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1. 写出一个解集是$-1 ＜ x ≤ 3$的不等式组：______.
答案
1. 答案不唯一，例如$\begin{cases} x ≤ 3, \\ x ＞ -1 \end{cases}$
解析
【分析】
要写出解集为$-1 ＜ x ≤ 3$的不等式组，首先回忆不等式组解集的含义：不等式组的解集是组内所有不等式解集的公共部分。我们只需要构造两个一元一次不等式，使它们的解集的公共部分恰好是$-1 ＜ x ≤ 3$即可。最直接的思路是把这个解集拆成两个独立的不等式：一个表示$x$大于-1，另一个表示$x$小于等于3，也可以对这两个简单不等式做等价变形（比如两边同时加、减同一个数，或乘同一个正数），得到其他符合要求的不等式，答案不唯一。
【解析】
根据不等式组解集的定义，我们可以直接将目标解集拆分为两个不等式：
要求解集包含$x ＞ -1$，可写为不等式$x ＞ -1$；
要求解集包含$x ≤ 3$，可写为不等式$x ≤ 3$；
组合起来就得到符合要求的不等式组$\begin{cases} x ≤ 3 \\ x ＞ -1 \end{cases}$。
也可以对两个不等式做等价变形，例如$\begin{cases} x+2 ≤ 5 \\ x+1 ＞ 0 \end{cases}$等，均满足要求。
【答案】
答案不唯一，例如$\begin{cases} x ≤ 3, \\ x ＞ -1 \end{cases}$
【知识点】
1. 不等式组的解集
2. 一元一次不等式的解集
【点评】
本题是开放性试题，核心考查对不等式组解集概念的理解，只要明确不等式组的解集是各不等式解集的公共部分，即可轻松构造出符合要求的不等式组。
【难度系数】
0.8
要写出解集为$-1 ＜ x ≤ 3$的不等式组，首先回忆不等式组解集的含义：不等式组的解集是组内所有不等式解集的公共部分。我们只需要构造两个一元一次不等式，使它们的解集的公共部分恰好是$-1 ＜ x ≤ 3$即可。最直接的思路是把这个解集拆成两个独立的不等式：一个表示$x$大于-1，另一个表示$x$小于等于3，也可以对这两个简单不等式做等价变形（比如两边同时加、减同一个数，或乘同一个正数），得到其他符合要求的不等式，答案不唯一。
【解析】
根据不等式组解集的定义，我们可以直接将目标解集拆分为两个不等式：
要求解集包含$x ＞ -1$，可写为不等式$x ＞ -1$；
要求解集包含$x ≤ 3$，可写为不等式$x ≤ 3$；
组合起来就得到符合要求的不等式组$\begin{cases} x ≤ 3 \\ x ＞ -1 \end{cases}$。
也可以对两个不等式做等价变形，例如$\begin{cases} x+2 ≤ 5 \\ x+1 ＞ 0 \end{cases}$等，均满足要求。
【答案】
答案不唯一，例如$\begin{cases} x ≤ 3, \\ x ＞ -1 \end{cases}$
【知识点】
1. 不等式组的解集
2. 一元一次不等式的解集
【点评】
本题是开放性试题，核心考查对不等式组解集概念的理解，只要明确不等式组的解集是各不等式解集的公共部分，即可轻松构造出符合要求的不等式组。
【难度系数】
0.8
2. 三个连续自然数的和小于11，这样的自然数组共有________组。
答案
2. 3
解析
【分析】
解题时首先设三个连续自然数中最小的数为自然数n，那么另外两个数可表示为n+1、n+2，再根据三个数的和小于11的条件列出一元一次不等式，求解不等式得到n的取值范围，结合n是自然数的要求找出所有符合条件的n的取值，每个n对应一组符合要求的连续自然数，最后统计组数即可。
【解析】
设三个连续自然数中最小的数为n（n为自然数，即n≥0），则另外两个数分别为n+1、n+2。
根据题意列不等式：
$n + (n+1) + (n+2) ＜ 11$
