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10. 某校合唱团成员的年龄分布情况如下表所示：
对于不同的$ x $，下列关于年龄的统计量不会发生改变的是(
A.平均数、中位数
B.众数、中位数
C.平均数、方差
D.中位数、方差
对于不同的$ x $，下列关于年龄的统计量不会发生改变的是(
B
).A.平均数、中位数
B.众数、中位数
C.平均数、方差
D.中位数、方差
答案
10. B
解析
【分析】
要判断不同$x$下哪些统计量不变，我们可以先计算总人数，再分别分析各统计量是否随$x$变化：首先算出合唱团总人数，确定总人数是否固定；再找到中位数的位置，判断中位数是否不变；接着对比各年龄段的频数大小，判断众数是否变化；最后看总年龄和是否随$x$变化，就能判断平均数、方差是否变化。
【解析】
1. 计算总人数：总人数为$5+15+x+(10-x)=30$，总人数固定为30人。
2. 判断中位数是否变化：
将年龄从小到大排序后，30个数据的中位数是第15个和第16个数据的平均数。
已知13岁的有5人，14岁的有15人，因此排序后第6到第20个数据都是14岁，第15、16个数据均为14岁，所以中位数恒为$\frac{14+14}{2}=14$，不随$x$变化。
3. 判断众数是否变化：
众数是出现次数最多的数，14岁的频数为15，而15岁和16岁的频数之和为$x+(10-x)=10＜15$，因此14岁始终是出现次数最多的年龄，众数恒为14，不随$x$变化。
4. 判断平均数、方差是否变化：
总年龄和为$13×5 +14×15 +15x +16×(10-x)=435-x$，$x$变化时总年龄和会改变，因此平均数会变化；平均数变化且各年龄的人数分布随$x$改变，因此方差也会变化。
综上，不发生改变的是众数和中位数，答案选B。
【答案】
B
【知识点】
众数的概念，中位数的计算，平均数与方差的含义
【点评】
本题考查统计量的性质，解题的关键是先消去$x$求出固定的总人数，再结合各统计量的定义逐一判断是否受$x$的影响，属于基础的统计概念应用题。
【难度系数】
0.7
要判断不同$x$下哪些统计量不变，我们可以先计算总人数，再分别分析各统计量是否随$x$变化：首先算出合唱团总人数，确定总人数是否固定；再找到中位数的位置，判断中位数是否不变；接着对比各年龄段的频数大小，判断众数是否变化；最后看总年龄和是否随$x$变化，就能判断平均数、方差是否变化。
【解析】
1. 计算总人数：总人数为$5+15+x+(10-x)=30$，总人数固定为30人。
2. 判断中位数是否变化：
将年龄从小到大排序后，30个数据的中位数是第15个和第16个数据的平均数。
已知13岁的有5人，14岁的有15人，因此排序后第6到第20个数据都是14岁，第15、16个数据均为14岁，所以中位数恒为$\frac{14+14}{2}=14$，不随$x$变化。
3. 判断众数是否变化：
众数是出现次数最多的数，14岁的频数为15，而15岁和16岁的频数之和为$x+(10-x)=10＜15$，因此14岁始终是出现次数最多的年龄，众数恒为14，不随$x$变化。
4. 判断平均数、方差是否变化：
总年龄和为$13×5 +14×15 +15x +16×(10-x)=435-x$，$x$变化时总年龄和会改变，因此平均数会变化；平均数变化且各年龄的人数分布随$x$改变，因此方差也会变化。
综上，不发生改变的是众数和中位数，答案选B。
【答案】
B
【知识点】
众数的概念，中位数的计算，平均数与方差的含义
【点评】
本题考查统计量的性质，解题的关键是先消去$x$求出固定的总人数，再结合各统计量的定义逐一判断是否受$x$的影响，属于基础的统计概念应用题。
【难度系数】
0.7
11. 观察下列等式，回答问题：
① $\sqrt{1+\frac{1}{1^2}+\frac{1}{2^2}}=1+\frac{1}{1}-\frac{1}{1+1}=1\frac{1}{2}$；
② $\sqrt{1+\frac{1}{2^2}+\frac{1}{3^2}}=1+\frac{1}{2}-\frac{1}{2+1}=1\frac{1}{6}$；
③ $\sqrt{1+\frac{1}{3^2}+\frac{1}{4^2}}=1+\frac{1}{3}-\frac{1}{3+1}=1\frac{1}{12}$；
……
（1）根据上面三个等式提供的信息，请你猜想$\sqrt{1+\frac{1}{4^2}+\frac{1}{5^2}}$的结果，并加以验算；
（2）请按照上面等式反映的规律，写出用$n$（$n$为正整数）表示的等式，并证明你的结论。
① $\sqrt{1+\frac{1}{1^2}+\frac{1}{2^2}}=1+\frac{1}{1}-\frac{1}{1+1}=1\frac{1}{2}$；
