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10. 如图，A，B两点在数轴上表示的数分别是a，b，则下列式子中成立的是(
A.$a + b ＜ 0$
B.$-a ＜ -b$
C.$1 - 2a ＞ 1 - 2b$
D.$|a| - |b| ＞ 0$
C
).A.$a + b ＜ 0$
B.$-a ＜ -b$
C.$1 - 2a ＞ 1 - 2b$
D.$|a| - |b| ＞ 0$
答案
C
解析
【分析】
解题时首先从数轴读取a、b的取值范围：观察数轴可得-2＜a＜-1，2＜b＜3。接下来结合不同知识点逐一判断选项：判断选项A可估算a+b的正负；判断选项B可先推导-a、-b的范围再比较大小；判断选项C利用不等式的性质，对a＜b逐步变形推导；判断选项D先求|a|、|b|的范围再比较差的正负。
【解析】
由数轴可知：$\boldsymbol{-2 ＜ a ＜ -1}$，$\boldsymbol{2 ＜ b ＜ 3}$。
选项A：a是绝对值在1~2之间的负数，b是绝对值在2~3之间的正数，正数绝对值更大，因此$a+b＞0$，A错误；
选项B：由a＜b，两边同时乘-1，不等号方向改变，得$-a ＞ -b$，B错误；
选项C：由a＜b，两边同时乘-2，不等号方向改变，得$-2a ＞ -2b$；两边再同时加1，不等号方向不变，得$1-2a ＞ 1-2b$，C正确；
选项D：$|a|$的范围是$1＜|a|＜2$，$|b|$的范围是$2＜|b|＜3$，因此$|a|＜|b|$，即$|a|-|b|＜0$，D错误。
综上，选C。
【答案】
C
【知识点】
数轴的应用，不等式的性质，绝对值的意义
【点评】
本题是数轴相关的典型基础题，综合考查了数的大小比较、不等式性质、绝对值的应用，解题关键是先准确从数轴获取a、b的取值范围，再结合相关性质逐一排除错误选项。
【难度系数】
0.7
解题时首先从数轴读取a、b的取值范围：观察数轴可得-2＜a＜-1，2＜b＜3。接下来结合不同知识点逐一判断选项：判断选项A可估算a+b的正负；判断选项B可先推导-a、-b的范围再比较大小；判断选项C利用不等式的性质，对a＜b逐步变形推导；判断选项D先求|a|、|b|的范围再比较差的正负。
【解析】
由数轴可知：$\boldsymbol{-2 ＜ a ＜ -1}$，$\boldsymbol{2 ＜ b ＜ 3}$。
选项A：a是绝对值在1~2之间的负数，b是绝对值在2~3之间的正数，正数绝对值更大，因此$a+b＞0$，A错误；
选项B：由a＜b，两边同时乘-1，不等号方向改变，得$-a ＞ -b$，B错误；
选项C：由a＜b，两边同时乘-2，不等号方向改变，得$-2a ＞ -2b$；两边再同时加1，不等号方向不变，得$1-2a ＞ 1-2b$，C正确；
选项D：$|a|$的范围是$1＜|a|＜2$，$|b|$的范围是$2＜|b|＜3$，因此$|a|＜|b|$，即$|a|-|b|＜0$，D错误。
综上，选C。
【答案】
C
【知识点】
数轴的应用，不等式的性质，绝对值的意义
【点评】
本题是数轴相关的典型基础题，综合考查了数的大小比较、不等式性质、绝对值的应用，解题关键是先准确从数轴获取a、b的取值范围，再结合相关性质逐一排除错误选项。
【难度系数】
0.7
11. 计算：
(1) $\sqrt[3]{-8} - \sqrt{(-\dfrac{1}{3})^2} + \sqrt{0}$；
(2) $( \dfrac{1}{2}\sqrt[3]{0.125} + \dfrac{1}{3}\sqrt{0.36} ) × \sqrt{400}$。
(1) $\sqrt[3]{-8} - \sqrt{(-\dfrac{1}{3})^2} + \sqrt{0}$；
(2) $( \dfrac{1}{2}\sqrt[3]{0.125} + \dfrac{1}{3}\sqrt{0.36} ) × \sqrt{400}$。
答案
(1) $-\dfrac{7}{3}$ (2) $9$
解析
【分析】
本题考查实数的混合运算，解题思路如下：
（1）先根据立方根、算术平方根的性质分别化简每一项，再按照从左到右的顺序计算加减法即可，注意负数的立方根仍为负数，算术平方根结果为非负数。
（2）遵循“先算括号内，再算括号外”的运算顺序，先化简括号内的立方根、算术平方根，计算括号内的加法后，再和括号外化简后的算术平方根做乘法运算即可。
【解析】
(1) 分别化简各项：
$\sqrt[3]{-8} = \sqrt[3]{(-2)^3} = -2$，
$\sqrt{(-\dfrac{1}{3})^2} = \left| -\dfrac{1}{3} \right| = \dfrac{1}{3}$，
$\sqrt{0} = 0$，
代入原式得：
$\begin{aligned}\mathrm{原式} &= -2 - \dfrac{1}{3} + 0 \\&= -\dfrac{6}{3} - \dfrac{1}{3} \\&= -\dfrac{7}{3}\end{aligned}$
(2) 先化简所有根式：
$\sqrt[3]{0.125} = \sqrt[3]{0.5^3} = 0.5$，
$\sqrt{0.36} = \sqrt{0.6^2} = 0.6$，
$\sqrt{400} = \sqrt{20^2} = 20$，
代入原式按照运算顺序计算：
$\begin{aligned}\mathrm{原式} &= ( \dfrac{1}{2} × 0.5 + \dfrac{1}{3} × 0.6 ) × 20 \\&= ( 0.25 + 0.2 ) × 20 \\&= 0.45 × 20 \\&= 9\end{aligned}$
