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10. 已知$\frac{1}{x} - \frac{1}{y} = 5$，则分式$\frac{2x + 3xy - 2y}{x - 2xy - y}$的值为（
A.$-1$
B.$1$
C.$\frac{1}{2}$
D.$\frac{13}{3}$
B
）。A.$-1$
B.$1$
C.$\frac{1}{2}$
D.$\frac{13}{3}$
答案
B
解析
【分析】
观察已知条件和待求分式的特征，直接求解x、y的具体值比较繁琐，因此采用整体代入的方法解题：第一步先对已知的分式等式$\frac{1}{x}-\frac{1}{y}=5$通分变形，得到$x-y$与$xy$的数量关系；第二步将待求分式的分子、分母整理为含有$x-y$和$xy$的形式；最后把得到的数量关系代入待求分式，约分后即可求出结果。
【解析】
解：由已知$\frac{1}{x}-\frac{1}{y}=5$，通分得：
$\frac{y - x}{xy}=5$，
由原式可知$x≠0,y≠0$，因此$xy≠0$，两边同乘$xy$得：
$y - x = 5xy$，即$x - y = -5xy$。
将待求分式$\frac{2x + 3xy - 2y}{x - 2xy - y}$变形：
分子$2x + 3xy - 2y = 2(x - y) + 3xy$，
分母$x - 2xy - y = (x - y) - 2xy$。
把$x - y = -5xy$代入上式：
原式$=\frac{2×(-5xy) + 3xy}{-5xy - 2xy}=\frac{-10xy + 3xy}{-7xy}=\frac{-7xy}{-7xy}=1$。
【答案】B
【知识点】分式化简求值，整体代入思想，分式的基本性质
【点评】本题是分式化简求值的典型题型，不需要求解x、y的具体取值，通过对已知条件和待求式变形，用整体代入的方法即可快速求解，解题时要注意隐含条件x、y均不为0，保证约分合法。
【难度系数】0.7
观察已知条件和待求分式的特征，直接求解x、y的具体值比较繁琐，因此采用整体代入的方法解题：第一步先对已知的分式等式$\frac{1}{x}-\frac{1}{y}=5$通分变形，得到$x-y$与$xy$的数量关系；第二步将待求分式的分子、分母整理为含有$x-y$和$xy$的形式；最后把得到的数量关系代入待求分式，约分后即可求出结果。
【解析】
解：由已知$\frac{1}{x}-\frac{1}{y}=5$，通分得：
$\frac{y - x}{xy}=5$，
由原式可知$x≠0,y≠0$，因此$xy≠0$，两边同乘$xy$得：
$y - x = 5xy$，即$x - y = -5xy$。
将待求分式$\frac{2x + 3xy - 2y}{x - 2xy - y}$变形：
分子$2x + 3xy - 2y = 2(x - y) + 3xy$，
分母$x - 2xy - y = (x - y) - 2xy$。
把$x - y = -5xy$代入上式：
原式$=\frac{2×(-5xy) + 3xy}{-5xy - 2xy}=\frac{-10xy + 3xy}{-7xy}=\frac{-7xy}{-7xy}=1$。
【答案】B
【知识点】分式化简求值，整体代入思想，分式的基本性质
【点评】本题是分式化简求值的典型题型，不需要求解x、y的具体取值，通过对已知条件和待求式变形，用整体代入的方法即可快速求解，解题时要注意隐含条件x、y均不为0，保证约分合法。
【难度系数】0.7
三、解答题
11. 计算：
(1) $(xy - x^2) · \dfrac{x - y}{xy}$；
(2) $\dfrac{1}{a - 1} - a - 1$。
11. 计算：
(1) $(xy - x^2) · \dfrac{x - y}{xy}$；
(2) $\dfrac{1}{a - 1} - a - 1$。
答案
