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10.某图书馆开展两种方式的租书业务:一种是使用租书卡,另一种是使用会员卡.使用租书卡,租书金额$y_1$(单位:元)与租书时间$x$(单位:天)之间的关系式为$y_1=0.5x$;使用会员卡,租书金额$y_2$(单位:元)与租书时间$x$(单位:天)之间的关系如图所示.
(1)用租书卡租书,每天租书的费用为
(2)求$y_2$关于$x$的函数解析式;
(3)如何选取租书方式更划算?
(1)用租书卡租书,每天租书的费用为
0.5
元;(2)求$y_2$关于$x$的函数解析式;
(3)如何选取租书方式更划算?
答案
10.解:(1)0.5
(2)使用会员卡每天租书的费用为$(45-30)÷60=0.25$(元),则$y_2=0.25x+30$.
$\therefore y_2$关于$x$的函数解析式为$y_2=0.25x+30$.
(3)当$y_1＜y_2$时,得$0.5x＜0.25x+30$.解得$x＜120$.
当$y_1=y_2$时,得$0.5x=0.25x+30$.解得$x=120$.
当$y_1＞y_2$时,得$0.5x＞0.25x+30$.解得$x＞120$.
$\therefore$当租书时间不足120天时,选用租书卡方式租书更划算;当租书时间正好为120天时,两种租书方式租书金额相同,任选一种即可;当租书时间超过120天时,选用会员卡方式租书更划算.
(2)使用会员卡每天租书的费用为$(45-30)÷60=0.25$(元),则$y_2=0.25x+30$.
$\therefore y_2$关于$x$的函数解析式为$y_2=0.25x+30$.
(3)当$y_1＜y_2$时,得$0.5x＜0.25x+30$.解得$x＜120$.
当$y_1=y_2$时,得$0.5x=0.25x+30$.解得$x=120$.
当$y_1＞y_2$时,得$0.5x＞0.25x+30$.解得$x＞120$.
$\therefore$当租书时间不足120天时,选用租书卡方式租书更划算;当租书时间正好为120天时,两种租书方式租书金额相同,任选一种即可;当租书时间超过120天时,选用会员卡方式租书更划算.
解析
【分析】
(1) 租书卡的租书金额与时间的关系式为$y_1=0.5x$，一次函数中自变量$x$的系数就是每天的租书费用，直接读取系数即可得到结果。
(2) $y_2$是关于$x$的一次函数，从图像中可获取两组对应值：$x=0$时$y_2=30$，$x=60$时$y_2=45$，使用待定系数法设$y_2=kx+b$，代入两组对应值就能求出参数$k$和$b$，得到函数解析式。
(3) 判断哪种租书方式更划算，本质是比较两种方式的租书金额$y_1$和$y_2$的大小，分$y_1＜y_2$、$y_1=y_2$、$y_1＞y_2$三种情况，分别解对应的不等式或方程，得到对应的租书时间$x$的范围，即可给出选择方案。
【解析】
(1) 已知租书卡的金额关系为$y_1=0.5x$，$x$为租书天数，因此每天租书费用为0.5元。
(2) 设$y_2$关于$x$的函数解析式为$y_2=kx+b\ (k\ne0)$。
由图像可知，函数过点$(0,30)$和$(60,45)$，将两点代入解析式：
当$x=0$时，$b=30$；
当$x=60$时，$60k+30=45$，解得$k=(45-30)÷60=0.25$。
因此$y_2$关于$x$的函数解析式为$y_2=0.25x+30\ (x≥0)$。
(3) 分三种情况比较两种方式的租书金额：
① 当$y_1＜y_2$时，使用租书卡更划算：
$0.5x ＜ 0.25x + 30$
移项得$0.25x ＜ 30$，解得$x ＜ 120$。
② 当$y_1=y_2$时，两种方式费用相同：
$0.5x = 0.25x + 30$
解得$x=120$。
③ 当$y_1＞y_2$时，使用会员卡更划算：
