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三、解答题
11. 解不等式组：$0 ≤ \dfrac{3 - 2x}{5} ≤ 1.$
11. 解不等式组：$0 ≤ \dfrac{3 - 2x}{5} ≤ 1.$
答案
$-1≤x≤\dfrac{3}{2}$
解析
【分析】
本题是连写形式的不等式，本质等价于一元一次不等式组，有两种解题思路：一是将其拆分为两个一元一次不等式组成不等式组，分别求解每个不等式后，取两个解集的公共部分即可；二是直接对三部分同时运用不等式的性质变形求解。两种方法都需要注意：不等式两边同时乘或除以同一个负数时，不等号方向要改变，这是本题的易错点。
【解析】
方法一：转化为不等式组求解
原不等式可化为：
$\begin{cases}\dfrac{3-2x}{5} ≥ 0 \quad ① \\\dfrac{3-2x}{5} ≤ 1 \quad ②\end{cases}$
解不等式①：
两边同时乘5得$3-2x ≥ 0$，
移项得$-2x ≥ -3$，
两边同时除以$-2$，不等号方向改变，得$x ≤ \dfrac{3}{2}$。
解不等式②：
两边同时乘5得$3-2x ≤ 5$，
移项合并同类项得$-2x ≤ 2$，
两边同时除以$-2$，不等号方向改变，得$x ≥ -1$。
取两个解集的公共部分，即得原不等式的解集。
方法二：直接对连不等式变形求解
原不等式三边同时乘5得$0 ≤ 3-2x ≤ 5$，
三边同时减3得$-3 ≤ -2x ≤ 2$，
三边同时除以$-2$，不等号全部变向，得$\dfrac{3}{2} ≥ x ≥ -1$，整理即可得最终解集。
【答案】
$-1≤x≤\dfrac{3}{2}$
【知识点】
1. 一元一次不等式组的解法
2. 不等式的基本性质
【点评】
本题是不等式求解的基础题型，核心是掌握连写型不等式的处理方法，解题时要格外注意不等号方向的变化规则，避免因符号出错导致解集错误。
【难度系数】
0.8
本题是连写形式的不等式，本质等价于一元一次不等式组，有两种解题思路：一是将其拆分为两个一元一次不等式组成不等式组，分别求解每个不等式后，取两个解集的公共部分即可；二是直接对三部分同时运用不等式的性质变形求解。两种方法都需要注意：不等式两边同时乘或除以同一个负数时，不等号方向要改变，这是本题的易错点。
【解析】
方法一：转化为不等式组求解
原不等式可化为：
$\begin{cases}\dfrac{3-2x}{5} ≥ 0 \quad ① \\\dfrac{3-2x}{5} ≤ 1 \quad ②\end{cases}$
解不等式①：
两边同时乘5得$3-2x ≥ 0$，
移项得$-2x ≥ -3$，
两边同时除以$-2$，不等号方向改变，得$x ≤ \dfrac{3}{2}$。
解不等式②：
两边同时乘5得$3-2x ≤ 5$，
移项合并同类项得$-2x ≤ 2$，
两边同时除以$-2$，不等号方向改变，得$x ≥ -1$。
取两个解集的公共部分，即得原不等式的解集。
方法二：直接对连不等式变形求解
原不等式三边同时乘5得$0 ≤ 3-2x ≤ 5$，
三边同时减3得$-3 ≤ -2x ≤ 2$，
三边同时除以$-2$，不等号全部变向，得$\dfrac{3}{2} ≥ x ≥ -1$，整理即可得最终解集。
【答案】
$-1≤x≤\dfrac{3}{2}$
【知识点】
1. 一元一次不等式组的解法
2. 不等式的基本性质
【点评】
本题是不等式求解的基础题型，核心是掌握连写型不等式的处理方法，解题时要格外注意不等号方向的变化规则，避免因符号出错导致解集错误。
【难度系数】
0.8
12. 求不等式组$\begin{cases}x + 2(x - 1) ≤ 4, \\\dfrac{1 + 4x}{3} ＞ x\end{cases}$的解集，并把解集在数轴上表示出来.
