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一、填空题
1. 实数$a$，$b$在数轴上对应点的位置如图所示，化简$\vert a\vert+\sqrt{(a - b)^2}$的结果是________。
1. 实数$a$，$b$在数轴上对应点的位置如图所示，化简$\vert a\vert+\sqrt{(a - b)^2}$的结果是________。
答案
1. $-2a + b$
解析
【分析】
解题时首先需要根据数轴上点的位置特征，判断出a的正负以及a与b的大小关系，再结合绝对值的性质和二次根式的性质$\sqrt{x^2}=|x|$，分别化简两个部分，最后合并同类项得到结果。具体步骤：1. 由数轴判断a、b的符号和大小；2. 推导a-b的正负性；3. 根据性质去绝对值符号；4. 合并同类项得最终结果。
【解析】
解：由数轴上点的位置可知：$a＜0$，$b＞0$，因此$a＜b$，即$a-b＜0$。
根据绝对值的性质：负数的绝对值等于它的相反数，可得$|a|=-a$。
根据二次根式的性质$\sqrt{x^2}=|x|$，可得$\sqrt{(a-b)^2}=|a-b|$，又因为$a-b＜0$，所以$|a-b|=-(a-b)=b-a$。
因此$\vert a\vert+\sqrt{(a - b)^2}=-a + (b - a) = -a + b - a = -2a + b$。
【答案】
$-2a + b$
【知识点】
数轴的应用；绝对值的性质；二次根式的化简
【点评】
本题是代数与几何结合的基础题型，解题核心是先通过数轴判断代数式的正负，再结合相关性质化简计算，掌握绝对值和二次根式的化简规则是得分的关键。
【难度系数】
0.7
解题时首先需要根据数轴上点的位置特征，判断出a的正负以及a与b的大小关系，再结合绝对值的性质和二次根式的性质$\sqrt{x^2}=|x|$，分别化简两个部分，最后合并同类项得到结果。具体步骤：1. 由数轴判断a、b的符号和大小；2. 推导a-b的正负性；3. 根据性质去绝对值符号；4. 合并同类项得最终结果。
【解析】
解：由数轴上点的位置可知：$a＜0$，$b＞0$，因此$a＜b$，即$a-b＜0$。
根据绝对值的性质：负数的绝对值等于它的相反数，可得$|a|=-a$。
根据二次根式的性质$\sqrt{x^2}=|x|$，可得$\sqrt{(a-b)^2}=|a-b|$，又因为$a-b＜0$，所以$|a-b|=-(a-b)=b-a$。
因此$\vert a\vert+\sqrt{(a - b)^2}=-a + (b - a) = -a + b - a = -2a + b$。
【答案】
$-2a + b$
【知识点】
数轴的应用；绝对值的性质；二次根式的化简
【点评】
本题是代数与几何结合的基础题型，解题核心是先通过数轴判断代数式的正负，再结合相关性质化简计算，掌握绝对值和二次根式的化简规则是得分的关键。
【难度系数】
0.7
2. 若$m$是方程$x^2 - 2x - 3 = 0$的一个根，则$2m^2 - 4m =$.
答案
2. 6
解析
【分析】
解题时首先根据一元二次方程根的定义思考：能使方程左右两边相等的未知数的值是方程的根，因此将x=m代入原方程一定成立，可得到关于m的等式。再观察所求代数式$2m^2-4m$的结构，发现它可变形为$2(m^2-2m)$，和从方程得到的$m^2-2m$为整体对应关系，用整体代入法计算即可，无需单独求解m的具体值，能简化计算过程。
【解析】
∵ $m$是方程$x^2 - 2x - 3 = 0$的一个根，
∴ 将$x=m$代入原方程，得：$m^2 - 2m - 3 = 0$，
整理得：$m^2 - 2m = 3$，
对所求代数式变形可得：$2m^2 - 4m = 2(m^2 - 2m)$，
将$m^2 - 2m = 3$代入上式，得：$2×3 = 6$。
【答案】
6
【知识点】
一元二次方程根的定义、整体代入求值
【点评】
本题主要考察方程根的性质的应用，选择整体代入的方法可以避免求解一元二次方程的根，减少计算量，降低出错概率，是代数式求值类问题的常用技巧。
【难度系数】
0.85
解题时首先根据一元二次方程根的定义思考：能使方程左右两边相等的未知数的值是方程的根，因此将x=m代入原方程一定成立，可得到关于m的等式。再观察所求代数式$2m^2-4m$的结构，发现它可变形为$2(m^2-2m)$，和从方程得到的$m^2-2m$为整体对应关系，用整体代入法计算即可，无需单独求解m的具体值，能简化计算过程。
【解析】
∵ $m$是方程$x^2 - 2x - 3 = 0$的一个根，
∴ 将$x=m$代入原方程，得：$m^2 - 2m - 3 = 0$，
整理得：$m^2 - 2m = 3$，
对所求代数式变形可得：$2m^2 - 4m = 2(m^2 - 2m)$，
将$m^2 - 2m = 3$代入上式，得：$2×3 = 6$。
【答案】
6
【知识点】
一元二次方程根的定义、整体代入求值
【点评】
本题主要考察方程根的性质的应用，选择整体代入的方法可以避免求解一元二次方程的根，减少计算量，降低出错概率，是代数式求值类问题的常用技巧。
【难度系数】
0.85
3. 某县去年在一项建设中已投资 3 亿元，预计明年投资 5.88 亿元，则该项投资从去年到明年的年平均增长率为________.
