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10. 已知甲车行驶 30 km 与乙车行驶 40 km 所用时间相同，乙车比甲车每小时多行驶15 km，设甲车的速度为 $ x $ km/h，依题意列方程正确的是(
A.$\dfrac{30}{x}=\dfrac{40}{x - 15}$
B.$\dfrac{30}{x - 15}=\dfrac{40}{x}$
C.$\dfrac{30}{x}=\dfrac{40}{x + 15}$
D.$\dfrac{30}{x + 15}=\dfrac{40}{x}$
C
).A.$\dfrac{30}{x}=\dfrac{40}{x - 15}$
B.$\dfrac{30}{x - 15}=\dfrac{40}{x}$
C.$\dfrac{30}{x}=\dfrac{40}{x + 15}$
D.$\dfrac{30}{x + 15}=\dfrac{40}{x}$
答案
10. C
解析
【分析】
要解决这道列方程的题目，我们可以按以下思路思考：第一步先根据题设明确甲、乙两车的速度表示，已知设甲车速度为x km/h，乙车比甲车每小时多行驶15km，因此乙车速度可以表示为(x+15)km/h；第二步回忆行程问题的基本公式：时间=路程÷速度，分别表示出甲车行驶30km的时间、乙车行驶40km的时间；第三步抓住题目给出的核心等量关系“甲车行驶30km与乙车行驶40km所用时间相同”，将两个时间表达式用等号连接即可得到方程。
【解析】
解：已知甲车的速度为$x$ km/h，
∵ 乙车比甲车每小时多行驶15 km，
∴ 乙车的速度为$(x+15)$ km/h。
根据“时间=路程÷速度”可得：
甲车行驶30 km所用时间为$\dfrac{30}{x}$ h，
乙车行驶40 km所用时间为$\dfrac{40}{x+15}$ h。
又
∵ 两者所用时间相同，
∴ 可列方程：$\dfrac{30}{x}=\dfrac{40}{x+15}$。
因此选C选项。
【答案】
C
【知识点】
行程问题基本公式；分式方程的实际应用
【点评】
本题是行程类的分式方程列写题，解题核心是准确抓住题干中的等量关系，正确表示两个运动对象的速度，再结合行程公式列写等式，注意不要混淆两车的速度大小关系即可。
【难度系数】
0.8
要解决这道列方程的题目，我们可以按以下思路思考：第一步先根据题设明确甲、乙两车的速度表示，已知设甲车速度为x km/h，乙车比甲车每小时多行驶15km，因此乙车速度可以表示为(x+15)km/h；第二步回忆行程问题的基本公式：时间=路程÷速度，分别表示出甲车行驶30km的时间、乙车行驶40km的时间；第三步抓住题目给出的核心等量关系“甲车行驶30km与乙车行驶40km所用时间相同”，将两个时间表达式用等号连接即可得到方程。
【解析】
解：已知甲车的速度为$x$ km/h，
∵ 乙车比甲车每小时多行驶15 km，
∴ 乙车的速度为$(x+15)$ km/h。
根据“时间=路程÷速度”可得：
甲车行驶30 km所用时间为$\dfrac{30}{x}$ h，
乙车行驶40 km所用时间为$\dfrac{40}{x+15}$ h。
又
∵ 两者所用时间相同，
∴ 可列方程：$\dfrac{30}{x}=\dfrac{40}{x+15}$。
因此选C选项。
【答案】
C
【知识点】
行程问题基本公式；分式方程的实际应用
【点评】
本题是行程类的分式方程列写题，解题核心是准确抓住题干中的等量关系，正确表示两个运动对象的速度，再结合行程公式列写等式，注意不要混淆两车的速度大小关系即可。
【难度系数】
0.8
三、解答题
11. 已知 $5x - 4y = 0$ 且 $xy ≠ 0$，求 $\frac{x^2 + y^2}{x^2 - y^2} - \frac{x + y}{x - y}$ 的值.
11. 已知 $5x - 4y = 0$ 且 $xy ≠ 0$，求 $\frac{x^2 + y^2}{x^2 - y^2} - \frac{x + y}{x - y}$ 的值.