化简不等式左边得：$3n + 3 ＜ 11$
移项计算得：$3n ＜ 8$
两边同时除以3得：$n ＜ \frac{8}{3} \approx 2.67$
因为n是自然数，所以n的可取值为0、1、2，共3个：
当n=0时，三个数为0、1、2，和为3＜11，符合要求；
当n=1时，三个数为1、2、3，和为6＜11，符合要求；
当n=2时，三个数为2、3、4，和为9＜11，符合要求。
因此符合条件的自然数组共有3组。
【答案】
3
【知识点】
自然数的概念；一元一次不等式的应用
【点评】
本题属于不等式应用的基础题型，解题的核心是正确设元列出不等式，同时要注意自然数的取值范围包含0，避免漏算n=0的情况导致结果错误。
【难度系数】
0.7
解题时首先设三个连续自然数中最小的数为自然数n，那么另外两个数可表示为n+1、n+2，再根据三个数的和小于11的条件列出一元一次不等式，求解不等式得到n的取值范围，结合n是自然数的要求找出所有符合条件的n的取值，每个n对应一组符合要求的连续自然数，最后统计组数即可。
【解析】
设三个连续自然数中最小的数为n（n为自然数，即n≥0），则另外两个数分别为n+1、n+2。
根据题意列不等式：
$n + (n+1) + (n+2) ＜ 11$
化简不等式左边得：$3n + 3 ＜ 11$
移项计算得：$3n ＜ 8$
两边同时除以3得：$n ＜ \frac{8}{3} \approx 2.67$
因为n是自然数，所以n的可取值为0、1、2，共3个：
当n=0时，三个数为0、1、2，和为3＜11，符合要求；
当n=1时，三个数为1、2、3，和为6＜11，符合要求；
当n=2时，三个数为2、3、4，和为9＜11，符合要求。
因此符合条件的自然数组共有3组。
【答案】
3
【知识点】
自然数的概念；一元一次不等式的应用
【点评】
本题属于不等式应用的基础题型，解题的核心是正确设元列出不等式，同时要注意自然数的取值范围包含0，避免漏算n=0的情况导致结果错误。
【难度系数】
0.7
3. 某工人计划在15天内加工408个零件，最初3天每天加工24个，若要在规定的时间内完成任务，以后平均每天至少要加工________个零件.
答案
3. 28
解析
【分析】
要解决这道题，我们可以按照以下思路思考：首先明确总任务量、已工作时间、已完成工作量、剩余工作时间的关系。首先计算前3天已经加工的零件总数，再求出剩余需要加工的零件数和剩余可使用的工作天数，最后根据“至少要完成剩余任务”的要求，列算式或者一元一次不等式求解即可。
【解析】
方法一：算术法
1. 计算前3天加工的零件数：$3×24=72$（个）
2. 计算剩余需要加工的零件数：$408-72=336$（个）
3. 计算剩余的工作天数：$15-3=12$（天）
4. 计算之后每天至少加工的零件数：$336÷12=28$（个）
方法二：不等式法
设以后平均每天加工$x$个零件，根据总工作量不小于408个可列不等式：
$3×24 + (15-3)x ≥ 408$
化简得：$72 + 12x ≥ 408$
移项得：$12x ≥ 408-72$
即：$12x ≥ 336$
解得：$x ≥ 28$
因此满足要求的最小数值为28。
【答案】
28
【知识点】
工程问题应用、一元一次不等式应用
【点评】
本题属于基础应用题，核心是理清工作量、工作效率、工作时间三者的数量关系，理解“至少”的含义即总工作量要满足不低于任务要求，计算难度较低，认真审题即可得分。
【难度系数】
0.8
要解决这道题，我们可以按照以下思路思考：首先明确总任务量、已工作时间、已完成工作量、剩余工作时间的关系。首先计算前3天已经加工的零件总数，再求出剩余需要加工的零件数和剩余可使用的工作天数，最后根据“至少要完成剩余任务”的要求，列算式或者一元一次不等式求解即可。
【解析】
方法一：算术法
1. 计算前3天加工的零件数：$3×24=72$（个）