② $\sqrt{1+\frac{1}{2^2}+\frac{1}{3^2}}=1+\frac{1}{2}-\frac{1}{2+1}=1\frac{1}{6}$；
③ $\sqrt{1+\frac{1}{3^2}+\frac{1}{4^2}}=1+\frac{1}{3}-\frac{1}{3+1}=1\frac{1}{12}$；
……
（1）根据上面三个等式提供的信息，请你猜想$\sqrt{1+\frac{1}{4^2}+\frac{1}{5^2}}$的结果，并加以验算；
（2）请按照上面等式反映的规律，写出用$n$（$n$为正整数）表示的等式，并证明你的结论。
答案
11. (1) $\sqrt{1+\frac{1}{4^2}+\frac{1}{5^2}}=1+\frac{1}{4}-\frac{1}{4+1}=1\frac{1}{20}$.验算：$\sqrt{1+\frac{1}{4^2}+\frac{1}{5^2}}=\sqrt{(1+\frac{1}{4})^2-\frac{2}{4}+\frac{1}{5^2}}=\sqrt{(\frac{5}{4})^2-2×\frac{5}{4}×\frac{1}{5}+\frac{1}{5^2}}=\sqrt{(\frac{5}{4}-\frac{1}{5})^2}=1+\frac{1}{4}-\frac{1}{5}=1\frac{1}{20}$
(2) $\sqrt{1+\frac{1}{n^2}+\frac{1}{(n+1)^2}}=1+\frac{1}{n}-\frac{1}{n+1}=1+\frac{1}{n(n+1)}$($n$为正整数).证明：$\sqrt{1+\frac{1}{n^2}+\frac{1}{(n+1)^2}}=\sqrt{(1+\frac{1}{n})^2-\frac{2}{n}+\frac{1}{(n+1)^2}}=\sqrt{(\frac{n+1}{n})^2-2×\frac{n+1}{n}×\frac{1}{n+1}+\frac{1}{(n+1)^2}}=\sqrt{(\frac{n+1}{n}-\frac{1}{n+1})^2}=\frac{n+1}{n}-\frac{1}{n+1}=1+\frac{1}{n}-\frac{1}{n+1}=1+\frac{1}{n(n+1)}$
(2) $\sqrt{1+\frac{1}{n^2}+\frac{1}{(n+1)^2}}=1+\frac{1}{n}-\frac{1}{n+1}=1+\frac{1}{n(n+1)}$($n$为正整数).证明：$\sqrt{1+\frac{1}{n^2}+\frac{1}{(n+1)^2}}=\sqrt{(1+\frac{1}{n})^2-\frac{2}{n}+\frac{1}{(n+1)^2}}=\sqrt{(\frac{n+1}{n})^2-2×\frac{n+1}{n}×\frac{1}{n+1}+\frac{1}{(n+1)^2}}=\sqrt{(\frac{n+1}{n}-\frac{1}{n+1})^2}=\frac{n+1}{n}-\frac{1}{n+1}=1+\frac{1}{n}-\frac{1}{n+1}=1+\frac{1}{n(n+1)}$
解析
【分析】
（1）观察已知的3个等式可发现规律：根号下的式子为$1+\frac{1}{k^2}+\frac{1}{(k+1)^2}$时，运算结果为$1+\frac{1}{k}-\frac{1}{k+1}$。第一问中$k=4$，直接套用规律即可猜想结果；验算时将根号内的代数式变形为完全平方式，再根据二次根式的非负性开方验证即可。
（2）将上述规律中的$k$替换为正整数$n$，即可得到通用表达式；证明时同样先将被开方数整理为完全平方的形式，结合二次根式的性质开方后化简分式，即可证得结论。
【解析】
（1）根据规律猜想：
$\sqrt{1+\frac{1}{4^2}+\frac{1}{5^2}}=1+\frac{1}{4}-\frac{1}{4+1}=1\frac{1}{20}$
验算：
$\sqrt{1+\frac{1}{4^2}+\frac{1}{5^2}}=\sqrt{(1+\frac{1}{4})^2-\frac{2}{4}+\frac{1}{5^2}}=\sqrt{(\frac{5}{4})^2-2×\frac{5}{4}×\frac{1}{5}+\frac{1}{5^2}}=\sqrt{(\frac{5}{4}-\frac{1}{5})^2}=1+\frac{1}{4}-\frac{1}{5}=1\frac{1}{20}$，猜想成立。
（2）用$n$（$n$为正整数）表示的等式为：
