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1. 若分式$\dfrac{2}{x - 1}$与$\dfrac{1}{x - 2}$的值相等，则$x=$
3
.答案
1. 3
解析
【分析】
题目给出两个分式的值相等，我们可以根据这个等量关系列分式方程求解。解题思路分为三步：第一步根据题意写出对应的分式方程；第二步利用等式的性质去分母，把分式方程转化为我们熟悉的整式方程求解；第三步检验求得的根是否让原分式的分母不为0，保证根符合分式有意义的要求。
【解析】
根据题意列方程：
$\dfrac{2}{x - 1} = \dfrac{1}{x - 2}$
方程两边同时乘以最简公分母$(x-1)(x-2)$（此时$x≠1$且$x≠2$），去分母得：
$2(x - 2) = x - 1$
展开括号：
$2x - 4 = x - 1$
移项合并同类项：
$2x - x = 4 - 1$
解得$x=3$
检验：当$x=3$时，$(x-1)(x-2)=(3-1)×(3-2)=2≠0$，因此$x=3$是原分式方程的解。
【答案】
3
【知识点】
分式方程的解法；解分式方程验根；等式的性质
【点评】
本题属于分式方程的基础考查题型，解题关键是根据等量关系准确列方程，要牢记解分式方程必须验根，排除使分母为0的增根，主要考查基础运算能力。
【难度系数】
0.8
题目给出两个分式的值相等，我们可以根据这个等量关系列分式方程求解。解题思路分为三步：第一步根据题意写出对应的分式方程；第二步利用等式的性质去分母，把分式方程转化为我们熟悉的整式方程求解；第三步检验求得的根是否让原分式的分母不为0，保证根符合分式有意义的要求。
【解析】
根据题意列方程：
$\dfrac{2}{x - 1} = \dfrac{1}{x - 2}$
方程两边同时乘以最简公分母$(x-1)(x-2)$（此时$x≠1$且$x≠2$），去分母得：
$2(x - 2) = x - 1$
展开括号：
$2x - 4 = x - 1$
移项合并同类项：
$2x - x = 4 - 1$
解得$x=3$
检验：当$x=3$时，$(x-1)(x-2)=(3-1)×(3-2)=2≠0$，因此$x=3$是原分式方程的解。
【答案】
3
【知识点】
分式方程的解法；解分式方程验根；等式的性质
【点评】
本题属于分式方程的基础考查题型，解题关键是根据等量关系准确列方程，要牢记解分式方程必须验根，排除使分母为0的增根，主要考查基础运算能力。
【难度系数】
0.8
2. 当$x=\underline{\hspace{3em}}$时，分式$\dfrac{1+x}{5+x}$的值等于$\dfrac{1}{2}$。
答案
2. 3
解析
【分析】
本题要求分式值为$\dfrac{1}{2}$时$x$的取值，解题思路如下：首先根据题意列出对应的分式方程；再按照解一元一次方程的常规步骤，通过去分母、去括号、移项、合并同类项求出$x$的初步值；最后检验所求的$x$是否使原分式的分母不为0，保证分式有意义，即可得到最终正确结果。
【解析】
根据题意列方程：
$\dfrac{1+x}{5+x}=\dfrac{1}{2}$
方程两边同时乘以$2(5+x)$（$5+x≠0$）去分母得：
$2(1+x)=5+x$
去括号得：
$2+2x=5+x$
移项得：
$2x-x=5-2$
合并同类项得：
$x=3$
检验：当$x=3$时，原分式分母$5+x=5+3=8≠0$，因此$x=3$是原方程的解。
【答案】
3
【知识点】
分式方程的解法；一元一次方程的解法；分式有意义的条件
【点评】
本题属于基础计算题，核心是根据题干给出的等量关系正确列方程，需要注意解分式方程的最后必须检验，排除使分母为0的增根。
【难度系数】
0.85