(1) $-\dfrac{(x-y)^2}{y}$ (2) $\dfrac{2-a^2}{a-1}$
解析
【分析】
本题考查分式的基本运算，解题思路如下：
(1) 对于整式乘分式的运算，先将整式因式分解，观察到整式$xy-x^2$可提取公因式$x$，变形为$x(y-x)=-x(x-y)$，再和后面的分式$\frac{x-y}{xy}$相乘，约去公因式$x$后化简即可。
(2) 对于分式减整式的运算，先把整式看作分母为1的分式，找到最简公分母为$a-1$，将两个分式通分化为同分母分式，再对分子进行相减运算，计算时注意符号变化，最后化简得到结果。
【解析】
(1) 先对整式因式分解：
$xy-x^2=x(y-x)=-x(x-y)$
代入原式计算：
$\begin{aligned}(xy - x^2) · \dfrac{x - y}{xy}&=-x(x-y)·\frac{x-y}{xy}\\&=-\frac{x(x-y)^2}{xy}\\&=-\frac{(x-y)^2}{y}\end{aligned}$
(2) 将整式看作分母为1的分式，通分计算：
$\begin{aligned}\dfrac{1}{a - 1} - a - 1&=\frac{1}{a-1}-(a+1)\\&=\frac{1}{a-1}-\frac{(a+1)(a-1)}{a-1}\\&=\frac{1-(a^2-1)}{a-1}\\&=\frac{1-a^2+1}{a-1}\\&=\frac{2-a^2}{a-1}\end{aligned}$
【答案】
(1) $-\dfrac{(x-y)^2}{y}$；(2) $\dfrac{2-a^2}{a-1}$
【知识点】
因式分解、分式的乘法运算、分式的加减运算
【点评】
本题属于分式运算的基础题型，解题的关键是掌握分式运算的基本规则，做乘法运算时先因式分解再约分可简化计算，做加减运算时要注意通分的正确处理和符号的变化，避免因符号错误导致结果出错。
【难度系数】
0.8
本题考查分式的基本运算，解题思路如下：
(1) 对于整式乘分式的运算，先将整式因式分解，观察到整式$xy-x^2$可提取公因式$x$，变形为$x(y-x)=-x(x-y)$，再和后面的分式$\frac{x-y}{xy}$相乘，约去公因式$x$后化简即可。
(2) 对于分式减整式的运算，先把整式看作分母为1的分式，找到最简公分母为$a-1$，将两个分式通分化为同分母分式，再对分子进行相减运算，计算时注意符号变化，最后化简得到结果。
【解析】
(1) 先对整式因式分解：
$xy-x^2=x(y-x)=-x(x-y)$
代入原式计算：
$\begin{aligned}(xy - x^2) · \dfrac{x - y}{xy}&=-x(x-y)·\frac{x-y}{xy}\\&=-\frac{x(x-y)^2}{xy}\\&=-\frac{(x-y)^2}{y}\end{aligned}$
(2) 将整式看作分母为1的分式，通分计算：
$\begin{aligned}\dfrac{1}{a - 1} - a - 1&=\frac{1}{a-1}-(a+1)\\&=\frac{1}{a-1}-\frac{(a+1)(a-1)}{a-1}\\&=\frac{1-(a^2-1)}{a-1}\\&=\frac{1-a^2+1}{a-1}\\&=\frac{2-a^2}{a-1}\end{aligned}$
【答案】
(1) $-\dfrac{(x-y)^2}{y}$；(2) $\dfrac{2-a^2}{a-1}$
【知识点】
因式分解、分式的乘法运算、分式的加减运算
【点评】
本题属于分式运算的基础题型，解题的关键是掌握分式运算的基本规则，做乘法运算时先因式分解再约分可简化计算，做加减运算时要注意通分的正确处理和符号的变化，避免因符号错误导致结果出错。
【难度系数】
0.8
12. 先化简$(\dfrac{1}{x - 1} - \dfrac{1}{x + 1}) ÷ \dfrac{x}{2x^2 - 2}$，然后选取一个你认为合适的$x$值代入求值.