2. 计算剩余需要加工的零件数：$408-72=336$（个）
3. 计算剩余的工作天数：$15-3=12$（天）
4. 计算之后每天至少加工的零件数：$336÷12=28$（个）
方法二：不等式法
设以后平均每天加工$x$个零件，根据总工作量不小于408个可列不等式：
$3×24 + (15-3)x ≥ 408$
化简得：$72 + 12x ≥ 408$
移项得：$12x ≥ 408-72$
即：$12x ≥ 336$
解得：$x ≥ 28$
因此满足要求的最小数值为28。
【答案】
28
【知识点】
工程问题应用、一元一次不等式应用
【点评】
本题属于基础应用题，核心是理清工作量、工作效率、工作时间三者的数量关系，理解“至少”的含义即总工作量要满足不低于任务要求，计算难度较低，认真审题即可得分。
【难度系数】
0.8
4. 某品牌手机的进价为2 400元，标价为3 000元. 如果商店要以利润率$(\dfrac{售价-进价}{进价})$不低于15%的售价打折销售，最低可打
9.2
折出售.答案
4. 9.2
解析
【分析】
这是一道销售类的不等式实际应用题，解题时首先要明确核心不等关系：利润率不低于15%，即利润率≥15%。其次要清楚打折的含义：打x折时，实际售价=标价×$\frac{x}{10}$。我们可以设最低打x折，将售价代入题目给出的利润率公式，列一元一次不等式求解即可得到最低折扣。
【解析】
设最低可打$x$折出售。
根据题意，实际售价为$3000× \frac{x}{10}=300x$元，结合利润率不低于15%的要求，可列不等式：
$\frac{300x - 2400}{2400} ≥ 15\%$
解不等式：
两边同乘2400，得：$300x - 2400 ≥ 2400× 0.15$
计算右侧：$2400× 0.15=360$，因此$300x ≥ 2400 + 360$
即$300x ≥ 2760$，解得$x ≥ 9.2$
所以最低可打9.2折出售。
【答案】
9.2
【知识点】
1. 一元一次不等式应用
2. 利润率计算
3. 打折销售问题
【点评】
本题属于销售类基础应用题，解题的关键是准确理解打折、利润率的概念，正确梳理题目中的不等关系，列不等式求解即可，解题时要注意避免将折扣直接乘标价（如错写售价为$3000x$）的常见错误。
【难度系数】
0.7
这是一道销售类的不等式实际应用题，解题时首先要明确核心不等关系：利润率不低于15%，即利润率≥15%。其次要清楚打折的含义：打x折时，实际售价=标价×$\frac{x}{10}$。我们可以设最低打x折，将售价代入题目给出的利润率公式，列一元一次不等式求解即可得到最低折扣。
【解析】
设最低可打$x$折出售。
根据题意，实际售价为$3000× \frac{x}{10}=300x$元，结合利润率不低于15%的要求，可列不等式：
$\frac{300x - 2400}{2400} ≥ 15\%$
解不等式：
两边同乘2400，得：$300x - 2400 ≥ 2400× 0.15$
计算右侧：$2400× 0.15=360$，因此$300x ≥ 2400 + 360$
即$300x ≥ 2760$，解得$x ≥ 9.2$
所以最低可打9.2折出售。
【答案】
9.2
【知识点】
1. 一元一次不等式应用
2. 利润率计算
3. 打折销售问题
【点评】
本题属于销售类基础应用题，解题的关键是准确理解打折、利润率的概念，正确梳理题目中的不等关系，列不等式求解即可，解题时要注意避免将折扣直接乘标价（如错写售价为$3000x$）的常见错误。
【难度系数】
0.7
5. 有人问一位老师所教班级有多少学生. 老师说:“一半学生在做数学，$\frac{1}{4}$的学生在画画，$\frac{1}{7}$的学生在读英语，还剩不足7位学生在操场上玩.”则这个班最多有学生________人.
