1. 若分式$\dfrac{|x|-2}{x-2}$的值为零，则$x=\underline{\hspace{5em}}$.

1. -2

【分析】
要解决分式值为0的问题，需牢记两个必备条件：一是分子的计算结果为0，二是分母不能为0（分母为0时分式无意义，无法讨论分式的值）。解题时先根据分子为0求出x的所有可能取值，再代入分母验证，排除使分母为0的取值，剩下的就是正确结果。
【解析】
解：分式的值为0需同时满足两个条件：
① 分子的值为0：$|x|-2=0$
解得$|x|=2$，即$x=2$或$x=-2$
② 分母的值不为0：$x-2≠0$
解得$x≠2$
结合两个条件，舍去不符合要求的$x=2$，最终得$x=-2$
【答案】
-2
【知识点】
分式值为零的条件、绝对值的运算
【点评】
本题属于基础易错题，核心考查分式值为0的成立条件，易错点是解题时忽略分母不为0的前提，仅通过分子为0得出错误结果，做分式相关题目时要优先考虑分母有意义的要求。
【难度系数】
0.7

2. 若关于$ x $的方程$\dfrac{2ax + 3}{a - x} = \dfrac{3}{4}$的解为$ x = 1 $，则$ a $的值为________。

2. -3

【分析】
已知分式方程的解求参数a的值，解题思路是利用“方程的解能使方程左右两边相等”的性质，将x=1代入原方程，把原方程转化为只含未知数a的分式方程，再按解分式方程的步骤求解，最后检验所求的a是否使原方程分母不为0，避免出现增根。
【解析】
因为$x=1$是方程$\dfrac{2ax + 3}{a - x} = \dfrac{3}{4}$的解，将$x=1$代入方程得：
$\dfrac{2a × 1 + 3}{a - 1} = \dfrac{3}{4}$
根据比例的基本性质（交叉相乘相等），且分母$a-1≠0$，可得：
$4(2a + 3) = 3(a - 1)$
去括号得：
$8a + 12 = 3a - 3$
移项，将含a的项移到左侧，常数项移到右侧：
$8a - 3a = -3 - 12$
合并同类项得：
$5a = -15$
系数化为1得：
$a = -3$
检验：当$a=-3$时，原方程分母$a-x=-3-1=-4≠0$，所以$a=-3$是有效解。
【答案】
$-3$
【知识点】
方程的解的定义，解分式方程，代入法求参数
【点评】
本题属于分式方程的基础应用题型，核心是利用方程解的含义将已知解代入，转化为关于参数的新方程求解，解题时要注意养成检验分母不为0的习惯，避免出现增根。
【难度系数】
0.8

3. 若分式$\dfrac{2}{x - 1}$与1互为相反数，则$x$的值是________.

3. -1

【分析】
解题时先根据互为相反数的两个数之和为0的性质，列出关于x的分式方程，再按照解分式方程的步骤去分母、求解，最后要检验解是否使原分式的分母不为0，保证分式有意义即可。
【解析】
解：
∵互为相反数的两个数之和为0，分式$\dfrac{2}{x - 1}$与1互为相反数
∴列方程得：$\dfrac{2}{x - 1} + 1 = 0$
方程两边同乘$(x-1)$去分母，得：
$2 + (x - 1) = 0$
去括号、合并同类项得：
$x + 1 = 0$
解得：$x=-1$
检验：当$x=-1$时，$x-1=-1-1=-2≠0$，所以$x=-1$是原方程的解。
【答案】
-1
【知识点】
相反数的性质、分式方程的解法
【点评】
本题属于基础题型，结合相反数的性质列方程求解即可，需要注意解分式方程后必须检验根是否使原分式有意义，避免出现增根错误。
【难度系数】
0.8

4. 若方程$\dfrac{k}{x - 3} + 7 = \dfrac{x - 4}{3 - x}$（$k$为实数）有增根，则它的增根为________.