答案
化简得$\dfrac{4}{x}$，代入的$x$值不能取0，1，$-1$
解析
【分析】
本题是分式化简求值类题目，解题思路如下：第一步，先处理括号内的异分母分式减法，通过通分转化为同分母分式计算；第二步，将除法运算转化为乘法运算，同时对多项式$2x^2-2$进行因式分解，便于后续约分；第三步，约分后得到最简分式；第四步，选取$x$值时需保证原式所有分母、除式均不为0，避免出现无意义的情况。
【解析】
解：按照分式混合运算顺序逐步计算：
1. 通分计算括号内的异分母分式减法：
$\dfrac{1}{x-1}-\dfrac{1}{x+1}=\dfrac{x+1-(x-1)}{(x-1)(x+1)}=\dfrac{2}{(x-1)(x+1)}$
2. 对多项式$2x^2-2$因式分解：
$2x^2-2=2(x^2-1)=2(x-1)(x+1)$
3. 将除法转化为乘法，约分计算：
$(\dfrac{1}{x-1}-\dfrac{1}{x+1})÷\dfrac{x}{2x^2-2}=\dfrac{2}{(x-1)(x+1)}×\dfrac{2(x-1)(x+1)}{x}=\dfrac{4}{x}$
4. 确定$x$的取值范围：要使原式有意义，需满足$x-1≠0$、$x+1≠0$、$x≠0$，即$x$不能取$1$、$-1$、$0$。
选取合法值代入即可，例如取$x=2$，代入得$\dfrac{4}{2}=2$。
【答案】
化简结果为$\dfrac{4}{x}$，$x$不能取$0$、$1$、$-1$，示例：当$x=2$时，原式的值为$2$。
【知识点】
分式混合运算，分式有意义的条件，因式分解
【点评】
本题属于分式运算的基础常考题，重点考查分式的运算顺序、通分约分技巧，易错点是代入求值时忽略$x$的取值限制，导致原式无意义，做题时要养成先判断取值范围再代入的习惯。
【难度系数】
0.7
本题是分式化简求值类题目，解题思路如下：第一步，先处理括号内的异分母分式减法，通过通分转化为同分母分式计算；第二步，将除法运算转化为乘法运算，同时对多项式$2x^2-2$进行因式分解，便于后续约分；第三步，约分后得到最简分式；第四步，选取$x$值时需保证原式所有分母、除式均不为0，避免出现无意义的情况。
【解析】
解：按照分式混合运算顺序逐步计算：
1. 通分计算括号内的异分母分式减法：
$\dfrac{1}{x-1}-\dfrac{1}{x+1}=\dfrac{x+1-(x-1)}{(x-1)(x+1)}=\dfrac{2}{(x-1)(x+1)}$
2. 对多项式$2x^2-2$因式分解：
$2x^2-2=2(x^2-1)=2(x-1)(x+1)$
3. 将除法转化为乘法，约分计算：
$(\dfrac{1}{x-1}-\dfrac{1}{x+1})÷\dfrac{x}{2x^2-2}=\dfrac{2}{(x-1)(x+1)}×\dfrac{2(x-1)(x+1)}{x}=\dfrac{4}{x}$
4. 确定$x$的取值范围：要使原式有意义，需满足$x-1≠0$、$x+1≠0$、$x≠0$，即$x$不能取$1$、$-1$、$0$。
选取合法值代入即可，例如取$x=2$，代入得$\dfrac{4}{2}=2$。
【答案】
化简结果为$\dfrac{4}{x}$，$x$不能取$0$、$1$、$-1$，示例：当$x=2$时，原式的值为$2$。
【知识点】
分式混合运算，分式有意义的条件，因式分解
【点评】
本题属于分式运算的基础常考题，重点考查分式的运算顺序、通分约分技巧，易错点是代入求值时忽略$x$的取值限制，导致原式无意义，做题时要养成先判断取值范围再代入的习惯。
【难度系数】
0.7
13. 观察下列一组数：$\frac{1}{2}$，$\frac{2}{3}$，$\frac{3}{4}$，$\frac{4}{5}$，$\frac{5}{6}$，….