本题要求分式值为$\dfrac{1}{2}$时$x$的取值，解题思路如下：首先根据题意列出对应的分式方程；再按照解一元一次方程的常规步骤，通过去分母、去括号、移项、合并同类项求出$x$的初步值；最后检验所求的$x$是否使原分式的分母不为0，保证分式有意义，即可得到最终正确结果。
【解析】
根据题意列方程：
$\dfrac{1+x}{5+x}=\dfrac{1}{2}$
方程两边同时乘以$2(5+x)$（$5+x≠0$）去分母得：
$2(1+x)=5+x$
去括号得：
$2+2x=5+x$
移项得：
$2x-x=5-2$
合并同类项得：
$x=3$
检验：当$x=3$时，原分式分母$5+x=5+3=8≠0$，因此$x=3$是原方程的解。
【答案】
3
【知识点】
分式方程的解法；一元一次方程的解法；分式有意义的条件
【点评】
本题属于基础计算题，核心是根据题干给出的等量关系正确列方程，需要注意解分式方程的最后必须检验，排除使分母为0的增根。
【难度系数】
0.85
3. 对于两个非零实数$a$，$b$，规定$a * b = \dfrac{1}{b} - \dfrac{1}{a}$。若$1 * (x + 1) = 0$，则$x$的值等于________。
答案
3. 0
解析
【分析】
本题是新定义运算结合分式方程的计算题，解题思路如下：首先先读懂题干给出的新运算“*”的计算规则：两个数做*运算，结果等于第二个数的倒数减去第一个数的倒数；接下来将1*(x+1)中的对应项代入规则，a对应1，b对应(x+1)，列出关于x的分式方程；最后解分式方程并检验解是否满足分母不为0的要求，即可得到x的值。
【解析】
根据新运算规则$a * b = \dfrac{1}{b} - \dfrac{1}{a}$，将$a=1$，$b=x+1$代入得：
$1*(x+1)=\dfrac{1}{x+1}-\dfrac{1}{1}=\dfrac{1}{x+1}-1$
由题意$1 * (x + 1) = 0$，可列方程：
$\dfrac{1}{x+1}-1=0$
移项得：$\dfrac{1}{x+1}=1$
方程两边同时乘$(x+1)$（需满足$x+1≠0$），得：
$1=x+1$
解得$x=0$
检验：当$x=0$时，$x+1=1≠0$，符合分母不为0的要求，因此$x=0$是原方程的解。
【答案】
0
【知识点】
新定义运算，分式方程求解，分式有意义的条件
【点评】
本题难度不大，核心是准确理解新运算的规则，代入时注意不要混淆两个数的顺序，解分式方程后要养成检验的习惯，避免出现增根。
【难度系数】
0.8
本题是新定义运算结合分式方程的计算题，解题思路如下：首先先读懂题干给出的新运算“*”的计算规则：两个数做*运算，结果等于第二个数的倒数减去第一个数的倒数；接下来将1*(x+1)中的对应项代入规则，a对应1，b对应(x+1)，列出关于x的分式方程；最后解分式方程并检验解是否满足分母不为0的要求，即可得到x的值。
【解析】
根据新运算规则$a * b = \dfrac{1}{b} - \dfrac{1}{a}$，将$a=1$，$b=x+1$代入得：
$1*(x+1)=\dfrac{1}{x+1}-\dfrac{1}{1}=\dfrac{1}{x+1}-1$
由题意$1 * (x + 1) = 0$，可列方程：
$\dfrac{1}{x+1}-1=0$
移项得：$\dfrac{1}{x+1}=1$
方程两边同时乘$(x+1)$（需满足$x+1≠0$），得：
$1=x+1$
解得$x=0$
检验：当$x=0$时，$x+1=1≠0$，符合分母不为0的要求，因此$x=0$是原方程的解。
【答案】
0
【知识点】
新定义运算，分式方程求解，分式有意义的条件
【点评】
本题难度不大，核心是准确理解新运算的规则，代入时注意不要混淆两个数的顺序，解分式方程后要养成检验的习惯，避免出现增根。
【难度系数】
0.8
