17. 将一副直角三角尺按如图摆放，AB//CD，∠GEF=60°，∠MNP=45°.下列四个结论：①∠EFN=150°；②GE//MP；③∠AEG=∠PMN；④∠BEF=75°.其中正确的是（填序号）.

解：
由题意可知，直角三角尺GEF中，∠G=90°，∠GEF=60°，故∠EFG=30°；直角三角尺MNP中，∠MPN=90°，∠MNP=45°，故∠PMN=45°。
1. 验证①：
在△PFN中，∠FPN=90°，∠PNF=45°，因此∠PFN=180°-90°-45°=45°，可得∠EFN=∠EFG+∠PFN=30°+45°=75°≠150°，故①错误。
2. 验证②：
因为∠G=90°，∠MPN=90°，所以GE⊥GF，MP⊥GF，根据垂直于同一直线的两条直线互相平行，可得GE//MP，故②正确。
3. 验证④：
因为AB//CD，所以∠BEF + ∠EFD=180°，又∠EFD=180°-∠EFN=180°-75°=105°，因此∠BEF=180°-105°=75°，故④正确。
4. 验证③：
由平角定义得∠AEG + ∠GEF + ∠BEF=180°，代入∠GEF=60°，∠BEF=75°，得∠AEG=180°-60°-75°=45°，又∠PMN=45°，因此∠AEG=∠PMN，故③正确。
综上，正确的是$\boldsymbol{②③④}$。

【分析】
解题时首先明确两块直角三角尺的各个内角度数，再对4个结论逐一验证：①计算∠EFN的度数，需先求出∠EFG和∠PFN的度数再相加判断；②判断GE与MP是否平行，可看两条直线是否都垂直于同一条直线；③验证两角是否相等，分别计算∠AEG和∠PMN的度数比较即可；④求∠BEF的度数，结合AB//CD的同旁内角互补关系计算判断。
【解析】
由题意可知：直角三角尺GEF中，∠G=90°，∠GEF=60°，因此∠EFG=180°-90°-60°=30°；直角三角尺MNP中，∠MPN=90°，∠MNP=45°，因此∠PMN=180°-90°-45°=45°。
1. 验证结论①：
在△PFN中，∠FPN=∠MPN=90°，∠PNF=∠MNP=45°，根据三角形内角和为180°，可得∠PFN=180°-90°-45°=45°，因此∠EFN=∠EFG+∠PFN=30°+45°=75°≠150°，故①错误。
2. 验证结论②：
因为∠G=90°，所以GE⊥GF；又∠MPN=90°，所以MP⊥GF。根据“垂直于同一条直线的两条直线互相平行”，可得GE//MP，故②正确。
3. 验证结论④：
因为AB//CD，所以∠BEF与∠EFD互为同旁内角，和为180°。已知∠EFN=75°，则∠EFD=180°-∠EFN=180°-75°=105°，因此∠BEF=180°-∠EFD=180°-105°=75°，故④正确。
4. 验证结论③：
由平角的定义可知，∠AEG+∠GEF+∠BEF=180°，代入∠GEF=60°，∠BEF=75°，可得∠AEG=180°-60°-75°=45°，又已知∠PMN=45°，因此∠AEG=∠PMN，故③正确。
【答案】
②③④
【知识点】
平行线的性质；平行线的判定；三角形内角和
【点评】
本题结合直角三角板的特征考查平行线的判定与性质，解题的关键是准确把握三角板的固定角度，结合平行线的相关性质、三角形内角和定理计算各角的度数，是几何基础类的常考题型。
【难度系数】
0.7

18.如图,将一张长方形纸片沿EF折叠后,点D,C分别落在点D',C'位置,ED'的延长线与BC相交于点G,∠EFG=60°,则∠1=.