（1）写出第$n$个、第$n+1$个分式，并猜想这两个分式的大小关系；
（2）用所学过的知识解释你的猜想的正确性.
（1）写出第$n$个、第$n+1$个分式，并猜想这两个分式的大小关系；
（2）用所学过的知识解释你的猜想的正确性.
答案
(1) $\dfrac{n}{n+1}$，$\dfrac{n+1}{n+2}$，$\dfrac{n}{n+1} ＜ \dfrac{n+1}{n+2}$
(2) 因为$\dfrac{n}{n+1} - \dfrac{n+1}{n+2} = \dfrac{n(n+2)-(n+1)^2}{(n+1)(n+2)} = -\dfrac{1}{(n+1)(n+2)} ＜ 0$，所以$\dfrac{n}{n+1} ＜ \dfrac{n+1}{n+2}$
(2) 因为$\dfrac{n}{n+1} - \dfrac{n+1}{n+2} = \dfrac{n(n+2)-(n+1)^2}{(n+1)(n+2)} = -\dfrac{1}{(n+1)(n+2)} ＜ 0$，所以$\dfrac{n}{n+1} ＜ \dfrac{n+1}{n+2}$
解析
【分析】
（1）先观察已知分式的分子、分母和项数的对应关系：第1项分子为1，分母为1+1；第2项分子为2，分母为2+1，以此类推可得出第n个分式的分子为n，分母为n+1，将n替换为n+1即可得到第n+1个分式；再通过前几项的大小对比，就能猜想两个分式的大小关系。
（2）验证分式大小可使用作差法：若两个数的差小于0，则被减数小于减数，通过通分计算两个分式的差，根据差的正负即可证明猜想的正确性，符合七年级的知识要求。
【解析】
（1）观察给出的数列：
第1个分式为$\dfrac{1}{2}=\dfrac{1}{1+1}$，第2个分式为$\dfrac{2}{3}=\dfrac{2}{2+1}$，第3个分式为$\dfrac{3}{4}=\dfrac{3}{3+1}$……
因此第$n$个分式为$\dfrac{n}{n+1}$，第$n+1$个分式为$\dfrac{n+1}{(n+1)+1}=\dfrac{n+1}{n+2}$。
结合前几项$\dfrac{1}{2}＜\dfrac{2}{3}$、$\dfrac{2}{3}＜\dfrac{3}{4}$的大小规律，猜想$\dfrac{n}{n+1} ＜ \dfrac{n+1}{n+2}$。
（2）用作差法验证猜想：
计算两个分式的差，通分后公分母为$(n+1)(n+2)$：
$\dfrac{n}{n+1} - \dfrac{n+1}{n+2} = \dfrac{n(n+2)-(n+1)^2}{(n+1)(n+2)}$
展开分子计算：$n(n+2)=n^2+2n$，$(n+1)^2=n^2+2n+1$，因此分子为$n^2+2n-(n^2+2n+1)=-1$。
即差为$-\dfrac{1}{(n+1)(n+2)}$，因为$n$是正整数，所以$n+1＞0$、$n+2＞0$，分母为正，整个差小于0，因此$\dfrac{n}{n+1} ＜ \dfrac{n+1}{n+2}$，猜想成立。
【答案】
(1) $\dfrac{n}{n+1}$，$\dfrac{n+1}{n+2}$，$\dfrac{n}{n+1} ＜ \dfrac{n+1}{n+2}$
(2) 因为$\dfrac{n}{n+1} - \dfrac{n+1}{n+2} = \dfrac{n(n+2)-(n+1)^2}{(n+1)(n+2)} = -\dfrac{1}{(n+1)(n+2)} ＜ 0$，所以$\dfrac{n}{n+1} ＜ \dfrac{n+1}{n+2}$
【知识点】
数字规律探究，作差法比较大小，分式减法运算
【点评】
本题是规律探究和分式运算结合的基础题型，既考查学生归纳总结规律的能力，也考查学生用作差法比较大小的运算能力，解题思路清晰，方法常规。