答案
3. 40%
解析
【分析】
这是一道平均增长率类应用题，解题思路如下：首先明确平均增长率的核心等量关系：增长n次后的量=初始量×(1+年平均增长率)ⁿ。首先确定初始量是去年投资的3亿元，从去年到明年共经过2次增长（去年到今年是第1次，今年到明年是第2次），增长后的值是明年预计投资的5.88亿元。我们可以设年平均增长率为x，代入等量关系列一元二次方程，求解后舍去不符合实际意义的负根即可得到结果。
【解析】
解：设该项投资从去年到明年的年平均增长率为x。
由题意可知，经过2年增长后明年的投资额为5.88亿元，列方程得：
$3(1+x)^2=5.88$
方程两边同时除以3，得：
$(1+x)^2=1.96$
开平方得：
$1+x=\pm1.4$
因为增长率为正数，故舍去$1+x=-1.4$（此时$x=-2.4$不符合实际情况），仅取$1+x=1.4$
解得：$x=1.4-1=0.4=40\%$
【答案】
40%
【知识点】
1. 一元二次方程的应用
2. 平均增长率计算
【点评】
本题是平均增长率问题的典型考法，解题的关键是准确判断增长次数，牢记增长率的基本公式，同时注意求解方程后要结合实际意义舍去不合逻辑的根。
【难度系数】
0.7
这是一道平均增长率类应用题，解题思路如下：首先明确平均增长率的核心等量关系：增长n次后的量=初始量×(1+年平均增长率)ⁿ。首先确定初始量是去年投资的3亿元，从去年到明年共经过2次增长（去年到今年是第1次，今年到明年是第2次），增长后的值是明年预计投资的5.88亿元。我们可以设年平均增长率为x，代入等量关系列一元二次方程，求解后舍去不符合实际意义的负根即可得到结果。
【解析】
解：设该项投资从去年到明年的年平均增长率为x。
由题意可知，经过2年增长后明年的投资额为5.88亿元，列方程得：
$3(1+x)^2=5.88$
方程两边同时除以3，得：
$(1+x)^2=1.96$
开平方得：
$1+x=\pm1.4$
因为增长率为正数，故舍去$1+x=-1.4$（此时$x=-2.4$不符合实际情况），仅取$1+x=1.4$
解得：$x=1.4-1=0.4=40\%$
【答案】
40%
【知识点】
1. 一元二次方程的应用
2. 平均增长率计算
【点评】
本题是平均增长率问题的典型考法，解题的关键是准确判断增长次数，牢记增长率的基本公式，同时注意求解方程后要结合实际意义舍去不合逻辑的根。
【难度系数】
0.7
4. 如图,在菱形ABCD中,∠B=60°,AB=2,E,F分别是BC,CD的中点,连接AE,EF,AF,则△AEF的周长为________.