4. 已知$ a $，$ b $ 是实数，若$\frac{a}{x + 2}$与$\frac{b}{x - 2}$的和等于$\frac{4x}{x^2 - 4}$，则$ a = $
2
，$ b = $2
.答案
4. a=2，b=2
解析
【分析】
解题时首先观察到等式右侧分式的分母$x^2-4$可利用平方差公式分解为$(x+2)(x-2)$，恰好是左侧两个分式分母的最简公分母。我们可以先对左侧的两个异分母分式通分后相加，因为左右两个相等的分式分母相同（分母不为0的前提下），因此分子必然相等。将分子整理合并同类项后，根据等式两边x的系数和常数项分别对应相等，即可列出方程组求解a、b的值。
【解析】
首先对左侧分式通分求和：
$\frac{a}{x+2} + \frac{b}{x-2} = \frac{a(x-2) + b(x+2)}{(x+2)(x-2)} = \frac{a(x-2) + b(x+2)}{x^2 - 4}$
由题意得$\frac{a(x-2) + b(x+2)}{x^2 - 4} = \frac{4x}{x^2 - 4}$，当$x ≠ \pm2$时分母不为0，因此分子相等：
$a(x-2) + b(x+2) = 4x$
展开并整理左侧式子：
$ax - 2a + bx + 2b = 4x$
合并同类项得：
$(a+b)x + (2b - 2a) = 4x + 0$
等式两边对应项系数相等，可得方程组：
$\begin{cases} a + b = 4 \\ 2b - 2a = 0 \end{cases}$
解第二个方程得$b = a$，代入第一个方程得$a + a = 4$，解得$a=2$，因此$b=2$。
【答案】
$a=2$，$b=2$
【知识点】
分式加减运算，平方差公式，二元一次方程组求解
【点评】
本题是分式运算的典型基础题，核心考查通分化简、同类项合并以及利用对应系数相等列方程求参数的方法，熟练掌握分式运算规则是解题的关键。
【难度系数】
0.7
解题时首先观察到等式右侧分式的分母$x^2-4$可利用平方差公式分解为$(x+2)(x-2)$，恰好是左侧两个分式分母的最简公分母。我们可以先对左侧的两个异分母分式通分后相加，因为左右两个相等的分式分母相同（分母不为0的前提下），因此分子必然相等。将分子整理合并同类项后，根据等式两边x的系数和常数项分别对应相等，即可列出方程组求解a、b的值。
【解析】
首先对左侧分式通分求和：
$\frac{a}{x+2} + \frac{b}{x-2} = \frac{a(x-2) + b(x+2)}{(x+2)(x-2)} = \frac{a(x-2) + b(x+2)}{x^2 - 4}$
由题意得$\frac{a(x-2) + b(x+2)}{x^2 - 4} = \frac{4x}{x^2 - 4}$，当$x ≠ \pm2$时分母不为0，因此分子相等：
$a(x-2) + b(x+2) = 4x$
展开并整理左侧式子：
$ax - 2a + bx + 2b = 4x$
合并同类项得：
$(a+b)x + (2b - 2a) = 4x + 0$
等式两边对应项系数相等，可得方程组：
$\begin{cases} a + b = 4 \\ 2b - 2a = 0 \end{cases}$
解第二个方程得$b = a$，代入第一个方程得$a + a = 4$，解得$a=2$，因此$b=2$。
【答案】
$a=2$，$b=2$
【知识点】
分式加减运算，平方差公式，二元一次方程组求解
【点评】
本题是分式运算的典型基础题，核心考查通分化简、同类项合并以及利用对应系数相等列方程求参数的方法，熟练掌握分式运算规则是解题的关键。
【难度系数】
0.7
5. 某施工队在整修一段全长 20 000 m 的道路时，实际工作效率比原计划提高了 10%，结果比原计划提前 10 天完成任务. 若设原计划每天修路 $ x $ m，则可列得的方程为 ______.
