，通过对已知等式平方的方式建立关联，不需要求出$a$的具体值即可直接求解，是代数式变形类的常考基础题。
【难度系数】
0.7
4. 若$\frac{8x + 9}{(x + 3)(x - 2)} = \frac{A}{x + 3} + \frac{B}{x - 2}$，A，B都是常数，则$A=$
3
，$B=$5
.答案
4. A=3，B=5
解析
【分析】
本题是分式恒等求参数的问题，解题思路如下：首先等式右侧是两个异分母分式相加，我们先对右侧通分，通分后右侧分式的分母和左侧分式的分母完全相同，要使两个分式相等，只要让它们的分子相等即可；随后将右侧的分子展开整理，根据等式两边x的系数和常数项分别对应相等，列出关于A、B的二元一次方程组，解方程组就能求出A、B的值。
【解析】
第一步：对等式右侧的分式通分：
$\frac{A}{x+3}+\frac{B}{x-2}=\frac{A(x-2)+B(x+3)}{(x+3)(x-2)}$
第二步：根据左右两边分式相等且分母相同，可得分子相等：
$8x + 9 = A(x-2)+B(x+3)$
第三步：展开并整理右侧的式子：
$A(x-2)+B(x+3)=Ax-2A+Bx+3B=(A+B)x + (-2A+3B)$
第四步：根据等式两边同类项系数对应相等，列方程组：
$\begin{cases}A+B=8\\-2A+3B=9\end{cases}$
第五步：解方程组：
由第一个方程得$A=8-B$，代入第二个方程：
$-2(8-B)+3B=9$
$-16+2B+3B=9$
$5B=25$，解得$B=5$
将$B=5$代入$A=8-B$，得$A=8-5=3$
【答案】
$A=3$，$B=5$
【知识点】
分式通分；多项式恒等性质；解二元一次方程组
【点评】
本题属于分式运算的基础题型，核心是利用分式相等的条件转化为多项式恒等问题，通过对应系数相等建立方程求解，掌握通分运算和多项式同类项系数相等的规律是解题的关键。
【难度系数】
0.75
本题是分式恒等求参数的问题，解题思路如下：首先等式右侧是两个异分母分式相加，我们先对右侧通分，通分后右侧分式的分母和左侧分式的分母完全相同，要使两个分式相等，只要让它们的分子相等即可；随后将右侧的分子展开整理，根据等式两边x的系数和常数项分别对应相等，列出关于A、B的二元一次方程组，解方程组就能求出A、B的值。
【解析】
第一步：对等式右侧的分式通分：
$\frac{A}{x+3}+\frac{B}{x-2}=\frac{A(x-2)+B(x+3)}{(x+3)(x-2)}$
第二步：根据左右两边分式相等且分母相同，可得分子相等：
$8x + 9 = A(x-2)+B(x+3)$
第三步：展开并整理右侧的式子：
$A(x-2)+B(x+3)=Ax-2A+Bx+3B=(A+B)x + (-2A+3B)$
第四步：根据等式两边同类项系数对应相等，列方程组：
$\begin{cases}A+B=8\\-2A+3B=9\end{cases}$
第五步：解方程组：
由第一个方程得$A=8-B$，代入第二个方程：
$-2(8-B)+3B=9$
$-16+2B+3B=9$
$5B=25$，解得$B=5$
将$B=5$代入$A=8-B$，得$A=8-5=3$
【答案】
$A=3$，$B=5$
【知识点】
分式通分；多项式恒等性质；解二元一次方程组
【点评】
本题属于分式运算的基础题型，核心是利用分式相等的条件转化为多项式恒等问题，通过对应系数相等建立方程求解，掌握通分运算和多项式同类项系数相等的规律是解题的关键。
【难度系数】
0.75
5. 瑞士数学教师巴尔末成功地从光谱数据$\frac{9}{5}$，$\frac{16}{12}$，$\frac{25}{21}$，$\frac{36}{32}$，…中得到巴尔末公式，从而打开了光谱奥妙的大门. 按这种规律，第$n$个数据是$\underline{\hspace{5cm}}$.