$\sqrt{1+\frac{1}{n^2}+\frac{1}{(n+1)^2}}=1+\frac{1}{n}-\frac{1}{n+1}=1+\frac{1}{n(n+1)}$
证明：
左边=$\sqrt{1+\frac{1}{n^2}+\frac{1}{(n+1)^2}}=\sqrt{(1+\frac{1}{n})^2-\frac{2}{n}+\frac{1}{(n+1)^2}}=\sqrt{(\frac{n+1}{n})^2-2×\frac{n+1}{n}×\frac{1}{n+1}+\frac{1}{(n+1)^2}}=\sqrt{(\frac{n+1}{n}-\frac{1}{n+1})^2}$
因为$\frac{n+1}{n}-\frac{1}{n+1}＞0$，所以开方得$\frac{n+1}{n}-\frac{1}{n+1}=1+\frac{1}{n}-\frac{1}{n+1}=1+\frac{1}{n(n+1)}$=右边，等式成立。
【答案】
(1) $\sqrt{1+\frac{1}{4^2}+\frac{1}{5^2}}=1\frac{1}{20}$，验算见解析；
(2) $\sqrt{1+\frac{1}{n^2}+\frac{1}{(n+1)^2}}=1+\frac{1}{n(n+1)}$（$n$为正整数），证明见解析。
【知识点】
二次根式化简，完全平方公式，规律探究
【点评】
本题属于规律探究类题型，需要通过观察已知等式归纳共性特征，再通过代数运算验证猜想和结论，既考查了二次根式的运算性质，也锻炼了从特殊到一般的归纳推理能力，解题的关键是准确将被开方数变形为完全平方的形式。
【难度系数】
0.7
（1）观察已知的3个等式可发现规律：根号下的式子为$1+\frac{1}{k^2}+\frac{1}{(k+1)^2}$时，运算结果为$1+\frac{1}{k}-\frac{1}{k+1}$。第一问中$k=4$，直接套用规律即可猜想结果；验算时将根号内的代数式变形为完全平方式，再根据二次根式的非负性开方验证即可。
（2）将上述规律中的$k$替换为正整数$n$，即可得到通用表达式；证明时同样先将被开方数整理为完全平方的形式，结合二次根式的性质开方后化简分式，即可证得结论。
【解析】
（1）根据规律猜想：
$\sqrt{1+\frac{1}{4^2}+\frac{1}{5^2}}=1+\frac{1}{4}-\frac{1}{4+1}=1\frac{1}{20}$
验算：
$\sqrt{1+\frac{1}{4^2}+\frac{1}{5^2}}=\sqrt{(1+\frac{1}{4})^2-\frac{2}{4}+\frac{1}{5^2}}=\sqrt{(\frac{5}{4})^2-2×\frac{5}{4}×\frac{1}{5}+\frac{1}{5^2}}=\sqrt{(\frac{5}{4}-\frac{1}{5})^2}=1+\frac{1}{4}-\frac{1}{5}=1\frac{1}{20}$，猜想成立。
（2）用$n$（$n$为正整数）表示的等式为：
$\sqrt{1+\frac{1}{n^2}+\frac{1}{(n+1)^2}}=1+\frac{1}{n}-\frac{1}{n+1}=1+\frac{1}{n(n+1)}$
证明：
左边=$\sqrt{1+\frac{1}{n^2}+\frac{1}{(n+1)^2}}=\sqrt{(1+\frac{1}{n})^2-\frac{2}{n}+\frac{1}{(n+1)^2}}=\sqrt{(\frac{n+1}{n})^2-2×\frac{n+1}{n}×\frac{1}{n+1}+\frac{1}{(n+1)^2}}=\sqrt{(\frac{n+1}{n}-\frac{1}{n+1})^2}$
因为$\frac{n+1}{n}-\frac{1}{n+1}＞0$，所以开方得$\frac{n+1}{n}-\frac{1}{n+1}=1+\frac{1}{n}-\frac{1}{n+1}=1+\frac{1}{n(n+1)}$=右边，等式成立。
【答案】
(1) $\sqrt{1+\frac{1}{4^2}+\frac{1}{5^2}}=1\frac{1}{20}$，验算见解析；
(2) $\sqrt{1+\frac{1}{n^2}+\frac{1}{(n+1)^2}}=1+\frac{1}{n(n+1)}$（$n$为正整数），证明见解析。
【知识点】
二次根式化简，完全平方公式，规律探究
【点评】
本题属于规律探究类题型，需要通过观察已知等式归纳共性特征，再通过代数运算验证猜想和结论，既考查了二次根式的运算性质，也锻炼了从特殊到一般的归纳推理能力，解题的关键是准确将被开方数变形为完全平方的形式。
【难度系数】
0.7
