登录
8. 若关于$x$的方程$\dfrac{m - 1}{x - 1} - \dfrac{x}{x - 1} = 0$有增根，则$m$的值是（
A.3
B.2
C.1
D.$-1$
B
）.A.3
B.2
C.1
D.$-1$
答案
8. B
解析
【分析】
要解决分式方程增根求参数的问题，首先要明确增根的性质：增根是使原分式方程分母为0的根，同时也是去分母后得到的整式方程的根。解题步骤为：①先找原方程的最简公分母，令分母为0确定增根的可能值；②将分式方程去分母转化为整式方程；③将增根代入整式方程即可求出参数m的值。
【解析】
解：原方程的最简公分母为$x-1$，
因为方程有增根，所以$x-1=0$，解得增根为$x=1$。
给原方程两边同时乘$x-1$去分母，得：
$m - 1 - x = 0$
把$x=1$代入上式，得：
$m - 1 - 1 = 0$
解得$m=2$。
【答案】
B
【知识点】
分式方程增根，解分式方程，一元一次方程解法
【点评】
本题是分式方程增根问题的典型考题，解题核心是牢记增根的两个特征，熟练掌握分式方程去分母的方法，就能快速求出对应参数的值。
【难度系数】
0.7
要解决分式方程增根求参数的问题，首先要明确增根的性质：增根是使原分式方程分母为0的根，同时也是去分母后得到的整式方程的根。解题步骤为：①先找原方程的最简公分母，令分母为0确定增根的可能值；②将分式方程去分母转化为整式方程；③将增根代入整式方程即可求出参数m的值。
【解析】
解：原方程的最简公分母为$x-1$，
因为方程有增根，所以$x-1=0$，解得增根为$x=1$。
给原方程两边同时乘$x-1$去分母，得：
$m - 1 - x = 0$
把$x=1$代入上式，得：
$m - 1 - 1 = 0$
解得$m=2$。
【答案】
B
【知识点】
分式方程增根，解分式方程，一元一次方程解法
【点评】
本题是分式方程增根问题的典型考题，解题核心是牢记增根的两个特征，熟练掌握分式方程去分母的方法，就能快速求出对应参数的值。
【难度系数】
0.7
9. 已知关于 $ x $ 的分式方程 $ \dfrac{k}{x - 5} = 1 $，下列说法正确的是(
A.方程的解是 $ x = k + 5 $
B.当 $ k ＞ -5 $ 时，方程的解是正数
C.当 $ k ＜ -5 $ 时，方程的解为负数
D.方程无解
C
).A.方程的解是 $ x = k + 5 $
B.当 $ k ＞ -5 $ 时，方程的解是正数
C.当 $ k ＜ -5 $ 时，方程的解为负数
D.方程无解
答案
9. C
解析
【分析】
要判断各选项的正确性，首先按照分式方程的求解步骤得到含参数的解，同时牢记分式方程有意义的前提是分母不为0，需排除增根的情况，再结合每个选项给出的参数范围逐一验证即可。
【解析】
解分式方程$\dfrac{k}{x - 5} = 1$：
1. 方程两边同时乘$(x-5)$（注意$x≠5$，否则分母为0，分式无意义），可得：$k=x-5$，移项得$x=k+5$。
2. 分式方程有解的前提是$x≠5$，即$k+5≠5$，得$k≠0$，也就是$k=0$时方程出现增根$x=5$，此时方程无解。
逐一分析选项：
A选项：只有当$k≠0$时，方程的解才是$x=k+5$，$k=0$时方程无解，因此A错误。
B选项：方程的解为正数需要满足$x=k+5＞0$且$x≠5$，即$k＞-5$且$k≠0$，当$k=0$时虽然满足$k＞-5$，但方程无解，因此B错误。
C选项：当$k＜-5$时，$x=k+5＜0$，此时$x$为负数，必然不等于5，分母$x-5≠0$，方程有解且解为负数，因此C正确。
D选项：当$k≠0$时方程有解$x=k+5$，仅当$k=0$时方程无解，因此D错误。
【答案】
C
【知识点】
分式有意义的条件；解分式方程；分式方程的解
【点评】
本题的易错点是忽略分式方程分母不为0的限制，未考虑增根的情况，从而误选A或B，解题时要先确定分式有意义的前提，再结合参数范围判断解的性质。
【难度系数】
0.7
要判断各选项的正确性，首先按照分式方程的求解步骤得到含参数的解，同时牢记分式方程有意义的前提是分母不为0，需排除增根的情况，再结合每个选项给出的参数范围逐一验证即可。
【解析】