答案
4. $3\sqrt{3}$
解析
【分析】
解题时先从菱形的性质入手，已知∠B=60°且菱形四边相等，可判定△ABC是等边三角形，结合E是BC中点，利用等边三角形三线合一的性质得到直角三角形，再用勾股定理算出AE的长度，用同样的方法可算出AF的长度；接着通过三角形中位线定理求出EF的长度，最后将三边相加即可得到△AEF的周长。
【解析】
连接AC、BD，
∵四边形ABCD是菱形，
∴AB=BC=CD=AD=2，∠D=∠B=60°，AC、BD为菱形的对角线且互相垂直平分。
1. 求AE、AF的长度：
∵∠B=60°，AB=BC，
∴△ABC是等边三角形，
∵E是BC中点，
∴AE⊥BC，BE=$\frac{1}{2}$BC=1，
在Rt△ABE中，由勾股定理得：$AE=\sqrt{AB^2-BE^2}=\sqrt{2^2-1^2}=\sqrt{3}$，
同理可得$AF=\sqrt{3}$。
2. 求EF的长度：
∵E、F分别是BC、CD的中点，
∴EF是△BCD的中位线，
∴$EF=\frac{1}{2}BD$，
∵△ABC是等边三角形，
∴AC=AB=2，对角线交点O处AO=$\frac{1}{2}$AC=1，
在Rt△ABO中，$BO=\sqrt{AB^2-AO^2}=\sqrt{2^2-1^2}=\sqrt{3}$，
∴BD=2BO=2$\sqrt{3}$，则$EF=\frac{1}{2}×2\sqrt{3}=\sqrt{3}$。
3. 计算△AEF的周长：
周长=$AE+AF+EF=\sqrt{3}+\sqrt{3}+\sqrt{3}=3\sqrt{3}$。
【答案】
$3\sqrt{3}$
【知识点】
菱形的性质、等边三角形的判定与性质、勾股定理
【点评】
本题是几何基础综合题，将菱形、等边三角形的性质和勾股定理、中位线定理结合考察，解题的关键是通过60°角识别出等边三角形，再结合中点性质找到计算边长的路径，熟练掌握特殊几何图形的性质可以快速简化计算。
【难度系数】
0.7
解题时先从菱形的性质入手，已知∠B=60°且菱形四边相等，可判定△ABC是等边三角形，结合E是BC中点，利用等边三角形三线合一的性质得到直角三角形，再用勾股定理算出AE的长度，用同样的方法可算出AF的长度；接着通过三角形中位线定理求出EF的长度，最后将三边相加即可得到△AEF的周长。
【解析】
连接AC、BD，
∵四边形ABCD是菱形，
∴AB=BC=CD=AD=2，∠D=∠B=60°，AC、BD为菱形的对角线且互相垂直平分。
1. 求AE、AF的长度：
∵∠B=60°，AB=BC，
∴△ABC是等边三角形，
∵E是BC中点，
∴AE⊥BC，BE=$\frac{1}{2}$BC=1，
在Rt△ABE中，由勾股定理得：$AE=\sqrt{AB^2-BE^2}=\sqrt{2^2-1^2}=\sqrt{3}$，
同理可得$AF=\sqrt{3}$。
2. 求EF的长度：
∵E、F分别是BC、CD的中点，
∴EF是△BCD的中位线，
∴$EF=\frac{1}{2}BD$，
∵△ABC是等边三角形，
∴AC=AB=2，对角线交点O处AO=$\frac{1}{2}$AC=1，
在Rt△ABO中，$BO=\sqrt{AB^2-AO^2}=\sqrt{2^2-1^2}=\sqrt{3}$，
∴BD=2BO=2$\sqrt{3}$，则$EF=\frac{1}{2}×2\sqrt{3}=\sqrt{3}$。
3. 计算△AEF的周长：
周长=$AE+AF+EF=\sqrt{3}+\sqrt{3}+\sqrt{3}=3\sqrt{3}$。
【答案】
$3\sqrt{3}$
【知识点】
菱形的性质、等边三角形的判定与性质、勾股定理
【点评】
本题是几何基础综合题，将菱形、等边三角形的性质和勾股定理、中位线定理结合考察，解题的关键是通过60°角识别出等边三角形，再结合中点性质找到计算边长的路径，熟练掌握特殊几何图形的性质可以快速简化计算。
【难度系数】
0.7
5. 若$x_1$，$x_2$，$···$，$x_n$的平均数是$\bar{x}$，$y_1$，$y_2$，$···$，$y_n$的平均数是$\bar{y}$，则$ax_1+by_1$，$ax_2+by_2$，$···$，$ax_n+by_n$的平均数是$\underline{\hspace{5em}}$.
