登录
13. 将分式$\frac{a}{b}$的分子、分母互换位置后得到分式$\frac{b}{a}$. 若$a＞0,b＞0$, 且这两个分式的和比分子、分母的积小2, 则分子、分母的和等于它们的积.
试证明上面的结论.
试证明上面的结论.
答案
13. 由题意，得$\dfrac{a}{b}+\dfrac{b}{a}+2=ab$. 两边同乘以$ab$，得$a^2 + b^2 + 2ab=(ab)^2$，$(a+b)^2=(ab)^2$.
因为$a＞0,b＞0$，所以$a+b＞0,ab＞0$. 所以$a+b=ab$
因为$a＞0,b＞0$，所以$a+b＞0,ab＞0$. 所以$a+b=ab$
解析
【分析】
解题时先把文字描述转化为数学等式：题目中“两个分式的和比分子、分母的积小2”，可列式为$\frac{a}{b}+\frac{b}{a}=ab-2$，移项得到$\frac{a}{b}+\frac{b}{a}+2=ab$。因为a、b都是正数，所以$ab≠0$，可两边同乘$ab$去分母得到整式等式；再利用完全平方公式对左侧整式变形，得到$(a+b)^2=(ab)^2$；最后结合a、b均为正数的条件，开平方时取正根，即可推导出要证明的结论。
【解析】
证明：由题意可得$\frac{a}{b}+\frac{b}{a}=ab-2$，
移项得$\frac{a}{b}+\frac{b}{a}+2=ab$，
∵$a＞0$，$b＞0$，
∴$ab≠0$，
等式两边同时乘以$ab$，得$a^2 + b^2 + 2ab=(ab)^2$，
由完全平方公式得：$(a+b)^2=(ab)^2$，
∵$a＞0$，$b＞0$，
∴$a+b＞0$，$ab＞0$，
∴对等式两边开平方可得$a+b=ab$，即分子、分母的和等于它们的积。
【答案】
$a+b=ab$，结论得证。
【知识点】
分式基本性质、完全平方公式、平方根的性质
【点评】
本题将文字描述与代数运算相结合，考查了信息转化能力和代数式变形能力，解题的关键是准确翻译题目条件，同时注意取值范围对开平方后符号选择的作用。
【难度系数】
0.7
解题时先把文字描述转化为数学等式：题目中“两个分式的和比分子、分母的积小2”，可列式为$\frac{a}{b}+\frac{b}{a}=ab-2$，移项得到$\frac{a}{b}+\frac{b}{a}+2=ab$。因为a、b都是正数，所以$ab≠0$，可两边同乘$ab$去分母得到整式等式；再利用完全平方公式对左侧整式变形，得到$(a+b)^2=(ab)^2$；最后结合a、b均为正数的条件，开平方时取正根，即可推导出要证明的结论。
【解析】
证明：由题意可得$\frac{a}{b}+\frac{b}{a}=ab-2$，
移项得$\frac{a}{b}+\frac{b}{a}+2=ab$，
∵$a＞0$，$b＞0$，
∴$ab≠0$，
等式两边同时乘以$ab$，得$a^2 + b^2 + 2ab=(ab)^2$，
由完全平方公式得：$(a+b)^2=(ab)^2$，
∵$a＞0$，$b＞0$，
∴$a+b＞0$，$ab＞0$，
∴对等式两边开平方可得$a+b=ab$，即分子、分母的和等于它们的积。
【答案】
$a+b=ab$，结论得证。
【知识点】
分式基本性质、完全平方公式、平方根的性质
【点评】
本题将文字描述与代数运算相结合，考查了信息转化能力和代数式变形能力，解题的关键是准确翻译题目条件，同时注意取值范围对开平方后符号选择的作用。
【难度系数】
0.7
14. 数学的美无处不在，数学家们研究发现弹拨琴弦发出声音的音调高低与弦的长度有关，如三根粗细相同的弦长度之比为$15:12:10$，把它们绷得一样紧，用同样的力度弹拨，它们将分别发出很调和的乐声：do，mi，so. 研究15，12，10这三个数的倒数发现：$\frac{1}{12} - \frac{1}{15} = \frac{1}{10} - \frac{1}{12}$，此时我们称15，12，10为一组调和数. 现有三个数：6，4，$x(x＞4)$，若要组成一组调和数，请求出$x$的值.
