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12. (跨学科融合)物理实验证实:在弹性限度内,弹簧的长度$y$(单位:cm)与所挂物体的质量$x$(单位:kg)之间存在关系.某兴趣小组为探究弹簧的长度$y$(单位:cm)与所挂物体质量$x$(单位:kg)之间的关系,进行了6次测量,下表是测量数据:
(1)在如图所示的平面直角坐标系中描出表中数据对应的点.若在弹性限度内,弹簧的长度$y$(单位:cm)与所挂物体的质量$x$(单位:kg)之间符合初中学过的某种函数关系,则可能是
(2)根据以上判断,求$y$关于$x$的函数解析式.
(3)当弹簧的长度为$16.5\ \mathrm{cm}$时,所挂物体的质量是多少千克?
(1)在如图所示的平面直角坐标系中描出表中数据对应的点.若在弹性限度内,弹簧的长度$y$(单位:cm)与所挂物体的质量$x$(单位:kg)之间符合初中学过的某种函数关系,则可能是
一次
(选填“一次”或“正比例”)函数关系.(2)根据以上判断,求$y$关于$x$的函数解析式.
(3)当弹簧的长度为$16.5\ \mathrm{cm}$时,所挂物体的质量是多少千克?
答案
12.解:(1)描点如图所示
.将这些点连接起来,发现它们分布在同一条直线上,$\therefore y$与$x$可能是一次函数关系.故答案为一次.
(2)设$y$关于$x$的函数解析式为$y=kx+b$($k,b$为常数,且$k\ne0$),
将$(0,6)$和$(10,9)$分别代入$y=kx+b$,
得$\begin{cases} b=6,\\10k+b=9.\end{cases}$ 解得$\begin{cases} k=0.3,\\b=6.\end{cases}$
$\therefore y$关于$x$的函数解析式为$y=0.3x+6$.
(3)当$y=16.5$时,$0.3x+6=16.5$,解得$x=35$.
答:所挂物体的质量是35 kg.
解析
【分析】
(1) 先观察坐标系中的点，将点连接后可发现所有点都在同一条直线上，符合一次函数的图像特征；又因为正比例函数图像必过原点，本题中x=0时y=6≠0，因此可排除正比例函数，确定函数类型。
(2) 确定是一次函数后，使用待定系数法，先设出一次函数的一般式$y=kx+b$（$k≠0$），选取两组对应的x、y值代入式子，解二元一次方程组即可求出k、b的值，得到函数解析式后可代入其余点验证正确性。
(3) 求弹簧长度为16.5cm时的物体质量，本质是已知函数值y=16.5，将其代入解析式解一元一次方程，求出对应的x值就是所求的物体质量。
【解析】
(1) 描点如图所示，将点连接后所有点分布在同一条直线上，因此y与x可能是一次函数关系。
(2) 设$y$关于$x$的函数解析式为$y=kx+b$（$k,b$为常数，且$k\ne0$），
将点$(0,6)$和$(10,9)$分别代入解析式，可得：
$\begin{cases} b=6\\10k+b=9\end{cases}$
解得$\begin{cases} k=0.3\\b=6\end{cases}$
代入其余点验证均符合，因此$y$关于$x$的函数解析式为$y=0.3x+6$。
(3) 当$y=16.5$时，代入解析式得：$0.3x+6=16.5$
解方程得：$0.3x=10.5$，$x=35$
【答案】
(1) 一次，描点如图所示；
(2) $y=0.3x+6$；
(3) 所挂物体的质量是35 kg。
【知识点】
一次函数的判定；待定系数法求解析式；一次函数的实际应用
【点评】
本题结合物理弹簧伸长的实验场景考查一次函数的相关知识，解题核心是熟练掌握一次函数的判定方法、待定系数法求解析式的步骤，以及利用函数解析式求解对应变量的方法，注重跨学科知识的融合应用，实用性较强。
【难度系数】
0.8
(1) 先观察坐标系中的点，将点连接后可发现所有点都在同一条直线上，符合一次函数的图像特征；又因为正比例函数图像必过原点，本题中x=0时y=6≠0，因此可排除正比例函数，确定函数类型。
(2) 确定是一次函数后，使用待定系数法，先设出一次函数的一般式$y=kx+b$（$k≠0$），选取两组对应的x、y值代入式子，解二元一次方程组即可求出k、b的值，得到函数解析式后可代入其余点验证正确性。
(3) 求弹簧长度为16.5cm时的物体质量，本质是已知函数值y=16.5，将其代入解析式解一元一次方程，求出对应的x值就是所求的物体质量。
【解析】
(1) 描点如图所示
，将点连接后所有点分布在同一条直线上，因此y与x可能是一次函数关系。(2) 设$y$关于$x$的函数解析式为$y=kx+b$（$k,b$为常数，且$k\ne0$），
将点$(0,6)$和$(10,9)$分别代入解析式，可得：
$\begin{cases} b=6\\10k+b=9\end{cases}$
解得$\begin{cases} k=0.3\\b=6\end{cases}$
代入其余点验证均符合，因此$y$关于$x$的函数解析式为$y=0.3x+6$。
(3) 当$y=16.5$时，代入解析式得：$0.3x+6=16.5$
解方程得：$0.3x=10.5$，$x=35$
【答案】
(1) 一次，描点如图所示
；(2) $y=0.3x+6$；
(3) 所挂物体的质量是35 kg。
【知识点】
一次函数的判定；待定系数法求解析式；一次函数的实际应用
【点评】
本题结合物理弹簧伸长的实验场景考查一次函数的相关知识，解题核心是熟练掌握一次函数的判定方法、待定系数法求解析式的步骤，以及利用函数解析式求解对应变量的方法，注重跨学科知识的融合应用，实用性较强。
【难度系数】
0.8
13.安徽出产的茶叶品种众多(如黄山毛峰、六安瓜片、霍山黄芽、祁门红茶等)，畅销各地.祁门红茶是世界三大高香红茶之一.某县重点推出了A,B两种品牌祁门红茶.已知某商店购进1盒A品牌祁门红茶和1盒B品牌祁门红茶共用210元，购进2盒A品牌祁门红茶和3盒B品牌祁门红茶共用515元.