【难度系数】
0.75
（1）先观察已知分式的分子、分母和项数的对应关系：第1项分子为1，分母为1+1；第2项分子为2，分母为2+1，以此类推可得出第n个分式的分子为n，分母为n+1，将n替换为n+1即可得到第n+1个分式；再通过前几项的大小对比，就能猜想两个分式的大小关系。
（2）验证分式大小可使用作差法：若两个数的差小于0，则被减数小于减数，通过通分计算两个分式的差，根据差的正负即可证明猜想的正确性，符合七年级的知识要求。
【解析】
（1）观察给出的数列：
第1个分式为$\dfrac{1}{2}=\dfrac{1}{1+1}$，第2个分式为$\dfrac{2}{3}=\dfrac{2}{2+1}$，第3个分式为$\dfrac{3}{4}=\dfrac{3}{3+1}$……
因此第$n$个分式为$\dfrac{n}{n+1}$，第$n+1$个分式为$\dfrac{n+1}{(n+1)+1}=\dfrac{n+1}{n+2}$。
结合前几项$\dfrac{1}{2}＜\dfrac{2}{3}$、$\dfrac{2}{3}＜\dfrac{3}{4}$的大小规律，猜想$\dfrac{n}{n+1} ＜ \dfrac{n+1}{n+2}$。
（2）用作差法验证猜想：
计算两个分式的差，通分后公分母为$(n+1)(n+2)$：
$\dfrac{n}{n+1} - \dfrac{n+1}{n+2} = \dfrac{n(n+2)-(n+1)^2}{(n+1)(n+2)}$
展开分子计算：$n(n+2)=n^2+2n$，$(n+1)^2=n^2+2n+1$，因此分子为$n^2+2n-(n^2+2n+1)=-1$。
即差为$-\dfrac{1}{(n+1)(n+2)}$，因为$n$是正整数，所以$n+1＞0$、$n+2＞0$，分母为正，整个差小于0，因此$\dfrac{n}{n+1} ＜ \dfrac{n+1}{n+2}$，猜想成立。
【答案】
(1) $\dfrac{n}{n+1}$，$\dfrac{n+1}{n+2}$，$\dfrac{n}{n+1} ＜ \dfrac{n+1}{n+2}$
(2) 因为$\dfrac{n}{n+1} - \dfrac{n+1}{n+2} = \dfrac{n(n+2)-(n+1)^2}{(n+1)(n+2)} = -\dfrac{1}{(n+1)(n+2)} ＜ 0$，所以$\dfrac{n}{n+1} ＜ \dfrac{n+1}{n+2}$
【知识点】
数字规律探究，作差法比较大小，分式减法运算
【点评】
本题是规律探究和分式运算结合的基础题型，既考查学生归纳总结规律的能力，也考查学生用作差法比较大小的运算能力，解题思路清晰，方法常规。
【难度系数】
0.75
14. 观察下列各式：
$\frac{1}{6}=\frac{1}{2×3}=\frac{1}{2}-\frac{1}{3}$，$\frac{1}{12}=\frac{1}{3×4}=\frac{1}{3}-\frac{1}{4}$，$\frac{1}{20}=\frac{1}{4×5}=\frac{1}{4}-\frac{1}{5}$，$\frac{1}{30}=\frac{1}{5×6}=\frac{1}{5}-\frac{1}{6}$.
（1）由此可推断$\frac{1}{72}=$______；
（2）用含字母$m$的等式表示以上各式所蕴含的一般规律；
（3）按上面的探究方法写出：$\frac{2}{3×5}=$______，$\frac{2}{5×7}=$______；
（4）用上面的规律化简：$\frac{1}{(x-2)(x-3)}-\frac{2}{(x-1)(x-3)}+\frac{1}{(x-1)(x-2)}$.