答案
5. $\dfrac{(n+2)^2}{(n+2)^2 -4}$
解析
【分析】
解决这类数字规律题，我们可以分别观察分子、分母的变化规律：首先把每个数据对应序号n=1、2、3、4拆分来看，先找分子的规律，再找分母的规律，最后归纳出第n个数据的表达式。第一步看分子：第1个分子是9=3²，第2个是16=4²，第3个是25=5²，第4个是36=6²，底数3、4、5、6分别对应序号加2，可得分子规律为(n+2)²；第二步看分母：第1个分母5=9-4，第2个12=16-4，第3个21=25-4，第4个32=36-4，可发现每个分母都比对应分子小4，因此分母规律为分子减4，也就是(n+2)²-4。
【解析】
我们将前4个数据对应序号n=1、2、3、4分别分析：
当n=1时，第1个数据：$\frac{9}{5}=\frac{3^2}{3^2 - 4}=\frac{(1+2)^2}{(1+2)^2 - 4}$
当n=2时，第2个数据：$\frac{16}{12}=\frac{4^2}{4^2 - 4}=\frac{(2+2)^2}{(2+2)^2 - 4}$
当n=3时，第3个数据：$\frac{25}{21}=\frac{5^2}{5^2 - 4}=\frac{(3+2)^2}{(3+2)^2 - 4}$
当n=4时，第4个数据：$\frac{36}{32}=\frac{6^2}{6^2 - 4}=\frac{(4+2)^2}{(4+2)^2 - 4}$
按此规律，第n个数据的分子为$(n+2)^2$，分母为$(n+2)^2 - 4$，因此第n个数据是$\frac{(n+2)^2}{(n+2)^2 -4}$。
【答案】
$\dfrac{(n+2)^2}{(n+2)^2 -4}$
【知识点】
数字规律探究、列代数式
【点评】
本题是典型的规律探究类题目，解题的核心是分别观察分子、分母与序号的对应关系，也可通过对比同一数据中分子和分母的差值快速找到规律，重点考查学生的观察能力与归纳总结能力。
【难度系数】
0.7
解决这类数字规律题，我们可以分别观察分子、分母的变化规律：首先把每个数据对应序号n=1、2、3、4拆分来看，先找分子的规律，再找分母的规律，最后归纳出第n个数据的表达式。第一步看分子：第1个分子是9=3²，第2个是16=4²，第3个是25=5²，第4个是36=6²，底数3、4、5、6分别对应序号加2，可得分子规律为(n+2)²；第二步看分母：第1个分母5=9-4，第2个12=16-4，第3个21=25-4，第4个32=36-4，可发现每个分母都比对应分子小4，因此分母规律为分子减4，也就是(n+2)²-4。
【解析】
我们将前4个数据对应序号n=1、2、3、4分别分析：
当n=1时，第1个数据：$\frac{9}{5}=\frac{3^2}{3^2 - 4}=\frac{(1+2)^2}{(1+2)^2 - 4}$
当n=2时，第2个数据：$\frac{16}{12}=\frac{4^2}{4^2 - 4}=\frac{(2+2)^2}{(2+2)^2 - 4}$
当n=3时，第3个数据：$\frac{25}{21}=\frac{5^2}{5^2 - 4}=\frac{(3+2)^2}{(3+2)^2 - 4}$
当n=4时，第4个数据：$\frac{36}{32}=\frac{6^2}{6^2 - 4}=\frac{(4+2)^2}{(4+2)^2 - 4}$
按此规律，第n个数据的分子为$(n+2)^2$，分母为$(n+2)^2 - 4$，因此第n个数据是$\frac{(n+2)^2}{(n+2)^2 -4}$。
【答案】
$\dfrac{(n+2)^2}{(n+2)^2 -4}$
【知识点】
数字规律探究、列代数式
【点评】
本题是典型的规律探究类题目，解题的核心是分别观察分子、分母与序号的对应关系，也可通过对比同一数据中分子和分母的差值快速找到规律，重点考查学生的观察能力与归纳总结能力。
【难度系数】
0.7
6. 如果把分式$\dfrac{x + y}{2xy}$中的$x$和$y$都扩大为原来的3倍，那么分式$\dfrac{x + y}{2xy}$的值（
A.变为原来的3倍
B.不变