答案
11. $\dfrac{40}{9}$
解析
【分析】
解题思路分为两步：第一步先化简待求的分式，利用分式加减法的法则，先通分化为同分母分式，再计算分子的减法并化简；第二步结合已知条件5x-4y=0，得到x与y的数量关系，代入化简后的式子计算即可。题目给出xy≠0，说明x、y均不为0，可放心约分化简。
【解析】
第一步：化简待求式
$\begin{aligned}&\frac{x^2 + y^2}{x^2 - y^2} - \frac{x + y}{x - y}\\=&\frac{x^2 + y^2}{(x-y)(x+y)} - \frac{(x+y)^2}{(x-y)(x+y)} \quad \mathrm{（通分，公分母为}x^2-y^2\mathrm{）}\\=&\frac{x^2 + y^2 - (x+y)^2}{x^2 - y^2} \quad \mathrm{（同分母分式相减，分母不变，分子相减）}\\=&\frac{x^2 + y^2 - x^2 - 2xy - y^2}{x^2 - y^2} \quad \mathrm{（展开完全平方公式）}\\=&\frac{-2xy}{x^2 - y^2}\end{aligned}$
第二步：根据已知条件找x、y的关系
由$5x - 4y = 0$得$5x=4y$，即$y=\frac{5}{4}x$，且$xy≠0$，故$x≠0,y≠0$。
第三步：代入化简后的式子计算
将$y=\frac{5}{4}x$代入$\frac{-2xy}{x^2 - y^2}$：
$\begin{aligned}原式&=\frac{-2x· \frac{5}{4}x}{x^2 - (\frac{5}{4}x)^2}\\&=\frac{-\frac{5}{2}x^2}{x^2 - \frac{25}{16}x^2}\\&=\frac{-\frac{5}{2}x^2}{-\frac{9}{16}x^2} \quad \mathrm{（}x≠0\mathrm{，约去}x^2\mathrm{）}\\&=\frac{5}{2} × \frac{16}{9}\\&=\frac{40}{9}\end{aligned}$
【答案】
$\dfrac{40}{9}$
【知识点】
分式的加减运算、代数式求值、等式的变形
【点评】
本题考查分式化简求值的基本方法，解题时先化简再代入可大幅降低计算量，也可通过设参数（如设x=4k，y=5k，k≠0）的方法代入计算，两种方法都能快速求出结果，需要注意计算过程中符号的处理。
【难度系数】
0.7
解题思路分为两步：第一步先化简待求的分式，利用分式加减法的法则，先通分化为同分母分式，再计算分子的减法并化简；第二步结合已知条件5x-4y=0，得到x与y的数量关系，代入化简后的式子计算即可。题目给出xy≠0，说明x、y均不为0，可放心约分化简。
【解析】
第一步：化简待求式
$\begin{aligned}&\frac{x^2 + y^2}{x^2 - y^2} - \frac{x + y}{x - y}\\=&\frac{x^2 + y^2}{(x-y)(x+y)} - \frac{(x+y)^2}{(x-y)(x+y)} \quad \mathrm{（通分，公分母为}x^2-y^2\mathrm{）}\\=&\frac{x^2 + y^2 - (x+y)^2}{x^2 - y^2} \quad \mathrm{（同分母分式相减，分母不变，分子相减）}\\=&\frac{x^2 + y^2 - x^2 - 2xy - y^2}{x^2 - y^2} \quad \mathrm{（展开完全平方公式）}\\=&\frac{-2xy}{x^2 - y^2}\end{aligned}$
第二步：根据已知条件找x、y的关系
由$5x - 4y = 0$得$5x=4y$，即$y=\frac{5}{4}x$，且$xy≠0$，故$x≠0,y≠0$。
第三步：代入化简后的式子计算
将$y=\frac{5}{4}x$代入$\frac{-2xy}{x^2 - y^2}$：
$\begin{aligned}原式&=\frac{-2x· \frac{5}{4}x}{x^2 - (\frac{5}{4}x)^2}\\&=\frac{-\frac{5}{2}x^2}{x^2 - \frac{25}{16}x^2}\\&=\frac{-\frac{5}{2}x^2}{-\frac{9}{16}x^2} \quad \mathrm{（}x≠0\mathrm{，约去}x^2\mathrm{）}\\&=\frac{5}{2} × \frac{16}{9}\\&=\frac{40}{9}\end{aligned}$