$0.5x ＞ 0.25x + 30$
移项得$0.25x ＞ 30$，解得$x＞120$。
【答案】
(1) $\boxed{0.5}$
(2) $\boxed{y_2=0.25x+30}$
(3) 当租书时间不足120天时，选用租书卡更划算；当租书时间为120天时，两种方式费用相同，任选其一即可；当租书时间超过120天时，选用会员卡更划算。
【知识点】
一次函数的应用，待定系数法求解析式，一元一次不等式的应用
【点评】
本题以租书消费的实际场景为载体，考查一次函数和不等式的综合应用，需要学生能从图像中提取有效信息，掌握一次函数解析式的求解方法，能通过函数值大小比较选择最优方案，很好地体现了数学在生活中的实用性。
【难度系数】
0.7
(1) 租书卡的租书金额与时间的关系式为$y_1=0.5x$，一次函数中自变量$x$的系数就是每天的租书费用，直接读取系数即可得到结果。
(2) $y_2$是关于$x$的一次函数，从图像中可获取两组对应值：$x=0$时$y_2=30$，$x=60$时$y_2=45$，使用待定系数法设$y_2=kx+b$，代入两组对应值就能求出参数$k$和$b$，得到函数解析式。
(3) 判断哪种租书方式更划算，本质是比较两种方式的租书金额$y_1$和$y_2$的大小，分$y_1＜y_2$、$y_1=y_2$、$y_1＞y_2$三种情况，分别解对应的不等式或方程，得到对应的租书时间$x$的范围，即可给出选择方案。
【解析】
(1) 已知租书卡的金额关系为$y_1=0.5x$，$x$为租书天数，因此每天租书费用为0.5元。
(2) 设$y_2$关于$x$的函数解析式为$y_2=kx+b\ (k\ne0)$。
由图像可知，函数过点$(0,30)$和$(60,45)$，将两点代入解析式：
当$x=0$时，$b=30$；
当$x=60$时，$60k+30=45$，解得$k=(45-30)÷60=0.25$。
因此$y_2$关于$x$的函数解析式为$y_2=0.25x+30\ (x≥0)$。
(3) 分三种情况比较两种方式的租书金额：
① 当$y_1＜y_2$时，使用租书卡更划算：
$0.5x ＜ 0.25x + 30$
移项得$0.25x ＜ 30$，解得$x ＜ 120$。
② 当$y_1=y_2$时，两种方式费用相同：
$0.5x = 0.25x + 30$
解得$x=120$。
③ 当$y_1＞y_2$时，使用会员卡更划算：
$0.5x ＞ 0.25x + 30$
移项得$0.25x ＞ 30$，解得$x＞120$。
【答案】
(1) $\boxed{0.5}$
(2) $\boxed{y_2=0.25x+30}$
(3) 当租书时间不足120天时，选用租书卡更划算；当租书时间为120天时，两种方式费用相同，任选其一即可；当租书时间超过120天时，选用会员卡更划算。
【知识点】
一次函数的应用，待定系数法求解析式，一元一次不等式的应用
【点评】
本题以租书消费的实际场景为载体，考查一次函数和不等式的综合应用，需要学生能从图像中提取有效信息，掌握一次函数解析式的求解方法，能通过函数值大小比较选择最优方案，很好地体现了数学在生活中的实用性。
【难度系数】
0.7
11. 甲、乙两人从学校出发，沿相同的路线跑向公园. 甲先跑一段路程后，乙开始出发，当乙超过甲 150 m 时，乙停在原地休息等候甲，两人相遇后，乙和甲一起以甲原来的速度继续跑向公园. 如图所示的是甲、乙两人在跑步的全过程中经过的路程 y(单位:m)与甲出发的时间 x(单位:s)之间的函数关系的图象. 下列说法错误的是 （
A.乙比甲晚 100 s 出发
B.甲、乙第一次相遇前乙的速度为 2.5 m/s
C.图中 $ b=400 $
D.乙出发 180 s 后与甲第一次相遇
D
）A.乙比甲晚 100 s 出发
B.甲、乙第一次相遇前乙的速度为 2.5 m/s
C.图中 $ b=400 $