(1)购进A,B两种品牌祁门红茶的单价各是多少？
(2)该商店计划用不超过11 300元购进A,B两种品牌祁门红茶共100盒，且A品牌祁门红茶的数量不低于B品牌祁门红茶数量的$\frac{16}{9}$倍，若两种品牌祁门红茶的销售单价均为185元/盒，该商店如何安排进货，才能使销售完这两种品牌祁门红茶获得的利润最大？最大利润是多少？
(1)购进A,B两种品牌祁门红茶的单价各是多少？
(2)该商店计划用不超过11 300元购进A,B两种品牌祁门红茶共100盒，且A品牌祁门红茶的数量不低于B品牌祁门红茶数量的$\frac{16}{9}$倍，若两种品牌祁门红茶的销售单价均为185元/盒，该商店如何安排进货，才能使销售完这两种品牌祁门红茶获得的利润最大？最大利润是多少？
答案
13.解:(1)设购进A种品牌祁门红茶的单价是$a$元/盒,购进B种品牌祁门红茶的单价是$b$元/盒.
$\therefore\begin{cases} a+b=210,\\2a+3b=515.\end{cases}$ $\therefore\begin{cases} a=115,\\b=95.\end{cases}$
$\therefore$购进A种品牌祁门红茶的单价是115元/盒,购进B种品牌祁门红茶的单价是95元/盒.
(2)设购进A种品牌红茶$m$盒,则购进B种品牌红茶$(100-m)$盒.
$\therefore\begin{cases} 115m+95(100-m)≤11\ 300,\\m≥\dfrac{16}{9}(100-m).\end{cases}$ 解得$64≤ m≤90$.
设销售完两种品牌红茶获得的利润为$W$元,
$\therefore W=(185-115)m+(185-95)(100-m)=-20m+9\ 000$.
$\because-20＜0$,$\therefore W$随$m$的减小而增大.
$\because64≤ m≤90$,
$\therefore$当$m=64$时,$W$的值最大,$W_{\mathrm{最大}}=-20×64+9\ 000=7\ 720$,此时$100-64=36$(盒).
$\therefore$该商店购进A种品牌红茶64盒、B种品牌红茶36盒时,销售完两种品牌红茶获得的利润最大,最大利润是7 720元.
$\therefore\begin{cases} a+b=210,\\2a+3b=515.\end{cases}$ $\therefore\begin{cases} a=115,\\b=95.\end{cases}$
$\therefore$购进A种品牌祁门红茶的单价是115元/盒,购进B种品牌祁门红茶的单价是95元/盒.
(2)设购进A种品牌红茶$m$盒,则购进B种品牌红茶$(100-m)$盒.
$\therefore\begin{cases} 115m+95(100-m)≤11\ 300,\\m≥\dfrac{16}{9}(100-m).\end{cases}$ 解得$64≤ m≤90$.
设销售完两种品牌红茶获得的利润为$W$元,
$\therefore W=(185-115)m+(185-95)(100-m)=-20m+9\ 000$.
$\because-20＜0$,$\therefore W$随$m$的减小而增大.
$\because64≤ m≤90$,
$\therefore$当$m=64$时,$W$的值最大,$W_{\mathrm{最大}}=-20×64+9\ 000=7\ 720$,此时$100-64=36$(盒).
$\therefore$该商店购进A种品牌红茶64盒、B种品牌红茶36盒时,销售完两种品牌红茶获得的利润最大,最大利润是7 720元.