答案
14. 12或4.8
解析
【分析】
首先要先读懂题目给出的调和数的定义：若三个数为一组调和数，则中间大小的数的倒数减去较大数的倒数，等于较小数的倒数减去中间大小的数的倒数（也可整理为2倍中间数的倒数等于其余两个数的倒数和）。已知三个数为6、4、x，且x＞4，但x与6的大小关系不确定，因此需要分两种情况讨论：①x＞6，此时三个数从大到小为x、6、4，中间数是6；②4＜x＜6，此时三个数从大到小为6、x、4，中间数是x。分别对应两种情况列分式方程求解，最后检验解是否符合对应范围即可。
【解析】
根据调和数的定义，三个数成调和数时满足：$\frac{1}{中间数}-\frac{1}{最大数}=\frac{1}{最小数}-\frac{1}{中间数}$，分两种情况讨论：
1. 当$x＞6$时，三个数最大为$x$，中间为6，最小为4，代入等式得：
$\frac{1}{6}-\frac{1}{x}=\frac{1}{4}-\frac{1}{6}$
计算右边得$\frac{1}{4}-\frac{1}{6}=\frac{3-2}{12}=\frac{1}{12}$，方程变为：
$\frac{1}{6}-\frac{1}{x}=\frac{1}{12}$
解得$\frac{1}{x}=\frac{1}{6}-\frac{1}{12}=\frac{1}{12}$，即$x=12$，经检验$x=12$满足$x＞6$，符合题意。
2. 当$4＜x＜6$时，三个数最大为6，中间为$x$，最小为4，代入等式得：
$\frac{1}{x}-\frac{1}{6}=\frac{1}{4}-\frac{1}{x}$
移项合并得$\frac{2}{x}=\frac{1}{4}+\frac{1}{6}=\frac{5}{12}$，交叉相乘得$5x=24$
解得$x=4.8$，经检验$x=4.8$满足$4＜x＜6$，符合题意。
【答案】
12或4.8
【知识点】
分式方程应用，分类讨论思想，倒数运算
【点评】
本题属于新定义类题型，解题核心是准确理解题目给出的调和数的运算关系，易错点是忽略x的取值范围的不确定性，漏了其中一种情况，求解分式方程后要注意检验解是否符合题意。
【难度系数】
0.6
首先要先读懂题目给出的调和数的定义：若三个数为一组调和数，则中间大小的数的倒数减去较大数的倒数，等于较小数的倒数减去中间大小的数的倒数（也可整理为2倍中间数的倒数等于其余两个数的倒数和）。已知三个数为6、4、x，且x＞4，但x与6的大小关系不确定，因此需要分两种情况讨论：①x＞6，此时三个数从大到小为x、6、4，中间数是6；②4＜x＜6，此时三个数从大到小为6、x、4，中间数是x。分别对应两种情况列分式方程求解，最后检验解是否符合对应范围即可。
【解析】
根据调和数的定义，三个数成调和数时满足：$\frac{1}{中间数}-\frac{1}{最大数}=\frac{1}{最小数}-\frac{1}{中间数}$，分两种情况讨论：
1. 当$x＞6$时，三个数最大为$x$，中间为6，最小为4，代入等式得：
$\frac{1}{6}-\frac{1}{x}=\frac{1}{4}-\frac{1}{6}$
计算右边得$\frac{1}{4}-\frac{1}{6}=\frac{3-2}{12}=\frac{1}{12}$，方程变为：
$\frac{1}{6}-\frac{1}{x}=\frac{1}{12}$
解得$\frac{1}{x}=\frac{1}{6}-\frac{1}{12}=\frac{1}{12}$，即$x=12$，经检验$x=12$满足$x＞6$，符合题意。
2. 当$4＜x＜6$时，三个数最大为6，中间为$x$，最小为4，代入等式得：
$\frac{1}{x}-\frac{1}{6}=\frac{1}{4}-\frac{1}{x}$
移项合并得$\frac{2}{x}=\frac{1}{4}+\frac{1}{6}=\frac{5}{12}$，交叉相乘得$5x=24$
解得$x=4.8$，经检验$x=4.8$满足$4＜x＜6$，符合题意。
【答案】
12或4.8
【知识点】
分式方程应用，分类讨论思想，倒数运算
【点评】
本题属于新定义类题型，解题核心是准确理解题目给出的调和数的运算关系，易错点是忽略x的取值范围的不确定性，漏了其中一种情况，求解分式方程后要注意检验解是否符合题意。
【难度系数】
0.6