答案
$-1＜x≤2$(在数轴上表示略)
解析
【分析】
求解一元一次不等式组的思路是先分别求出组内每个不等式的解集，再找到两个解集的公共部分，该公共部分就是不等式组的最终解集，最后按要求在数轴上表示即可。解单个不等式时遵循去括号、移项、合并同类项、系数化为1的步骤，注意运算符号和不等号方向的变化规则。
【解析】
先对不等式组标号：
$\begin{cases}x + 2(x - 1) ≤ 4&① \\\dfrac{1 + 4x}{3} ＞ x&②\end{cases}$
1. 解不等式①：
去括号得：$x + 2x - 2 ≤ 4$
合并同类项得：$3x - 2 ≤ 4$
移项得：$3x ≤ 4 + 2$，即$3x ≤ 6$
系数化为1得：$x ≤ 2$
2. 解不等式②：
两边同时乘3（正数，不等号方向不变）得：$1 + 4x ＞ 3x$
移项得：$4x - 3x ＞ -1$
合并同类项得：$x ＞ -1$
两个解集的公共部分为$-1 ＜ x ≤ 2$，即为不等式组的解集。
在数轴上表示：略
【答案】
$-1＜x≤2$(在数轴上表示略)
【知识点】
解一元一次不等式、一元一次不等式组解集确定
【点评】
本题是一元一次不等式组的基础常规题，重点考察单个不等式的求解能力和公共解集的判断能力，解题时要注意去括号、移项的符号问题，同时牢记不等号仅在乘除负数时改变方向的规则。
【难度系数】
0.8
求解一元一次不等式组的思路是先分别求出组内每个不等式的解集，再找到两个解集的公共部分，该公共部分就是不等式组的最终解集，最后按要求在数轴上表示即可。解单个不等式时遵循去括号、移项、合并同类项、系数化为1的步骤，注意运算符号和不等号方向的变化规则。
【解析】
先对不等式组标号：
$\begin{cases}x + 2(x - 1) ≤ 4&① \\\dfrac{1 + 4x}{3} ＞ x&②\end{cases}$
1. 解不等式①：
去括号得：$x + 2x - 2 ≤ 4$
合并同类项得：$3x - 2 ≤ 4$
移项得：$3x ≤ 4 + 2$，即$3x ≤ 6$
系数化为1得：$x ≤ 2$
2. 解不等式②：
两边同时乘3（正数，不等号方向不变）得：$1 + 4x ＞ 3x$
移项得：$4x - 3x ＞ -1$
合并同类项得：$x ＞ -1$
两个解集的公共部分为$-1 ＜ x ≤ 2$，即为不等式组的解集。
在数轴上表示：略
【答案】
$-1＜x≤2$(在数轴上表示略)
【知识点】
解一元一次不等式、一元一次不等式组解集确定
【点评】
本题是一元一次不等式组的基础常规题，重点考察单个不等式的求解能力和公共解集的判断能力，解题时要注意去括号、移项的符号问题，同时牢记不等号仅在乘除负数时改变方向的规则。
【难度系数】
0.8
13. 关于$x$的分式方程$\dfrac{2x - a}{x - 1} - \dfrac{1}{x - 1} = 3$的解为正数，求$a$的取值范围.
答案
$a＜2$且$a≠1$
解析
【分析】
解决本题需要分三步思考：第一步，先将分式方程去分母转化为整式方程，求出用含a的代数式表示的方程的解；第二步，根据“解为正数”的条件列出不等式，求出a的初步范围；第三步，牢记分式方程分母不能为0，即解不能让原方程的分母等于0，排除增根对应的a的取值，最终得到a的完整取值范围。
【解析】
首先对原分式方程去分母，两边同时乘以最简公分母$x-1$（注意$x≠1$，否则分式无意义），得：
$2x - a - 1 = 3(x - 1)$
展开右边的式子：
$2x - a - 1 = 3x - 3$
移项，将含x的项移到左边，常数项移到右边：
$2x - 3x = a + 1 - 3$
合并同类项：
$-x = a - 2$
系数化为1，得：
$x = 2 - a$
因为方程的解为正数，所以$x＞0$，即：
$2 - a ＞ 0$，解得$a ＜ 2$
又因为分母$x-1≠0$，即$x≠1$，所以：
$2 - a ≠ 1$，解得$a ≠ 1$
综上，a的取值范围是$a ＜ 2$且$a ≠ 1$。
【答案】
$a＜2$且$a≠1$
【知识点】
分式方程的解法，分式有意义的条件，一元一次不等式求解
【点评】
本题是分式方程结合解的取值范围的典型题目，解题的易错点是容易忽略分式分母不为0的限制条件，漏掉$a≠1$的情况，求解此类问题时一定要注意检验解是否符合分式有意义的要求。
【难度系数】
0.7
解决本题需要分三步思考：第一步，先将分式方程去分母转化为整式方程，求出用含a的代数式表示的方程的解；第二步，根据“解为正数”的条件列出不等式，求出a的初步范围；第三步，牢记分式方程分母不能为0，即解不能让原方程的分母等于0，排除增根对应的a的取值，最终得到a的完整取值范围。