解分式方程$\dfrac{k}{x - 5} = 1$：
1. 方程两边同时乘$(x-5)$（注意$x≠5$，否则分母为0，分式无意义），可得：$k=x-5$，移项得$x=k+5$。
2. 分式方程有解的前提是$x≠5$，即$k+5≠5$，得$k≠0$，也就是$k=0$时方程出现增根$x=5$，此时方程无解。
逐一分析选项：
A选项：只有当$k≠0$时，方程的解才是$x=k+5$，$k=0$时方程无解，因此A错误。
B选项：方程的解为正数需要满足$x=k+5＞0$且$x≠5$，即$k＞-5$且$k≠0$，当$k=0$时虽然满足$k＞-5$，但方程无解，因此B错误。
C选项：当$k＜-5$时，$x=k+5＜0$，此时$x$为负数，必然不等于5，分母$x-5≠0$，方程有解且解为负数，因此C正确。
D选项：当$k≠0$时方程有解$x=k+5$，仅当$k=0$时方程无解，因此D错误。
【答案】
C
【知识点】
分式有意义的条件；解分式方程；分式方程的解
【点评】
本题的易错点是忽略分式方程分母不为0的限制，未考虑增根的情况，从而误选A或B，解题时要先确定分式有意义的前提，再结合参数范围判断解的性质。
【难度系数】
0.7
三、解答题
10. 已知点 $ A $，$ B $ 在数轴上所对应的数分别是 $ -4 $，$\dfrac{x + 1}{x - 2}$，且点 $ A $，$ B $ 到原点的距离相等，求 $ x $ 的值.
10. 已知点 $ A $，$ B $ 在数轴上所对应的数分别是 $ -4 $，$\dfrac{x + 1}{x - 2}$，且点 $ A $，$ B $ 到原点的距离相等，求 $ x $ 的值.
答案
10. $x = 3$ 或 $x = \dfrac{7}{5}$
解析
【分析】
要解决这道题，首先明确数轴上点到原点的距离等于该点对应数的绝对值。已知点A、B到原点距离相等，说明两个点对应的数的绝对值相等，即$\left|\dfrac{x+1}{x-2}\right|=|-4|=4$。绝对值等于4的数有4和-4两个，因此分两种情况列方程求解，最后要注意分式的分母不能为0，需检验解是否使分式有意义。
【解析】
解：
∵点A，B到原点的距离相等
∴A、B所对应数的绝对值相等，即$\left|\dfrac{x+1}{x-2}\right|=|-4|=4$
分两种情况讨论：
① 当$\dfrac{x+1}{x-2}=4$时，
方程两边同乘$(x-2)$（$x≠2$）得：
$x+1=4(x-2)$
展开得：$x+1=4x-8$
移项合并同类项得：$3x=9$
解得：$x=3$
检验：当$x=3$时，$x-2=3-2=1≠0$，故$x=3$是该方程的解；
② 当$\dfrac{x+1}{x-2}=-4$时，
方程两边同乘$(x-2)$（$x≠2$）得：
$x+1=-4(x-2)$
展开得：$x+1=-4x+8$
移项合并同类项得：$5x=7$
解得：$x=\dfrac{7}{5}$
检验：当$x=\dfrac{7}{5}$时，$x-2=\dfrac{7}{5}-2=-\dfrac{3}{5}≠0$，故$x=\dfrac{7}{5}$是该方程的解。
【答案】
$x=3$或$x=\dfrac{7}{5}$
【知识点】
数轴与绝对值，绝对值的性质，分式方程求解
【点评】
本题解题关键是将点到原点的距离关系转化为绝对值相等的关系，注意绝对值为正数的数有正负两个，不要漏解，同时解分式方程后要检验分母是否不为0，保证分式有意义。
【难度系数】
0.7
要解决这道题，首先明确数轴上点到原点的距离等于该点对应数的绝对值。已知点A、B到原点距离相等，说明两个点对应的数的绝对值相等，即$\left|\dfrac{x+1}{x-2}\right|=|-4|=4$。绝对值等于4的数有4和-4两个，因此分两种情况列方程求解，最后要注意分式的分母不能为0，需检验解是否使分式有意义。
【解析】
解：
∵点A，B到原点的距离相等
∴A、B所对应数的绝对值相等，即$\left|\dfrac{x+1}{x-2}\right|=|-4|=4$
分两种情况讨论：
① 当$\dfrac{x+1}{x-2}=4$时，
方程两边同乘$(x-2)$（$x≠2$）得：
$x+1=4(x-2)$