【答案】
(1) $-\dfrac{7}{3}$；(2) $9$
【知识点】
立方根运算、算术平方根运算、实数混合运算
【点评】
本题属于基础运算题，核心是熟练掌握立方根、算术平方根的化简规则，运算时严格遵循先开方、再乘除、最后加减，有括号先算括号内的运算顺序，注意避免符号错误。
【难度系数】
0.85
本题考查实数的混合运算，解题思路如下：
（1）先根据立方根、算术平方根的性质分别化简每一项，再按照从左到右的顺序计算加减法即可，注意负数的立方根仍为负数，算术平方根结果为非负数。
（2）遵循“先算括号内，再算括号外”的运算顺序，先化简括号内的立方根、算术平方根，计算括号内的加法后，再和括号外化简后的算术平方根做乘法运算即可。
【解析】
(1) 分别化简各项：
$\sqrt[3]{-8} = \sqrt[3]{(-2)^3} = -2$，
$\sqrt{(-\dfrac{1}{3})^2} = \left| -\dfrac{1}{3} \right| = \dfrac{1}{3}$，
$\sqrt{0} = 0$，
代入原式得：
$\begin{aligned}\mathrm{原式} &= -2 - \dfrac{1}{3} + 0 \\&= -\dfrac{6}{3} - \dfrac{1}{3} \\&= -\dfrac{7}{3}\end{aligned}$
(2) 先化简所有根式：
$\sqrt[3]{0.125} = \sqrt[3]{0.5^3} = 0.5$，
$\sqrt{0.36} = \sqrt{0.6^2} = 0.6$，
$\sqrt{400} = \sqrt{20^2} = 20$，
代入原式按照运算顺序计算：
$\begin{aligned}\mathrm{原式} &= ( \dfrac{1}{2} × 0.5 + \dfrac{1}{3} × 0.6 ) × 20 \\&= ( 0.25 + 0.2 ) × 20 \\&= 0.45 × 20 \\&= 9\end{aligned}$
【答案】
(1) $-\dfrac{7}{3}$；(2) $9$
【知识点】
立方根运算、算术平方根运算、实数混合运算
【点评】
本题属于基础运算题，核心是熟练掌握立方根、算术平方根的化简规则，运算时严格遵循先开方、再乘除、最后加减，有括号先算括号内的运算顺序，注意避免符号错误。
【难度系数】
0.85
12. 已知$a$，$b$是有理数，且$(4+\sqrt{5})a+(2-\sqrt{5})b=6+3\sqrt{5}$，求$a$，$b$的值.
答案
$a=2, b=-1$
解析
【分析】
本题可根据有理数和无理数的性质解题：等式两边的有理数部分相等，无理数部分的系数也相等。首先将等式左边的式子展开，把含√5的项和不含√5的项分别合并，再对应等式右边的常数项和√5的系数，列出二元一次方程组，求解即可得到a、b的值。
【解析】
先对等式左边的式子去括号、合并同类项：
$\begin{aligned}(4+\sqrt{5})a+(2-\sqrt{5})b&=4a+\sqrt{5}a+2b-\sqrt{5}b\\&=(4a+2b)+(a-b)\sqrt{5}\end{aligned}$
已知等式右边为$6+3\sqrt{5}$，且$a$、$b$是有理数，因此等式两边的有理数部分相等，无理数部分的系数相等，可得方程组：
$\begin{cases}4a+2b=6&①\\a-b=3&②\end{cases}$
由②得：$a=b+3$，将其代入①：
$\begin{aligned}4(b+3)+2b&=6\\4b+12+2b&=6\\6b&=-6\\b&=-1\end{aligned}$
将$b=-1$代入$a=b+3$，得$a=-1+3=2$。
【答案】
$a=2, b=-1$
【知识点】
有理数与无理数的性质；二元一次方程组的解法；二次根式的混合运算
【点评】
本题是二次根式运算与方程组结合的典型题型，解题核心是将等式拆分为有理部分和无理部分，利用两部分分别对应相等建立方程，熟练掌握该拆分方法即可快速求解此类题目。
【难度系数】
0.7
本题可根据有理数和无理数的性质解题：等式两边的有理数部分相等，无理数部分的系数也相等。首先将等式左边的式子展开，把含√5的项和不含√5的项分别合并，再对应等式右边的常数项和√5的系数，列出二元一次方程组，求解即可得到a、b的值。
【解析】
先对等式左边的式子去括号、合并同类项：
$\begin{aligned}(4+\sqrt{5})a+(2-\sqrt{5})b&=4a+\sqrt{5}a+2b-\sqrt{5}b\\&=(4a+2b)+(a-b)\sqrt{5}\end{aligned}$
已知等式右边为$6+3\sqrt{5}$，且$a$、$b$是有理数，因此等式两边的有理数部分相等，无理数部分的系数相等，可得方程组：
$\begin{cases}4a+2b=6&①\\a-b=3&②\end{cases}$
由②得：$a=b+3$，将其代入①：
$\begin{aligned}4(b+3)+2b&=6\\4b+12+2b&=6\\6b&=-6\\b&=-1\end{aligned}$
将$b=-1$代入$a=b+3$，得$a=-1+3=2$。
【答案】
$a=2, b=-1$
【知识点】
有理数与无理数的性质；二元一次方程组的解法；二次根式的混合运算
【点评】
本题是二次根式运算与方程组结合的典型题型，解题核心是将等式拆分为有理部分和无理部分，利用两部分分别对应相等建立方程，熟练掌握该拆分方法即可快速求解此类题目。
【难度系数】
0.7