【解析】
首先对原分式方程去分母，两边同时乘以最简公分母$x-1$（注意$x≠1$，否则分式无意义），得：
$2x - a - 1 = 3(x - 1)$
展开右边的式子：
$2x - a - 1 = 3x - 3$
移项，将含x的项移到左边，常数项移到右边：
$2x - 3x = a + 1 - 3$
合并同类项：
$-x = a - 2$
系数化为1，得：
$x = 2 - a$
因为方程的解为正数，所以$x＞0$，即：
$2 - a ＞ 0$，解得$a ＜ 2$
又因为分母$x-1≠0$，即$x≠1$，所以：
$2 - a ≠ 1$，解得$a ≠ 1$
综上，a的取值范围是$a ＜ 2$且$a ≠ 1$。
【答案】
$a＜2$且$a≠1$
【知识点】
分式方程的解法，分式有意义的条件，一元一次不等式求解
【点评】
本题是分式方程结合解的取值范围的典型题目，解题的易错点是容易忽略分式分母不为0的限制条件，漏掉$a≠1$的情况，求解此类问题时一定要注意检验解是否符合分式有意义的要求。
【难度系数】
0.7
14. 关于 $ x $ 的不等式组 $\begin{cases} -x + a ＜ 2, \\ \dfrac{3x - 1}{2} ≤ x + 1 \end{cases}$ 恰有 3 个整数解，求 $ a $ 的取值范围.
答案
$2≤a＜3$
解析
【分析】
解决这类含参数的不等式组整数解问题，步骤如下：第一步先分别求解不等式组中的两个一元一次不等式，得到用参数a表示的不等式组的解集；第二步根据“恰有3个整数解”的条件，确定这3个整数解的具体值；第三步结合解集的边界，列出关于参数a的不等式组，特别要注意判断端点值是否能取到，最终求出a的取值范围。
【解析】
解：分别求解不等式组中的两个不等式：
1. 解不等式 $-x + a ＜ 2$
移项得：$-x ＜ 2 - a$
两边同时乘$-1$，不等号方向改变，得：$x ＞ a - 2$
2. 解不等式 $\dfrac{3x - 1}{2} ≤ x + 1$
两边同时乘2去分母得：$3x - 1 ≤ 2(x + 1)$
去括号得：$3x - 1 ≤ 2x + 2$
移项合并同类项得：$x ≤ 3$
因此不等式组的解集为 $a - 2 ＜ x ≤ 3$
∵ 不等式组恰有3个整数解，结合解集可知这3个整数解为1、2、3
∴ 边界$a-2$需要满足：$0 ≤ a - 2 ＜ 1$
不等式两边同时加2得：$2 ≤ a ＜ 3$
【答案】
$2≤a＜3$
【知识点】
1. 解一元一次不等式
2. 解一元一次不等式组
3. 不等式组整数解应用
【点评】
本题是不等式组整数解的典型题型，解题核心是先正确求出含参数的不等式组解集，再根据整数解的个数确定参数的取值范围，解题过程中需特别注意端点值的取舍，避免出现多解或漏解的错误。
【难度系数】
0.6
解决这类含参数的不等式组整数解问题，步骤如下：第一步先分别求解不等式组中的两个一元一次不等式，得到用参数a表示的不等式组的解集；第二步根据“恰有3个整数解”的条件，确定这3个整数解的具体值；第三步结合解集的边界，列出关于参数a的不等式组，特别要注意判断端点值是否能取到，最终求出a的取值范围。
【解析】
解：分别求解不等式组中的两个不等式：
1. 解不等式 $-x + a ＜ 2$
移项得：$-x ＜ 2 - a$
两边同时乘$-1$，不等号方向改变，得：$x ＞ a - 2$
2. 解不等式 $\dfrac{3x - 1}{2} ≤ x + 1$
两边同时乘2去分母得：$3x - 1 ≤ 2(x + 1)$
去括号得：$3x - 1 ≤ 2x + 2$
移项合并同类项得：$x ≤ 3$
因此不等式组的解集为 $a - 2 ＜ x ≤ 3$
∵ 不等式组恰有3个整数解，结合解集可知这3个整数解为1、2、3
∴ 边界$a-2$需要满足：$0 ≤ a - 2 ＜ 1$
不等式两边同时加2得：$2 ≤ a ＜ 3$
【答案】
$2≤a＜3$
【知识点】
1. 解一元一次不等式
2. 解一元一次不等式组
3. 不等式组整数解应用
【点评】
本题是不等式组整数解的典型题型，解题核心是先正确求出含参数的不等式组解集，再根据整数解的个数确定参数的取值范围，解题过程中需特别注意端点值的取舍，避免出现多解或漏解的错误。
【难度系数】
0.6
15. 已知关于 $ x $，$ y $ 的方程组 $ \begin{cases} 2x - y = -1, \\ x + 2y = 5m - 8 \end{cases} $ 的解都是非负数.