C.变为原来的$\dfrac{1}{3}$
D.变为原来的$\dfrac{1}{6}$
C
）.A.变为原来的3倍
B.不变
C.变为原来的$\dfrac{1}{3}$
D.变为原来的$\dfrac{1}{6}$
答案
6. C
解析
【分析】
解题时首先明确题目要求：将x、y都扩大为原来的3倍，我们只需要把原分式中的x替换成3x、y替换成3y，再对新得到的分式进行化简，最后将化简后的结果和原分式对比，就能判断分式值的变化情况。
【解析】
将原分式中的x替换为3x，y替换为3y，代入得：
新分式 = $\dfrac{3x + 3y}{2 · 3x · 3y}$
先对分子提取公因式，分母计算乘法：
分子：$3x + 3y = 3(x + y)$
分母：$2 · 3x · 3y = 18xy$
因此新分式可写为：$\dfrac{3(x + y)}{18xy}$
约分，分子分母同时除以3，得：$\dfrac{x + y}{6xy}$
原分式为$\dfrac{x + y}{2xy}$，将新分式变形为和原分式相关的形式：
$\dfrac{x + y}{6xy} = \dfrac{1}{3} × \dfrac{x + y}{2xy}$
即新分式的值是原来的$\dfrac{1}{3}$。
【答案】
C
【知识点】
分式的基本性质，分式化简
【点评】
本题属于分式性质的基础应用题型，解题核心是按要求替换变量后正确化简分式，再通过和原式对比得到变化倍数，计算时注意不要漏乘分子或分母的倍数即可。
【难度系数】
0.8
解题时首先明确题目要求：将x、y都扩大为原来的3倍，我们只需要把原分式中的x替换成3x、y替换成3y，再对新得到的分式进行化简，最后将化简后的结果和原分式对比，就能判断分式值的变化情况。
【解析】
将原分式中的x替换为3x，y替换为3y，代入得：
新分式 = $\dfrac{3x + 3y}{2 · 3x · 3y}$
先对分子提取公因式，分母计算乘法：
分子：$3x + 3y = 3(x + y)$
分母：$2 · 3x · 3y = 18xy$
因此新分式可写为：$\dfrac{3(x + y)}{18xy}$
约分，分子分母同时除以3，得：$\dfrac{x + y}{6xy}$
原分式为$\dfrac{x + y}{2xy}$，将新分式变形为和原分式相关的形式：
$\dfrac{x + y}{6xy} = \dfrac{1}{3} × \dfrac{x + y}{2xy}$
即新分式的值是原来的$\dfrac{1}{3}$。
【答案】
C
【知识点】
分式的基本性质，分式化简
【点评】
本题属于分式性质的基础应用题型，解题核心是按要求替换变量后正确化简分式，再通过和原式对比得到变化倍数，计算时注意不要漏乘分子或分母的倍数即可。
【难度系数】
0.8
7. 化简 $ x - 1 - \dfrac{x^2 + 1}{x - 1} $ 的结果是(
A.$ \dfrac{1}{x - 1} $
B.$ -\dfrac{2x}{x - 1} $
C.$ \dfrac{x + 1}{x - 1} $
D.$ \dfrac{x^2 - x + 1}{x - 1} $
B
).A.$ \dfrac{1}{x - 1} $
B.$ -\dfrac{2x}{x - 1} $
C.$ \dfrac{x + 1}{x - 1} $
D.$ \dfrac{x^2 - x + 1}{x - 1} $
答案
7. B
解析
【分析】
这是一道异分母分式的减法化简题。解题思路如下：首先将整式部分$x-1$看作分母为1的分式，确定两个分式的最简公分母为$x-1$，通过通分将异分母分式运算转化为同分母分式运算；再对分子部分展开、去括号、合并同类项，最终化简得到结果即可。注意计算分子时，减去$x^2+1$要给整体加括号，去括号时注意符号变化。
【解析】
解：先将整式部分通分，转化为分母为$x-1$的分式，再按同分母分式减法规则计算：
$\begin{aligned}\mathrm{原式}&=\frac{(x-1)^2}{x-1}-\frac{x^2+1}{x-1}\\&=\frac{(x-1)^2-(x^2+1)}{x-1}\\&=\frac{x^2-2x+1 - x^2 - 1}{x-1}\\&=\frac{-2x}{x-1}\end{aligned}$