展开得：$x+1=4x-8$
移项合并同类项得：$3x=9$
解得：$x=3$
检验：当$x=3$时，$x-2=3-2=1≠0$，故$x=3$是该方程的解；
② 当$\dfrac{x+1}{x-2}=-4$时，
方程两边同乘$(x-2)$（$x≠2$）得：
$x+1=-4(x-2)$
展开得：$x+1=-4x+8$
移项合并同类项得：$5x=7$
解得：$x=\dfrac{7}{5}$
检验：当$x=\dfrac{7}{5}$时，$x-2=\dfrac{7}{5}-2=-\dfrac{3}{5}≠0$，故$x=\dfrac{7}{5}$是该方程的解。
【答案】
$x=3$或$x=\dfrac{7}{5}$
【知识点】
数轴与绝对值，绝对值的性质，分式方程求解
【点评】
本题解题关键是将点到原点的距离关系转化为绝对值相等的关系，注意绝对值为正数的数有正负两个，不要漏解，同时解分式方程后要检验分母是否不为0，保证分式有意义。
【难度系数】
0.7
11. 解方程：
(1) $\dfrac{1}{x - 3} + 2 = \dfrac{4 - x}{3 - x}$；
(2) $\dfrac{4}{x^2 - 4} + \dfrac{x + 3}{x - 2} = \dfrac{x - 1}{x + 2}$。
(1) $\dfrac{1}{x - 3} + 2 = \dfrac{4 - x}{3 - x}$；
(2) $\dfrac{4}{x^2 - 4} + \dfrac{x + 3}{x - 2} = \dfrac{x - 1}{x + 2}$。
答案
11. (1) $x = 1$ (2) $x = -1$
解析
【分析】
解分式方程的核心思路是将分式方程转化为已学的整式方程求解，具体思考路径如下：①先整理分母，对可因式分解的分母先因式分解，互为相反数的分母先统一符号，找到最简公分母；②方程两边同时乘最简公分母消去分母，转化为整式方程，注意不要漏乘不含分母的常数项；③解整式方程得到未知数的值；④必须检验：把求得的根代入最简公分母，若公分母为0则是增根要舍去，若公分母不为0才是原方程的有效解。
【解析】
(1) 先统一分母符号，原方程变形为：$\dfrac{1}{x - 3} + 2 = \dfrac{x - 4}{x - 3}$
最简公分母为$x-3$，且$x≠3$，方程两边同时乘$(x-3)$得：
$1 + 2(x - 3) = x - 4$
去括号：$1 + 2x - 6 = x - 4$
移项、合并同类项：$2x - x = -4 + 6 - 1$
解得：$x=1$
检验：把$x=1$代入$x-3$，得$1-3=-2≠0$，因此$x=1$是原方程的解。
(2) 先对分母因式分解：$x^2-4=(x+2)(x-2)$，最简公分母为$(x+2)(x-2)$，且$x≠\pm2$，方程两边同时乘$(x+2)(x-2)$得：
$4 + (x + 3)(x + 2) = (x - 1)(x - 2)$
展开计算：$4 + x^2 + 5x + 6 = x^2 - 3x + 2$
移项、合并同类项：$8x=-8$
解得：$x=-1$
检验：把$x=-1$代入$(x+2)(x-2)$，得$(-1+2)×(-1-2)=-3≠0$，因此$x=-1$是原方程的解。
【答案】
(1) $x = 1$ (2) $x = -1$
【知识点】
1.分式方程的解法 2.分式方程验根 3.平方差公式
【点评】
本题属于分式方程的基础常考题，解题的易错点是去分母时漏乘常数项、忘记检验增根，掌握好分式方程的解题步骤即可顺利求解。
【难度系数】
0.7
解分式方程的核心思路是将分式方程转化为已学的整式方程求解，具体思考路径如下：①先整理分母，对可因式分解的分母先因式分解，互为相反数的分母先统一符号，找到最简公分母；②方程两边同时乘最简公分母消去分母，转化为整式方程，注意不要漏乘不含分母的常数项；③解整式方程得到未知数的值；④必须检验：把求得的根代入最简公分母，若公分母为0则是增根要舍去，若公分母不为0才是原方程的有效解。
【解析】
(1) 先统一分母符号，原方程变形为：$\dfrac{1}{x - 3} + 2 = \dfrac{x - 4}{x - 3}$
最简公分母为$x-3$，且$x≠3$，方程两边同时乘$(x-3)$得：