$\boldsymbol{120°}$

【分析】
首先根据长方形对边平行的性质，可得AD与BC平行，利用平行线内错角相等可求出∠DEF的度数；再结合折叠前后对应角相等的性质，得到∠D'EF=∠DEF，进而求出∠DEG的度数；最后再次利用平行线的性质，即可求出∠1的度数。
【解析】
解：
∵ 四边形ABCD是长方形，
∴ AD//BC，
∴ ∠DEF = ∠EFG = 60°（两直线平行，内错角相等），
由折叠的性质可得：∠D'EF = ∠DEF = 60°，
∴ ∠DEG = ∠DEF + ∠D'EF = 60° + 60° = 120°，
又
∵ AD//BC，
∴ ∠1 = ∠DEG = 120°（两直线平行，同位角相等）。
【答案】
$\boldsymbol{120°}$
【知识点】
平行线的性质，折叠的性质，长方形的性质
【点评】
本题是角度计算的常考题型，将折叠变换与平行线的性质结合考查，解题的关键是抓住折叠前后对应角相等，结合平行线的角度关系逐步推导。
【难度系数】
0.7

19.如图，$AB⊥ BC$，垂足为$B$，$DC⊥ BC$，垂足为$C$，连接$AD$，$DE$平分$∠ ADC$交$BC$于点$E$，点$F$为$CD$延长线上一点，连接$AF$，$∠ BAF=∠ EDF$.下列结论：①$∠ BAD+∠ ADC=180°$；②$AF// DE$；③$∠ DAF=∠ F$.其中正确的有________（填序号）.

$\boldsymbol{①②③}$

【分析】
首先观察图形，已知AB和CD都垂直于BC，可先根据“同旁内角互补，两直线平行”判断AB//CD，再依次分析三个结论：①AB和CD平行时，∠BAD和∠ADC是同旁内角，结合平行线性质即可判断；②要证AF//DE，可通过推导AF、DE被AD所截的内错角相等来证明，结合已知∠BAF=∠EDF和平行线的性质即可推导角的等量关系；③在AF//DE的基础上，结合角平分线的性质和平行线的性质，就能推导∠DAF和∠F的关系。
【解析】
1. 证明结论①：
∵$AB⊥BC$，$DC⊥BC$，
∴$∠B=∠C=90°$，即$∠B+∠C=180°$，
∴$AB//CD$（同旁内角互补，两直线平行），
∴$∠BAD+∠ADC=180°$（两直线平行，同旁内角互补），故①正确。
2. 证明结论②：
∵$∠ADC+∠ADF=180°$（平角的定义），且已证$∠BAD+∠ADC=180°$，
∴$∠BAD=∠ADF$（同角的补角相等），
又
∵$∠BAD=∠BAF+∠DAF$，$∠ADF=∠EDF+∠ADE$，且已知$∠BAF=∠EDF$，
∴$∠DAF=∠ADE$（等式的性质），
∴$AF//DE$（内错角相等，两直线平行），故②正确。
3. 证明结论③：
∵DE平分$∠ADC$，
∴$∠ADE=∠EDC$（角平分线的定义），
∵已证$AF//DE$，
∴$∠DAF=∠ADE$（两直线平行，内错角相等），$∠EDC=∠F$（两直线平行，同位角相等），
∴$∠DAF=∠F$（等量代换），故③正确。
【答案】
$\boldsymbol{①②③}$
【知识点】
平行线的判定与性质；角平分线的定义；平角的定义
【点评】
本题是基础的几何推理题，核心考查平行线判定和性质的综合应用，解题的关键是先通过垂直关系得到平行线，再结合已知条件逐步推导角的等量关系，需要熟练掌握平行线的相关定理。
【难度系数】
0.7

20. 将一副三角尺中的两个直角顶点 C 叠放在一起(如图①),其中∠A=30°,∠B=60°,∠D=∠E=45°.
(1)猜想∠BCD 与∠ACE 的数量关系,并说明理由;
(2)若∠BCD=3∠ACE,求∠BCD 的度数;
(3)若按住三角尺 ABC 不动,绕顶点 C 转动三角尺 DCE,试探究∠BCD 等于多少度时 CE//AB,并简要说明理由.