答案
5. $a\bar{x} + b\bar{y}$
解析
【分析】
解题时首先回忆平均数的定义：一组数据的平均数等于所有数据的总和除以数据的个数。要求新数组$ax_1+by_1,ax_2+by_2,\dots,ax_n+by_n$的平均数，第一步先写出该数组总和的表达式，第二步将总和拆分重组，分离出原两组数据的总和，第三步将原数据的平均数代入计算即可得到结果。
【解析】
设新数组的平均数为$\bar{z}$，根据平均数的定义可得：
$\begin{aligned}\bar{z}&=\frac{1}{n}[(ax_1+by_1)+(ax_2+by_2)+\dots+(ax_n+by_n)]\\&=\frac{1}{n}[a(x_1+x_2+\dots+x_n)+b(y_1+y_2+\dots+y_n)]\\&=a·\frac{x_1+x_2+\dots+x_n}{n} + b·\frac{y_1+y_2+\dots+y_n}{n}\end{aligned}$
已知$x_1,x_2,\dots,x_n$的平均数是$\bar{x}$，即$\bar{x}=\frac{x_1+x_2+\dots+x_n}{n}$；$y_1,y_2,\dots,y_n$的平均数是$\bar{y}$，即$\bar{y}=\frac{y_1+y_2+\dots+y_n}{n}$，代入上式可得：
$\bar{z}=a\bar{x}+b\bar{y}$
【答案】
$a\bar{x} + b\bar{y}$
【知识点】
平均数的计算；代数式化简
【点评】
本题考查平均数定义的应用，解题的核心是熟练掌握平均数的计算方法，能对代数式进行合理拆分重组，属于基础题型，是平均数性质推导的典型习题。
【难度系数】
0.8
解题时首先回忆平均数的定义：一组数据的平均数等于所有数据的总和除以数据的个数。要求新数组$ax_1+by_1,ax_2+by_2,\dots,ax_n+by_n$的平均数，第一步先写出该数组总和的表达式，第二步将总和拆分重组，分离出原两组数据的总和，第三步将原数据的平均数代入计算即可得到结果。
【解析】
设新数组的平均数为$\bar{z}$，根据平均数的定义可得：
$\begin{aligned}\bar{z}&=\frac{1}{n}[(ax_1+by_1)+(ax_2+by_2)+\dots+(ax_n+by_n)]\\&=\frac{1}{n}[a(x_1+x_2+\dots+x_n)+b(y_1+y_2+\dots+y_n)]\\&=a·\frac{x_1+x_2+\dots+x_n}{n} + b·\frac{y_1+y_2+\dots+y_n}{n}\end{aligned}$
已知$x_1,x_2,\dots,x_n$的平均数是$\bar{x}$，即$\bar{x}=\frac{x_1+x_2+\dots+x_n}{n}$；$y_1,y_2,\dots,y_n$的平均数是$\bar{y}$，即$\bar{y}=\frac{y_1+y_2+\dots+y_n}{n}$，代入上式可得：
$\bar{z}=a\bar{x}+b\bar{y}$
【答案】
$a\bar{x} + b\bar{y}$
【知识点】
平均数的计算；代数式化简
【点评】
本题考查平均数定义的应用，解题的核心是熟练掌握平均数的计算方法，能对代数式进行合理拆分重组，属于基础题型，是平均数性质推导的典型习题。
【难度系数】
0.8
6. 与$-\sqrt{5}$是同类二次根式的是(
A.$\sqrt{10}$
B.$\sqrt{15}$
C.$\sqrt{20}$
D.$\sqrt{25}$
C
).A.$\sqrt{10}$
B.$\sqrt{15}$
C.$\sqrt{20}$
D.$\sqrt{25}$
答案
6. C
解析
【分析】
要判断哪个式子与$-\sqrt{5}$是同类二次根式，首先要明确同类二次根式的定义：几个二次根式化成最简二次根式后，如果被开方数相同，就属于同类二次根式。解题思路为：先确认$-\sqrt{5}$是最简二次根式，被开方数为5，再将四个选项的二次根式全部化为最简形式，对比最简后的被开方数，与5相等的即为正确答案。