答案
5. $\dfrac{20000}{x} - \dfrac{20000}{(1+10\%)x} = 10$
解析
【分析】
这是一道工程类的列方程应用题，解题时先明确工程问题的核心公式：工作时间=工作总量÷工作效率。我们需要分别表示出原计划完成任务的时间和实际完成任务的时间，再根据“实际比原计划提前10天完成”这个等量关系列出方程。具体思考步骤：第一步，根据原计划的工作效率求出原计划的工作时间；第二步，结合效率提升10%的条件求出实际工作效率，再得到实际工作时间；第三步，利用两个时间的差为10天建立等式。
【解析】
已知道路全长20000m，原计划每天修路$x$ m：
1. 原计划完成任务的天数 = 工作总量÷原计划工作效率，即 $\dfrac{20000}{x}$ 天；
2. 实际工作效率比原计划提高10%，因此实际每天修路$(1+10\%)x$ m，实际完成任务的天数为 $\dfrac{20000}{(1+10\%)x}$ 天；
3. 由“实际比原计划提前10天完成”，可得原计划天数 - 实际天数 = 10天，代入上述表达式即可列出方程。
【答案】
$\dfrac{20000}{x} - \dfrac{20000}{(1+10\%)x} = 10$
【知识点】
工程问题等量关系，列分式方程，百分数应用
【点评】
本题是工程类应用题的基础题型，解题核心是找准题目中的等量关系，只要熟练掌握工作总量、工作效率、工作时间三者的关系，就能顺利列出方程，是对基础应用能力的考察。
【难度系数】
0.8
这是一道工程类的列方程应用题，解题时先明确工程问题的核心公式：工作时间=工作总量÷工作效率。我们需要分别表示出原计划完成任务的时间和实际完成任务的时间，再根据“实际比原计划提前10天完成”这个等量关系列出方程。具体思考步骤：第一步，根据原计划的工作效率求出原计划的工作时间；第二步，结合效率提升10%的条件求出实际工作效率，再得到实际工作时间；第三步，利用两个时间的差为10天建立等式。
【解析】
已知道路全长20000m，原计划每天修路$x$ m：
1. 原计划完成任务的天数 = 工作总量÷原计划工作效率，即 $\dfrac{20000}{x}$ 天；
2. 实际工作效率比原计划提高10%，因此实际每天修路$(1+10\%)x$ m，实际完成任务的天数为 $\dfrac{20000}{(1+10\%)x}$ 天；
3. 由“实际比原计划提前10天完成”，可得原计划天数 - 实际天数 = 10天，代入上述表达式即可列出方程。
【答案】
$\dfrac{20000}{x} - \dfrac{20000}{(1+10\%)x} = 10$
【知识点】
工程问题等量关系，列分式方程，百分数应用
【点评】
本题是工程类应用题的基础题型，解题核心是找准题目中的等量关系，只要熟练掌握工作总量、工作效率、工作时间三者的关系，就能顺利列出方程，是对基础应用能力的考察。
【难度系数】
0.8
6. 在下列方程中，关于$ x $的分式方程有( ).
① $\frac{1}{2}x^2 - \frac{2}{3}x + 4 = 0$； ② $\frac{x}{a} = 4$； ③ $\frac{a}{x} = 4$；
④ $\frac{x^2 - 9}{x + 3} = 1$； ⑤ $\frac{1}{x + 2} = 6$； ⑥ $\frac{x - 1}{a} + \frac{x - 1}{a} = 2$.
A.2个
B.3个
C.4个
D.5个
① $\frac{1}{2}x^2 - \frac{2}{3}x + 4 = 0$； ② $\frac{x}{a} = 4$； ③ $\frac{a}{x} = 4$；
④ $\frac{x^2 - 9}{x + 3} = 1$； ⑤ $\frac{1}{x + 2} = 6$； ⑥ $\frac{x - 1}{a} + \frac{x - 1}{a} = 2$.