答案
5. 56
解析
【分析】
解题时首先抓住“学生人数为正整数”这个隐含条件：做数学、画画、读英语的人数分别是总人数的$\frac{1}{2}$、$\frac{1}{4}$、$\frac{1}{7}$，说明总人数一定是2、4、7的公倍数。我们可以先设总人数为x，求出操场上玩的学生人数的表达式，再结合“剩余不足7位学生”的限制条件列不等式，结合总人数是公倍数的要求，就能求出最大的总人数。
【解析】
设这个班共有x名学生。
先计算操场上玩的学生占总人数的比例：
$1-\frac{1}{2}-\frac{1}{4}-\frac{1}{7}=\frac{28-14-7-4}{28}=\frac{3}{28}$
因此操场上玩的学生人数为$\frac{3}{28}x$。
根据题意，剩余学生不足7人，可得不等式：
$\frac{3}{28}x ＜ 7$
同时，学生人数必须是正整数，$\frac{3}{28}x$也必须是正整数，由于3和28互质，因此x是28的正整数倍，可设$x=28k$（k为正整数）。
将$x=28k$代入不等式得：
$3k ＜ 7$
解得$k ＜ \frac{7}{3}\approx2.33$
k为正整数，因此k的最大值为2，此时$x=28×2=56$。
【答案】
56
【知识点】
公倍数应用、一元一次不等式应用、分数运算
【点评】
本题紧密结合生活实际，解题的核心是挖掘出“总人数为2、4、7的公倍数”这一隐含条件，再结合剩余人数的限制列不等式求解，能很好地考查学生对隐含条件的挖掘能力和知识的综合应用能力。
【难度系数】
0.6
解题时首先抓住“学生人数为正整数”这个隐含条件：做数学、画画、读英语的人数分别是总人数的$\frac{1}{2}$、$\frac{1}{4}$、$\frac{1}{7}$，说明总人数一定是2、4、7的公倍数。我们可以先设总人数为x，求出操场上玩的学生人数的表达式，再结合“剩余不足7位学生”的限制条件列不等式，结合总人数是公倍数的要求，就能求出最大的总人数。
【解析】
设这个班共有x名学生。
先计算操场上玩的学生占总人数的比例：
$1-\frac{1}{2}-\frac{1}{4}-\frac{1}{7}=\frac{28-14-7-4}{28}=\frac{3}{28}$
因此操场上玩的学生人数为$\frac{3}{28}x$。
根据题意，剩余学生不足7人，可得不等式：
$\frac{3}{28}x ＜ 7$
同时，学生人数必须是正整数，$\frac{3}{28}x$也必须是正整数，由于3和28互质，因此x是28的正整数倍，可设$x=28k$（k为正整数）。
将$x=28k$代入不等式得：
$3k ＜ 7$
解得$k ＜ \frac{7}{3}\approx2.33$
k为正整数，因此k的最大值为2，此时$x=28×2=56$。
【答案】
56
【知识点】
公倍数应用、一元一次不等式应用、分数运算
【点评】
本题紧密结合生活实际，解题的核心是挖掘出“总人数为2、4、7的公倍数”这一隐含条件，再结合剩余人数的限制列不等式求解，能很好地考查学生对隐含条件的挖掘能力和知识的综合应用能力。
【难度系数】
0.6
6. 表示“$x$与3的和小于4，且$x$与6的差是负数”的不等式组是(
A. $\begin{cases} x+3＜4, \\ x-6＞0 \end{cases}$
C. $\begin{cases} x+3＜4, \\ x-6＜0 \end{cases}$
C
).A. $\begin{cases} x+3＜4, \\ x-6＞0 \end{cases}$
C. $\begin{cases} x+3＜4, \\ x-6＜0 \end{cases}$
答案
6. C
解析
【分析】
解决这道题需要先把文字描述的数量关系逐一转化为不等式，再组合成不等式组后匹配对应选项。第一步先拆解第一个条件：“x与3的和小于4”，“和”对应加法运算，“小于”对应不等号“＜”，可得到第一个不等式；第二步拆解第二个条件：“x与6的差是负数”，“差”对应减法运算，“负数”表示小于0的数，对应不等号“＜”，可得到第二个不等式，两个不等式组合就是所求的不等式组。