$1 + 2(x - 3) = x - 4$
去括号：$1 + 2x - 6 = x - 4$
移项、合并同类项：$2x - x = -4 + 6 - 1$
解得：$x=1$
检验：把$x=1$代入$x-3$，得$1-3=-2≠0$，因此$x=1$是原方程的解。
(2) 先对分母因式分解：$x^2-4=(x+2)(x-2)$，最简公分母为$(x+2)(x-2)$，且$x≠\pm2$，方程两边同时乘$(x+2)(x-2)$得：
$4 + (x + 3)(x + 2) = (x - 1)(x - 2)$
展开计算：$4 + x^2 + 5x + 6 = x^2 - 3x + 2$
移项、合并同类项：$8x=-8$
解得：$x=-1$
检验：把$x=-1$代入$(x+2)(x-2)$，得$(-1+2)×(-1-2)=-3≠0$，因此$x=-1$是原方程的解。
【答案】
(1) $x = 1$ (2) $x = -1$
【知识点】
1.分式方程的解法 2.分式方程验根 3.平方差公式
【点评】
本题属于分式方程的基础常考题，解题的易错点是去分母时漏乘常数项、忘记检验增根，掌握好分式方程的解题步骤即可顺利求解。
【难度系数】
0.7
12. 已知关于 $ x $ 的分式方程 $\dfrac{m - 1}{x - 1} = 2$ 的解为正数，求 $ m $ 的取值范围.
答案
12. $m ＞ -1$ 且 $m ≠ 1$
解析
【分析】
解题时首先要明确两个核心限制条件：一是分式方程的解为正数，即x＞0；二是分式方程有意义，分母不能为0，即x≠1。解题思路为：先将分式方程去分母转化为整式方程，用含m的代数式表示出x，再结合上述两个限制条件分别列不等式，求解后取公共部分即可得到m的取值范围。
【解析】
解：给分式方程两边同时乘以(x-1)（注意x≠1），得：
$m - 1 = 2(x - 1)$
展开并整理整式方程：
$m - 1 = 2x - 2$
移项得$2x = m + 1$
解得$x = \dfrac{m + 1}{2}$
∵ 方程的解为正数
∴ $x ＞ 0$，即 $\dfrac{m + 1}{2} ＞ 0$
解得$m ＞ -1$
又
∵ 分母不为0，即$x ≠ 1$
∴ $\dfrac{m + 1}{2} ≠ 1$
解得$m ≠ 1$
综上，m的取值范围是$m ＞ -1$且$m ≠ 1$。
【答案】
$m ＞ -1$ 且 $m ≠ 1$
【知识点】
分式方程的解，分式有意义的条件，解一元一次不等式
【点评】
本题是分式方程相关的典型易错题，解题的易错点是容易忽略分式分母不为0的限制条件，漏掉$m≠1$的情况。求解这类问题时，要先保证分式有意义，再结合解的性质列不等式求解，避免出现多解的错误。
【难度系数】
0.7
解题时首先要明确两个核心限制条件：一是分式方程的解为正数，即x＞0；二是分式方程有意义，分母不能为0，即x≠1。解题思路为：先将分式方程去分母转化为整式方程，用含m的代数式表示出x，再结合上述两个限制条件分别列不等式，求解后取公共部分即可得到m的取值范围。
【解析】
解：给分式方程两边同时乘以(x-1)（注意x≠1），得：
$m - 1 = 2(x - 1)$
展开并整理整式方程：
$m - 1 = 2x - 2$
移项得$2x = m + 1$
解得$x = \dfrac{m + 1}{2}$
∵ 方程的解为正数
∴ $x ＞ 0$，即 $\dfrac{m + 1}{2} ＞ 0$
解得$m ＞ -1$
又
∵ 分母不为0，即$x ≠ 1$
∴ $\dfrac{m + 1}{2} ≠ 1$
解得$m ≠ 1$
综上，m的取值范围是$m ＞ -1$且$m ≠ 1$。
【答案】
$m ＞ -1$ 且 $m ≠ 1$
【知识点】
分式方程的解，分式有意义的条件，解一元一次不等式
【点评】
本题是分式方程相关的典型易错题，解题的易错点是容易忽略分式分母不为0的限制条件，漏掉$m≠1$的情况。求解这类问题时，要先保证分式有意义，再结合解的性质列不等式求解，避免出现多解的错误。
【难度系数】
0.7
13. 几人租了一辆车准备到郊外游览，租金为240元. 出发时，又增加了两人，总人数达到$x$人，总租车费用并没有增加.
