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14.某个体户购进一批时令水果,20天销售完毕.他将本次销售情况进行了跟踪记录,根据所记录的数据绘制了如图所示的函数图象,其中日销售量y(单位:kg)与销售时间x(单位:天)之间的函数关系如图(1)所示,销售单价p(单位:元/kg)与销售时间x(单位:天)之间的函数关系如图(2)所示.
(1)直接写出y与x之间的函数解析式.
(2)分别求出第10天和第15天的销售金额.
(3)若日销售量不低于24 kg的时间段为“最佳销售期”,则此次销售过程中“最佳销售期”共有多少天?在此期间销售单价最高为多少?
(1)直接写出y与x之间的函数解析式.
(2)分别求出第10天和第15天的销售金额.
(3)若日销售量不低于24 kg的时间段为“最佳销售期”,则此次销售过程中“最佳销售期”共有多少天?在此期间销售单价最高为多少?
答案
14.解:(1)分两种情况:
①当$0≤ x≤15$时,设日销售量$y$与销售时间$x$的函数解析式为$y=k_1x$,
$\because$直线$y=k_1x$过点$(15,30)$,$\therefore15k_1=30$,解得$k_1=2$.
$\therefore y=2x(0≤ x≤15)$.
②当$15＜x≤20$时,设日销售量$y$与销售时间$x$的函数解析式为$y=k_2x+b$,
$\because$点$(15,30)$,$(20,0)$在$y=k_2x+b$的图象上,
$\therefore\begin{cases} 15k_2+b=30,\\20k_2+b=0.\end{cases}$ 解得$\begin{cases} k_2=-6,\\b=120.\end{cases}$ $\therefore y=-6x+120(15＜x≤20)$.
综上,可知$y$与$x$之间的函数解析式为$y=\begin{cases} 2x(0≤ x≤15),\\-6x+120(15＜x≤20).\end{cases}$
(2)$\because$第10天和第15天在第10天和第20天之间,
$\therefore$当$10≤ x≤20$时,设销售单价$p$(元/kg)与销售时间$x$(天)之间的函数解析式为$p=mx+n$.
$\because$点$(10,10)$,$(20,8)$在$p=mx+n$的图象上,
$\therefore\begin{cases} 10m+n=10,\\20m+n=8.\end{cases}$ 解得$\begin{cases} m=-\dfrac{1}{5},\\n=12.\end{cases}$ $\therefore p=-\dfrac{1}{5}x+12(10≤ x≤20)$.
当$x=10$时,$p=10$,$y=2×10=20$,销售金额为$10×20=200$(元).
当$x=15$时,$p=-\dfrac{1}{5}×15+12=9$,$y=30$,销售金额为$9×30=270$(元).
故第10天和第15天的销售金额分别为200元、270元.
(3)若日销售量不低于24 kg,则$y≥24$.
当$0≤ x≤15$时,$y=2x$,解不等式$2x≥24$,得$x≥12$.
当$15＜x≤20$时,$y=-6x+120$,解不等式$-6x+120≥24$,得$x≤16$,$\therefore12≤ x≤16$.
$\therefore$最佳销售期共有$16-12+1=5$(天).
$\because p=-\dfrac{1}{5}x+12(10≤ x≤20)$,$-\dfrac{1}{5}＜0$,$\therefore p$随$x$的增大而减小.
$\therefore$当$12≤ x≤16$,$x$取12时,$p$有最大值,此时$p=-\dfrac{1}{5}×12+12=9.6$(元/kg).
即此次销售过程中“最佳销售期”共有5天,在此期间销售单价最高为9.6元/kg.
①当$0≤ x≤15$时,设日销售量$y$与销售时间$x$的函数解析式为$y=k_1x$,
$\because$直线$y=k_1x$过点$(15,30)$,$\therefore15k_1=30$,解得$k_1=2$.
$\therefore y=2x(0≤ x≤15)$.
②当$15＜x≤20$时,设日销售量$y$与销售时间$x$的函数解析式为$y=k_2x+b$,
$\because$点$(15,30)$,$(20,0)$在$y=k_2x+b$的图象上,
$\therefore\begin{cases} 15k_2+b=30,\\20k_2+b=0.\end{cases}$ 解得$\begin{cases} k_2=-6,\\b=120.\end{cases}$ $\therefore y=-6x+120(15＜x≤20)$.
综上,可知$y$与$x$之间的函数解析式为$y=\begin{cases} 2x(0≤ x≤15),\\-6x+120(15＜x≤20).\end{cases}$
(2)$\because$第10天和第15天在第10天和第20天之间,
$\therefore$当$10≤ x≤20$时,设销售单价$p$(元/kg)与销售时间$x$(天)之间的函数解析式为$p=mx+n$.
