8. 某工厂计划用两年时间使产值增加到目前的4倍，并且使第二年增长率是第一年增长率的2倍，设第一年增长率为$ x $，则可列方程().

A.$(1+x)^2 = 4$
B.$x(1+2x+4x) = 4$
C.$2x(1+x) = 4$
D.$(1+x)(1+2x) = 4$

8. D

【分析】
这是一道增长率类的应用题，解题核心是牢记增长率的基本公式：增长后的值=增长前的值×(1+增长率)。我们可以先把当前产值设为单位“1”，先计算第一年结束后的产值，再以第一年结束的产值为增长基数，结合第二年的增长率（是第一年的2倍，即2x）计算两年后的最终产值，最终产值等于当前产值的4倍，据此即可列出方程。
【解析】
设该工厂当前的产值为单位“1”：
1. 已知第一年增长率为$ x $，根据增长率公式，第一年结束后的产值为：$ 1×(1+x)=1+x $。
2. 由题意得第二年增长率是第一年的2倍，即第二年增长率为$ 2x $，此时增长基数为第一年结束的产值，因此两年后（第二年结束）的产值为：$ (1+x)(1+2x) $。
3. 题目要求两年后产值增加到目前的4倍，即最终产值为4，因此可列方程：$ (1+x)(1+2x)=4 $，对应选项D。
【答案】
D
【知识点】
增长率问题；一元二次方程的应用
【点评】
本题是典型的增长率类实际应用题，解题关键是准确识别每一轮增长的基数和对应的增长率，同时要注意区分“增加到n倍”和“增加n倍”的表述差异，避免审题失误。
【难度系数】
0.8

9. 如图,①②③④处可以填上条件“对角线相等”的是().

A.①②
B.②③
C.①④
D.③④

9. B

【分析】
解题时先回忆特殊四边形与对角线相关的判定定理，逐一判断四个位置是否适用“对角线相等”的条件：首先明确，仅对角线相等无法判定普通四边形是平行四边形；平行四边形加对角线相等可判定为矩形；梯形加对角线相等可判定为等腰梯形；对角线相等无法判定得到菱形，据此就能筛选出符合要求的位置。
【解析】
结合特殊四边形的判定定理逐一分析：
1. 对于①处：仅对角线相等不能判定一个普通四边形是平行四边形，反例如等腰梯形对角线相等，但不属于平行四边形，因此①处不能填“对角线相等”；
2. 对于②处：根据矩形的判定定理，对角线相等的平行四边形是矩形，因此平行四边形添加“对角线相等”的条件可得到矩形，②处符合要求；
3. 对于③处：根据等腰梯形的判定定理，对角线相等的梯形是等腰梯形，因此梯形添加“对角线相等”的条件可得到等腰梯形，③处符合要求；
4. 对于④处：菱形的判定要求对角线互相垂直的平行四边形才是菱形，仅对角线相等无法得到菱形，因此④处不能填“对角线相等”。
综上，②③处可填“对角线相等”，对应选项B。
【答案】
B
【知识点】
矩形的判定、等腰梯形的判定、特殊四边形的判定
【点评】
本题属于基础概念辨析题，重点考查对不同特殊四边形判定定理的区分与应用，需要学生准确记忆各类图形与对角线相关的判定条件，避免混淆不同图形的判定要求。
【难度系数】
0.7

10. 某校积极鼓励学生参加志愿者活动,随机抽取了100名学生一周参与志愿者活动的时间(单位:h)情况,如下表所示:

根据表中数据,下列说法不正确的是().

A.表中 $ x $ 的值为 32
B.参与志愿者活动时间的众数是 2 h
C.参与志愿者活动时间的中位数是 2 h
D.参与志愿者活动时间的平均数是 1.7 h