D.乙出发 180 s 后与甲第一次相遇
答案
11.D
解析
【分析】首先结合题干和函数图象明确各线段的实际含义：OD是甲的路程随甲出发时间变化的图象，折线A-B-C-D是乙的路程随甲出发时间变化的图象。解题思路：①先根据甲的总路程和总时间算出甲的速度，这是核心基础量；②利用乙休息时甲追上150m的路程差，算出b的值；③再算出B点对应的路程a，结合乙的运动时间算出乙相遇前的速度；④最后通过列方程计算第一次相遇的时间，逐一判断选项即可。
【解析】
步骤1：计算甲的速度
由图象可知，甲600s跑了900m，因此甲的速度为$\frac{900}{600}=1.5\ \mathrm{m/s}$。
步骤2：判断选项A
图象中A点横坐标为100s，说明甲出发100s后乙才出发，即乙比甲晚100s出发，A说法正确。
步骤3：计算b的值，判断选项C
乙在B点超过甲150m后原地休息，到C点（$x=500\ \mathrm{s}$）时甲追上乙，这段时间甲走的路程就是150m，可得甲追赶的时间为$\frac{150}{1.5}=100\ \mathrm{s}$，因此$b=500-100=400$，C说法正确。
步骤4：计算乙相遇前的速度，判断选项B
$x=400\ \mathrm{s}$时，甲跑的路程为$1.5×400=600\ \mathrm{m}$，此时乙比甲多150m，因此$a=600+150=750\ \mathrm{m}$。
乙从出发到B点用时$400-100=300\ \mathrm{s}$，跑了750m，因此乙的速度为$\frac{750}{300}=2.5\ \mathrm{m/s}$，B说法正确。
步骤5：计算第一次相遇时间，判断选项D
设乙出发t秒后与甲第一次相遇，此时甲出发了$(100+t)$秒，两人路程相等，列方程：
$1.5(100+t)=2.5t$
解得$t=150$，即乙出发150s后第一次相遇，D说法错误。
【答案】D
【知识点】一次函数的应用，行程问题，一元一次方程的应用
【点评】本题结合函数图象考查实际行程问题，解题关键是读懂图象中特殊点、线段代表的实际含义，先求出固定不变的甲的速度，再结合路程、速度、时间的关系逐步推导各未知量即可。
【难度系数】0.65
【解析】
步骤1：计算甲的速度
由图象可知，甲600s跑了900m，因此甲的速度为$\frac{900}{600}=1.5\ \mathrm{m/s}$。
步骤2：判断选项A
图象中A点横坐标为100s，说明甲出发100s后乙才出发，即乙比甲晚100s出发，A说法正确。
步骤3：计算b的值，判断选项C
乙在B点超过甲150m后原地休息，到C点（$x=500\ \mathrm{s}$）时甲追上乙，这段时间甲走的路程就是150m，可得甲追赶的时间为$\frac{150}{1.5}=100\ \mathrm{s}$，因此$b=500-100=400$，C说法正确。
步骤4：计算乙相遇前的速度，判断选项B
$x=400\ \mathrm{s}$时，甲跑的路程为$1.5×400=600\ \mathrm{m}$，此时乙比甲多150m，因此$a=600+150=750\ \mathrm{m}$。
乙从出发到B点用时$400-100=300\ \mathrm{s}$，跑了750m，因此乙的速度为$\frac{750}{300}=2.5\ \mathrm{m/s}$，B说法正确。
步骤5：计算第一次相遇时间，判断选项D
设乙出发t秒后与甲第一次相遇，此时甲出发了$(100+t)$秒，两人路程相等，列方程：
$1.5(100+t)=2.5t$
解得$t=150$，即乙出发150s后第一次相遇，D说法错误。
【答案】D
【知识点】一次函数的应用，行程问题，一元一次方程的应用
【点评】本题结合函数图象考查实际行程问题，解题关键是读懂图象中特殊点、线段代表的实际含义，先求出固定不变的甲的速度，再结合路程、速度、时间的关系逐步推导各未知量即可。
【难度系数】0.65