$\because$点$(10,10)$,$(20,8)$在$p=mx+n$的图象上,
$\therefore\begin{cases} 10m+n=10,\\20m+n=8.\end{cases}$ 解得$\begin{cases} m=-\dfrac{1}{5},\\n=12.\end{cases}$ $\therefore p=-\dfrac{1}{5}x+12(10≤ x≤20)$.
当$x=10$时,$p=10$,$y=2×10=20$,销售金额为$10×20=200$(元).
当$x=15$时,$p=-\dfrac{1}{5}×15+12=9$,$y=30$,销售金额为$9×30=270$(元).
故第10天和第15天的销售金额分别为200元、270元.
(3)若日销售量不低于24 kg,则$y≥24$.
当$0≤ x≤15$时,$y=2x$,解不等式$2x≥24$,得$x≥12$.
当$15＜x≤20$时,$y=-6x+120$,解不等式$-6x+120≥24$,得$x≤16$,$\therefore12≤ x≤16$.
$\therefore$最佳销售期共有$16-12+1=5$(天).
$\because p=-\dfrac{1}{5}x+12(10≤ x≤20)$,$-\dfrac{1}{5}＜0$,$\therefore p$随$x$的增大而减小.
$\therefore$当$12≤ x≤16$,$x$取12时,$p$有最大值,此时$p=-\dfrac{1}{5}×12+12=9.6$(元/kg).
即此次销售过程中“最佳销售期”共有5天,在此期间销售单价最高为9.6元/kg.
解析
【分析】
(1) 观察图1可知y与x的函数为分段一次函数，分$0≤x≤15$、$15＜x≤20$两段，分别设对应一次函数解析式，代入图象上的已知点，用待定系数法即可求出两段的函数解析式。
(2) 销售金额=日销售量×销售单价，先根据图2用待定系数法求出$10≤x≤20$时p与x的函数解析式，再分别将$x=10$、$x=15$代入对应的y和p的解析式，计算两者乘积即可得到对应日期的销售金额。
(3) 先根据“日销售量不低于24kg”即$y≥24$，分别代入两段y的解析式解不等式，得到x的取值范围后即可计算最佳销售期的天数；再根据p的函数的增减性，在最佳销售期的x范围内求出p的最大值。
【解析】
(1) 分两种情况：
①当$0≤ x≤15$时，设日销售量$y$与销售时间$x$的函数解析式为$y=k_1x$，
$\because$直线$y=k_1x$过点$(15,30)$，$\therefore15k_1=30$，解得$k_1=2$。
$\therefore y=2x(0≤ x≤15)$。
②当$15＜x≤20$时，设日销售量$y$与销售时间$x$的函数解析式为$y=k_2x+b$，
$\because$点$(15,30)$，$(20,0)$在$y=k_2x+b$的图象上，
$\therefore\begin{cases} 15k_2+b=30\\20k_2+b=0\end{cases}$ 解得$\begin{cases} k_2=-6\\b=120\end{cases}$ $\therefore y=-6x+120(15＜x≤20)$。
综上，可知$y$与$x$之间的函数解析式为$y=\begin{cases} 2x(0≤ x≤15)\\-6x+120(15＜x≤20)\end{cases}$。
(2) 当$10≤ x≤20$时，设销售单价$p$(元/kg)与销售时间$x$(天)之间的函数解析式为$p=mx+n$。
$\because$点$(10,10)$，$(20,8)$在$p=mx+n$的图象上，
$\therefore\begin{cases} 10m+n=10\\20m+n=8\end{cases}$ 解得$\begin{cases} m=-\dfrac{1}{5}\\n=12\end{cases}$ $\therefore p=-\dfrac{1}{5}x+12(10≤ x≤20)$。
当$x=10$时，$p=10$，$y=2×10=20$，销售金额为$10×20=200$(元)。
当$x=15$时，$p=-\dfrac{1}{5}×15+12=9$，$y=30$，销售金额为$9×30=270$(元)。
(3) 若日销售量不低于24 kg，则$y≥24$。
当$0≤ x≤15$时，$y=2x$，解不等式$2x≥24$，得$x≥12$。
当$15＜x≤20$时，$y=-6x+120$，解不等式$-6x+120≥24$，得$x≤16$，$\therefore12≤ x≤16$。
$\therefore$最佳销售期共有$16-12+1=5$(天)。
$\because p=-\dfrac{1}{5}x+12(10≤ x≤20)$，$-\dfrac{1}{5}＜0$，$\therefore p$随$x$的增大而减小。