【答案】
$\dfrac{40}{9}$
【知识点】
分式的加减运算、代数式求值、等式的变形
【点评】
本题考查分式化简求值的基本方法，解题时先化简再代入可大幅降低计算量，也可通过设参数（如设x=4k，y=5k，k≠0）的方法代入计算，两种方法都能快速求出结果，需要注意计算过程中符号的处理。
【难度系数】
0.7
12. 先化简，再求值：$\dfrac{3x - 3}{x^2 - 1} ÷ \dfrac{3x}{x + 1} - \dfrac{1}{x + 1}$，其中$x = 2$。
答案
12. $\dfrac{1}{x(x + 1)}$ $\dfrac{1}{6}$
解析
【分析】
本题是分式化简求值题，遵循先乘除后加减的运算顺序思考：第一步先处理除法运算，分式除法需转化为乘法计算，转化前先将分子分母中能因式分解的多项式分解，方便后续约分；除法部分约分得到最简结果后，再进行减法运算，通分化为同分母分式后再相减，得到最简化简结果后，代入x=2计算最终数值即可。
【解析】
解：先对原式因式分解，再将除法转化为乘法：
$\begin{aligned}原式&=\dfrac{3(x - 1)}{(x + 1)(x - 1)} ÷ \dfrac{3x}{x + 1} - \dfrac{1}{x + 1}\\&=\dfrac{3(x - 1)}{(x + 1)(x - 1)} × \dfrac{x + 1}{3x} - \dfrac{1}{x + 1}\\\intertext{约分后得：}&=\dfrac{1}{x} - \dfrac{1}{x + 1}\\\intertext{通分，最简公分母为$x(x+1)$：}&=\dfrac{x + 1}{x(x + 1)} - \dfrac{x}{x(x + 1)}\\&=\dfrac{x + 1 - x}{x(x + 1)}\\&=\dfrac{1}{x(x + 1)}\end{aligned}$
将$x=2$代入化简后的式子：
$\dfrac{1}{2×(2 + 1)}=\dfrac{1}{6}$
【答案】
化简结果为$\dfrac{1}{x(x + 1)}$，求值结果为$\dfrac{1}{6}$
【知识点】
分式混合运算，因式分解，代入求值
【点评】
本题属于分式运算的基础题型，解题核心是严格遵循分式运算规则，先乘除后加减，运算前先对多项式因式分解可大幅简化计算过程，通分时要找准最简公分母，避免运算出错。
【难度系数】
0.8
本题是分式化简求值题，遵循先乘除后加减的运算顺序思考：第一步先处理除法运算，分式除法需转化为乘法计算，转化前先将分子分母中能因式分解的多项式分解，方便后续约分；除法部分约分得到最简结果后，再进行减法运算，通分化为同分母分式后再相减，得到最简化简结果后，代入x=2计算最终数值即可。
【解析】
解：先对原式因式分解，再将除法转化为乘法：
$\begin{aligned}原式&=\dfrac{3(x - 1)}{(x + 1)(x - 1)} ÷ \dfrac{3x}{x + 1} - \dfrac{1}{x + 1}\\&=\dfrac{3(x - 1)}{(x + 1)(x - 1)} × \dfrac{x + 1}{3x} - \dfrac{1}{x + 1}\\\intertext{约分后得：}&=\dfrac{1}{x} - \dfrac{1}{x + 1}\\\intertext{通分，最简公分母为$x(x+1)$：}&=\dfrac{x + 1}{x(x + 1)} - \dfrac{x}{x(x + 1)}\\&=\dfrac{x + 1 - x}{x(x + 1)}\\&=\dfrac{1}{x(x + 1)}\end{aligned}$
将$x=2$代入化简后的式子：
$\dfrac{1}{2×(2 + 1)}=\dfrac{1}{6}$
【答案】
化简结果为$\dfrac{1}{x(x + 1)}$，求值结果为$\dfrac{1}{6}$
【知识点】
分式混合运算，因式分解，代入求值
【点评】
本题属于分式运算的基础题型，解题核心是严格遵循分式运算规则，先乘除后加减，运算前先对多项式因式分解可大幅简化计算过程，通分时要找准最简公分母，避免运算出错。
【难度系数】
0.8
13. 解方程：
(1) $\dfrac{1}{x - 1} + \dfrac{2}{x - 2} = 0$；
(2) $\dfrac{x + 1}{x - 1} = \dfrac{4}{x^2 - 1} + 1$。
