21.在书写艺术字时，常常运用画“平行线段”这种基本作图方法，一个艺术字体的字母“M”如下图所示.
(1)请找出三组平行线段，并用字母表示出来.
(2)EF与$A'B'$有何位置关系？$CC'$与$HR$有何位置关系？为什么？

解：
(1) 三组平行线段可表示为：$AA'// BB'$，$AB// A'B'$，$EF// GH$（答案不唯一）。
(2) $EF// A'B'$，$CC'// HR$。
理由：由图可得$EF// AB$，$AB// A'B'$，根据平行于同一条直线的两条直线互相平行，因此$EF// A'B'$；
同理可得$CC'// DD'$，$DD'// HR$，根据平行于同一条直线的两条直线互相平行，因此$CC'// HR$。

【分析】
（1）找平行线段首先要明确平行线段的特征：同一平面内不相交的两条线段互相平行。观察图形的结构，上下方向的棱、水平方向的边大多存在平行关系，任选三组符合要求的即可，答案不唯一。
（2）判断两条线段的平行关系，可利用平行线的传递性（平行于同一条直线的两条直线互相平行）推导：判断EF和A'B'的关系时，先找到分别和二者平行的中间线段AB，即可通过传递性推出结论；判断CC'和HR的关系时，找到中间线段DD'，同理可推导结论。
【解析】
(1) 根据平行线段的定义观察图形，可写出三组平行线段：$AA'// BB'$，$AB// A'B'$，$EF// GH$，答案不唯一，合理即可。
(2) $EF// A'B'$，$CC'// HR$，理由如下：
由图可知$EF// AB$，$AB// A'B'$，根据平行于同一条直线的两条直线互相平行，可得$EF// A'B'$；
同理$CC'// DD'$，$DD'// HR$，根据平行于同一条直线的两条直线互相平行，可得$CC'// HR$。
【答案】
(1) 三组平行线段可表示为：$AA'// BB'$，$AB// A'B'$，$EF// GH$（答案不唯一）。
(2) $EF// A'B'$，$CC'// HR$。理由：由图可得$EF// AB$，$AB// A'B'$，根据平行于同一条直线的两条直线互相平行，因此$EF// A'B'$；同理可得$CC'// DD'$，$DD'// HR$，根据平行于同一条直线的两条直线互相平行，因此$CC'// HR$。
【知识点】
平行线段识别、平行线的传递性
【点评】
本题结合生活中的艺术字设计场景，考查平行线段的识别和平行线性质的应用，侧重考查图形观察能力和基础知识点的运用能力，解题时只需认真观察图形，找准中间过渡的平行线段即可顺利解答。
【难度系数】
0.9

22.(1)问题发现:如图①,直线 $AB// CD$,连接 $BE$,$CE$,可以发现$∠ BEC=∠ B+∠ C$.请把下面的证明过程补充完整:
证明:过点 $E$ 作 $EF// AB$,
$\therefore∠ B=∠ BEF($$)$.
$\because AB// CD,EF// AB$,
$\therefore EF// CD($$)$.
$\therefore∠ C=∠ CEF$.
$\therefore∠ B+∠ C=($$+$$)$.
$\therefore∠ BEC=∠ B+∠ C$.
(2)探究:如果点 $E$ 运动到图②所示的位置,其他条件不变,证明:$∠ B+∠ C=360°-∠ BEC$;
(3)解决问题:如图③,$AB// CD$,$E$,$F$ 是 $AB$ 与 $CD$ 之间的点,直接写出$∠ B$,$∠ BEF$,$∠ EFD$,$∠ D$ 之间的数量关系.