解：(1) 猜想：$∠ BCD + ∠ ACE = 180°$，理由如下：
$\because ∠ ACB = 90°$，$∠ DCE = 90°$，
$\therefore ∠ BCD = ∠ ACB + ∠ ACD = 90° + ∠ ACD$，
$\therefore ∠ BCD + ∠ ACE = 90° + ∠ ACD + ∠ ACE = 90° + ∠ DCE = 90° + 90° = 180°$。
(2) 设$∠ ACE = x$，则$∠ BCD = 3x$，
由(1)得$∠ BCD + ∠ ACE = 180°$，
$\therefore 3x + x = 180°$，
解得$x = 45°$，
$\therefore ∠ BCD = 3 × 45° = 135°$。
(3) 分两种情况：
① 当$∠ BCD = 150°$时，$CE // AB$。
理由：$\because ∠ BCD = 150°$，$∠ ACB = 90°$，
$\therefore ∠ ACD = ∠ BCD - ∠ ACB = 60°$，
又$\because ∠ DCE = 90°$，
$\therefore ∠ ACE = ∠ DCE - ∠ ACD = 30°$，
$\therefore ∠ ACE = ∠ A = 30°$，
$\therefore CE // AB$（内错角相等，两直线平行）。
② 当$∠ BCD = 30°$时，$CE // AB$。
理由：$\because ∠ BCD = 30°$，$∠ DCE = 90°$，
$\therefore ∠ BCE = ∠ DCE - ∠ BCD = 60°$，
$\therefore ∠ BCE = ∠ B = 60°$，
$\therefore CE // AB$（内错角相等，两直线平行）。
综上，当$∠ BCD$等于$150°$或$30°$时，$CE // AB$。

【分析】
（1）探究∠BCD和∠ACE的数量关系时，先利用三角尺的直角特征，明确∠ACB和∠DCE均为90°，将∠BCD拆分为∠ACB与∠ACD的和，再结合∠ACE与∠ACD的和为∠DCE，代入即可推导两角的数量关系。
（2）已知∠BCD与∠ACE的倍数关系，结合第（1）问得出的两角和为180°的结论，设未知数列一元一次方程即可求解。
（3）探究CE//AB时∠BCD的度数，需依据平行线的判定定理分类讨论：一是CE在AC右侧时，内错角∠A=∠ACE可判定平行；二是CE在BC下方时，内错角∠B=∠BCE可判定平行，分别推导两种情况对应的∠BCD度数即可。
【解析】
(1) 猜想：$∠ BCD + ∠ ACE = 180°$，理由如下：
$\because ∠ ACB = 90°$，$∠ DCE = 90°$，
$\therefore ∠ BCD = ∠ ACB + ∠ ACD = 90° + ∠ ACD$，
$\therefore ∠ BCD + ∠ ACE = 90° + ∠ ACD + ∠ ACE = 90° + ∠ DCE = 90° + 90° = 180°$。
(2) 设$∠ ACE = x$，则$∠ BCD = 3x$，
由(1)得$∠ BCD + ∠ ACE = 180°$，
$\therefore 3x + x = 180°$，
解得$x = 45°$，
$\therefore ∠ BCD = 3 × 45° = 135°$。
(3) 分两种情况：
① 当$∠ BCD = 150°$时，$CE // AB$。
理由：$\because ∠ BCD = 150°$，$∠ ACB = 90°$，
$\therefore ∠ ACD = ∠ BCD - ∠ ACB = 60°$，
又$\because ∠ DCE = 90°$，
$\therefore ∠ ACE = ∠ DCE - ∠ ACD = 30°$，
$\therefore ∠ ACE = ∠ A = 30°$，
$\therefore CE // AB$（内错角相等，两直线平行）。
② 当$∠ BCD = 30°$时，$CE // AB$。
理由：$\because ∠ BCD = 30°$，$∠ DCE = 90°$，
$\therefore ∠ BCE = ∠ DCE - ∠ BCD = 60°$，
$\therefore ∠ BCE = ∠ B = 60°$，
$\therefore CE // AB$（内错角相等，两直线平行）。
综上，当$∠ BCD$等于$150°$或$30°$时，$CE // AB$。
【答案】
(1) $\boldsymbol{∠BCD + ∠ACE = 180°}$
(2) $\boldsymbol{135°}$
(3) $\boldsymbol{150°}$或$\boldsymbol{30°}$
【知识点】
角的和差计算、平行线的判定、分类讨论思想
【点评】
本题以三角板叠放为背景，考查角的数量关系推导与平行线判定的应用，解题时要充分利用三角板的固定角度，注意转动三角板时存在两种符合平行要求的位置，避免漏解。
【难度系数】
0.7