$\therefore$当$12≤ x≤16$，$x$取12时，$p$有最大值，此时$p=-\dfrac{1}{5}×12+12=9.6$(元/kg)。
【答案】
(1) $y=\begin{cases} 2x&(0≤ x≤15)\\-6x+120&(15＜x≤20)\end{cases}$
(2) 第10天销售金额为200元，第15天销售金额为270元
(3) “最佳销售期”共有5天，在此期间销售单价最高为9.6元/kg
【知识点】
待定系数法求一次函数解析式，一次函数的实际应用，一元一次不等式的应用
【点评】
本题结合实际销售场景和函数图象，考查分段一次函数的综合应用，解题时需注意分段讨论的边界取值，理清各数量之间的关系，同时结合一次函数的增减性求解最值，能够有效锻炼学生的读图分析能力和应用数学知识解决实际问题的能力。
【难度系数】
0.6
(1) 观察图1可知y与x的函数为分段一次函数，分$0≤x≤15$、$15＜x≤20$两段，分别设对应一次函数解析式，代入图象上的已知点，用待定系数法即可求出两段的函数解析式。
(2) 销售金额=日销售量×销售单价，先根据图2用待定系数法求出$10≤x≤20$时p与x的函数解析式，再分别将$x=10$、$x=15$代入对应的y和p的解析式，计算两者乘积即可得到对应日期的销售金额。
(3) 先根据“日销售量不低于24kg”即$y≥24$，分别代入两段y的解析式解不等式，得到x的取值范围后即可计算最佳销售期的天数；再根据p的函数的增减性，在最佳销售期的x范围内求出p的最大值。
【解析】
(1) 分两种情况：
①当$0≤ x≤15$时，设日销售量$y$与销售时间$x$的函数解析式为$y=k_1x$，
$\because$直线$y=k_1x$过点$(15,30)$，$\therefore15k_1=30$，解得$k_1=2$。
$\therefore y=2x(0≤ x≤15)$。
②当$15＜x≤20$时，设日销售量$y$与销售时间$x$的函数解析式为$y=k_2x+b$，
$\because$点$(15,30)$，$(20,0)$在$y=k_2x+b$的图象上，
$\therefore\begin{cases} 15k_2+b=30\\20k_2+b=0\end{cases}$ 解得$\begin{cases} k_2=-6\\b=120\end{cases}$ $\therefore y=-6x+120(15＜x≤20)$。
综上，可知$y$与$x$之间的函数解析式为$y=\begin{cases} 2x(0≤ x≤15)\\-6x+120(15＜x≤20)\end{cases}$。
(2) 当$10≤ x≤20$时，设销售单价$p$(元/kg)与销售时间$x$(天)之间的函数解析式为$p=mx+n$。
$\because$点$(10,10)$，$(20,8)$在$p=mx+n$的图象上，
$\therefore\begin{cases} 10m+n=10\\20m+n=8\end{cases}$ 解得$\begin{cases} m=-\dfrac{1}{5}\\n=12\end{cases}$ $\therefore p=-\dfrac{1}{5}x+12(10≤ x≤20)$。
当$x=10$时，$p=10$，$y=2×10=20$，销售金额为$10×20=200$(元)。
当$x=15$时，$p=-\dfrac{1}{5}×15+12=9$，$y=30$，销售金额为$9×30=270$(元)。
(3) 若日销售量不低于24 kg，则$y≥24$。
当$0≤ x≤15$时，$y=2x$，解不等式$2x≥24$，得$x≥12$。
当$15＜x≤20$时，$y=-6x+120$，解不等式$-6x+120≥24$，得$x≤16$，$\therefore12≤ x≤16$。
$\therefore$最佳销售期共有$16-12+1=5$(天)。
$\because p=-\dfrac{1}{5}x+12(10≤ x≤20)$，$-\dfrac{1}{5}＜0$，$\therefore p$随$x$的增大而减小。
$\therefore$当$12≤ x≤16$，$x$取12时，$p$有最大值，此时$p=-\dfrac{1}{5}×12+12=9.6$(元/kg)。
【答案】
(1) $y=\begin{cases} 2x&(0≤ x≤15)\\-6x+120&(15＜x≤20)\end{cases}$
(2) 第10天销售金额为200元，第15天销售金额为270元
(3) “最佳销售期”共有5天，在此期间销售单价最高为9.6元/kg
【知识点】
待定系数法求一次函数解析式，一次函数的实际应用，一元一次不等式的应用
【点评】
本题结合实际销售场景和函数图象，考查分段一次函数的综合应用，解题时需注意分段讨论的边界取值，理清各数量之间的关系，同时结合一次函数的增减性求解最值，能够有效锻炼学生的读图分析能力和应用数学知识解决实际问题的能力。
【难度系数】
0.6