解：
(1) 证明:过点 $E$ 作 $EF// AB$,
$\therefore∠ B=∠ BEF($ 两直线平行，内错角相等 $)$.
$\because AB// CD,EF// AB$,
$\therefore EF// CD($ 平行于同一条直线的两条直线互相平行 $)$.
$\therefore∠ C=∠ CEF$.
$\therefore∠ B+∠ C=(\boldsymbol{∠ BEF}+\boldsymbol{∠ CEF})$.
$\therefore∠ BEC=∠ B+∠ C$.
---
(2) 证明：
过点 $E$ 作 $EF// AB$,
$\because AB// CD$,
$\therefore EF// CD$.
$\therefore ∠ B + ∠ BEF = 180°$, $∠ C + ∠ CEF = 180°$.
$\therefore ∠ B + ∠ C + ∠ BEF + ∠ CEF = 360°$.
又 $\because ∠ BEF + ∠ CEF = ∠ BEC$,
$\therefore ∠ B + ∠ C + ∠ BEC = 360°$,
即 $∠ B + ∠ C = 360° - ∠ BEC$.
---
(3) 数量关系为：$\boldsymbol{∠ BEF + ∠ EFD = ∠ B + ∠ D + 180°}$.

【分析】
(1) 第一问是补充证明过程，过点E作EF平行AB后，∠B与∠BEF是一组内错角，依据平行线的性质可得到二者相等；再根据平行公理的推论，由AB平行CD、EF平行AB可推出EF平行CD，进而得到∠C=∠CEF，最后根据角的和差关系，即可得到∠B+∠C对应的角的和。
(2) 第二问仍采用作平行辅助线的思路，过E作EF平行AB，利用平行线的传递性得到EF平行CD，根据两直线平行同旁内角互补，分别得到∠B与∠BEF互补、∠C与∠CEF互补，将两个式子相加后，把∠BEF+∠CEF替换为∠BEC，整理式子即可得到求证结论。
(3) 第三问可沿用前两问的辅助线思路，分别过E、F作AB的平行线，利用平行线的传递性得到所有辅助线与AB、CD均平行，再结合平行线的内错角相等、同旁内角互补的性质，拆分整理各角即可得到数量关系。
【解析】
(1) 证明:过点 $E$ 作 $EF// AB$,
$\therefore∠ B=∠ BEF($ 两直线平行，内错角相等 $)$.
$\because AB// CD,EF// AB$,
$\therefore EF// CD($ 平行于同一条直线的两条直线互相平行 $)$.
$\therefore∠ C=∠ CEF$.
$\therefore∠ B+∠ C=(∠ BEF+∠ CEF)$.
$\therefore∠ BEC=∠ B+∠ C$.
(2) 证明：
过点 $E$ 作 $EF// AB$,
$\because AB// CD$,
$\therefore EF// CD$.
$\therefore ∠ B + ∠ BEF = 180°$, $∠ C + ∠ CEF = 180°$.
$\therefore ∠ B + ∠ C + ∠ BEF + ∠ CEF = 360°$.
又 $\because ∠ BEF + ∠ CEF = ∠ BEC$,
$\therefore ∠ B + ∠ C + ∠ BEC = 360°$,
即 $∠ B + ∠ C = 360° - ∠ BEC$.
(3) 过点E作EG//AB，过点F作FH//AB，
∵AB//CD，
∴AB//EG//FH//CD，
∴∠B=∠BEG，∠GEF+∠EFH=180°，∠D=∠DFH，
∴∠BEF=∠BEG+∠GEF=∠B+∠GEF，∠EFD=∠EFH+∠DFH=∠EFH+∠D，
两式相加得：$∠ BEF + ∠ EFD = ∠ B + ∠ D + ∠ GEF + ∠ EFH = ∠ B + ∠ D + 180°$。
【答案】
(1) 两直线平行，内错角相等；平行于同一条直线的两条直线互相平行；$\boldsymbol{∠BEF}$，$\boldsymbol{∠CEF}$
(2) $\boldsymbol{∠ B + ∠ C = 360°-∠ BEC}$，证明如上
(3) $\boldsymbol{∠ BEF + ∠ EFD = ∠ B + ∠ D + 180°}$
【知识点】
平行线的性质；平行公理推论；角度和差计算
【点评】
本题是平行线性质的典型应用题型，核心方法是构造平行辅助线建立已知角和未知角的关联，既考查了基础定理的记忆应用，也考查了辅助线构造和逻辑推导能力，是平行线章节的高频考点。
【难度系数】
0.7