A.2个
B.3个
C.4个
D.5个
答案
6. B
解析
【分析】
首先明确判断分式方程的核心依据：分母中含有未知数的方程叫做分式方程，且题目明确是“关于x的分式方程”，因此只有x是未知数，其余字母（如a）属于常数参数。接下来我们逐个判断6个方程是否满足“分母含x”的要求，统计符合条件的个数即可选出正确选项。
【解析】
首先明确分式方程的定义：分母中含有未知数的方程为分式方程，本题中x是未知数，a为常数参数，逐一判断如下：
① $\frac{1}{2}x^2 - \frac{2}{3}x + 4 = 0$：分母为常数2、3，不含未知数x，是整式方程，不符合要求；
② $\frac{x}{a} = 4$：分母是a（常数参数），不含x，是整式方程，不符合要求；
③ $\frac{a}{x} = 4$：分母是x（未知数），属于分式方程，符合要求；
④ $\frac{x^2 - 9}{x + 3} = 1$：分母是$x+3$，含未知数x，属于分式方程，符合要求；
⑤ $\frac{1}{x + 2} = 6$：分母是$x+2$，含未知数x，属于分式方程，符合要求；
⑥ $\frac{x - 1}{a} + \frac{x - 1}{a} = 2$：分母是a（常数参数），不含x，是整式方程，不符合要求。
综上，符合条件的分式方程共3个。
【答案】B
【知识点】
1. 分式方程的定义
2. 整式方程与分式方程的区分
【点评】
本题属于基础概念考查题，解题关键是牢牢抓住分式方程“分母含未知数”的判定特征，注意题目指定的未知数只有x，其余字母属于参数，判定时不要将参数当作未知数即可快速得出结果。
【难度系数】
0.8
首先明确判断分式方程的核心依据：分母中含有未知数的方程叫做分式方程，且题目明确是“关于x的分式方程”，因此只有x是未知数，其余字母（如a）属于常数参数。接下来我们逐个判断6个方程是否满足“分母含x”的要求，统计符合条件的个数即可选出正确选项。
【解析】
首先明确分式方程的定义：分母中含有未知数的方程为分式方程，本题中x是未知数，a为常数参数，逐一判断如下：
① $\frac{1}{2}x^2 - \frac{2}{3}x + 4 = 0$：分母为常数2、3，不含未知数x，是整式方程，不符合要求；
② $\frac{x}{a} = 4$：分母是a（常数参数），不含x，是整式方程，不符合要求；
③ $\frac{a}{x} = 4$：分母是x（未知数），属于分式方程，符合要求；
④ $\frac{x^2 - 9}{x + 3} = 1$：分母是$x+3$，含未知数x，属于分式方程，符合要求；
⑤ $\frac{1}{x + 2} = 6$：分母是$x+2$，含未知数x，属于分式方程，符合要求；
⑥ $\frac{x - 1}{a} + \frac{x - 1}{a} = 2$：分母是a（常数参数），不含x，是整式方程，不符合要求。
综上，符合条件的分式方程共3个。
【答案】B
【知识点】
1. 分式方程的定义
2. 整式方程与分式方程的区分
【点评】
本题属于基础概念考查题，解题关键是牢牢抓住分式方程“分母含未知数”的判定特征，注意题目指定的未知数只有x，其余字母属于参数，判定时不要将参数当作未知数即可快速得出结果。
【难度系数】
0.8
7. 下列分式方程去分母后所得结果正确的是(
A.$\frac{1}{x - 1} = \frac{x + 2}{x + 1} - 1$，去分母得 $x + 1 = (x - 1)(x + 2) - 1$
B.$\frac{x}{2x - 5} + \frac{5}{5 - 2x} = 1$，去分母得 $x + 5 = 2x - 5$
C.$\frac{x - 2}{x + 2} - \frac{x + 2}{x^2 - 4} = \frac{x}{x - 2}$，去分母得 $(x - 2)^2 - x + 2 = x(x + 2)$
D.$\frac{2}{x + 3} = \frac{1}{x - 1}$，去分母得 $2(x - 1) = x + 3$
D
).A.$\frac{1}{x - 1} = \frac{x + 2}{x + 1} - 1$，去分母得 $x + 1 = (x - 1)(x + 2) - 1$
B.$\frac{x}{2x - 5} + \frac{5}{5 - 2x} = 1$，去分母得 $x + 5 = 2x - 5$