4. x=3

【分析】
要解决分式方程增根的问题，首先要明确增根的两个核心特点：①增根是去分母后得到的整式方程的根；②增根会让原分式方程的分母为0，没有意义。解题时先找原方程所有分母为0时x的取值，再验证这个取值是否满足去分母后的整式方程即可。
【解析】
1. 先找原方程分母为0的x值：原方程的分母分别为$x-3$和$3-x$，令$x-3=0$，解得$x=3$；令$3-x=0$，同样解得$x=3$，因此可能的增根只有$x=3$。
2. 验证$x=3$是否为去分母后整式方程的根：给原方程两边同时乘最简公分母$x-3$去分母，得$k +7(x-3) = -(x-4)$。把$x=3$代入整式方程，左边为$k+0=k$，右边为$-(3-4)=1$，存在实数$k=1$使等式成立，因此$x=3$就是该方程的增根。
【答案】
$x=3$
【知识点】
分式方程的增根；分式有意义的条件
【点评】
本题重点考察分式方程增根的基本概念，牢记增根的两个特征就能快速解题，是分式方程章节的基础常考题。
【难度系数】
0.8

5. 在某次抗洪抢险救灾中，武警战士小张奉命用冲锋舟去某村庄救援. 当时洪水流速为10 km/h. 他发现沿洪水以最大速度顺流航行2 km所用时间，与以最大速度逆流航行1.2 km所用时间相等，则该冲锋舟在静水中的最大航速为km/h.

5. 40

【分析】
这是一道流水行船类的行程应用题，解题核心是抓住“顺流航行2km与逆流航行1.2km时间相等”的等量关系。首先回忆流水行船的速度规律：顺流速度=静水速度+水流速度，逆流速度=静水速度-水流速度。我们可以先设冲锋舟在静水中的最大航速为x km/h，分别表示出顺流、逆流的行驶速度，再结合“时间=路程÷速度”表示出两段路程的行驶时间，令二者相等列方程，求解后检验根的合理性即可得到答案。
【解析】
解：设该冲锋舟在静水中的最大航速为$ x $ km/h。
根据题意，顺流速度为$ (x+10) $ km/h，逆流速度为$ (x-10) $ km/h，由两段航行时间相等可列方程：
$\frac{2}{x+10} = \frac{1.2}{x-10}$
交叉相乘去分母得：
$2(x - 10) = 1.2(x + 10)$
展开括号：
$2x - 20 = 1.2x + 12$
移项、合并同类项：
$0.8x = 32$
解得：
$x = 40$
检验：当$ x = 40 $时，$ x+10=50≠0 $，$ x-10=30≠0 $，且速度为正数符合实际意义，所以$ x=40 $是原方程的解，符合题意。
【答案】
40
【知识点】
流水行船速度关系；分式方程的应用
【点评】
本题属于常规行程类应用题，解题的关键是准确掌握顺流、逆流速度的计算方式，抓住题目给出的时间相等的等量关系列方程，同时要注意分式方程求解后必须检验根是否符合实际意义。
【难度系数】
0.7

6. 下列式子是最简分式的是().

A.$\dfrac{m^2 - n^2}{m + n}$
B.$\dfrac{m + n}{m^2 - n^2}$
C.$\dfrac{m^2 + n^2}{m + n}$
D.$\dfrac{m - n}{m^2 - m^2}$

6. C

【分析】
要判断一个分式是不是最简分式，核心依据是最简分式的定义：分子和分母没有公因式的分式叫做最简分式。解题时我们需要先把每个选项中分式的分子、分母分别进行因式分解，再检查二者有没有公因式，若没有公因式就是最简分式，有公因式就不是。
【解析】
我们逐个分析选项：
选项A：分子$m^2 - n^2$可利用平方差公式分解为$(m+n)(m-n)$，分母为$m+n$，分子分母有公因式$m+n$，可约分为$m-n$，不是最简分式；
选项B：分母$m^2 - n^2$分解为$(m+n)(m-n)$，分子为$m+n$，分子分母有公因式$m+n$，可约分为$\frac{1}{m-n}$，不是最简分式；
选项C：分子$m^2 + n^2$不能分解因式，和分母$m+n$没有公因式，无法约分，是最简分式；
选项D：分母$m^2 - m^2=0$，分式无意义，不符合要求，不是最简分式。
【答案】
C
【知识点】
最简分式的定义，平方差公式因式分解，分式约分
【点评】
本题考查最简分式的判定，解题的关键是熟练掌握因式分解的方法，准确找出分子分母的公因式，注意遇到能分解的多项式要先分解再判断，不要漏看隐含的公因式。
【难度系数】
0.7

7. 无论 $ x $ 取什么数，总有意义的分式是().