（1）用含字母 $ m $ 的代数式表示 $ x $，$ y $；
（2）求 $ m $ 的取值范围.
（1）用含字母 $ m $ 的代数式表示 $ x $，$ y $；
（2）求 $ m $ 的取值范围.
答案
(1) $x=m-2$, $y=2m-3$ (2) $m≥2$
解析
【分析】
（1）要得到含m的代数式表示x、y，可把m看作已知常数，用加减消元法解二元一次方程组即可；
（2）方程组的解都是非负数即x≥0、y≥0，将（1）中得到的x、y表达式代入不等关系，得到关于m的一元一次不等式组，求解集即为m的取值范围。
【解析】
（1）已知方程组 $\begin{cases} 2x - y = -1 \quad ① \\ x + 2y = 5m - 8 \quad ② \end{cases}$
①×2得：$4x - 2y = -2 \quad ③$
③+②消去y得：$5x = 5m - 10$，解得$x = m - 2$
把$x = m - 2$代入①得：$2(m-2) - y = -1$
整理得：$2m - 4 - y = -1$，解得$y = 2m - 3$
（2）
∵方程组的解都是非负数，
∴$\begin{cases} x≥0 \\ y≥0 \end{cases}$
将$x=m-2$、$y=2m-3$代入得：
$\begin{cases} m - 2 ≥ 0 \\ 2m - 3 ≥ 0 \end{cases}$
解第一个不等式得$m≥2$，解第二个不等式得$m≥\frac{3}{2}$
根据“同大取大”的解集原则，不等式组的解集为$m≥2$
【答案】
(1) $x=m-2$，$y=2m-3$；(2) $m≥2$
【知识点】
二元一次方程组解法，一元一次不等式组解法，非负数性质
【点评】
本题是方程与不等式的综合基础题，解题核心是先把参数看作常数求解方程组，再结合解的限制条件列不等式组求解，需注意取不等式组公共解集的规则，不要漏掉等号。
【难度系数】
0.7
（1）要得到含m的代数式表示x、y，可把m看作已知常数，用加减消元法解二元一次方程组即可；
（2）方程组的解都是非负数即x≥0、y≥0，将（1）中得到的x、y表达式代入不等关系，得到关于m的一元一次不等式组，求解集即为m的取值范围。
【解析】
（1）已知方程组 $\begin{cases} 2x - y = -1 \quad ① \\ x + 2y = 5m - 8 \quad ② \end{cases}$
①×2得：$4x - 2y = -2 \quad ③$
③+②消去y得：$5x = 5m - 10$，解得$x = m - 2$
把$x = m - 2$代入①得：$2(m-2) - y = -1$
整理得：$2m - 4 - y = -1$，解得$y = 2m - 3$
（2）
∵方程组的解都是非负数，
∴$\begin{cases} x≥0 \\ y≥0 \end{cases}$
将$x=m-2$、$y=2m-3$代入得：
$\begin{cases} m - 2 ≥ 0 \\ 2m - 3 ≥ 0 \end{cases}$
解第一个不等式得$m≥2$，解第二个不等式得$m≥\frac{3}{2}$
根据“同大取大”的解集原则，不等式组的解集为$m≥2$
【答案】
(1) $x=m-2$，$y=2m-3$；(2) $m≥2$
【知识点】
二元一次方程组解法，一元一次不等式组解法，非负数性质
【点评】
本题是方程与不等式的综合基础题，解题核心是先把参数看作常数求解方程组，再结合解的限制条件列不等式组求解，需注意取不等式组公共解集的规则，不要漏掉等号。
【难度系数】
0.7