C.$\frac{x - 2}{x + 2} - \frac{x + 2}{x^2 - 4} = \frac{x}{x - 2}$，去分母得 $(x - 2)^2 - x + 2 = x(x + 2)$
D.$\frac{2}{x + 3} = \frac{1}{x - 1}$，去分母得 $2(x - 1) = x + 3$
答案
7. D
解析
【分析】
要判断分式方程去分母的结果是否正确，需按以下步骤思考：①先确定方程中各分母的最简公分母，若分母是互为相反数的形式，要先统一符号；若分母可因式分解，先因式分解再找最简公分母。②方程两边的每一项都要乘最简公分母，注意不要漏乘不含分母的常数项，最后化简得到去分母后的整式方程，再逐一比对选项即可。
【解析】
我们逐个分析选项：
A选项：方程$\frac{1}{x - 1} = \frac{x + 2}{x + 1} - 1$的最简公分母是$(x-1)(x+1)$，每一项都要乘最简公分母，常数项$-1$也不例外，去分母应得$x+1=(x-1)(x+2)-(x-1)(x+1)$，选项中常数项漏乘公分母，错误。
B选项：方程$\frac{x}{2x - 5} + \frac{5}{5 - 2x} = 1$中，$5-2x=-(2x-5)$，原式可变形为$\frac{x}{2x - 5} - \frac{5}{2x - 5} = 1$，最简公分母是$2x-5$，去分母应得$x-5=2x-5$，选项中符号错误，错误。
C选项：方程$\frac{x - 2}{x + 2} - \frac{x + 2}{x^2 - 4} = \frac{x}{x - 2}$中，$x^2-4=(x+2)(x-2)$，最简公分母是$(x+2)(x-2)$，去分母应得$(x-2)^2-(x+2)=x(x+2)$，即$(x-2)^2-x-2=x(x+2)$，选项中第二项符号错误，错误。
D选项：方程$\frac{2}{x + 3} = \frac{1}{x - 1}$的最简公分母是$(x+3)(x-1)$，两边同乘公分母得$2(x-1)=x+3$，与选项表述一致，正确。
【答案】
D
【知识点】
分式方程去分母、分式的基本性质、因式分解
【点评】
本题是分式方程求解的基础题型，核心考查去分母的注意事项，解题时需特别注意不要漏乘常数项，遇到互为相反数的分母要先统一符号，准确确定最简公分母是解题的关键，熟练掌握该知识点可为后续解分式方程打好基础。
【难度系数】
0.7
要判断分式方程去分母的结果是否正确，需按以下步骤思考：①先确定方程中各分母的最简公分母，若分母是互为相反数的形式，要先统一符号；若分母可因式分解，先因式分解再找最简公分母。②方程两边的每一项都要乘最简公分母，注意不要漏乘不含分母的常数项，最后化简得到去分母后的整式方程，再逐一比对选项即可。
【解析】
我们逐个分析选项：
A选项：方程$\frac{1}{x - 1} = \frac{x + 2}{x + 1} - 1$的最简公分母是$(x-1)(x+1)$，每一项都要乘最简公分母，常数项$-1$也不例外，去分母应得$x+1=(x-1)(x+2)-(x-1)(x+1)$，选项中常数项漏乘公分母，错误。
B选项：方程$\frac{x}{2x - 5} + \frac{5}{5 - 2x} = 1$中，$5-2x=-(2x-5)$，原式可变形为$\frac{x}{2x - 5} - \frac{5}{2x - 5} = 1$，最简公分母是$2x-5$，去分母应得$x-5=2x-5$，选项中符号错误，错误。
C选项：方程$\frac{x - 2}{x + 2} - \frac{x + 2}{x^2 - 4} = \frac{x}{x - 2}$中，$x^2-4=(x+2)(x-2)$，最简公分母是$(x+2)(x-2)$，去分母应得$(x-2)^2-(x+2)=x(x+2)$，即$(x-2)^2-x-2=x(x+2)$，选项中第二项符号错误，错误。
D选项：方程$\frac{2}{x + 3} = \frac{1}{x - 1}$的最简公分母是$(x+3)(x-1)$，两边同乘公分母得$2(x-1)=x+3$，与选项表述一致，正确。
【答案】
D
【知识点】
分式方程去分母、分式的基本性质、因式分解
【点评】
本题是分式方程求解的基础题型，核心考查去分母的注意事项，解题时需特别注意不要漏乘常数项，遇到互为相反数的分母要先统一符号，准确确定最简公分母是解题的关键，熟练掌握该知识点可为后续解分式方程打好基础。
【难度系数】
0.7