(1) $\dfrac{1}{x - 1} + \dfrac{2}{x - 2} = 0$；
(2) $\dfrac{x + 1}{x - 1} = \dfrac{4}{x^2 - 1} + 1$。
答案
13. (1) $x = \dfrac{4}{3}$ (2) 无解
解析
【分析】
解分式方程的核心思路是将分式方程转化为整式方程求解，具体步骤为：①找最简公分母，去分母化为整式方程；②解整式方程；③检验：将解得的结果代入最简公分母，若公分母不为0，则是原方程的解，若公分母为0，则是增根，原方程无解。
对于(1)，两个分式的分母为$x-1$和$x-2$，最简公分母为$(x-1)(x-2)$，两边同乘最简公分母即可去分母；对于(2)，先利用平方差公式将$x^2-1$变形为$(x+1)(x-1)$，可得最简公分母为$x^2-1$，去分母后求解，最后务必验根。
【解析】
(1) 解：方程两边同乘最简公分母$(x-1)(x-2)$，得：
$(x-2) + 2(x-1) = 0$
去括号，得：
$x - 2 + 2x - 2 = 0$
合并同类项，得：
$3x - 4 = 0$
解得：$x = \dfrac{4}{3}$
检验：当$x = \dfrac{4}{3}$时，$(x-1)(x-2) = (\dfrac{4}{3}-1)×(\dfrac{4}{3}-2) = -\dfrac{2}{9} ≠ 0$，因此$x = \dfrac{4}{3}$是原分式方程的解。
(2) 解：由分母不为0可得$x^2 -1 ≠ 0$，即$x ≠ \pm 1$，方程两边同乘最简公分母$x^2 -1$，得：
$(x+1)^2 = 4 + (x^2 -1)$
展开并整理，得：
$x^2 + 2x + 1 = x^2 + 3$
两边同时减去$x^2$，得：
$2x + 1 = 3$
解得：$x = 1$
检验：当$x=1$时，$x^2 -1 = 1^2 -1 = 0$，因此$x=1$是增根，原分式方程无解。
【答案】
(1) $x = \dfrac{4}{3}$；(2) 无解
【知识点】
分式方程的解法，分式方程验根，一元一次方程的解法
【点评】
本题考查分式方程的求解，去分母时要注意给常数项也乘最简公分母，验根是分式方程求解必不可少的步骤，切勿遗漏，避免将增根误认为原方程的解。
【难度系数】
0.7
解分式方程的核心思路是将分式方程转化为整式方程求解，具体步骤为：①找最简公分母，去分母化为整式方程；②解整式方程；③检验：将解得的结果代入最简公分母，若公分母不为0，则是原方程的解，若公分母为0，则是增根，原方程无解。
对于(1)，两个分式的分母为$x-1$和$x-2$，最简公分母为$(x-1)(x-2)$，两边同乘最简公分母即可去分母；对于(2)，先利用平方差公式将$x^2-1$变形为$(x+1)(x-1)$，可得最简公分母为$x^2-1$，去分母后求解，最后务必验根。
【解析】
(1) 解：方程两边同乘最简公分母$(x-1)(x-2)$，得：
$(x-2) + 2(x-1) = 0$
去括号，得：
$x - 2 + 2x - 2 = 0$
合并同类项，得：
$3x - 4 = 0$
解得：$x = \dfrac{4}{3}$
检验：当$x = \dfrac{4}{3}$时，$(x-1)(x-2) = (\dfrac{4}{3}-1)×(\dfrac{4}{3}-2) = -\dfrac{2}{9} ≠ 0$，因此$x = \dfrac{4}{3}$是原分式方程的解。
(2) 解：由分母不为0可得$x^2 -1 ≠ 0$，即$x ≠ \pm 1$，方程两边同乘最简公分母$x^2 -1$，得：
$(x+1)^2 = 4 + (x^2 -1)$
展开并整理，得：
$x^2 + 2x + 1 = x^2 + 3$
两边同时减去$x^2$，得：
$2x + 1 = 3$
解得：$x = 1$
检验：当$x=1$时，$x^2 -1 = 1^2 -1 = 0$，因此$x=1$是增根，原分式方程无解。
【答案】
(1) $x = \dfrac{4}{3}$；(2) 无解
【知识点】
分式方程的解法，分式方程验根，一元一次方程的解法
【点评】
本题考查分式方程的求解，去分母时要注意给常数项也乘最简公分母，验根是分式方程求解必不可少的步骤，切勿遗漏，避免将增根误认为原方程的解。
【难度系数】
0.7
14. 某厂接到了在规定时间内加工1 500顶帐篷的任务. 在加工了300顶帐篷后，厂家把工作效率提高到原来的1.5倍，于是提前4天完成任务. 求原来每天加工多少顶帐篷.