【解析】
同类二次根式的判定规则：需先将所有二次根式化为最简二次根式，再比较被开方数是否相同。
已知$-\sqrt{5}$是最简二次根式，被开方数为5，逐一化简选项：
A. $\sqrt{10}$已经是最简形式，被开方数为10，与5不相同，不是同类二次根式；
B. $\sqrt{15}$已经是最简形式，被开方数为15，与5不相同，不是同类二次根式；
C. $\sqrt{20}=\sqrt{4×5}=2\sqrt{5}$，化简后被开方数为5，与$-\sqrt{5}$是同类二次根式；
D. $\sqrt{25}=5$，是整数，不存在二次根式的被开方数，不是同类二次根式。
综上，符合要求的是选项C。
【答案】
C
【知识点】
同类二次根式的定义；二次根式的化简
【点评】
本题是同类二次根式判定的基础题，易错点是直接比较原式根号下的数字，忽略了判定前必须先将二次根式化为最简形式的要求。
【难度系数】
0.8
要判断哪个式子与$-\sqrt{5}$是同类二次根式，首先要明确同类二次根式的定义：几个二次根式化成最简二次根式后，如果被开方数相同，就属于同类二次根式。解题思路为：先确认$-\sqrt{5}$是最简二次根式，被开方数为5，再将四个选项的二次根式全部化为最简形式，对比最简后的被开方数，与5相等的即为正确答案。
【解析】
同类二次根式的判定规则：需先将所有二次根式化为最简二次根式，再比较被开方数是否相同。
已知$-\sqrt{5}$是最简二次根式，被开方数为5，逐一化简选项：
A. $\sqrt{10}$已经是最简形式，被开方数为10，与5不相同，不是同类二次根式；
B. $\sqrt{15}$已经是最简形式，被开方数为15，与5不相同，不是同类二次根式；
C. $\sqrt{20}=\sqrt{4×5}=2\sqrt{5}$，化简后被开方数为5，与$-\sqrt{5}$是同类二次根式；
D. $\sqrt{25}=5$，是整数，不存在二次根式的被开方数，不是同类二次根式。
综上，符合要求的是选项C。
【答案】
C
【知识点】
同类二次根式的定义；二次根式的化简
【点评】
本题是同类二次根式判定的基础题，易错点是直接比较原式根号下的数字，忽略了判定前必须先将二次根式化为最简形式的要求。
【难度系数】
0.8
7. 已知命题“关于$x$的一元二次方程$x^2 + bx + 1 = 0$必有实数根”是假命题，则$b$的值可以是（
A.$-3$
B.$-2$
C.$-1$
D.$2$
C
）.A.$-3$
B.$-2$
C.$-1$
D.$2$
答案
7. C
解析
【分析】
要解决这道题，首先明确命题为假的含义：原命题“方程必有实数根”是假命题，等价于该一元二次方程没有实数根。接下来回忆一元二次方程根的情况与判别式的关系：当判别式Δ＜0时，方程无实数根。我们先代入方程的系数求出判别式，再列不等式求解b的取值范围，最后对比选项选出符合范围的b值即可。
【解析】
∵ 命题“关于$x$的一元二次方程$x^2 + bx + 1 = 0$必有实数根”是假命题
∴ 该一元二次方程没有实数根
对于一元二次方程$ax^2+bx+c=0$（$a≠0$），根的判别式$\Delta = b^2-4ac$，当$\Delta＜0$时，方程无实数根
本题中$a=1$，$c=1$，代入得：
$\Delta = b^2 - 4×1×1 = b^2 - 4$
令$\Delta ＜ 0$，即$b^2 - 4 ＜ 0$，解得$-2 ＜ b ＜ 2$
对比选项：
A.$-3 ＜ -2$，不符合；B.$b=-2$时$\Delta=0$，方程有实数根，不符合；C.$-2 ＜ -1 ＜ 2$，符合；D.$b=2$时$\Delta=0$，方程有实数根，不符合
故选：C
【答案】
C
【知识点】
一元二次方程根的判别式；命题的真假判断
【点评】
本题将命题的真假判断和一元二次方程根的判别式结合考查，解题的核心是把假命题的条件转化为方程无实根的结论，再利用判别式列不等式求解，解题时注意区分判别式对应三种根的情况，避免混淆取值范围。
【难度系数】
0.8