$\frac{1}{6}=\frac{1}{2×3}=\frac{1}{2}-\frac{1}{3}$，$\frac{1}{12}=\frac{1}{3×4}=\frac{1}{3}-\frac{1}{4}$，$\frac{1}{20}=\frac{1}{4×5}=\frac{1}{4}-\frac{1}{5}$，$\frac{1}{30}=\frac{1}{5×6}=\frac{1}{5}-\frac{1}{6}$.
（1）由此可推断$\frac{1}{72}=$______；
（2）用含字母$m$的等式表示以上各式所蕴含的一般规律；
（3）按上面的探究方法写出：$\frac{2}{3×5}=$______，$\frac{2}{5×7}=$______；
（4）用上面的规律化简：$\frac{1}{(x-2)(x-3)}-\frac{2}{(x-1)(x-3)}+\frac{1}{(x-1)(x-2)}$.
答案
(1) $\dfrac{1}{8}-\dfrac{1}{9}$
(2) $\dfrac{1}{m(m+1)}=\dfrac{1}{m}-\dfrac{1}{m+1}$
(3) $\dfrac{1}{3}-\dfrac{1}{5}$，$\dfrac{1}{5}-\dfrac{1}{7}$
(4) 原式$=(\dfrac{1}{x-3}-\dfrac{1}{x-2})-(\dfrac{1}{x-3}-\dfrac{1}{x-1})+(\dfrac{1}{x-2}-\dfrac{1}{x-1})=0$
(2) $\dfrac{1}{m(m+1)}=\dfrac{1}{m}-\dfrac{1}{m+1}$
(3) $\dfrac{1}{3}-\dfrac{1}{5}$，$\dfrac{1}{5}-\dfrac{1}{7}$
(4) 原式$=(\dfrac{1}{x-3}-\dfrac{1}{x-2})-(\dfrac{1}{x-3}-\dfrac{1}{x-1})+(\dfrac{1}{x-2}-\dfrac{1}{x-1})=0$
解析
【分析】
（1）观察给出的等式，可发现规律：分子为1、分母为两个相邻正整数乘积的分数，可拆分为分母分别为这两个正整数、分子均为1的两个分数的差。72可拆为8×9，据此即可写出拆分结果；
（2）总结所有式子的共同特征，设较小的正整数为$m$，则较大的正整数为$m+1$，即可写出通用的规律表达式；
（3）观察分子为2、分母为两个差为2的整数乘积的形式，验证可知可拆分为分母分别为这两个整数、分子均为1的两个分数的差，代入对应数值即可；
（4）将原式中每个分式按照上述裂项规律拆分，再去括号合并同类项，相同项互相抵消后即可得到化简结果，注意处理负号时不要出错。
【解析】
（1）因为$72=8×9$，结合已知规律可得：
$\frac{1}{72}=\frac{1}{8×9}=\frac{1}{8}-\frac{1}{9}$
（2）观察各式，分子都为1，分母是两个连续正整数的乘积，设较小正整数为$m$，则一般规律为：
$\frac{1}{m(m+1)}=\frac{1}{m}-\frac{1}{m+1}$（$m$为正整数）
（3）验证可得：
$\frac{1}{3}-\frac{1}{5}=\frac{5-3}{3×5}=\frac{2}{3×5}$，$\frac{1}{5}-\frac{1}{7}=\frac{7-5}{5×7}=\frac{2}{5×7}$
因此两个式子的拆分结果分别为$\frac{1}{3}-\frac{1}{5}$、$\frac{1}{5}-\frac{1}{7}$
（4）先拆分每个分式：
$\frac{1}{(x-2)(x-3)}=\frac{1}{x-3}-\frac{1}{x-2}$
$\frac{2}{(x-1)(x-3)}=\frac{1}{x-3}-\frac{1}{x-1}$
$\frac{1}{(x-1)(x-2)}=\frac{1}{x-2}-\frac{1}{x-1}$
代入原式计算：