解析
【分析】
(1)第一问属于二元一次方程组的实际应用，题干给出两个明确的等量关系：①1盒A品牌红茶进价+1盒B品牌红茶进价=210元；②2盒A品牌红茶进价+3盒B品牌红茶进价=515元。我们设A、B两种红茶的单价分别为a元/盒、b元/盒，代入等量关系列方程组，解方程组即可求出两种红茶的进价。
(2)第二问是结合不等式组的一次函数最值问题，首先设购进A品牌红茶m盒，则B品牌红茶为(100-m)盒，根据两个限制条件：①进货总费用不超过11300元；②A品牌红茶数量不低于B品牌的$\frac{16}{9}$，列出一元一次不等式组求出m的取值范围。再根据“总利润=单盒利润×销售数量”列出利润W关于m的一次函数解析式，结合一次函数的增减性和m的取值范围，即可求出最大利润对应的进货方案。
【解析】
(1)设购进A种品牌祁门红茶的单价是$a$元/盒，购进B种品牌祁门红茶的单价是$b$元/盒。
根据题意列方程组：
$\begin{cases} a+b=210\\2a+3b=515\end{cases}$
解方程组得$\begin{cases} a=115\\b=95\end{cases}$
(2)设购进A种品牌红茶$m$盒，则购进B种品牌红茶$(100-m)$盒。
根据题意列不等式组：
$\begin{cases} 115m+95(100-m)≤11300\\m≥\dfrac{16}{9}(100-m)\end{cases}$
解第一个不等式得$m≤90$，解第二个不等式得$m≥64$，故不等式组的解集为$64≤ m≤90$。
设销售完两种品牌红茶获得的利润为$W$元，
则$W=(185-115)m+(185-95)(100-m)=-20m+9000$，
$\because -20＜0$，$\therefore W$随$m$的减小而增大，
$\therefore$当$m=64$时，$W$取得最大值，$W_{\mathrm{最大}}=-20×64+9000=7720$，
此时B品牌红茶的进货量为$100-64=36$（盒）。
【答案】
(1)购进A种品牌祁门红茶的单价是115元/盒，购进B种品牌祁门红茶的单价是95元/盒；
(2)购进A种品牌红茶64盒、B种品牌红茶36盒时利润最大，最大利润是7720元。
【知识点】
二元一次方程组应用，一元一次不等式组应用，一次函数最值应用
【点评】
本题是生活场景类的综合应用题，结合了方程、不等式、一次函数三类核心知识点，解题关键是准确提取题干中的等量、不等关系，结合一次函数增减性求解最值，能够较好地考查学生的信息提取能力和知识综合运用能力。
【难度系数】
0.7
(1)第一问属于二元一次方程组的实际应用，题干给出两个明确的等量关系：①1盒A品牌红茶进价+1盒B品牌红茶进价=210元；②2盒A品牌红茶进价+3盒B品牌红茶进价=515元。我们设A、B两种红茶的单价分别为a元/盒、b元/盒，代入等量关系列方程组，解方程组即可求出两种红茶的进价。
(2)第二问是结合不等式组的一次函数最值问题，首先设购进A品牌红茶m盒，则B品牌红茶为(100-m)盒，根据两个限制条件：①进货总费用不超过11300元；②A品牌红茶数量不低于B品牌的$\frac{16}{9}$，列出一元一次不等式组求出m的取值范围。再根据“总利润=单盒利润×销售数量”列出利润W关于m的一次函数解析式，结合一次函数的增减性和m的取值范围，即可求出最大利润对应的进货方案。
【解析】
(1)设购进A种品牌祁门红茶的单价是$a$元/盒，购进B种品牌祁门红茶的单价是$b$元/盒。
根据题意列方程组：
$\begin{cases} a+b=210\\2a+3b=515\end{cases}$
解方程组得$\begin{cases} a=115\\b=95\end{cases}$
(2)设购进A种品牌红茶$m$盒，则购进B种品牌红茶$(100-m)$盒。
根据题意列不等式组：
$\begin{cases} 115m+95(100-m)≤11300\\m≥\dfrac{16}{9}(100-m)\end{cases}$
解第一个不等式得$m≤90$，解第二个不等式得$m≥64$，故不等式组的解集为$64≤ m≤90$。
设销售完两种品牌红茶获得的利润为$W$元，
则$W=(185-115)m+(185-95)(100-m)=-20m+9000$，
$\because -20＜0$，$\therefore W$随$m$的减小而增大，
$\therefore$当$m=64$时，$W$取得最大值，$W_{\mathrm{最大}}=-20×64+9000=7720$，
此时B品牌红茶的进货量为$100-64=36$（盒）。
【答案】
(1)购进A种品牌祁门红茶的单价是115元/盒，购进B种品牌祁门红茶的单价是95元/盒；
(2)购进A种品牌红茶64盒、B种品牌红茶36盒时利润最大，最大利润是7720元。
【知识点】
二元一次方程组应用，一元一次不等式组应用，一次函数最值应用
【点评】
本题是生活场景类的综合应用题，结合了方程、不等式、一次函数三类核心知识点，解题关键是准确提取题干中的等量、不等关系，结合一次函数增减性求解最值，能够较好地考查学生的信息提取能力和知识综合运用能力。
【难度系数】
0.7