答案
14. 设原来每天加工 $x$ 顶帐篷，得$\dfrac{1500 - 300}{x} = \dfrac{1500 - 300}{1.5x} + 4$，解得 $x=100$. 经检验，$x=100$ 是原方程的解. 所以原来每天加工 100 顶帐篷
解析
【分析】
这是一道工程类分式方程应用题，解题核心是找准等量关系。首先回忆工程问题基本公式：工作时间=工作总量÷工作效率。题目中“提前4天完成任务”是剩余工作量的两种加工方式的时间差，即：按原效率加工剩余帐篷的时间 = 提高效率后加工剩余帐篷的时间 + 4天。我们先设原来每天加工x顶帐篷，可得提高效率后每天加工1.5x顶，再算出剩余帐篷总量为1500-300=1200顶，分别表示出两种方式加工剩余帐篷的时间，代入等量关系即可列方程求解，最后注意检验分式方程的根是否符合要求。
【解析】
解：设原来每天加工$x$顶帐篷，则提高工作效率后每天加工$1.5x$顶帐篷。
剩余需要加工的帐篷数量：$1500-300=1200$（顶）
根据时间差的等量关系列方程：
$\dfrac{1200}{x} = \dfrac{1200}{1.5x} + 4$
化简方程右边：$\dfrac{1200}{1.5x}=\dfrac{800}{x}$，方程变为：
$\dfrac{1200}{x} = \dfrac{800}{x} + 4$
方程两边同时乘$x$（$x≠0$）去分母得：
$1200 = 800 + 4x$
移项计算得：
$4x = 1200 - 800$
$4x = 400$
$x = 100$
检验：当$x=100$时，$1.5x=150≠0$，所以$x=100$是原方程的解，且符合实际生产的意义。
【答案】
原来每天加工100顶帐篷
【知识点】
分式方程的应用、工程问题计算、分式方程检验
【点评】
本题是工程类分式方程的基础常考题，解题关键是准确找到时间差对应的是剩余工作量的两种加工时长的差值，解题时要注意分式方程必须检验根是否满足方程且符合实际意义。
【难度系数】
0.7
这是一道工程类分式方程应用题，解题核心是找准等量关系。首先回忆工程问题基本公式：工作时间=工作总量÷工作效率。题目中“提前4天完成任务”是剩余工作量的两种加工方式的时间差，即：按原效率加工剩余帐篷的时间 = 提高效率后加工剩余帐篷的时间 + 4天。我们先设原来每天加工x顶帐篷，可得提高效率后每天加工1.5x顶，再算出剩余帐篷总量为1500-300=1200顶，分别表示出两种方式加工剩余帐篷的时间，代入等量关系即可列方程求解，最后注意检验分式方程的根是否符合要求。
【解析】
解：设原来每天加工$x$顶帐篷，则提高工作效率后每天加工$1.5x$顶帐篷。
剩余需要加工的帐篷数量：$1500-300=1200$（顶）
根据时间差的等量关系列方程：
$\dfrac{1200}{x} = \dfrac{1200}{1.5x} + 4$
化简方程右边：$\dfrac{1200}{1.5x}=\dfrac{800}{x}$，方程变为：
$\dfrac{1200}{x} = \dfrac{800}{x} + 4$
方程两边同时乘$x$（$x≠0$）去分母得：
$1200 = 800 + 4x$
移项计算得：
$4x = 1200 - 800$
$4x = 400$
$x = 100$
检验：当$x=100$时，$1.5x=150≠0$，所以$x=100$是原方程的解，且符合实际生产的意义。
【答案】
原来每天加工100顶帐篷
【知识点】
分式方程的应用、工程问题计算、分式方程检验
【点评】
本题是工程类分式方程的基础常考题，解题关键是准确找到时间差对应的是剩余工作量的两种加工时长的差值，解题时要注意分式方程必须检验根是否满足方程且符合实际意义。
【难度系数】
0.7