$\begin{aligned}原式&=(\frac{1}{x-3}-\frac{1}{x-2})-(\frac{1}{x-3}-\frac{1}{x-1})+(\frac{1}{x-2}-\frac{1}{x-1})\\&=\frac{1}{x-3}-\frac{1}{x-2}-\frac{1}{x-3}+\frac{1}{x-1}+\frac{1}{x-2}-\frac{1}{x-1}\\&=0\end{aligned}$
【答案】
(1) $\dfrac{1}{8}-\dfrac{1}{9}$
(2) $\dfrac{1}{m(m+1)}=\dfrac{1}{m}-\dfrac{1}{m+1}$
(3) $\dfrac{1}{3}-\dfrac{1}{5}$，$\dfrac{1}{5}-\dfrac{1}{7}$
(4) $0$
【知识点】
分式裂项，规律探究，分式化简
【点评】
本题从特殊分式拆分案例入手，引导学生归纳裂项的通用规律，再将规律应用到分式化简中，既考查归纳推理能力，也考查分式运算的熟练度，解题时要注意裂项的匹配性和去括号的符号处理，是分式运算的经典题型。
【难度系数】
0.7
（1）观察给出的等式，可发现规律：分子为1、分母为两个相邻正整数乘积的分数，可拆分为分母分别为这两个正整数、分子均为1的两个分数的差。72可拆为8×9，据此即可写出拆分结果；
（2）总结所有式子的共同特征，设较小的正整数为$m$，则较大的正整数为$m+1$，即可写出通用的规律表达式；
（3）观察分子为2、分母为两个差为2的整数乘积的形式，验证可知可拆分为分母分别为这两个整数、分子均为1的两个分数的差，代入对应数值即可；
（4）将原式中每个分式按照上述裂项规律拆分，再去括号合并同类项，相同项互相抵消后即可得到化简结果，注意处理负号时不要出错。
【解析】
（1）因为$72=8×9$，结合已知规律可得：
$\frac{1}{72}=\frac{1}{8×9}=\frac{1}{8}-\frac{1}{9}$
（2）观察各式，分子都为1，分母是两个连续正整数的乘积，设较小正整数为$m$，则一般规律为：
$\frac{1}{m(m+1)}=\frac{1}{m}-\frac{1}{m+1}$（$m$为正整数）
（3）验证可得：
$\frac{1}{3}-\frac{1}{5}=\frac{5-3}{3×5}=\frac{2}{3×5}$，$\frac{1}{5}-\frac{1}{7}=\frac{7-5}{5×7}=\frac{2}{5×7}$
因此两个式子的拆分结果分别为$\frac{1}{3}-\frac{1}{5}$、$\frac{1}{5}-\frac{1}{7}$
（4）先拆分每个分式：
$\frac{1}{(x-2)(x-3)}=\frac{1}{x-3}-\frac{1}{x-2}$
$\frac{2}{(x-1)(x-3)}=\frac{1}{x-3}-\frac{1}{x-1}$
$\frac{1}{(x-1)(x-2)}=\frac{1}{x-2}-\frac{1}{x-1}$
代入原式计算：
$\begin{aligned}原式&=(\frac{1}{x-3}-\frac{1}{x-2})-(\frac{1}{x-3}-\frac{1}{x-1})+(\frac{1}{x-2}-\frac{1}{x-1})\\&=\frac{1}{x-3}-\frac{1}{x-2}-\frac{1}{x-3}+\frac{1}{x-1}+\frac{1}{x-2}-\frac{1}{x-1}\\&=0\end{aligned}$
【答案】
(1) $\dfrac{1}{8}-\dfrac{1}{9}$
(2) $\dfrac{1}{m(m+1)}=\dfrac{1}{m}-\dfrac{1}{m+1}$
(3) $\dfrac{1}{3}-\dfrac{1}{5}$，$\dfrac{1}{5}-\dfrac{1}{7}$
(4) $0$
【知识点】
分式裂项，规律探究，分式化简
【点评】
本题从特殊分式拆分案例入手，引导学生归纳裂项的通用规律，再将规律应用到分式化简中，既考查归纳推理能力，也考查分式运算的熟练度，解题时要注意裂项的匹配性和去括号的符号处理，是分式运算的经典题型。
【难度系数】
0.7