10. C

【分析】
这道题考查统计中基础统计量的计算与判断，解题思路如下：①首先根据抽取的总人数为100，计算出x的值，判断选项A是否正确；②根据众数是一组数据中出现次数最多的数，判断选项B；③计算中位数时，先对数据从小到大排序，找到100个数据里第50、51个数据的平均值，判断选项C；④用加权平均数公式计算参与时间的平均数，判断选项D，最终选出错误的选项。
【解析】
1. 计算x的值：
已知总共有100名学生，各时间段人数之和为100，因此：
$20 + x + 38 + 8 + 2 = 100$
解得$x=100-68=32$，故A选项正确，不符合题意。
2. 判断众数：
参与志愿者活动时间为2h的人数有38人，是所有时间段中人数最多的，因此众数是2h，B选项正确，不符合题意。
3. 计算中位数：
100个数据的中位数是排序后第50、第51个数据的平均数。累计人数可知：参与时间1h的有20人，参与时间1.5h的有32人，累计到$20+32=52$人，因此第50、第51个数据都是1.5h，中位数为1.5h，不是2h，C选项错误，符合题意。
4. 计算平均数：
根据加权平均数公式：
$\overline{x}=\frac{1×20 + 1.5×32 + 2×38 + 2.5×8 + 3×2}{100}=\frac{170}{100}=1.7\ \mathrm{h}$，D选项正确，不符合题意。
【答案】
C
【知识点】
1. 频数统计表 2. 加权平均数计算 3. 中位数与众数
【点评】
本题属于统计基础题，重点考查对常见统计量概念的理解和计算，要注意计算中位数时需先按顺序确定数据的位置，不要直接将最高频数对应的数据当做中位数，避免概念混淆出错。
【难度系数】
0.7

三、解答题
11. 计算：$(5\sqrt{48} - 6\sqrt{27} + 4\sqrt{15}) ÷ \sqrt{3}$。

11. $2+4\sqrt{5}$

【分析】
观察算式结构，是含二次根式的多项式除以单项式形式，可类比整式的除法分配律，将括号内的每一项分别除以$\sqrt{3}$，再分别计算每一项的二次根式除法结果，化简后合并同类项即可得到最终答案。解题时注意不要漏项，同时关注运算符号。
【解析】
解：原式$=5\sqrt{48}÷\sqrt{3} - 6\sqrt{27}÷\sqrt{3} + 4\sqrt{15}÷\sqrt{3}$
根据二次根式除法法则$\sqrt{a}÷\sqrt{b}=\sqrt{a÷b}(a≥0,b＞0)$，可得：
$=5×\sqrt{48÷3} - 6×\sqrt{27÷3} + 4×\sqrt{15÷3}$
$=5×\sqrt{16} - 6×\sqrt{9} + 4×\sqrt{5}$
分别化简二次根式：
$=5×4 - 6×3 + 4\sqrt{5}$
$=20 - 18 + 4\sqrt{5}$
合并常数项得：
$=2 + 4\sqrt{5}$
【答案】
$2+4\sqrt{5}$
【知识点】
1. 二次根式除法运算
2. 二次根式化简
3. 多项式除以单项式法则
【点评】
本题属于二次根式混合运算的基础题型，核心考查二次根式除法法则的应用，解题时合理运用运算律可大幅简化计算过程，做题时需注意不要漏项，同时保证每一步化简的准确性。
【难度系数】
0.8

12. 如图，$△ ABC$ 的中线 $BD$，$CE$ 相交于点 $O$，$F$，$G$ 分别为 $OB$，$OC$ 的中点.求证：四边形 $DEFG$ 为平行四边形.

12. $\because AD=CD, AE=BE, \therefore DE\underline{\underline{//}} \frac{1}{2}BC$.同理,可得 $FG\underline{\underline{//}} \frac{1}{2}BC. \therefore DE\underline{\underline{//}} FG. \therefore$ 四边形 $DEFG$ 为平行四边形

【分析】
要证明四边形DEFG是平行四边形，可选择“一组对边平行且相等的四边形是平行四边形”这一判定定理推导。首先由BD、CE是△ABC的中线，可得E、D分别是AB、AC的中点，可利用三角形中位线定理得到DE与BC的位置、数量关系；再结合F、G是OB、OC的中点，同理可得FG与BC的关系，进而推出DE和FG的关系，即可完成证明。
【解析】
证明：
∵ BD、CE是△ABC的中线，
∴ AE=BE，AD=CD，
∴ DE是△ABC的中位线，根据三角形中位线定理可得：$DE\underline{\underline{//}} \frac{1}{2}BC$。
∵ F、G分别为OB、OC的中点，
∴ FG是△OBC的中位线，同理可得：$FG\underline{\underline{//}} \frac{1}{2}BC$。
∴ $DE\underline{\underline{//}} FG$，
∴ 四边形DEFG为平行四边形。
【答案】
四边形DEFG为平行四边形
【知识点】
三角形中位线定理；平行四边形的判定
【点评】
本题是几何基础证明题，核心是利用中位线定理得到四边形一组对边平行且相等的关系，进而判定平行四边形，解题时要注意挖掘题目隐含的中点条件，熟练运用相关性质和判定定理即可快速解决。
【难度系数】
0.8