（1）原来平均每人需分摊车费________元，现在平均每人需分摊车费________元；
（2）若开始包车的几人平均每人可比原来少分摊20元，则开始租车时有几人？
（1）原来平均每人需分摊车费________元，现在平均每人需分摊车费________元；
（2）若开始包车的几人平均每人可比原来少分摊20元，则开始租车时有几人？
答案
13. (1) $\dfrac{240}{x - 2}$ ，$\dfrac{240}{x}$ (2) 4人
解析
【分析】
（1）首先确定原来的人数：现在总人数为$x$，出发时增加了2人，因此原来的人数为$x-2$，平均分摊车费=总租金÷人数，代入对应人数即可列出两个代数式；
（2）根据“原来每人分摊车费 - 现在每人分摊车费 = 20元”这个等量关系列分式方程，求解后检验解是否符合实际意义，再计算开始租车的人数即可。
【解析】
（1）原来的人数为$x-2$，总租金为240元，因此原来平均每人需分摊车费$\dfrac{240}{x-2}$元；现在总人数为$x$，因此现在平均每人需分摊车费$\dfrac{240}{x}$元。
（2）根据题意可列方程：
$\dfrac{240}{x-2} - \dfrac{240}{x} = 20$
方程两边同时乘以$x(x-2)$去分母得：
$240x - 240(x-2) = 20x(x-2)$
化简得：
$480 = 20x^2 - 40x$
两边同时除以20整理得：
$x^2 - 2x - 24 = 0$
因式分解得：
$(x-6)(x+4)=0$
解得$x_1=6$，$x_2=-4$
经检验，人数不能为负数，因此舍去$x=-4$，$x=6$是原方程的解且符合实际意义。
则开始租车的人数为$x-2=6-2=4$（人）
【答案】
（1）$\dfrac{240}{x - 2}$，$\dfrac{240}{x}$；（2）4人
【知识点】
列代数式；分式方程的应用；解分式方程
【点评】
本题结合生活租车场景考查代数应用能力，解题的核心是找准人数变化前后的等量关系，需要注意分式方程求解后要检验结果是否符合实际意义，避免出现无意义的解。
【难度系数】
0.7
（1）首先确定原来的人数：现在总人数为$x$，出发时增加了2人，因此原来的人数为$x-2$，平均分摊车费=总租金÷人数，代入对应人数即可列出两个代数式；
（2）根据“原来每人分摊车费 - 现在每人分摊车费 = 20元”这个等量关系列分式方程，求解后检验解是否符合实际意义，再计算开始租车的人数即可。
【解析】
（1）原来的人数为$x-2$，总租金为240元，因此原来平均每人需分摊车费$\dfrac{240}{x-2}$元；现在总人数为$x$，因此现在平均每人需分摊车费$\dfrac{240}{x}$元。
（2）根据题意可列方程：
$\dfrac{240}{x-2} - \dfrac{240}{x} = 20$
方程两边同时乘以$x(x-2)$去分母得：
$240x - 240(x-2) = 20x(x-2)$
化简得：
$480 = 20x^2 - 40x$
两边同时除以20整理得：
$x^2 - 2x - 24 = 0$
因式分解得：
$(x-6)(x+4)=0$
解得$x_1=6$，$x_2=-4$
经检验，人数不能为负数，因此舍去$x=-4$，$x=6$是原方程的解且符合实际意义。
则开始租车的人数为$x-2=6-2=4$（人）
【答案】
（1）$\dfrac{240}{x - 2}$，$\dfrac{240}{x}$；（2）4人
【知识点】
列代数式；分式方程的应用；解分式方程
【点评】
本题结合生活租车场景考查代数应用能力，解题的核心是找准人数变化前后的等量关系，需要注意分式方程求解后要检验结果是否符合实际意义，避免出现无意义的解。
【难度系数】
0.7