要解决这道题，首先明确命题为假的含义：原命题“方程必有实数根”是假命题，等价于该一元二次方程没有实数根。接下来回忆一元二次方程根的情况与判别式的关系：当判别式Δ＜0时，方程无实数根。我们先代入方程的系数求出判别式，再列不等式求解b的取值范围，最后对比选项选出符合范围的b值即可。
【解析】
∵ 命题“关于$x$的一元二次方程$x^2 + bx + 1 = 0$必有实数根”是假命题
∴ 该一元二次方程没有实数根
对于一元二次方程$ax^2+bx+c=0$（$a≠0$），根的判别式$\Delta = b^2-4ac$，当$\Delta＜0$时，方程无实数根
本题中$a=1$，$c=1$，代入得：
$\Delta = b^2 - 4×1×1 = b^2 - 4$
令$\Delta ＜ 0$，即$b^2 - 4 ＜ 0$，解得$-2 ＜ b ＜ 2$
对比选项：
A.$-3 ＜ -2$，不符合；B.$b=-2$时$\Delta=0$，方程有实数根，不符合；C.$-2 ＜ -1 ＜ 2$，符合；D.$b=2$时$\Delta=0$，方程有实数根，不符合
故选：C
【答案】
C
【知识点】
一元二次方程根的判别式；命题的真假判断
【点评】
本题将命题的真假判断和一元二次方程根的判别式结合考查，解题的核心是把假命题的条件转化为方程无实根的结论，再利用判别式列不等式求解，解题时注意区分判别式对应三种根的情况，避免混淆取值范围。
【难度系数】
0.8
8. 若方程$x^2 - 20x + 91 = 0$的两根分别是等腰三角形的两边长，则此三角形的周长为(
A.27
B.33
C.27或33
D.以上都不对
C
).A.27
B.33
C.27或33
D.以上都不对
答案
8. C
解析
【分析】
解题思路分三步：第一步先求解一元二次方程，得到两根也就是等腰三角形的两条边长；第二步由于等腰三角形的腰和底未明确给出，需要分两种情况讨论，分别确定腰长和底边长；第三步每种情况都要验证是否满足三角形三边关系（两边之和大于第三边），符合构成条件的再计算周长，最后汇总所有有效结果即可。
【解析】
首先解方程$x^2 - 20x + 91 = 0$，因式分解可得：
$(x-7)(x-13)=0$
解得$x_1=7$，$x_2=13$，即等腰三角形的两条边长为7和13。
分两种情况讨论：
1. 当腰长为7，底边长为13时，三边长为7、7、13，验证三边关系：$7+7=14＞13$，满足三角形构成条件，此时周长为$7+7+13=27$；
2. 当腰长为13，底边长为7时，三边长为13、13、7，验证三边关系：$13+7=20＞13$，满足三角形构成条件，此时周长为$13+13+7=33$。
综上，三角形的周长为27或33。
【答案】
C
【知识点】
一元二次方程的解法；等腰三角形的性质；三角形三边关系
【点评】
本题是代数与几何的综合基础题，解题的关键是牢记等腰三角形需分类讨论腰和底，同时不能忽略验证三边是否符合三角形的构成条件，避免出现错解。
【难度系数】
0.7
解题思路分三步：第一步先求解一元二次方程，得到两根也就是等腰三角形的两条边长；第二步由于等腰三角形的腰和底未明确给出，需要分两种情况讨论，分别确定腰长和底边长；第三步每种情况都要验证是否满足三角形三边关系（两边之和大于第三边），符合构成条件的再计算周长，最后汇总所有有效结果即可。
【解析】
首先解方程$x^2 - 20x + 91 = 0$，因式分解可得：
$(x-7)(x-13)=0$
解得$x_1=7$，$x_2=13$，即等腰三角形的两条边长为7和13。
分两种情况讨论：
1. 当腰长为7，底边长为13时，三边长为7、7、13，验证三边关系：$7+7=14＞13$，满足三角形构成条件，此时周长为$7+7+13=27$；
2. 当腰长为13，底边长为7时，三边长为13、13、7，验证三边关系：$13+7=20＞13$，满足三角形构成条件，此时周长为$13+13+7=33$。
综上，三角形的周长为27或33。
【答案】
C
【知识点】
一元二次方程的解法；等腰三角形的性质；三角形三边关系
【点评】
本题是代数与几何的综合基础题，解题的关键是牢记等腰三角形需分类讨论腰和底，同时不能忽略验证三边是否符合三角形的构成条件，避免出现错解。