A.$\dfrac{2x}{x^2 + 1}$
B.$\dfrac{x}{2x + 1}$
C.$\dfrac{3x}{x^3 + 1}$
D.$\dfrac{x - 5}{x^2}$

7. A

【分析】
要判断哪个分式无论x取什么数都有意义，首先明确分式有意义的核心要求是分母不能为0，因此只需逐一分析每个选项的分母是否存在等于0的情况：若分母无论x取何值都不为0，该分式就总有意义，反之则不符合要求。
【解析】
分式有意义的条件是：分母不等于0。
选项A：分母为$x^2+1$，根据平方的非负性，任意实数的平方$x^2≥0$，因此$x^2+1≥1$，无论x取任何值，分母都不会为0，该分式总有意义。
选项B：分母为$2x+1$，当$x=-\frac{1}{2}$时，$2x+1=0$，分式无意义，不符合要求。
选项C：分母为$x^3+1$，当$x=-1$时，$x^3+1=-1+1=0$，分式无意义，不符合要求。
选项D：分母为$x^2$，当$x=0$时，$x^2=0$，分式无意义，不符合要求。
综上，符合条件的是选项A。
【答案】
A
【知识点】
分式有意义的条件，平方的非负性
【点评】
本题是分式概念的基础应用题，解题的关键是抓住“分母恒不为0”这一核心要求，结合平方的非负性即可快速判断正确选项，需要注意的是判断分母是否可能为0时要考虑到所有实数的取值情况。
【难度系数】
0.8

8. 将关于 $ x $ 的分式方程 $ \frac{3}{2x} = \frac{1}{x - 1} $ 去分母可得().

A.$ 3x - 3 = 2x $
B.$ 3x - 1 = 2x $
C.$ 3x - 1 = x $
D.$ 3x - 3 = x $

8. A

【分析】
要解决分式方程去分母的问题，首先需明确解题思路：第一步先确定方程中所有分式的最简公分母，本题中两个分母分别是2x和x-1，二者没有公因式，因此最简公分母为2x(x-1)；第二步依据等式的性质，给方程左右两边同时乘最简公分母，消去所有分母，注意每一项都要乘，不能漏乘，最后将得到的式子化简，再对应选项选出正确答案即可。
【解析】
首先确定该分式方程的最简公分母为$2x(x-1)$，根据等式的性质，方程两边同时乘以$2x(x-1)$，可得：
$\frac{3}{2x} × 2x(x-1) = \frac{1}{x-1} × 2x(x-1)$
约去分母后化简得：$3(x-1)=2x$
将左边展开计算：$3x - 3 = 2x$，与选项A一致。
【答案】
A
【知识点】
1.等式的性质 2.分式方程去分母
【点评】
本题属于分式方程的基础考查题，重点检验去分母的操作规范，解题时要注意不要漏乘方程中的项，去括号时也要注意符号运算，避免出错。
【难度系数】
0.85

9. 对于两个非零实数 $a$，$b$，定义新运算“$\oplus$”：$a \oplus b = \frac{1}{b} - \frac{1}{a}$。若 $2 \oplus (2x - 1) = 1$，则 $x$ 的值为（）。

A.$\frac{5}{6}$
B.$\frac{5}{4}$
C.$\frac{3}{2}$
D.$-\frac{1}{6}$

9. A

【分析】首先要理解新定义运算“⊕”的规则：$a \oplus b$等于b的倒数减去a的倒数，注意两个数的运算顺序不能颠倒。解题时先把2对应公式里的a，$(2x-1)$对应公式里的b，代入新运算公式就能得到关于x的分式方程，再按照解分式方程的步骤求解，最后要检验解是否使原分式的分母不为0，保证分式有意义。
【解析】根据新运算的定义$a \oplus b = \frac{1}{b} - \frac{1}{a}$，将$a=2$，$b=2x-1$代入$2 \oplus (2x - 1) = 1$得：
$\frac{1}{2x-1} - \frac{1}{2} = 1$
移项合并常数项：
$\frac{1}{2x-1} = 1 + \frac{1}{2} = \frac{3}{2}$
交叉相乘去分母：
$2 = 3(2x - 1)$
展开右侧式子：
$2 = 6x - 3$
移项合并同类项：
$6x = 5$
解得：
$x = \frac{5}{6}$
检验：把$x=\frac{5}{6}$代入分母$2x-1$，得$2×\frac{5}{6}-1=\frac{2}{3}≠0$，所以$x=\frac{5}{6}$是原方程的有效解。
【答案】A
【知识点】新定义运算；分式方程求解
【点评】本题解题的核心是准确理解新定义的运算规则，将陌生运算转化为熟悉的分式方程求解，注意解分式方程最后必须验根，排除使分母为0的增根。
【难度系数】0.7