故选B。
【答案】
B
【知识点】
分式加减运算、通分、整式化简
【点评】
本题考查分式的基础运算，解题核心是将整式视为分母为1的分式完成通分，运算过程中要注意去括号的符号规则，避免符号出错，属于分式运算的常规基础题型。
【难度系数】
0.7
这是一道异分母分式的减法化简题。解题思路如下：首先将整式部分$x-1$看作分母为1的分式，确定两个分式的最简公分母为$x-1$，通过通分将异分母分式运算转化为同分母分式运算；再对分子部分展开、去括号、合并同类项，最终化简得到结果即可。注意计算分子时，减去$x^2+1$要给整体加括号，去括号时注意符号变化。
【解析】
解：先将整式部分通分，转化为分母为$x-1$的分式，再按同分母分式减法规则计算：
$\begin{aligned}\mathrm{原式}&=\frac{(x-1)^2}{x-1}-\frac{x^2+1}{x-1}\\&=\frac{(x-1)^2-(x^2+1)}{x-1}\\&=\frac{x^2-2x+1 - x^2 - 1}{x-1}\\&=\frac{-2x}{x-1}\end{aligned}$
故选B。
【答案】
B
【知识点】
分式加减运算、通分、整式化简
【点评】
本题考查分式的基础运算，解题核心是将整式视为分母为1的分式完成通分，运算过程中要注意去括号的符号规则，避免符号出错，属于分式运算的常规基础题型。
【难度系数】
0.7
8. 若实数 $ x $，$ y $ 满足 $ |x + 2| + (y - 2)^2 = 0 $，则 $ ( \dfrac{2y}{x - y} )^{2025} $ 的值为（
A.1
B.$-1$
C.2
D.$-2$
B
）.A.1
B.$-1$
C.2
D.$-2$
答案
8. B
解析
【分析】
本题需利用非负数的性质求解。首先明确绝对值和平方数都具有非负性，即二者的取值都大于等于0，当两个非负数相加和为0时，每个非负数都只能为0，据此可先求出x、y的值，再代入所求代数式计算即可得到结果。
【解析】
解：
∵ $|x+2|≥0$，$(y-2)^2≥0$，且$|x + 2| + (y - 2)^2 = 0$
∴ 根据非负数的性质可得：
$x + 2 = 0$，$y - 2 = 0$
解得：$x = -2$，$y = 2$
将$x=-2$，$y=2$代入代数式$( \dfrac{2y}{x - y} )^{2025}$得：
$\dfrac{2y}{x-y}=\dfrac{2×2}{-2 - 2}=\dfrac{4}{-4}=-1$
∴ $( \dfrac{2y}{x - y} )^{2025}=(-1)^{2025}=-1$
【答案】
B
【知识点】
非负数的性质，代数式求值，有理数的乘方
【点评】
本题是代数基础题，解题核心是熟练掌握非负数的性质，准确求出未知字母的取值，计算乘方时要注意判断指数的奇偶性，避免出现符号错误。
【难度系数】
0.8
本题需利用非负数的性质求解。首先明确绝对值和平方数都具有非负性，即二者的取值都大于等于0，当两个非负数相加和为0时，每个非负数都只能为0，据此可先求出x、y的值，再代入所求代数式计算即可得到结果。
【解析】
解：
∵ $|x+2|≥0$，$(y-2)^2≥0$，且$|x + 2| + (y - 2)^2 = 0$
∴ 根据非负数的性质可得：
$x + 2 = 0$，$y - 2 = 0$
解得：$x = -2$，$y = 2$
将$x=-2$，$y=2$代入代数式$( \dfrac{2y}{x - y} )^{2025}$得：
$\dfrac{2y}{x-y}=\dfrac{2×2}{-2 - 2}=\dfrac{4}{-4}=-1$
∴ $( \dfrac{2y}{x - y} )^{2025}=(-1)^{2025}=-1$
【答案】
B
【知识点】
非负数的性质，代数式求值，有理数的乘方
【点评】
本题是代数基础题，解题核心是熟练掌握非负数的性质，准确求出未知字母的取值，计算乘方时要注意判断指数的奇偶性，避免出现符号错误。
【难度系数】
0.8