【难度系数】
0.7
9. 过四边形ABCD的各顶点作对角线BD，AC的平行线围成四边形EFGH，若四边形EFGH是菱形，则四边形ABCD一定是(
A.菱形
B.平行四边形
C.矩形
D.对角线相等的四边形
D
).A.菱形
B.平行四边形
C.矩形
D.对角线相等的四边形
答案
9. D
解析
【分析】
解题思路如下：第一步，先根据已知的平行线条件，判断围成的四边形EFGH的形状：因为EFGH的两组对边分别平行于原四边形的两条对角线AC、BD，根据“两组对边分别平行的四边形是平行四边形”，可先确定EFGH是平行四边形。第二步，结合菱形的判定条件：平行四边形要成为菱形，需要满足一组邻边相等。第三步，找EFGH的邻边和原四边形对角线的数量关系：由平行线间平行线段相等的性质，可得EFGH的一组邻边长度分别等于AC、BD的长度，因此要让邻边相等，只需AC=BD，即原四边形对角线相等即可。最后排查其他选项，排除不符合“一定”要求的选项即可得到答案。
【解析】
解：根据题意，所作四边形EFGH的两组对边分别平行于AC、BD，即$EF// AC// GH$，$EH// BD// FG$，
∴ 四边形EFGH是平行四边形（两组对边分别平行的四边形是平行四边形）。
由夹在平行线间的平行线段相等可得：$EF=AC$，$EH=BD$。
∵ 四边形EFGH是菱形，
∴ 平行四边形EFGH的邻边相等，即$EF=EH$，
∴ $AC=BD$，即四边形ABCD的对角线相等。
对选项逐一分析：
A. 菱形的对角线不一定相等，不符合要求；
B. 平行四边形的对角线不一定相等，不符合要求；
C. 矩形的对角线相等，但对角线相等的四边形不一定是矩形（如等腰梯形对角线也相等，也能围成菱形EFGH），因此不是“一定是矩形”；
D. 对角线相等的四边形符合推导结论，正确。
故选：D。
【答案】
D
【知识点】
平行四边形的判定与性质；菱形的性质；平行线的性质
【点评】
本题综合考查特殊四边形的判定和性质，解题的核心是先确定围出的四边形是平行四边形，再结合菱形的边的性质推导原四边形对角线的关系，易错点是容易误选C，忽略了对角线相等的四边形不止矩形这一种，要注意题干“一定是”的限定要求。
【难度系数】
0.6
解题思路如下：第一步，先根据已知的平行线条件，判断围成的四边形EFGH的形状：因为EFGH的两组对边分别平行于原四边形的两条对角线AC、BD，根据“两组对边分别平行的四边形是平行四边形”，可先确定EFGH是平行四边形。第二步，结合菱形的判定条件：平行四边形要成为菱形，需要满足一组邻边相等。第三步，找EFGH的邻边和原四边形对角线的数量关系：由平行线间平行线段相等的性质，可得EFGH的一组邻边长度分别等于AC、BD的长度，因此要让邻边相等，只需AC=BD，即原四边形对角线相等即可。最后排查其他选项，排除不符合“一定”要求的选项即可得到答案。
【解析】
解：根据题意，所作四边形EFGH的两组对边分别平行于AC、BD，即$EF// AC// GH$，$EH// BD// FG$，
∴ 四边形EFGH是平行四边形（两组对边分别平行的四边形是平行四边形）。
由夹在平行线间的平行线段相等可得：$EF=AC$，$EH=BD$。
∵ 四边形EFGH是菱形，
∴ 平行四边形EFGH的邻边相等，即$EF=EH$，
∴ $AC=BD$，即四边形ABCD的对角线相等。
对选项逐一分析：
A. 菱形的对角线不一定相等，不符合要求；
B. 平行四边形的对角线不一定相等，不符合要求；
C. 矩形的对角线相等，但对角线相等的四边形不一定是矩形（如等腰梯形对角线也相等，也能围成菱形EFGH），因此不是“一定是矩形”；
D. 对角线相等的四边形符合推导结论，正确。
故选：D。
【答案】
D
【知识点】
平行四边形的判定与性质；菱形的性质；平行线的性质
【点评】
本题综合考查特殊四边形的判定和性质，解题的核心是先确定围出的四边形是平行四边形，再结合菱形的边的性质推导原四边形对角线的关系，易错点是容易误选C，忽略了对角线相等的四边形不止矩形这一种，要注意题干“一定是”的限定要求。
【难度系数】
0.6