【解析】
1. 翻译第一个条件：“x与3的和小于4”，x与3的和表示为$x+3$，小于4即$x+3＜4$；
2. 翻译第二个条件：“x与6的差是负数”，x与6的差表示为$x-6$，负数即小于0，因此$x-6＜0$；
3. 将两个不等式组合得到不等式组$\begin{cases} x+3＜4, \\ x-6＜0 \end{cases}$，对应选项C。
【答案】
C
【知识点】
列一元一次不等式，不等式组的概念
【点评】
本题属于基础题，主要考查将文字描述的数量关系转化为不等式的能力，解题的关键是准确把握“和”“差”“小于”“负数”等关键词的含义，对应正确的运算和不等号即可快速求解。
【难度系数】
0.9
解决这道题需要先把文字描述的数量关系逐一转化为不等式，再组合成不等式组后匹配对应选项。第一步先拆解第一个条件：“x与3的和小于4”，“和”对应加法运算，“小于”对应不等号“＜”，可得到第一个不等式；第二步拆解第二个条件：“x与6的差是负数”，“差”对应减法运算，“负数”表示小于0的数，对应不等号“＜”，可得到第二个不等式，两个不等式组合就是所求的不等式组。
【解析】
1. 翻译第一个条件：“x与3的和小于4”，x与3的和表示为$x+3$，小于4即$x+3＜4$；
2. 翻译第二个条件：“x与6的差是负数”，x与6的差表示为$x-6$，负数即小于0，因此$x-6＜0$；
3. 将两个不等式组合得到不等式组$\begin{cases} x+3＜4, \\ x-6＜0 \end{cases}$，对应选项C。
【答案】
C
【知识点】
列一元一次不等式，不等式组的概念
【点评】
本题属于基础题，主要考查将文字描述的数量关系转化为不等式的能力，解题的关键是准确把握“和”“差”“小于”“负数”等关键词的含义，对应正确的运算和不等号即可快速求解。
【难度系数】
0.9
7. “一杯 $ b \ \mathrm{g} $ 的糖水里含有 $ a \ \mathrm{g} $ 糖，若再加入 $ m \ \mathrm{g} $ 糖（全部溶化），则糖水更甜了（浓度更大）.” 其中 $ b ＞ a ＞ 0 $，$ m ＞ 0 $，这一现象可以列出的不等式是（
A.$\dfrac{a}{b} ＜ \dfrac{a+m}{b+m}$
B.$\dfrac{a}{b} ＞ \dfrac{a+m}{b+m}$
C.$\dfrac{a}{b} ＜ \dfrac{a+m}{b}$
D.$\dfrac{a}{b} ＞ \dfrac{a+m}{b}$
A
）.A.$\dfrac{a}{b} ＜ \dfrac{a+m}{b+m}$
B.$\dfrac{a}{b} ＞ \dfrac{a+m}{b+m}$
C.$\dfrac{a}{b} ＜ \dfrac{a+m}{b}$
D.$\dfrac{a}{b} ＞ \dfrac{a+m}{b}$
答案
7. A
解析
【分析】
解题首先要明确糖水的甜度由糖水的浓度决定，浓度计算公式为“浓度=糖的质量÷糖水的总质量”。第一步先计算原来糖水的浓度，第二步计算加入m g糖后的浓度，第三步根据“糖水更甜”即新浓度大于原浓度，列出不等式。也可通过排除法快速筛选：加糖后糖水总质量会增加m g，因此新浓度的分母应为b+m，可直接排除分母为b的C、D选项；糖水更甜说明浓度变大，原浓度应小于新浓度，排除B选项，即可得到正确答案。
【解析】
1. 计算原糖水浓度：原糖水含糖a g，总质量为b g，因此原浓度为$\dfrac{a}{b}$；
2. 计算加糖后的糖水浓度：加入m g糖全部溶解后，糖的总质量变为$(a+m)\ \mathrm{g}$，糖水总质量变为原来的b g加上新增的m g，即$(b+m)\ \mathrm{g}$，因此新浓度为$\dfrac{a+m}{b+m}$；
3. 由“糖水更甜”可知新浓度大于原浓度，因此可列不等式：$\dfrac{a}{b} ＜ \dfrac{a+m}{b+m}$。
综上，答案选A。
【答案】
A
【知识点】
1. 浓度计算
2. 不等式的实际应用
【点评】
本题结合生活中“糖水加糖更甜”的常见现象出题，将数学知识和生活实际相结合，解题核心是准确理解浓度的计算方法，根据甜度变化判断浓度的大小关系，属于基础应用题。
【难度系数】
0.8
解题首先要明确糖水的甜度由糖水的浓度决定，浓度计算公式为“浓度=糖的质量÷糖水的总质量”。第一步先计算原来糖水的浓度，第二步计算加入m g糖后的浓度，第三步根据“糖水更甜”即新浓度大于原浓度，列出不等式。也可通过排除法快速筛选：加糖后糖水总质量会增加m g，因此新浓度的分母应为b+m，可直接排除分母为b的C、D选项；糖水更甜说明浓度变大，原浓度应小于新浓度，排除B选项，即可得到正确答案。
【解析】
1. 计算原糖水浓度：原糖水含糖a g，总质量为b g，因此原浓度为$\dfrac{a}{b}$；
2. 计算加糖后的糖水浓度：加入m g糖全部溶解后，糖的总质量变为$(a+m)\ \mathrm{g}$，糖水总质量变为原来的b g加上新增的m g，即$(b+m)\ \mathrm{g}$，因此新浓度为$\dfrac{a+m}{b+m}$；
3. 由“糖水更甜”可知新浓度大于原浓度，因此可列不等式：$\dfrac{a}{b} ＜ \dfrac{a+m}{b+m}$。
综上，答案选A。
【答案】
A
【知识点】
1. 浓度计算
2. 不等式的实际应用
【点评】
本题结合生活中“糖水加糖更甜”的常见现象出题，将数学知识和生活实际相结合，解题核心是准确理解浓度的计算方法，根据甜度变化判断浓度的大小关系，属于基础应用题。
【难度系数】
0.8
8. 如图，a，b，c分别表示每个苹果、梨、桃子的质量，同类水果每个的质量相等，则下列关系正确的是(
A.$a ＞ c ＞ b$
B.$b ＞ a ＞ c$
C.$a ＞ b ＞ c$
D.$c ＞ a ＞ b$
C
).A.$a ＞ c ＞ b$
B.$b ＞ a ＞ c$
C.$a ＞ b ＞ c$
D.$c ＞ a ＞ b$
答案
8. C
解析
【分析】
解题时先观察两个天平的状态：平衡的天平两边质量相等，下沉一侧的质量更大。第一步先从右侧平衡的天平入手，得出梨和桃子的质量大小关系；再结合左侧倾斜天平的不等关系，推导苹果和梨的质量大小关系，最后对三者质量排序即可得出答案。
【解析】
观察右侧平衡天平：2个桃子的质量等于1个梨的质量，即$2c = b$，可得$b ＞ c$；
观察左侧倾斜天平：苹果一侧下沉，说明2个苹果的质量大于3个梨的质量，即$3b ＜ 2a$，根据不等式的性质，两边同时除以正数2，不等号方向不变，可得$a ＞ \frac{3}{2}b$，因此$a ＞ b$；
综上三者质量关系为$a ＞ b ＞ c$。
【答案】
C
【知识点】
等式的性质，不等式的性质，大小比较
【点评】
本题结合生活中的天平场景考察等量与不等量关系的推导，解题的关键是准确根据天平状态转化为数学上的等式或不等式，再通过简单变形比较大小，贴近生活，难度较低。
【难度系数】
0.8
解题时先观察两个天平的状态：平衡的天平两边质量相等，下沉一侧的质量更大。第一步先从右侧平衡的天平入手，得出梨和桃子的质量大小关系；再结合左侧倾斜天平的不等关系，推导苹果和梨的质量大小关系，最后对三者质量排序即可得出答案。
【解析】
观察右侧平衡天平：2个桃子的质量等于1个梨的质量，即$2c = b$，可得$b ＞ c$；
观察左侧倾斜天平：苹果一侧下沉，说明2个苹果的质量大于3个梨的质量，即$3b ＜ 2a$，根据不等式的性质，两边同时除以正数2，不等号方向不变，可得$a ＞ \frac{3}{2}b$，因此$a ＞ b$；
综上三者质量关系为$a ＞ b ＞ c$。
【答案】
C
【知识点】
等式的性质，不等式的性质，大小比较
【点评】
本题结合生活中的天平场景考察等量与不等量关系的推导，解题的关键是准确根据天平状态转化为数学上的等式或不等式，再通过简单变形比较大小，贴近生活，难度较低。
【难度系数】
0.8
